高衛(wèi)港，王 鼎，張鉞洋，李 愷，呂 靜

(1.解放軍信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院，鄭州 450001；2.中國(guó)人民解放軍95851部隊(duì),上海 200137；3.中國(guó)人民解放軍61416部隊(duì)，北京 100091)

0 引 言

基于陣列的方位估計(jì)問(wèn)題是近幾十年來(lái)信號(hào)處理的重要研究課題之一，不管是軍用還是民用方面都展現(xiàn)了巨大的潛力[1-2]，如雷達(dá)、通信等。在傳統(tǒng)的波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)估計(jì)技術(shù)中，子空間類算法[3-5]因其高分辨性能受到了廣泛的關(guān)注，代表性算法為MUSIC算法。然而，只有快拍數(shù)足夠大時(shí)，子空間類算法才能保持高分辨性能，如果信號(hào)因多徑等原因產(chǎn)生高度相關(guān)時(shí)，子空間類算法性能也不好。20世紀(jì)90年代出現(xiàn)的加權(quán)子空間擬合算法是一種參數(shù)化的DOA估計(jì)方法，原理簡(jiǎn)單且具有較高的精度，因在信號(hào)源相關(guān)時(shí)有良好的表現(xiàn)而備受關(guān)注[6-7]。

近年來(lái)，稀疏重構(gòu)與壓縮感知理論的相關(guān)研究使得DOA估計(jì)技術(shù)也得到了一定的發(fā)展[8-10]，大致分為兩類：基于Lp范數(shù)[11]和稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)[12-16]。已有文獻(xiàn)研究表明，和基于Lp范數(shù)的算法相比，稀疏貝葉斯算法具有更小的收斂誤差。另外，當(dāng)來(lái)波信號(hào)相關(guān)性很高時(shí)，稀疏貝葉斯算法仍能保持不錯(cuò)的性能[17]。出色的DOA估計(jì)性能取決于一個(gè)假設(shè)，即信號(hào)的入射方向與預(yù)定義的空間網(wǎng)格完全重合，但這在實(shí)際中是不可能的，這就會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)格失配問(wèn)題。若減小網(wǎng)格間距，則會(huì)增大計(jì)算復(fù)雜度；若加大網(wǎng)格間距，估計(jì)性能便會(huì)下降。目前，研究者提出了一些改進(jìn)的方法來(lái)解決網(wǎng)格失配問(wèn)題[18-21]：文獻(xiàn)[18]采用一階泰勒模型對(duì)真實(shí)的DOA進(jìn)行線性逼近，提出了一種稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sparse Bayesian Learning,SBL)方法，有效解決了網(wǎng)格失配問(wèn)題；文獻(xiàn)[19]利用樣本協(xié)方差矩陣，進(jìn)一步提出了改進(jìn)的離格SBL方法來(lái)減小噪聲方差對(duì)DOA估計(jì)的影響；文獻(xiàn)[20]通過(guò)使用相鄰的兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，提出了一種線性插值的方法對(duì)真實(shí)方向進(jìn)行逼近；針對(duì)文獻(xiàn)[19-20]方法復(fù)雜度較高的問(wèn)題，為了提高在粗網(wǎng)格情況下的精度，文獻(xiàn)[21]提出了一種基于動(dòng)態(tài)網(wǎng)格的求根SBL算法。

本文通過(guò)將來(lái)波信號(hào)的空域稀疏性引入加權(quán)子空間擬合算法中，建立離格模型以減小空域網(wǎng)格劃分時(shí)引入的誤差，利用稀疏貝葉斯壓縮感知算法進(jìn)行求解，提出了離格稀疏貝葉斯子空間擬合(Off-grid Sparse Bayesian Learning-weighted Subspace Fitting,OGSBL-WSF)波達(dá)方向估計(jì)算法。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)算法以及非離格模型相比，本文算法具有更高的空間分辨率，且在信號(hào)相關(guān)時(shí)仍能保持良好的特性[22]。

1 信號(hào)子空間擬合

本文假設(shè)有一L元均勻線陣并接收近似為平面波的M個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，其中M

y(t)=A(θ)s(t)+e(t),t=1,2,…,N。

(1)

式中：y(t)=[y1(t),y2(t),…,yL(t)]T；θ=[θ1,θ2,…,θM]T；s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T和e(t)=[e1(t),e2(t),…,eL(t)]T分別是第m個(gè)傳感器在時(shí)間t時(shí)的輸出與測(cè)量噪聲，e(t)是與信號(hào)之間相互獨(dú)立、服從高斯分布的白噪聲；A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θM)]包含了不同來(lái)波方向的信號(hào)的導(dǎo)向矢量，其中al(θm)中包含著第m個(gè)信號(hào)入射到第L個(gè)陣列與參考陣列之間的相位差信息。接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣如下所示：

(2)

(3)

Us=A(θ)T。

(4)

由公式(3)根據(jù)信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交關(guān)系可以得到

(5)

即

(6)

(7)

但是，實(shí)際中由于陣列存在各種誤差以及多徑等因素的影響，信號(hào)子空間與陣列流型張成的子空間在嚴(yán)格意義上并不相等，所以式(7)并不成立。為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以構(gòu)造一個(gè)最小二乘意義下的擬合關(guān)系：

(8)

在上式中關(guān)心的參數(shù)是θ，所以T對(duì)本文來(lái)講僅僅是一個(gè)輔助變量，固定A便可以得到T的最小二乘解：

T=(AH(θ)A(θ))-1AH(θ)UsW=A+(θ)UsW。

(9)

將式(9)代入到式(8)中，可以得到

(10)

2 離格貝葉斯壓縮感知子空間擬合

2.1 模型構(gòu)造

本節(jié)將離格貝葉斯壓縮感知引入到加權(quán)子空間擬合中，將信號(hào)子空間擬合問(wèn)題建模為多測(cè)量值稀疏重構(gòu)問(wèn)題。因?yàn)樵肼暤拇嬖冢虼藢⑹?4)中信號(hào)子空間與陣列流型構(gòu)成的空間之間的關(guān)系重新定義為

(11)

a(θm)≈a(θnm)+b(θnm)(θm-θnm)。

(12)

(13)

(14)

與此同時(shí)，式(1)的觀測(cè)模型也可以更改如下：

y(t)=Φ(β)s(t)+e(t)，t=1,2,…,N。

(15)

需要注意的是，當(dāng)式(15)中β設(shè)置為0時(shí)，其與式(1)等價(jià)。實(shí)際上，本文采用的離格模型可以視為真實(shí)模型的一階泰勒展開，而式(1)則可以認(rèn)為是零階展開。因此，離格模型的建模誤差要小得多。這樣帶來(lái)的好處主要有以下兩點(diǎn)：一是如果空域劃分網(wǎng)格時(shí)采用的網(wǎng)格數(shù)相同，離格模型具有較高的精確度；二是如果在相同的精確度情況下，離格模型可以采用較粗的采樣網(wǎng)格，從而降低了運(yùn)算的復(fù)雜度。

2.2 離格稀疏貝葉斯模型求解

2.2.1 稀疏貝葉斯公式

(1)噪聲模型

前文中假設(shè)噪聲是服從零均值高斯分布的，所以有

(16)

(17)

所以有

(18)

在本文中，假設(shè)噪聲精度α0是未知的，并假設(shè)α0服從Gamma超先驗(yàn)，因?yàn)樗歉咚狗植嫉囊粋€(gè)共軛先驗(yàn)：

p(α0;c,d)=Γ(α0|c,d) 。

(19)

(2)稀疏信號(hào)模型

(20)

(21)

(3)離格距離模型

本文中對(duì)β做一個(gè)均勻的先驗(yàn)假設(shè)：

(22)

β的先驗(yàn)分布只提供有界性，結(jié)合分層貝葉斯模型的兩級(jí)，可以得到聯(lián)合的概率密度函數(shù)為

(23)

上式中的右側(cè)分別由式(18)、(20)、(21)、(19)、(22)給定。

2.2.2 基于離格模型的稀疏貝葉斯重構(gòu)

(24)

式中：

(25)

Σ=(α0ΦHΦ+Λ-1)-1。

(26)

(27)

(28)

Tr{(A+Bdiag(β))Σ(A+Bdiag(β))H}=

βTPβ-2vTβ+C。

(29)

式中：C是與β相關(guān)獨(dú)立的常數(shù)項(xiàng)；P是一個(gè)半正定矩陣，

(30)

R{diag(BHAΣ)}。

(31)

式(29)中，β的更新公式為

(32)

(33)

算法步驟如下：

Step1 初始化參數(shù)α,α0,β。

Step2 根據(jù)α,α0,β,分別通過(guò)式(25)和式(26)計(jì)算μ和Σ。

Step3 利用μ和Σ，分別通過(guò)式(27)、式(28)和式(33)更新α,α0,β。

Step4 判斷循環(huán)是否達(dá)到了停止條件(包括停止閾值和最大迭代次數(shù))，若不滿足，繼續(xù)重復(fù)執(zhí)行上述過(guò)程。

3 仿真與分析

3.1 不同劃分間隔對(duì)算法的影響

本節(jié)仿真中設(shè)置陣列為8元等距線陣，陣元間距是來(lái)波信號(hào)波長(zhǎng)的一半。快拍數(shù)為200，信號(hào)的來(lái)波方向?yàn)閇60.3° 88.6°]，信噪比為-6～12 dB，網(wǎng)格間隔分別為δ=1°，2°，3°。DOA估計(jì)的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)定義如下：

(34)

停止閾值τ=10-3，最大迭代次數(shù)為1 000。該算法對(duì)α0,α和β的初始值不敏感，在ρ的值不大的情況下，算法對(duì)ρ值也不敏感。仿真結(jié)果如圖1～3所示。

圖1 不同劃分間隔時(shí)的空間譜圖

圖2 不同間隔時(shí)均方根誤差隨信噪比的變化

圖3 不同角度間隔時(shí)運(yùn)行時(shí)間

由圖1～3可知，本文算法對(duì)方位估計(jì)有很好的效果，不過(guò)減小網(wǎng)格間隔仍然可以進(jìn)一步得到比較高的分辨率，但是不可避免地會(huì)增加運(yùn)算的復(fù)雜度。所以在實(shí)際中，網(wǎng)格間隔和運(yùn)算復(fù)雜度也是需要仔細(xì)考慮權(quán)衡的一個(gè)參數(shù)，根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)折中考慮運(yùn)算復(fù)雜度和測(cè)量精度。本文在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中選擇網(wǎng)格間隔δ=2°。

3.2 不同條件下的空間譜對(duì)比

將本文算法與MUSIC算法和文獻(xiàn)[21]算法進(jìn)行對(duì)比。入射角度為20.8°，快拍數(shù)為50，陣元數(shù)為10，陣元間距為半波長(zhǎng)，在信噪比為-2～16 dB時(shí)，不同算法之間的測(cè)向精度，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同算法均方根誤差隨信噪比的變化

采樣間隔為1°～6°，以0.5°為步長(zhǎng)，文獻(xiàn)[21]算法與本文算法的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 RootSBL與本文算法性能隨采樣間隔的變化

由圖4和圖5可知，相對(duì)于傳統(tǒng)的子空間類測(cè)向算法，稀疏貝葉斯類算法測(cè)向精度實(shí)驗(yàn)更高。本文算法將子空間擬合引入貝葉斯壓縮感知中，提高了對(duì)噪聲的魯棒性，在高信噪比時(shí)，測(cè)向精度與文獻(xiàn)[21]算法精度相當(dāng)，但是當(dāng)采樣間隔變大時(shí)，文獻(xiàn)[21]算法依然能保持較高的精確度。子空間擬合技術(shù)在采樣間隔這個(gè)指標(biāo)上并沒(méi)有帶來(lái)相應(yīng)的性能改善，這與子空間擬合技術(shù)所帶來(lái)的優(yōu)點(diǎn)是相符的。

3.3 相干信號(hào)對(duì)算法的影響

眾所周知，在MUSIC算法中，當(dāng)信號(hào)源之間相關(guān)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致信號(hào)子空間維度小于信號(hào)源數(shù)，信號(hào)子空間“擴(kuò)散”到了噪聲子空間，導(dǎo)致子空間之間不完全正交，從而無(wú)法估計(jì)來(lái)波方向，但是基于壓縮感知的算法則對(duì)相干信號(hào)源的方位估計(jì)有很好的性能。設(shè)置兩個(gè)相干信源分別從[40.3° 68.6°]入射到陣列，信噪比設(shè)置為10 dB，快拍數(shù)設(shè)置為200，其余條件與上文相同，仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 相干信號(hào)空間譜

圖7 均方根誤差隨相關(guān)系數(shù)的變化

從圖6可以看出，當(dāng)信號(hào)相干時(shí)，MUSIC算法完全失效，其余兩種算法出現(xiàn)了一定的誤差，但是仍能指示信號(hào)的方向。由圖7可知，當(dāng)信號(hào)之間存在相關(guān)性時(shí)，各種算法的性能均會(huì)出現(xiàn)惡化，但本文算法仍具有一定的優(yōu)勢(shì)；當(dāng)信號(hào)完全相干時(shí)，算法的性能均會(huì)出現(xiàn)迅速下降。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)在子空間擬合算法中引入稀疏貝葉斯壓縮感知，將方位估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)未知參數(shù)的估計(jì)，避免了進(jìn)行多維非線性優(yōu)化。同時(shí)采用了離格模型，減小了空域劃分時(shí)間隔所帶來(lái)的誤差，使得模型更符合實(shí)際，方位估計(jì)精度進(jìn)一步提高。

本文所提算法需要對(duì)空域進(jìn)行劃分來(lái)構(gòu)建稀疏性，由于采用實(shí)際導(dǎo)向矢量的一階泰勒展開的離格模型，所以在劃分間隔分別為δ=1°，2°，3°時(shí)，測(cè)向精度都能得到保證，但是當(dāng)劃分間隔較密時(shí)，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)行時(shí)間變長(zhǎng)。此外，本文算法具有一定的解相關(guān)能力，不過(guò)當(dāng)信號(hào)之間完全相干時(shí)，算法會(huì)出現(xiàn)較大程度的惡化。