張 潔 林晴嵐

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025）

三角函數(shù)與解三角形作為新高考評價(jià)必備內(nèi)容之一，三角函數(shù)單元內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)函數(shù)主線重要基礎(chǔ)性的內(nèi)容之一，解三角形是高中數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)主線的基礎(chǔ)性內(nèi)容之一.在高考試題中以“一大一小”的考查形式呈現(xiàn)，小題評價(jià)形式內(nèi)容變化大，一般主要考查三角函數(shù)定義與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，或是三角函數(shù)圖像與性質(zhì)，或是利用三角恒等變換求值等內(nèi)容；（大題）解答題一般以三角形或四邊形為背景，考查利用正、余弦定理解三角形的形式呈現(xiàn).高考數(shù)學(xué)既關(guān)注考生對三角函數(shù)單元的基本概念、基本公式、基本思想方法的理解與應(yīng)用水平考查；又關(guān)注考生在解三角形問題時(shí)，是否具備綜合應(yīng)用正、余弦定理聯(lián)系三角函數(shù)有關(guān)公式解決實(shí)際問題能力.加強(qiáng)對考生合理的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法有效解決問題綜合能力和健全向上的人格素養(yǎng)進(jìn)行全面考查.

一、三角專題的課程學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)業(yè)質(zhì)量要求

（一）課程學(xué)習(xí)內(nèi)容要求

1.三角函數(shù)

三角函數(shù)單元課程內(nèi)容有五個(gè)小節(jié)：第一小節(jié)是角與弧度.以初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)為基礎(chǔ)，通過單位圓將銳角擴(kuò)充到任意角，引入弧度制，實(shí)現(xiàn)任意角的實(shí)數(shù)表達(dá)目標(biāo)，為研究三角函數(shù)打下良好基礎(chǔ).第二小節(jié)是三角函數(shù)概念、圖象與性質(zhì).通過平面直角坐標(biāo)系以坐標(biāo)原點(diǎn)為任意角的頂點(diǎn)，定義三角函數(shù)，探索三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)（如周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值等）；利用三角函數(shù)的定義和單位圓的對稱性畫出三角函數(shù)在[0,2π]上的圖象，推導(dǎo)出三角的一系列誘導(dǎo)公式；借助對y=Asin(ωx+φ)圖像觀察，從三角函數(shù)圖像中感受參數(shù)的變化對圖像的影響，更直觀理解ω、φ、A的意義.第三小節(jié)是同角三角函數(shù)關(guān)系式，從三角函數(shù)的定義中，觀察同一角的正弦、余弦、正切的值，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，理解sin2x+cox2x=1,=tanx兩個(gè)基本關(guān)系式.第四小節(jié)是三角恒等變換，利用向量研究兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，展開對正弦的兩角和與差公式，余弦的兩角和公式研究，進(jìn)而研究正切的兩角和與差公式，以及正弦、余弦、正切的二倍角公式，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了積化和差公式、和差化積公式、半角公式，促進(jìn)理解三角函數(shù)之間關(guān)系；為解決三角有關(guān)問題提供了多樣工具.第五小節(jié)是三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫實(shí)際問題中所描述事物變化規(guī)律的周期性特征，會解決簡單的三角函數(shù)應(yīng)用問題.［1］

2.解三角形

解三角形小節(jié)內(nèi)容是借助平面向量這一運(yùn)算工具研究任意三角形的邊與角關(guān)系，推導(dǎo)出了正弦定理和余弦定理，［1］感受向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的差異，體會了向量在解決數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題中的作用，掌握運(yùn)用正弦定理與余弦定理解決三角形問題的基本方式.

（二）學(xué)業(yè)質(zhì)量要求

三角專題學(xué)業(yè)要求是：提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)模型素養(yǎng).［1］

1.三角函數(shù)

能夠從實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系，認(rèn)識與理解三角函數(shù)的概念和性質(zhì)，以幾何直觀等不同角度，研究三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，會選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決相關(guān)實(shí)際問題.［1］

2.解三角形

會利用向量運(yùn)算構(gòu)建幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間聯(lián)系，增強(qiáng)對正弦定理與余弦定理的理解和應(yīng)用.

二、三角專題高考考什么與怎么考

通過對新高考中三角專題內(nèi)容的試題進(jìn)行整理分析，更好地了解新高考數(shù)學(xué)是如何借助載體——試題，來承載考查三角專題內(nèi)容與評價(jià)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.

全國高考數(shù)學(xué)試題命制時(shí)選擇三角專題相關(guān)重點(diǎn)內(nèi)容作為“選拔人才”必備的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性的數(shù)學(xué)內(nèi)容，并根據(jù)新時(shí)代“選拔人才”的要求設(shè)置相關(guān)問題.三角專題的考查主要有兩部分：一是以三角函數(shù)概念、性質(zhì)與圖象為主要內(nèi)容，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題模型；二是以正弦定理、余弦定理的應(yīng)用為主要內(nèi)容，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換等相關(guān)數(shù)學(xué)公式，設(shè)置數(shù)學(xué)問題；重點(diǎn)考查考生解決問題時(shí)呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)語言表達(dá)，評價(jià)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平層次.［2］

（一）三角函數(shù)單元

1.三角函數(shù)專題高考考查要求

y=Asin(ωx+φ)圖象和性質(zhì)是考查重點(diǎn)的試題之一，一方面考查考生對三角函數(shù)中y=Asin(ωx+φ)的周期性、最值、關(guān)鍵點(diǎn)等“特色”理解與應(yīng)用；另一方面考查考生在已知y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)與y=Acos(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的條件中，求元素A,ω,b這類問題的常規(guī)思路運(yùn)用水平.通常解決問題的方法有：①代入法：將圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入（此時(shí)A,ω,b已知）或代入曲線與直線y=b的交點(diǎn)求解（此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）.②三角函數(shù)的五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，常需要以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為突破口.具體方法如下：“第一點(diǎn)”（即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)）時(shí)，(ωx+φ)=0；“第二點(diǎn)”（即圖象的“峰點(diǎn)”）時(shí)，(ωx+φ)=；“第三點(diǎn)”（即圖象下降時(shí)與x 軸的交點(diǎn)）時(shí)，(ωx+φ)=π；“第四點(diǎn)”（即圖象的“谷點(diǎn)”）時(shí)，(ωx+φ)=；“第五點(diǎn)”時(shí)，(ωx+φ)=2π.解決具體的三角函數(shù)問題.③從已知圖象中觀察，得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0) 與y=Acos(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的最大值M和最小值m，求元素A,b.即.④觀察已知圖象，結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算求得y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0) 與y=Acos(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的最小正周期T，再根據(jù)公式ω=求元素ω.⑤從兩種不同變換方式，分析三角函數(shù)y=sinx的圖象變換到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)圖象（如表1），會求元素φ.

表1

2.2020-2022 年三角函數(shù)單元部分高考試題與考向

（1）（2020 年新高考I 山東卷第10 題），由已知三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖像（圖1），考查考生通過觀察已知三角函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，結(jié)合y=sinx的關(guān)鍵點(diǎn)和周期規(guī)律特征，尋找該三角函數(shù)的周期和初相，以此求得sin(ωx+φ)的表達(dá)式.

圖1

（2020 年全國I 卷第7 題）在已知三角函數(shù)f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的圖像大致如圖2 的情況下，考查考生通過觀察已知三角函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)f(x)=cosx的關(guān)鍵點(diǎn)和周期規(guī)律特征，尋找ω（值，以此求得f(x)=cos(ωx+) 的最小正周期；

圖2

（2）（2021 年全國甲卷理第16 題），已知函 數(shù)f(x+2 cos(ωx+φ)的部分圖像（圖3），考查考生通過觀察三角函數(shù)圖象的最小周期、關(guān)鍵點(diǎn)，尋找滿足不等式(f(x) -f(-))(f(x) -＞0 成立的最小正整數(shù)x值.

圖3

以上高考試題要求考生會結(jié)合正弦曲線、余弦曲線，綜合運(yùn)用三角公式，利用整體代換結(jié)合三角計(jì)算去分析問題、解決問題.2022 年新高考I 卷從新的視角考查三角函數(shù)y=sin(ωx+φ)圖像與性質(zhì)問題，呈現(xiàn)出了對數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng)水平的新要求趨勢.總體評價(jià)的要求是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平二、直觀想象水平一與邏輯推理水平一層次.［2］

（二）解三角形

1.解三角形的高考考查要求

2.2020-2022 年解三角形部分高考試題與考向

（1）（2020 年全國I 卷文科卷第18 題）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=150°.（1）若a=，求△ABC的面積；

第一問考查考生由余弦定理建立c的方程，求解得出a,c，利用面積公式求得S△ABC；（2）若sinA+，求c.本題第二問考查考生運(yùn)用三角恒等變換解三角形，合理選擇與運(yùn)用公式是解此問的關(guān)鍵.

（2020 年 全國2 卷第17 題）△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周長的最大值.

（2020 年新高考I 卷（山東卷）由已知①ac=②csinA=3，③c=這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求C的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinA=，________?這樣的開放問題是新高考的新問題呈現(xiàn)方式，要求考生選擇一條件完善問題，再根據(jù)解三角形的常用方法，如，選擇條件①時(shí)，可利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，再由余弦定理得到c的長度；選擇條件②時(shí)，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得tanA的值，得到內(nèi)角A,B,C的值解決該問題.

（2）（2021 年全國新高考I 卷第19 題）記△ABC，它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin ∠ABC=asinC.（1）證明：BD=b；考查考生合理運(yùn)用正弦定理和已知條件以角化邊，進(jìn)行邏輯推理來證此問；（2）若AD=2DC，求cos ∠ABC，考查考生運(yùn)用余弦定理來解此問的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

（3）（2022 年新高考I 卷第18 題）記△ABC，它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知（1）若C=，求B；考查考生靈活利用三角恒等變換和三角形的內(nèi)角和定理，合理將已知條件轉(zhuǎn)化成與角B 聯(lián)系的關(guān)系等式，求得角B；（2）求的最小值.查考生靈活利用三角恒等變換和三角形的內(nèi)角和定理，在（1）問的一中間關(guān)系式，合理將已知條件轉(zhuǎn)化成同一量的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系，以求得問題解決，此題要求考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)水平都是二級層次.

（2022 年高考乙卷第17 題）記△ABC的內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).（1）證明：2a2=b2+c2；考查考生合理運(yùn)用正弦定理和已知條件，以角化邊進(jìn)行邏輯推理來證明；（2）若a=5,cosA=，求△ABC的周長.考查考生運(yùn)用余弦定理來解此問的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

（2022 年新高考Ⅱ卷）△ABC的內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c，分別以a,b,c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S2,S3，已知S1-S2+S3=,sinB=求△ABC的面積；（2）若sinAsinC=求b.考查考生合理運(yùn)用三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理和已知條件，以角化邊進(jìn)行邏輯推理來解此問，此類問題總體趨勢是評價(jià)考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)水平二的層次要求。

三、評價(jià)啟示

三角專題的高考試題以考查考生解決三角函數(shù)、解三角形與代數(shù)運(yùn)算的融合問題時(shí)，所呈現(xiàn)出的素養(yǎng)水平層次，試題每年從不同視角和不同要求提出新問題，但都是圍繞考查三角專題的基礎(chǔ)內(nèi)容、基本性質(zhì)、解決問題的基本思維方式和基本數(shù)學(xué)運(yùn)算.考生在理解和掌握三角專題問題解決思路和方法上仍有一定難度，需要教師通過課堂教學(xué)：一方面對課程標(biāo)準(zhǔn)中三角專題學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)業(yè)質(zhì)量評價(jià)的要求進(jìn)行細(xì)化解讀，幫助考生借助單元圓的直觀，學(xué)習(xí)三角專題內(nèi)容，理解三角函數(shù)、解三角形等具體內(nèi)容的內(nèi)涵，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)原理和思想方法，掌握三角專題內(nèi)容作為高考數(shù)學(xué)“基礎(chǔ)性”與必備知識的評價(jià)原則；另一方面，通過研究近幾年全國高考三角專題試題，追本溯源，尋找試題與教材中的例、習(xí)題間聯(lián)系與演化源，提升對這些典型題的理解層次，探析高考三角專題考查內(nèi)容與評價(jià)新變化趨勢.［3］