柴 彪，李 勇，宋修元，劉華穎，梁曉峰

(北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所，太原 030006)

1 引言

微型武器主要是指微納米尺度的具有感知決策、行動(dòng)與交互的無人作戰(zhàn)單元。而微型武器與普通武器相比，由于尺寸效應(yīng)的影響，在結(jié)構(gòu)尺寸、剛度變化都有顯著差異。在實(shí)驗(yàn)和原子模擬中都觀察到了微型結(jié)構(gòu)存在的尺寸效應(yīng)[1-3]。因此在對微型武器殼體進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析時(shí)應(yīng)充分考慮尺寸效應(yīng)對其的影響。

然而，三維石墨烯泡沫材料[4-5]，由于其有著超彈性、超低密度、高能量耗散和良好的導(dǎo)電性等優(yōu)點(diǎn)，已成為材料科學(xué)領(lǐng)域中最受關(guān)注的熱點(diǎn)[6-8]。尤其當(dāng)石墨烯泡沫作為增強(qiáng)納米材料，與石墨烯片或碳納米管相比，它可以提供更好的結(jié)構(gòu)增強(qiáng)效果。

近年來，對三維石墨烯泡沫增強(qiáng)聚合物(GFRNC)結(jié)構(gòu)的研究引起了人們的廣泛關(guān)注。Embrey等[9]發(fā)現(xiàn)GFRNC結(jié)構(gòu)在電氣性能、機(jī)械性能和熱性能方面都有很大的提高。Li等[10]報(bào)道了由GFRNC復(fù)合材料制成的高拉伸、高靈敏度應(yīng)變傳感器。Jia等[11]在化學(xué)氣相沉積框架下介紹了GFRNC結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)工藝。Guan等[12]綜述了GFRNC結(jié)構(gòu)在儲能轉(zhuǎn)換、電磁干擾屏蔽、油水分離和傳感器等方面的應(yīng)用。目前，國內(nèi)外關(guān)于尺寸效應(yīng)的微型武器三維石墨烯泡沫增強(qiáng)殼體的動(dòng)態(tài)響應(yīng)方面的研究報(bào)到很少。本文旨在對GFRNC微型武器殼體進(jìn)行自由和強(qiáng)迫振動(dòng)的研究和分析。

2 模型建立

如圖1三維石墨烯泡沫增強(qiáng)微型武器復(fù)合殼體模型的建立，其中殼體的厚度為h、半徑為R、長度為L、F為垂直于微殼表面的外部力。如圖2所示，本文考慮了3種三維石墨烯泡沫分布:GFRNC-I、GFRNC-Ⅱ和GFRNC-U。

圖1 三維石墨烯泡沫增強(qiáng)微型武器復(fù)合殼體模型Fig.1 3D graphene foam enhanced composite shell model of microweapons

在GFRNC-Ⅰ中，最大尺寸的三維石墨烯泡沫位于中面。然而，在GFRNC-Ⅱ中，最大尺寸的泡沫位于底部和頂部表面。GFRNC-U表示三維石墨烯泡沫均勻分布。其中材料性能表示為：

GFRNC-Ⅰ:

ρ(z)=ρ1[1-κmcos(πz/h)]

(1)

E(z)=E1[1-κ0cos(πz/h)]

(2)

GFRNC-Ⅱ:

(3)

(4)

GFRNC-U:

ρ(z)=ρ1?′

(5)

E(z)=E1?

(6)

如圖2(d)所示。在混合標(biāo)準(zhǔn)規(guī)則的框架下，等效質(zhì)量密度ρ1,楊氏模量E1和v1泊松比可得：

圖2 不同的三維石墨烯泡沫分布類型Fig.2 Different 3D graphene foam distribution types

ρ1=ρm(1-VGF)+ρGFVGF

(7)

E1=Em(1-VGF)+EGFVGF

(8)

ν1=νm(1-VGF)+νGFVGF

(9)

其中:ρGF和ρm分別為GF骨架和環(huán)氧樹脂基體的質(zhì)量密度；EGF和Em分別為GF骨架和環(huán)氧樹脂基體的楊氏模量；νGF和νm分別表示GF骨架和環(huán)氧基體的泊松比；VGF表示GF骨架體積分?jǐn)?shù)，表示為：

(10)

其中，WGF為GF骨架的重量分?jǐn)?shù)。

將式(7)代入到式(10)可得：

(11)

楊氏模量與密度的關(guān)系如下：

E(z)/E1=[ρ(z)/ρ1]2.73

(12)

(13)

這里假設(shè)不同類型的GFRNC微殼的質(zhì)量是相等的，即：

(14)

基于Love薄殼理論，位移場為：

(15)

(16)

u3(x,θ,z,t)=w(x,θ,t)

(17)

GFRNC微殼的應(yīng)變分量可以寫成：

(18)

(19)

(20)

基于修正的偶應(yīng)力理論[13],在考慮經(jīng)典常數(shù)的基礎(chǔ)上，引入了一個(gè)新的非經(jīng)典參量，即微結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為：

(21)

其中：m表示偶應(yīng)力張量；χ表示對稱曲率張量；σ為柯西應(yīng)力張量；ε為應(yīng)變張量。這些張量具體表示為[14]:

m=2l2μχ

(22)

(23)

σ=λtr(ε)I+2με

(24)

(25)

其中：λ和μ表示拉梅常數(shù);l表示材料長度尺度參數(shù);u表示位移矢量；θ表示旋轉(zhuǎn)向量。

通過式(21),GFRNC微殼的應(yīng)變能為：

(26)

非經(jīng)典和經(jīng)典的力和力矩為

(27)

動(dòng)能可以寫成：

(28)

外力做功為：

(29)

通過哈密頓原理可得：

(30)

將式(26)，(28)和(29)代入到式(30),可得GFRNC微殼的運(yùn)動(dòng)方程為：

(31)

(32)

(33)

這里

其中，G(z)為GFRNC微殼的剪切模量。

3 方法求解

3.1 自由振動(dòng)

滿足邊界條件的位移場可表示為：

(34)

v(x,θ,t)=Vmnφ(x)sin(nθ)eiωt

(35)

w(x,θ,t)=Wmnφ(x)cos(nθ)eiωt

(36)

式中：ω表示自然圓頻率；m和n表示模態(tài)數(shù)；Umn,Vmn和Wmn表示位移振幅分量。

其中，軸向模態(tài)函數(shù)φ(x)可寫為：

(37)

這里參數(shù)c1,c2,c3,c4,ζi和λi(i=1,2,3,4…) 在表1中列出。本文考慮了固支-固支(C-C)邊界條件、固支-簡支(C-SS)邊界條件和簡支-簡支(SS-SS)邊界條件。

表1 參數(shù)c1,c2,c3,c4,ζi和λi取值Table 1 The value of paramater c1,c2,c3,c4,ζi and λi

固支邊界條件為：

(38)

簡支邊界條件為：

(39)

將式(34)—(36)代入到式(31)—(33)與此同時(shí)忽略外力F,之后采用Galerkin法[15-17]可得：

(40)

其中，K1和M1分別表示剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。為了得到式(40)的非平凡解,系數(shù)矩陣的行列式必須設(shè)為零，才能得到GFRNC微殼的固有頻率。

3.2 強(qiáng)迫振動(dòng)

本節(jié)以GFRNC微殼在SS-SS邊界條件下的強(qiáng)迫振動(dòng)為例進(jìn)行強(qiáng)迫振動(dòng)分析，其中外力為[18]：

F=P0sin(ω1t)δ(x-x1)δ(θ-θ1)

(41)

式中：P0為激勵(lì)力幅值;ω1為激勵(lì)圓頻率;(x1,θ1)為激勵(lì)的位置;δ表示狄拉克函數(shù)。

對于強(qiáng)迫振動(dòng)，SS-SS的GFRNC微殼的位移場可表示為：

(42)

(43)

(44)

其中，M和N表示截?cái)嘞禂?shù)。

將式(41)—(44)代入到式(31)—(33)后利用Galerkin法消去三角函數(shù)，可得：

(45)

式中：B={UmnVmnWmn}T表示微殼的振幅矢量;Q={0 0P0cos(nθ1)sin(mπx1/L}T表示激勵(lì)的常矢量;K和M分別表示剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。

式(45)的解可得：

(46)

因此，橫向振動(dòng)振幅wmax可由式(44)得出。

4 結(jié)果對比與分析

4.1 對比

首先進(jìn)行對比驗(yàn)證。本文中對SS-SS、C-SS和C-C均質(zhì)圓柱殼進(jìn)行了對比研究。它們的無量綱固有頻率列于表2—4。結(jié)果表明，本文的計(jì)算結(jié)果與已發(fā)表論文的結(jié)果吻合較好[19-22]。

表2 SS-SS均質(zhì)圓柱殼的無量綱固有頻率對比 (R=2.32 nm,L/R=5,ρ=2 300 kg/m3,υ=0.3和E=1.06 TPa)Table 2 Dimensionless natural frequency comparison of SS-SS homogeneous cylindrical shells (R=2.32 nm,L/R=5,ρ=2 300 kg/m3,υ=0.3 and E=1.06 TPa)

表3 C-SS均質(zhì)圓柱殼的無量綱固有頻率對比 (υ=0.3,h/R=0.002,L/R=20和m=1)Table 3 Dimensionless natural frequency comparison of C-SS homogeneous cylindrical shell (υ=0.3,h/R=0.002,L/R=20 and m=1)

表4 C-C均質(zhì)圓柱殼的無量綱固有頻率對比(h/R=0.01,L/R=20,υ=0.3和m=1)Table 4 Dimensionless natural frequency comparisonof C-C homogeneous cylindrical shell (h/R=0.01,L/R=20,υ=0.3 and m=1)

其次，考慮尺寸效應(yīng)，表5給出了SS-SS微納米圓柱殼的無量綱固有頻率的比較。可以看出，本文中的結(jié)果與文獻(xiàn)中一致。

表5 含尺寸效應(yīng)的SS-SS微納米圓柱殼的無量綱固有頻率對比 (l=h,R=2.32 nm,L/R=5,E=1.06 TPa,υ=0.3和ρ=2 300 kg/m3)Table 5 Dimensionless natural frequency comparison of SS-SS homogeneous cylindrical shell with size effect (l=h,R=2.32 nm,L/R=5,E=1.06 TPa,υ=0.3 andρ=2 300 kg/m3)

接下來，對GFRNC微殼的振動(dòng)進(jìn)行了研究。未指定時(shí)，GFRNC微殼的幾何和材料參數(shù)為:

EGF=1.02 TPa,ρGF=2 300 kg/m3,νGF=0.3

Em=3 GPa,ρm=1 200 kg/m3,νm=0.34,l=15 μm

m=1,h=20 μm,R/h=50,L/R=3

WGF=1.0%,κ0=0.2

4.2 自由振動(dòng)

圖3對比了不同理論下SS-SS GFRNC微殼的固有頻率。從圖中可以看出，考慮修正的偶應(yīng)力理論(MCST)的固有頻率隨尺度參數(shù)的增大而增大，而經(jīng)典理論(CT)的固有頻率不隨尺度參數(shù)的增大而變化。這是因?yàn)槌叽缧?yīng)會增加GFRNC微殼的剛度。然而，經(jīng)典殼理論沒有考慮這一效應(yīng)，因此得到了不準(zhǔn)確的結(jié)果。

圖3 無量綱長度尺度參數(shù)l/h對SS-SS GFRNC微殼固有頻率的影響Fig.3 The effect of dimensionless length scale parameter l/h on SS-SS GFRNC microshell natural frequency

不同邊界條件下周向波數(shù)對GFRNC微殼固有頻率的影響如圖4所示。從圖中可以看出，隨著周向波數(shù)的增加，固有頻率先減小后增大。最小固有頻率出現(xiàn)在n=3時(shí)。因此，在接下來的分析中，本文選擇GFRNC微殼的最低模態(tài)(m=1,n=3)作為代表模態(tài)。此外，可以看出GFRNC微殼在SS-SS邊界條件下的固有頻率最低，C-C邊界條件下的固有頻率最高。

圖4 周向波數(shù)n對GFRN微殼固有頻率的影響Fig.4 The effect of circumferential wave number n on GFRN microshell natural frequency

三維石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)對GFRNC微殼固有頻率的影響如圖5所示。結(jié)果表明，隨著三維石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)的增加，其固有頻率也隨之增加?？梢钥闯?，即使在聚合物基體中加入少量的三維石墨烯泡沫，微殼的剛度也能明顯增強(qiáng)。此外，GFRNC-Ⅰ殼的結(jié)構(gòu)剛度頻率最低，而GFRNC-Ⅱ殼的結(jié)構(gòu)剛度頻率最高，說明GFRNC-Ⅰ增強(qiáng)微殼的結(jié)構(gòu)剛度最好。

圖5 不同邊界條件下三維石墨烯質(zhì)量分?jǐn)?shù)WGF對固有頻率的影響Fig.5 Influence of 3D graphene mass fraction WGF on natural frequency under different boundary conditions

圖6給出了不同邊界條件和泡沫系數(shù)對GFRNC微殼固有頻率的影響。結(jié)果表明隨著泡沫系數(shù)的增大，GFRN微殼的固有頻率減小;此外，隨著泡沫系數(shù)的增加，GFRNC-U微殼的固有頻率下降速度快于GFRNC-Ⅱ微殼。最后，除SS-SS邊界條件外，GFRNC-U微殼具有最低的固有頻率。

圖6 不同邊界條件下泡沫系數(shù)κ0對固有頻率的影響Fig.6 Influence of foam coefficient κ0on natural frequency under different boundary conditions

4.3 強(qiáng)迫振動(dòng)

如表6所示，首先進(jìn)行穩(wěn)態(tài)諧波載荷下SS-SS GFRNC微殼中心點(diǎn)振幅收斂性分析。可以看出，當(dāng)截?cái)嘞禂?shù)分別達(dá)到M=75和N=75時(shí)，可以得到很好的收斂效果。因此這些截?cái)嘞禂?shù)將在下面的分析中使用。

表6 SS-SS GFRNC微殼振幅wmax (10-4 m) 的收斂性驗(yàn)證 (x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°,P0=1 000 N,ω1=2×105 rad/s)Table 6 Convergence verification of SS-SS GFRNC microshell amplitude wmax (10-4 m) (x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°,P0=1 000 N,ω1=2×105 rad/s)

圖7為不同泡沫系數(shù)下GFRNC-Ⅰ微殼中心點(diǎn)的頻響曲線，其中x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°和P0=1 000 N。結(jié)果表明，泡沫系數(shù)較大的微殼容易發(fā)生共振，而泡沫系數(shù)較小的微殼不易發(fā)生共振。

圖7 不同三維石墨烯泡沫系數(shù)下的GFRNC-Ⅰ微殼頻響曲線Fig.7 Frequency response curves of GFRNC-Ⅰ microshells with different 3D graphene foam coefficients

不同三維石墨烯泡沫類型的GFRNC微殼中心點(diǎn)的頻響曲線如圖8所示。其中x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°和P0=1 000 N。結(jié)果表明:隨著激勵(lì)頻率的增加，GFRNC-Ⅱ微殼首先發(fā)生共振，而GFRNC-Ⅰ微殼最后發(fā)生共振。這表明增強(qiáng)共振頻率最有效的方法是在近內(nèi)、外表面分布致密三維石墨烯泡沫，在近中平面減少三維石墨烯泡沫。

圖8 不同三維石墨烯泡沫類型的GFRNC微殼頻率響應(yīng)曲線Fig.8 Frequency response curves of GFRNC microshells with different 3D graphene foam types

圖9給出了不同三維石墨烯泡沫重量分?jǐn)?shù)分布下GFRNC微殼中心點(diǎn)的頻響曲線，其中x=L/2,θ=0°,x1=L/2,θ1=0°和P0=1 000 N?？梢钥吹剑哂休^大三維石墨烯泡沫重量分?jǐn)?shù)的微殼更難以共振。因此，三維石墨烯泡沫的加入使微殼結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定。

圖9 不同三維石墨烯泡沫重量分?jǐn)?shù)分布下的GFRNC微殼頻響曲線Fig.9 Frequency response curves of GFRNC microshells with different 3D graphene foam weight fraction distributions

5 結(jié)論

以上通過一種新型的微型武器增強(qiáng)殼體結(jié)構(gòu)模型建立以及進(jìn)行的考慮尺寸效應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析，結(jié)果表明：尺度參數(shù)、三維石墨烯泡沫系數(shù)、分布類型和重量分?jǐn)?shù)對GFRNC微型武器殼體的動(dòng)態(tài)響應(yīng)有著重要的影響。其中固有頻率隨三維石墨烯泡沫重量分?jǐn)?shù)的增加而增大，表明三維石墨烯泡沫能顯著提高GFRNC微殼的力學(xué)性能。此外，固有頻率還隨三維石墨烯泡沫系數(shù)的增大而增大。當(dāng)泡沫系數(shù)較小時(shí)，GFRNC-Ⅰ微殼的頻率最低，而GFRNC-Ⅱ微殼的頻率最高。當(dāng)泡沫系數(shù)較大時(shí)，除SS-SS邊界條件外，GFRNC-U微殼始終具有最低的固有頻率。與此同時(shí)，在GFRNC微型武器殼體的內(nèi)外表面致密化三維石墨烯，并且殼體的中平面減少該含量，具有最好的增強(qiáng)效果。這為三維石墨烯泡沫應(yīng)用于微型武器裝備提供了理論指導(dǎo)和技術(shù)支撐。