王伯運 何耀 鄭昕昕

（合肥工業(yè)大學，合肥 230009）

1 前言

目前，鋰離子電池荷電狀態(tài)（State Of Charge，SOC）估計方法主要有安時積分法[1]、卡爾曼濾波系列算法[2]、開路電壓法[3]、基于數(shù)據(jù)驅動的方法[3]等。安時積分法根據(jù)電流對時間的積分進行計算，再根據(jù)初始SOC 進行SOC 的實時計算。但該方法難以獲取精確的SOC 初值，無法滿足車輛行駛過程中的實時性要求。開路電壓法的理論依據(jù)是電池在長時間靜置的條件下，開路電壓（Open Circuit Voltage，OCV）與SOC存在相對固定的函數(shù)關系[4]。精確的開路電壓獲取條件苛刻，該方法無法滿足車輛行駛過程中的實時性要求?？柭鼮V波法能給出SOC的估計值及估計誤差，同時具有收斂快、估算精度高、對SOC初值不敏感等優(yōu)點，因而得到廣泛應用[5]。

目前，已有眾多學者利用卡爾曼濾波及其衍生算法估算電池SOC。崔耕韜[6]等使用擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）算法估計鋰電池SOC，在恒流放電工況下電池的SOC 估計誤差約為2.1%。周斌[7]等在二階RC 等效電路模型下利用模糊控制聯(lián)合擴展卡爾曼濾波、安時積分和開路電壓等算法建立電池SOC 的聯(lián)合估算模型進行估算。李巖[8]等在傳統(tǒng)的無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法基礎上加入球型選點規(guī)則，提升了算法的估算精度。胡波[9]等基于等效電路模型的遞推最小二乘法（Recursive Least Square，RLS）結合容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter，CKF）的方法提升了算法的估算精度。

相比于UKF 和CKF 算法，EKF 算法利用提前計算雅可比矩陣的方式實現(xiàn)以較低的計算壓力對非線性系統(tǒng)進行觀測。EKF 算法在泰勒公式展開實現(xiàn)線性化的過程中將高階項省略，算法本身有一定缺陷，且由于測量噪聲不可控，對誤差敏感[10]。在算法迭代過程中協(xié)方差易出現(xiàn)病態(tài)，導致SOC 估計出現(xiàn)較大誤差。

修正協(xié)方差近似二階擴展卡爾曼濾波（Modified Covariance Approximate Second-Order Extended Kalman Filter，MVASOEKF）算法在EKF 算法的基礎上，采用應用均值變換的二階近似、方差和協(xié)方差變換一階近似[11]的方式來盡可能減小因省略高階項引入的誤差，且在計算過程中不斷更新計算雅可比矩陣，使協(xié)方差在更新迭代過程中漸漸收斂，減少了協(xié)方差病態(tài)問題的出現(xiàn)。因此，本文建立二階RC等效電池模型，將實測端電壓數(shù)據(jù)與等效模型數(shù)據(jù)進行對比，驗證電池模型精度，選用MVASOEKF 算法，在MATLAB/Simulink 平臺上進行SOC 估算，將SOC 的實測值與MVASOEKF 和EKF 算法的估計值進行對比。

2 鋰離子電池模型

在等效電路模型[12]中，電池被視為由電阻、電容等簡單的電氣元件組成的電路模型，該模型能夠很好地反映電池的外部特性，比較符合電池實際工作過程中的表現(xiàn)。常見的等效電路模型有戴維南（Thevenin）模型[13]、RC 模型[14]、新一代汽車合作伙伴計劃（The Partnership for a New Generation of Vehicles，PNGV）模型[15]和Rint 模型[16]。模型的選取要考慮模型的精度和復雜度等因素的影響，從精度、復雜度和魯棒性等多個維度對11 種等效電路模型比較的結果表明，二階RC模型是較理想的選擇[17]。

二階RC等效電池模型如圖1所示，其中R0為歐姆內(nèi)阻，R1為電池濃差極化電阻，C1為電池濃差極化電容，U1為極化電壓，R2為電池電化學極化電阻，C2為電池電化學極化電容，U2為極化電壓，UL為端電壓，Uoc為開路電壓，I為回路電流。

圖1 二階RC電池模型

由基爾霍夫電流定律可知：

由基爾霍夫電壓定律可知：

式中，Ssoc為電池荷電狀態(tài)。

3 電池模型參數(shù)識別

3.1 混合脈沖功率特性試驗

在二階RC 模型中需要精確識別出SOC 與R0、R1、C1、R2、C2等內(nèi)部參數(shù)的關系。目前，混合動力脈沖功率特性（Hybrid Pulse Power Characteristic，HPPC）因測量方便快捷而被廣泛使用[18-19]。本文根據(jù)美國《FreedomCAR 電池測試手冊》[20]中的規(guī)定進行混合脈沖功率特性試驗對電池參數(shù)進行辨識。試驗采用1 C 的脈沖充放電電流，先放電10 s，之后靜置40 s，再充電10 s，最后靜置。使用的Panasonic-18650 鋰離子電池參數(shù)如表1 所示，通過分析試驗得到的電壓波形圖辨識出電池內(nèi)部參數(shù)。圖2所示為Ssoc=0.5時HPPC脈沖電流與電壓變化曲線。

表1 Panasonic-18650電池參數(shù)

圖2 HPPC脈沖電流與電壓變化曲線

3.2 模型參數(shù)識別

3.2.1 SOC與開路電壓的關系

在每次試驗放電結束后將電池靜置2 h，靜置后的電壓可視為電池的開路電壓，記錄每次脈沖放電試驗后的SOC與其對應的開路電壓，如表2所示，再利用MATLAB 擬合工具擬合出二者的關系曲線如圖3所示，其關系式為：

表2 SOC與OCV的關系

圖3 OCV-SOC擬合曲線

3.2.2 內(nèi)阻R0辨識

在充放電開始和停止瞬間，鋰電池端電壓會發(fā)生突變，是由歐姆內(nèi)阻R0造成的。可以選取兩電壓差的均值與電流的比值作為內(nèi)阻R0：

式中，UA、UB、UC、UD分別為圖2b 中A、B、C、D點的電壓。

3.2.3 極化電容與極化電阻辨識

在圖2 中B點到C點所在時刻之間，鋰電池端電壓從UB平滑過渡到UC，這是由2 個RC 電路造成的，在此時間段極化電容存在緩慢充電的過程，極化電容兩端的電壓呈現(xiàn)指數(shù)增長，從而導致端電壓出現(xiàn)明顯下降。

從D點到E點所在時刻電池處于靜置狀態(tài)，此階段下的二階RC 電路可以視為零輸入響應。對電路進行時域分析，可以得到端電壓UL與時間t的函數(shù)關系：

式中，τ1=R1C1、τ2=R2C2分別為2 個RC 電路中的時間常數(shù)。

將D點到E點所在時刻期間的回彈電壓與時間t的關系曲線通過MATLAB 中的擬合工具箱中的自定義二階指數(shù)函數(shù)擬合，擬合結果為：

式中，H、G、K、h、g為擬合曲線的待定系數(shù)。

將式（5）與式（6）聯(lián)立相等可以得到電池模型內(nèi)部參數(shù)：

由此，利用上述辨識方法，可以確定電池模型在不同SOC點處的內(nèi)部參數(shù)，如表3所示。

表3 不同SOC點處電池內(nèi)部參數(shù)

4 MVASOEKF算法

非線性離散系統(tǒng)由狀態(tài)方程和觀測方程組成，系統(tǒng)公式分別為：

式中，xk為k時刻的狀態(tài)量；uk為系統(tǒng)k時刻的輸入量；yk為k時刻的系統(tǒng)觀測量；wk-1、vk分別為(k-1)時刻均值為0 的過程噪聲和k時刻均值為0 的測量噪聲，且兩者互不相關：

式中，Qk、Rk分別為k時刻過程噪聲的協(xié)方差矩陣和測量噪聲的協(xié)方差矩陣；E[X]為隨機變數(shù)X的期望值。

在每一個時刻，利用一階泰勒展開法將f(xk-1,uk-1)和g(xk,uk)線性化：

結合式（11）、式（12）、式（14）、式（15），可以得到非線性系統(tǒng)線性化后的表達式：

MVASOEKF算法的具體流程如下：

a.初始化階段

式中，為0 時刻的狀態(tài)變量修正值初值；P0|0為0時刻預測誤差協(xié)方差矩陣初值；x0為0 時刻的狀態(tài)量初值；Var(x0)為變量x0的方差。

b.預測階段

計算狀態(tài)方程雅可比矩陣Ak為：

狀態(tài)變量預測值|k-1為：

狀態(tài)變量預測值誤差協(xié)方差矩陣Pk|k-1為：

式中，Pk|k-1為(k-1)時刻的狀態(tài)變量修正誤差協(xié)方差矩陣。

c.狀態(tài)更新修正階段

觀測方程雅可比矩陣為：

卡爾曼濾波增益矩陣為：

狀態(tài)變量值為：

d.二次狀態(tài)修正更新階段

重新計算觀測方程的雅可比矩陣Ck為：

重新計算卡爾曼濾波增益矩陣Kk為：

狀態(tài)變量修正誤差協(xié)方差矩陣Pk|k為：

式中，E為單位矩陣。

狀態(tài)變量修正值|k為：

MVASOEKF 算法以電池的SOC、電容C1、C2兩端的電壓U1、U2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，以電流I作為輸入量、電池端電壓UL作為觀測量，根據(jù)式（1）、式（2）和安時積分表達式建立電池模型狀態(tài)空間方程：

式中，Cn為電池額定容量。

電池觀測方程為：

將式（28）、式（29）進行離散化處理后的狀態(tài)方程為：

式中，Ts為采樣周期；I(k)為k時刻的電流。

輸出方程為：

綜合式（30）、式（31）可得空間方程為：

記MVASOEKF算法相關矩陣為：

式中，Xk為狀態(tài)變量矩陣；Bk為輸入矩陣。

5 驗證試驗與結果

5.1 驗證試驗

依據(jù)MVASOEKF 原理以及電池辨識的參數(shù)，建立等效電池模型和SOC 估算模型。將實測的端電壓數(shù)據(jù)與等效模型數(shù)據(jù)進行對比以驗證電池模型精度；將實測的SOC 值與采用MVASOEKF 和EKF算法的SOC 估計結果進行對比，檢驗模型的精確度。本文使用Panasonic-18650鋰離子電池，電池參數(shù)性能見表1。

5.2 試驗結果

5.2.1 電池模型精度驗證

本文采用北京公交動態(tài)測試（Beijing Bus Dynamic Stress Test，BBDST）工況對模型進行精度測試，該工況是對北京公交車起步、加速、滑行、制動、急加速、停車等各環(huán)節(jié)中的電池組數(shù)據(jù)采集后進行處理所得到的[21]。此工況數(shù)據(jù)為整個電池包的數(shù)據(jù)，本文的研究對象為鋰離子電池單體，故需要根據(jù)實際情況對工況功率按比例縮小，BBDST工況試驗數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 BBDST工況數(shù)據(jù)

BBDST工況試驗電池等效模型估計值及誤差如圖5所示，從圖5中可以看出，二階RC等效電池模型可以將絕對誤差整體控制在50 mV以內(nèi)，并且電池模型估計誤差峰值只會出現(xiàn)在高電壓和低電壓時刻，即高SOC 和低SOC 狀態(tài)。當SOC 在0～10%和90%～100%的范圍內(nèi)時，電池模型的估計輸出電壓會出現(xiàn)較大偏差，并出現(xiàn)估計誤差的峰值，但是新能源汽車鋰離子電池的實際工作范圍一般為10%～90%，因此所建立的等效電池模型可以滿足電動汽車的要求。

圖5 電池等效模型估計值及誤差

5.2.2 MVASOEKF算法驗證

MVASOEFK 與EKF 算法初始參數(shù)設為P0|0=diag(0.04,0.04,0.04)，測量噪聲協(xié)方差矩陣R0=[0.8]，過程噪聲的協(xié)方差矩陣Q0=diag(10-4,10-4,10-4)。圖6、圖7 所示分別為電池SOC 初值為0.98 和0.70 時BBDST工況下的電池SOC估算結果。

圖6 初始SOC為0.98時的估算值及誤差

圖7 初始SOC為0.70時的估算值及誤差

由圖6 可知，當SOC 的初值確定時（Ssoc=0.98），在RC 二階電池模型下，MVASOEKF 與EKF 算法都能夠與真實SOC 變換趨勢一致，在第2 000 s 前SOC誤差會出現(xiàn)峰值，這是由等效二階電池模型在SOC為100%到90%之間時的估算誤差引起的。

由圖7可知，在SOC 的初值不確定的情況下，即算法初始設定值（Ssoc=0.7）與實際電池SOC 有明顯差異時，以絕對誤差值5%為標準，EKF、MVASOEKF算法都可以在一定時間內(nèi)使SOC 估算值逼近真實值，MVASOEKF 算法約需20 s，EKF 算法約需200 s，這說明MVASOEKF 算法具有更強的收斂性。在解決初值誤差和電池模型誤差問題后，EKF 算法的平均絕對誤差在2.0%左右，MVASOEKF 算法的平均絕對誤差在0.5%左右。

為了更加清楚地評價2種SOC 估計算法的精度與可靠性，本文采用平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）、平均相對誤差（Mean Relative Error，MRE）、均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）3種指標進行評價，結果如表4、表5所示。

表4 初始SOC為0.98時不同算法下的估算精度 %

表5 初始SOC為0.70時不同算法下的估算精度 %

由表4、表5 可知，相比于EKF 算法，MVASOEKF 算法的MAE、MRE 和RMSE 值都更小，從統(tǒng)計學的角度來看，MVASOEKF 算法模型具有更高的精度和可靠性。

綜上所述，MVASOEKF 算法具有更快的收斂性，更高的估算精度和更強的魯棒性。

6 結束語

本文首先建立二階RC 等效電路模型，并利用SOC的安時積分表達式和戴維南定理建立電池狀態(tài)空間方程，最后通過MVASOEKF 算法估算電池的SOC。電池模型的參數(shù)通過MATLAB 中的擬合工具和混合脈沖功率特性試驗結果進行離線對比擬合辨識，確保數(shù)據(jù)的可靠性。MVASOEKF 算法利用近似二階的擴展卡爾曼濾波法減少因非線性變換中忽略高階泰勒項而引入的SOC 估算誤差，并且通過修正更新協(xié)方差的方式解決了在迭代過程中協(xié)方差易出現(xiàn)病態(tài)的問題。MVASOEKF 與EKF 算法相比，雖增加了一定的計算量，但是SOC 估計準確度有了明顯改善，并且收斂性與魯棒性更好。