史 諾，劉 瓊，李 琦，李 寬

(1.西安航空學院 機械工程學院，西安 710077；2.西安航空學院 計算機學院，西安 710077)

1 引言

液壓馬達是一種將流體壓力能轉化為旋轉機械能的動力設備，廣泛應用于兵器裝備領域[1-2]。相對于柱塞式、葉片式、擺缸式等類型的液壓馬達，非圓行星齒輪液壓馬達在體積、質量、抗油液污染等方面具有顯著優(yōu)勢，其核心是一個無系桿、變中心距的非圓行星齒輪機構[3]。非圓行星齒輪機構的特殊結構在設計過程中受到諸多約束條件的限制，齒廓的生成是設計難點之一[4]。

目前關于非圓齒輪齒廓設計的方法主要有2種，數值計算方法和范成仿真方法。數值計算方法是以共軛嚙合原理或運動關系為基礎計算齒廓坐標的方法，鄭方焱等[5]利用節(jié)曲線的法向量，提出了一種非圓齒輪齒廓的通用算法；劉永平等[6]計算了橢圓齒輪齒廓法線長度從而得出齒廓點坐標數據；牛子孺等[7]構建變比齒廓數字求解模型，將數據點云擬合后獲得變比齒條的齒廓；Li Botao等[8]提出了一種基于Jarvis-March的非圓齒輪齒廓數值計算方法。范成仿真法是從非圓齒輪的加工原理出發(fā)，模擬刀具與齒輪毛坯之間的范成運動，再通過布爾運算求得非圓齒輪齒廓實體的方法，俞高紅等[9]針對共軛凹凸型非圓齒輪，在Pro/E軟件中以主動輪做刀具、從動輪做毛坯生成了從動輪齒廓；丁國龍等[10]在SolidWorks中模擬了齒條刀具對齒扇毛坯的加工過程，實現(xiàn)了非圓齒扇的齒廓設計；Hu Jian等[11]在CATIA中開發(fā)宏程序，進行了切削過程的仿真，獲得變速比齒輪副的齒廓。

數值計算方法的精度高，但是設計算法的難度較大，在工程實際中不易推廣；范成仿真法需要對三維軟件進行二次開發(fā)，程序編制復雜，且會對齒坯形成切除痕跡，導致齒廓的精確度不理想，但是范成仿真法生成齒廓的過程直觀簡捷，若能直接采用合理的方法避免程序編制，同時對齒廓曲線進行光順，就能夠突破范成仿真法的局限性。本研究在分析非圓齒輪范成加工的基礎上，考慮磨削加工提高輪齒精度的原理，綜合應用計算機圖形學中包絡圖形繪制以及圖像平滑技術生成齒廓，旨在能夠高效精準地生成非圓齒輪行星輪系，為非圓齒輪液壓馬達的研究提供技術支撐。

2 非圓齒輪制造過程分析

2.1 范成加工分析

范成法加工齒輪的基本原理是保持刀具和齒輪毛坯之間按無側隙嚙合的運動關系來進行切齒的[12-13]，插齒切削是常見的范成加工方法，針對插齒切削的過程進行分析。

非圓齒輪的插齒切削過程是由切削主運動、徑向進給運動、分齒展成運動合成得到的，如圖1(a)所示，插齒刀在非圓齒輪毛坯的軸線方向上做直線往復運動，輔助讓刀運動，形成切削主運動；在切削主運動過程中，為了達到全齒深度，在徑向方向，插齒刀需做進給運動；非圓齒輪毛坯每自轉一個角度，則插齒刀必須回轉相應的角度，產生分齒展成運動。非圓齒輪的齒廓就是由插齒刀多次切削后所形成的，如圖1(b)所示。插齒加工過程中可以簡化為插齒刀節(jié)圓與非圓齒輪節(jié)曲線進行純滾動，在純滾動過程中，插齒刀在非圓齒輪毛坯上插制出待加工的齒廓形狀，這個過程與計算機圖形學中的包絡極為相似。

圖1 非圓齒輪插齒加工示意圖Fig.1 Schematic diagram of non-circular pinion machining

根據齊次坐標變換方法分析包絡過程。非圓齒輪液壓馬達中的行星齒輪機構，是由太陽輪、內齒圈和行星輪構成，其中太陽輪、內齒圈為非圓齒輪。如圖2(a)所示，以太陽輪毛坯中心為原點建立空間固定坐標系S-Oxy，以插齒刀中心為原點建立坐標系Sd-Odxdyd、Sp-Opxpyp，其中Sp-Opxpyp與插齒刀固連，在插齒刀自轉的過程中，Sp-Opxpyp隨之旋轉，Sd-Odxdyd是隨動坐標系，其xd軸、yd軸一直與S-Oxy的x軸、y軸平行。插齒刀沿太陽輪節(jié)曲線的逆時針方向滾動，在初始位置1處，Sd-Odxdyd、Sp-Opxpyp完全重合，當插齒刀由初始位置1滾動至位置2時，Sp-Opxpyp相對于Sd-Odxdyd轉過了φ角。插齒刀齒廓是由建立在Sp-Opxpyp下的方程決定的，將Sp-Opxpyp下的坐標旋轉φ角可得到Sd-Odxdyd下的坐標，表示為

(1)

將Sd-Odxdyd下的坐標平移可得到S-Oxy下的坐標，假設O1點在S-Oxy中的坐標為(xd,yd)，表示為

(2)

則插齒刀齒廓在Sp-Opxpyp下的坐標(xp,yp)經過2次變換矩陣可轉換為S-Oxy下的坐標(x,y)，表示為

(3)

每前進一個步進角φ，計算一次插齒刀齒廓在S-Oxy下的坐標，將每一個計算步的圖形疊加在一起形成非圓齒輪齒廓的包絡圖形，步進角φ越小，則包絡的精度越高。

根據式(3)可知，獲得包絡圖需要明晰Od點在S-Oxy中的坐標(xd,yd)以及插齒刀齒廓在Sp-Opxpyp下的坐標 (xp,yp)。動點Od形成了插齒刀中心軌跡，插齒刀中心軌跡是太陽輪節(jié)曲線的法向等距線，獲得太陽輪的節(jié)曲線就可得到(xd,yd)，對于插齒刀齒廓坐標(xp,yp)而言，構建齒廓方程即可獲得。對于內齒圈而言，包絡圖形的獲取途徑與太陽輪相同，如圖2(b)所示。

圖2 非圓齒輪齒廓包絡線形成原理Fig.2 Forming principle of tooth profile envelope of non-circular gear

2.2 磨削加工分析

插齒加工完成后，為了提高齒輪精度和齒面粗糙度，可以對齒形進行精加工，利用砂輪磨削輪齒是一種代表性的精加工方法。非圓齒輪的磨削可以采用多軸聯(lián)動的方式進行，如圖3所示，砂輪繞著自身的軸線高速旋轉，并沿著齒寬方向往復移動，形成磨削的主運動；非圓齒輪在水平面上的兩個方向平移，保持齒廓與砂輪的相切，完成展成運動；磨削完一個齒槽后，非圓齒輪旋轉一定的角度，將砂輪切換到下一個齒槽中，實現(xiàn)分度運動。非圓齒輪的磨削過程復雜，若采用齊次坐標變換方法模擬磨削過程來優(yōu)化齒廓的方法效率較低，可以更換思路，從磨削原理出發(fā)來探索齒廓優(yōu)化的方法。

圖3 非圓齒輪磨削示意圖Fig.3 Schematic diagram of grinding non-circular gear

磨削是砂輪磨粒對齒面擠壓、刻劃、切削、摩擦拋光的綜合作用，從垂直于軸線的平面上來看，磨削的本質是將范成加工在齒廓上形成的大量微線段進行了平滑處理。在計算機圖形學中，非均勻有理B樣條(NURBS)是曲線造型的數學基礎，其表達式為：

(4)

式中：Bi,k(u)為k次B樣條基函數；Wi為權重系數；V1為控制頂點。

從包絡圖形中提取的非圓齒輪齒廓存在多段微小的NURBS曲線，造成了齒廓曲率的不連續(xù)，在給定誤差的條件下，通過導入或創(chuàng)建的型值點來插值曲線，把分段曲線連接成光順相切的曲線，從而提高齒廓精度，改善傳動質量。

3 三維數字化建模過程

3.1 包絡圖形的繪制

3.1.1節(jié)曲線的數值計算

太陽輪節(jié)曲線邊數是n1，內齒圈的節(jié)曲線邊數是n3，一般采用的組合有2-3型、2-4型、3-4型、3-5型、4-5型、4-6型、5-6型、5-7型等[14]，以4-6型為例進行計算，即太陽輪節(jié)曲線的邊數是4、內齒圈的節(jié)曲線邊數是6。太陽輪齒數z1、行星輪齒數z2、內齒圈齒數z3之間的關系為：

(5)

10≤z2<0.5(z3-z1)

(6)

計算得到的非圓行星齒輪機構基本參數如表1所示。

表1 非圓行星齒輪機構基本參數Table 1 Basic parameters of non-circular planetary gear mechanism

非圓行星輪系的基本運動關系如圖4所示，r1、r2、r3分別是太陽輪節(jié)曲線、行星輪節(jié)圓、內齒圈節(jié)曲線對應的向徑，θ1、θ3分別是太陽輪、內齒圈所對應的極角，ω1、ω2、ω3分別是太陽輪、行星輪、內齒圈所對應的瞬時角速度，e、f分別是行星輪節(jié)圓與太陽輪節(jié)曲線、內齒圈節(jié)曲線的切點，μ1是m點處太陽輪節(jié)曲線切向的正方向與向徑r1的夾角，μ2是m點處內齒圈節(jié)曲線切向的正方向與向徑r3的夾角。在非圓行星輪系當中，行星輪與太陽輪嚙合時的節(jié)圓，和行星輪與內齒圈嚙合時的節(jié)圓可以是不同的，若如圖4所示的2個節(jié)圓是同一個圓時，μ1、μ2相等。

圖4 基本運動關系Fig.4 Basic motion relationship

太陽輪的節(jié)曲線是高階橢圓齒輪，其節(jié)曲線方程為：

(7)

式中：k為偏心率；θ1為極角；A為長軸半徑。太陽輪與內齒圈的節(jié)曲線封閉條件為：

(8)

由微分幾何可知：

(9)

太陽輪與內齒圈的輪齒均布條件為：

(10)

根據非圓行星輪系的基本運動關系，內齒圈的節(jié)曲線方程為：

(11)

非圓行星齒輪機構在運行過程中不產生運動干涉的條件為：

一般情況下，使用壽命較長的溫室，頂部覆蓋材料是5 mm的鋼化玻璃，四周采用的是（5+6+5）mm的中空玻璃，隔墻使用5 mm的鋼化玻璃。鋼化玻璃的透光率要在85%以上，才能符合溫室玻璃質量要求。溫室的玻璃都是用專門的鋁合金材料固定在一起，鋁合金和玻璃之間的密封膠條則是采用的專業(yè)抗老化、密封性極好的橡膠條。

r3min≥r1max+2ha

(12)

聯(lián)立方程(7)～式(10)計算太陽輪節(jié)曲線數據，再通過方程式(11)求出內齒圈節(jié)曲線數據，代入方程式(12)中進行校驗，得到節(jié)曲線的數值解，將節(jié)曲線的數值導入UG NX中，采用三次樣條曲線進行擬合，得到的太陽輪、內齒圈節(jié)曲線如圖5所示。

圖5 太陽輪、內齒圈節(jié)曲線Fig.5 Pitch curve of a sun wheel and its annulargear

3.1.2插齒刀齒廓的確定

漸開線齒形是非圓齒輪最常見的齒形，但是漸開線齒廓在齒根處采用過渡圓角，受載時彎曲應力較大，為了提高非圓齒輪的嚙合傳動性能，近年來出現(xiàn)了很多新型齒廓形式。正弦曲線的上半部分為凸曲線，下半部分為凹曲線，且具有一定程度的可分性，符合齒條輪廓的基本要求[15]，如圖6(a)所示。以正弦曲線作為齒廓的齒條刀具生成的齒輪具有較高的彎曲強度，本研究中嘗試采用正弦曲線齒廓的插齒刀形成非圓齒輪的實體模型，由于內齒圈無法采用齒條型刀具進行加工，因此將正弦曲線環(huán)形折彎后變成圓柱型插齒刀具，如圖6(b)所示。

圖6 插齒刀齒廓Fig.6 Profile of a gear shaper

在坐標系S3-O3x3y3中繪制正弦線，其方程為

y3=hsin(bx3)

(12)

式中:h為正弦線的振幅，也即插齒刀的齒頂(根)高，mm，取值為2.5；b為常數，取值為1。

將橫軸x3繞成一個圓，形成插齒刀節(jié)圓，則插齒刀的一個齒距是一個完整的正弦線周期，在坐標系S1-O1x1y1下，插齒刀的齒廓方程為：

(13)

式中：m0為插齒刀的模數，mm，取值為2；z0為插齒刀的齒數，取值為10；t為變量，變化范圍為0～1。

3.1.3包絡過程的實現(xiàn)

在建模模塊中，將太陽輪的節(jié)曲線偏移一個齒頂高的距離形成齒頂曲線并進行拉伸，形成太陽輪齒坯實體；對于插齒刀齒廓圖形同樣進行拉伸操作，形成插齒刀實體。

在裝配模塊中，調入太陽輪齒坯實體與插齒刀實體，選擇合理的切削起始位置，將兩者進行裝配，特別需要注意的是插齒刀節(jié)圓需要與太陽輪節(jié)曲線相切。此外，還需要在裝配模塊中用草圖方式創(chuàng)建一個輔助連桿，便于在范成過程中控制插齒刀的運動。

在運動仿真模塊中，將裝配好的模型按照定義運動體—建立運動副—創(chuàng)設約束—添加追蹤—計算求解的步驟進行。建立運動副與創(chuàng)設約束是其中的關鍵步驟，不僅需要在輔助連桿上施加旋轉副，而且需要在插齒刀節(jié)圓與太陽輪節(jié)曲線設置線在線上副，在插齒刀節(jié)圓圓心與輔助連桿之間設置點在線上副。在計算過程中，系統(tǒng)追蹤每一個計算步得到的插齒刀位置，并進行備份，形成了內齒圈齒廓的包絡圖形。綜合考慮齒廓精度與計算機的運算能力，設置計算步為300，內齒圈的范成仿真計算結果如圖7所示。

圖7 太陽輪的包絡圖Fig.7 Envelope diagram of sun wheel

內齒圈的范成過程與太陽輪相同，仿真計算結果如圖8所示。

圖8 內齒圈的包絡圖Fig.8 Envelope diagram of annulargear

3.2 齒廓曲線的光順

依據計算機圖形學中的圖像平滑原理，進行齒廓曲線的光順。利用提升體命令生成的內齒圈及太陽輪實體模型上存在范成過程仿真形成的切削痕跡，在UG NX軟件平臺上，無法直接對齒廓曲面進行優(yōu)化，因此將太陽輪、內齒圈進行正投影，得到齒廓曲線，通過對齒廓曲線的優(yōu)化來達到的目的，正投影效果如圖9所示。

圖9 正投影效果Fig.9 Positive projection effect

采用光順曲線串的命令來處理齒廓曲線，光順曲線串是光順樣條+連結曲線+曲率圓角的組合體命令，通過對角度閾值、距離閾值的控制，使NURBS曲線二階連續(xù)。對齒廓曲線光順后，得到優(yōu)化后的齒廓曲線，如圖10所示，與光順之前的齒廓曲線進行對比，可以明顯看出，范成后形成的齒廓曲線上存在局部曲率的驟增或驟降現(xiàn)象，表面形貌上有明顯的接茬，而優(yōu)化后的齒廓曲線避免了曲率的急劇過渡和突然變化，將優(yōu)化后的齒廓曲線拉伸后得到的曲面比較光滑，表面質量得到顯著改善。

圖10 齒廓光順效果Fig.10 Smoothing effect of gear tooth profile

4 仿真驗證

行星輪的齒廓與插齒刀相同，只是齒全高存在變化，將插齒刀的齒頂去除一部分即可實現(xiàn)行星輪的三維模型創(chuàng)建。將內齒圈、太陽輪、行星輪進行裝配，形成非圓齒輪行星輪系。

在UG NX軟件平臺中設置行星輪與太陽輪之間、行星輪與內齒圈之間的運動關系為3D接觸，令內齒圈靜止不動，太陽輪的角速度為120(°)/s，模擬非圓齒輪行星輪系的運行過程。行星輪與太陽輪、內齒圈組成密閉腔容積每變化一個周期，太陽輪的轉動角為：

(14)

在當前的結構條件和仿真條件下，太陽輪的轉動角為150°，密閉腔容積的變化周期為1.25 s。以行星輪1、2為觀察對象，如圖11所示，可以明顯看出行星輪1、2與太陽輪、內齒圈組成封閉區(qū)域面積不斷發(fā)生變化，對封閉區(qū)域面積進行測量，測量結果如圖12所示，0 s時封閉區(qū)域面積為320.65 mm2，在運行過程中封閉區(qū)域面積從大變小，再從小到大，到達頂峰后又開始回落，1.25 s時封閉區(qū)域面積又回到了0 s時的初始狀態(tài)，以此循環(huán)往復，這種現(xiàn)象與非圓齒輪液壓馬達的工作過程是相同的。

圖11 非圓齒輪行星輪系運行過程Fig.11 Operating process of planetary gear train with non-circular gears

圖12 封閉區(qū)域面積Fig.12 Area of enclosed area

太陽輪旋轉1周，封閉區(qū)域面積的變化次數為：

(15)

為了分析整周期條件下的行星輪運動規(guī)律，令太陽輪旋轉2.5周，即設置仿真時間為7.5 s，在仿真運行過程中，行星輪與太陽輪及內齒圈的輪齒逐一嚙合，沒有干涉現(xiàn)象的發(fā)生，輸出角速度曲線進行分析，如圖13所示，行星輪的角速度呈現(xiàn)出明顯的周期性變化，根據基本運動關系，行星輪角速度ω2與太陽輪角速度ω1之間存在關系式：

圖13 行星輪與太陽輪的角速度Fig.13 Angular velocity of planetary and solar wheels

(16)

式中，角度α1、α′的幾何意義在圖4中標出。

將行星輪的角速度曲線與式(16)進行對比，其變化趨勢與理論分析是一致的，但是行星輪角速度曲線存在一定程度的波動，造成這種現(xiàn)象的原因主要有2個，一是輪齒嚙合的動態(tài)激勵，二是非圓齒輪的變速運動特性形成的振動脈沖，存在角速度的波動屬于齒輪傳動過程中的正常現(xiàn)象。

5 結論

1) 以非圓齒輪的范成加工過程為理論依據，利用UG NX軟件平臺的運動仿真功能實現(xiàn)太陽輪、內齒圈的插齒包絡圖形繪制，在此基礎上根據磨削加工原理，采用計算機圖形學中的圖像平滑方法光順曲線串可以消除插齒切削痕跡，提高齒廓質量。

2) 4-6型非圓行星齒輪機構在太陽輪齒數為44、行星輪齒數為10、內齒圈齒數為66、齒輪模數為2 mm的結構條件下，令太陽輪的角速度為120(°)/s進行仿真計算，計算結果表明2個行星輪與太陽輪、內齒圈之間的封閉區(qū)域面積在0 s時為320.65 mm2，在運行過程中封閉區(qū)域面積從大變小，再從小到大，1.25 s時又回到了初始狀態(tài)，以此循環(huán)往復，且行星輪角速度呈現(xiàn)出明顯的周期性變化，與非圓齒輪液壓馬達的運行情況相符。

3) 使用運動仿真與光順曲線串的功能生成齒廓的過程直觀、結果準確，更換節(jié)曲線數據及插齒刀齒廓方程后，即可生成不同規(guī)格、不同類型的非圓齒輪行星輪系，可快速實現(xiàn)系列化、變異化設計，為非圓齒輪液壓馬達的設計提供一種新的思路與實施途徑。