羅 睿，李 鵬，于玲燕

（1.北京航天控制儀器研究所，北京 100039；2.北京航天時(shí)代激光導(dǎo)航技術(shù)有限責(zé)任公司，北京 100094）

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)可以自主提供姿態(tài)、速度和位置信息，而慣性測量組件（以下簡稱慣組）是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的核心組成部分[1,2]。目前，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在航天、航空和軍事領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的精度直接關(guān)系到航天器和武器裝備的使用效能，慣組標(biāo)定精度的高低對導(dǎo)航精度有直接影響。慣組誤差包括確定性誤差和隨機(jī)誤差兩部分，其中確定性誤差是捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)最主要的誤差源。因此，在慣組使用前必須通過標(biāo)定試驗(yàn)確定慣組的各項(xiàng)誤差參數(shù)，并進(jìn)行補(bǔ)償[3]。

在日益復(fù)雜的使用環(huán)境下，要求慣導(dǎo)系統(tǒng)在達(dá)到一定精度的同時(shí)，還要具備高可靠性[4]。器件級冗余技術(shù)是目前常用的提高系統(tǒng)可靠性的方法。未使用冗余技術(shù)的慣組在有一個慣性器件損壞時(shí)，整機(jī)功能就會失效[5,6]，而使用了器件級冗余的慣組通常包含3 個以上的陀螺和加表，當(dāng)遇到同樣的情況時(shí)，慣導(dǎo)系統(tǒng)仍可正常工作[7]。但這也給標(biāo)定帶來了新的問題。

文獻(xiàn)[8]中提到的標(biāo)定方法僅適用于正交配置的3陀螺、3 加表捷聯(lián)慣組。文獻(xiàn)[9-11]中采用安裝誤差來描述敏感軸，且安裝誤差陣對角線元素為1，難以較好地描述斜置敏感軸的空間位置。而文獻(xiàn)[12]中提出的冗余慣組標(biāo)定方法未考慮加表不對稱誤差的影響，會降低慣性導(dǎo)航系統(tǒng)動態(tài)導(dǎo)航性能。

本文對冗余結(jié)構(gòu)激光慣組建立了數(shù)學(xué)模型，考慮加表不對稱誤差影響，采用12 位置法和速率法，通過迭代求解提高加速度計(jì)的正負(fù)刻度因數(shù)及零偏的標(biāo)定精度，得到陀螺和加速度計(jì)的零偏、安裝誤差、刻度因數(shù)等參數(shù)，提高了慣性導(dǎo)航系統(tǒng)動態(tài)導(dǎo)航性能。

1 冗余激光捷聯(lián)慣組標(biāo)定模型

冗余激光捷聯(lián)慣組通常采用如圖1-2所示的方式配置。如圖1所示的12 表冗余慣組包含6 個陀螺儀和6 只加表，6 個敏感軸依次排列在以x 軸為對稱軸的圓錐的母線上，且間隔的角度相等，是一種圓錐形配置的冗余捷聯(lián)慣組。在任意2 個敏感軸失效的情況下仍能算得X、Y、Z 軸上的角速度和加速度，并進(jìn)行導(dǎo)航解算。

圖1 圓錐形配置的12 表冗余慣組Fig.1 12-sensor redundant IMU in a conical configuration

如圖2所示的10 表冗余慣組包含5 個陀螺儀和5只加表是一種“正交+斜置”方式配置的冗余捷聯(lián)慣組，S 軸與X、Y、Z 三個敏感軸均成54.74°夾角，T 軸與S 軸關(guān)于平面YOZ 對稱。在任意1 個敏感軸失效的情況下仍能算得X、Y、Z 軸上的角速度和加速度，并進(jìn)行導(dǎo)航解算。

圖2 “正交+斜置”方式配置的10 表冗余慣組Fig.2 10-sensor redundant IMU in a ‘orthogonal+incline’configuration

工程上一般使用一階線性方程來描述激光陀螺儀和石英撓性加速度計(jì)的誤差模型。圓錐配置使得所有器件的敏感軸均不與坐標(biāo)軸重合，故需使用各慣性器件的敏感軸在載體坐標(biāo)系b 系中的方向余弦來描述各慣性器件安裝關(guān)系。

由于激光陀螺對載體運(yùn)動的加速度不敏感，可在陀螺的輸入輸出模型中忽略加速度項(xiàng)。則可將其描述為

其中，G為陀螺脈沖輸出，為陀螺刻度因數(shù)，為陀螺安裝關(guān)系矩陣，為輸入?yún)⒖冀撬俣?，ε為陀螺零偏?/p>

與陀螺相似，忽略加速度計(jì)二次項(xiàng)系數(shù)，加速度計(jì)輸入輸出模型可表示為

其中，A+為加表正脈沖輸出，A-為加表負(fù)脈沖輸出，為加表正刻度因數(shù)，為加表負(fù)刻度因數(shù)，為加表安裝關(guān)系矩陣，為正輸入?yún)⒖急攘?，為?fù)輸入?yún)⒖急攘Γ?為加表零偏。

2 標(biāo)定路徑編排

合理的標(biāo)定路徑編排可有效激勵各項(xiàng)誤差參數(shù)[13]。位置實(shí)驗(yàn)采用12 位置法，在不具備北向基準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)室仍可使用，只是位置間的轉(zhuǎn)動須為90°的整數(shù)倍，這樣各位置的輸入角速率可互相抵消。假設(shè)轉(zhuǎn)臺已調(diào)平，初始位置與北向夾角為一未知角度α（規(guī)定北偏西時(shí)，α＞0），表1 是本文采用的一組12 位置，其中的東、西、南、北均為近似指向。其中輸入比力(fx,fy,fz)的單位為重力加速度g，輸入角速率(ωx,ωy,ωz)的單位為rad/s，為簡化表示，將地球自轉(zhuǎn)的北向分量ωiecosL記為ΩN，將其天向分量ωiesinL記為ΩU。

表1 12 位置編排Tab.1 12 position orchestration

速率實(shí)驗(yàn)采用三軸正反轉(zhuǎn)速率實(shí)驗(yàn)，在相同時(shí)間內(nèi)分別繞載體系的X、Y、Z 軸正反轉(zhuǎn)3 圈，正反轉(zhuǎn)時(shí)間t 相同，其中的東、西、南、北均為近似指向，具體編排如下：

初始位置為上東北，繞X 軸正反各旋轉(zhuǎn)3 圈；

初始位置為南上西，繞Y 軸正反各旋轉(zhuǎn)3 圈；

初始位置為北西上，繞Z 軸正反各旋轉(zhuǎn)3 圈。

3 標(biāo)定參數(shù)計(jì)算

3.1 加表參數(shù)計(jì)算

設(shè)每個位置停留時(shí)間為t，第j個位置第i個加表的脈沖輸出總和為Aji，fu為沿天向的比力輸入，單位為g，Eaxi、Eayi和Eazi為i 軸方向余弦?？紤]到不同配置方式下加表可能是正刻度因數(shù)也可能是負(fù)刻度因數(shù)，表 1所示各位置加表脈沖數(shù)為：A1i=(K1Eaxi fu+K1?i)t，A2i=(K1Eaxifu+K1?i)t，A3i= (-K2Eaxifu+K2?i)t，A4i= (-K2Eaxi fu+K2?i)t，A5i=(K3Eayi fu+K3?i)t，A6i=(K3Eayi fu+K3?i)t，A7i= (-K4Eayifu+K4?i)t，A8i= (-K4Eayi fu+K4?i)t，A9i=(K5Eazi fu+K5?i)t，A10i=(K5Eazifu+K5?i)t，A11i= (-K6Eazifu+K6?i)t，A12i= (-K6Eazifu+K6?i)t。

其中K1與K2不同時(shí)為正或負(fù)刻度因數(shù)，即K1=Kai+時(shí)，K2=Kai-；K1=Kai-時(shí)，K2=Kai+。K3與K4以及K5與K6有類似的互斥關(guān)系，且K1與K2、K3與K4以及K5與K6三組之間互不影響正或負(fù)刻度因數(shù)的取值。

將上述12 式兩兩相加可得：

將式(3)減去式(4)、式(5)減去式(6)、式(7)減去式(8)整理可得：

3.1.1 常用標(biāo)定方法及其缺陷

常用標(biāo)定方法先假設(shè)式(9)-(11)中的（K1-K2）?i、（K3-K4）?i和（K5-K6）?i三項(xiàng)可以忽略，由此先求出平均刻度因數(shù)，這三項(xiàng)下文簡稱為加表不對稱誤差。

并由此求出安裝關(guān)系：

最后求出該軸加表的零偏：

根據(jù)已求得的安裝關(guān)系和零偏通過以下方法計(jì)算該軸的正負(fù)刻度因數(shù)。

假設(shè)i 軸加表的方向余弦為（Eaxi,Eayi,Eazi），且Eaxi,Eayi,Eazi中絕對值最大的為Eayi，則：

若Eayi＞ 0，

若Eayi＜ 0，

常用方法的缺陷在于：

1.計(jì)算平均刻度因數(shù)時(shí)忽略了加表不對稱誤差，并將由此產(chǎn)生的誤差傳遞至根據(jù)平均刻度因數(shù)計(jì)算出的安裝關(guān)系，導(dǎo)致標(biāo)定結(jié)果的加表不對稱度小于實(shí)際不對稱度；

2.計(jì)算加表零偏時(shí)沒有考慮加表刻度因數(shù)的不對稱性造成的影響；

3.計(jì)算正負(fù)刻度因數(shù)時(shí)，使用的安裝關(guān)系和零偏含有誤差。

另外，當(dāng)加速度計(jì)不對稱度較大時(shí)，式(9)-(11)中的（K1-K2）?i、（K3-K4）?i和（K5-K6）?i三項(xiàng)已無法忽略，上述方法中的引入的誤差會進(jìn)一步放大。如圖3所示，根據(jù)仿真結(jié)果，隨著加表的不對稱度增大，該軸的零偏標(biāo)定誤差迅速增大。

圖3 加表不對稱度對零偏標(biāo)定誤差的影響Fig.3 The effect of accelerometer asymmetry on its zero-bias calibration accuracy

i 軸加表的不對稱度ξi（無量綱）定義如下：

3.1.2 考慮加表不對稱誤差的迭代式標(biāo)定方法

為消除加表不對稱誤差對標(biāo)定造成的影響，本文提出了一種迭代方法，在保留三項(xiàng)不對稱誤差的前提下，迭代估計(jì)所有的標(biāo)定參數(shù)。

具體計(jì)算方法如下：

在初次計(jì)算時(shí)令?i=0（i=1 ～6），則式(9)-(11)中的（K1-K2）?i、（K3-K4）?i和（K5-K6）?i三項(xiàng)在初次迭代時(shí)為零，可得：

其中，

則可得Eaxi、Eayi和Eazi：

根據(jù)Eaxi、Eayi和Eazi的符號可確定K1、K2、K3、K4、K5和K6是正刻度因數(shù)還是負(fù)刻度因數(shù)。

使用最小二乘法即可求得Kai+、Kai-和?i，然后根據(jù)求得的?i和正負(fù)刻度因數(shù)重新計(jì)算Eaxi、Eayi和Eazi并重新計(jì)算其他參數(shù)，如此迭代反復(fù)估計(jì)所有參數(shù)，即可得到最優(yōu)估計(jì)，具體迭代過程如圖4所示。

圖4 迭代過程Fig.4 Iterative process

3.2 陀螺參數(shù)計(jì)算

根據(jù)速率實(shí)驗(yàn)編排，繞X 軸正反轉(zhuǎn)N圈（N=3），正反轉(zhuǎn)時(shí)間t相同，記Gxi+為繞X 軸正轉(zhuǎn)第i個陀螺的脈沖輸出總和，Gxi-為繞X 軸反轉(zhuǎn)第i個陀螺的脈沖輸出總和，Kgi（pulse/"）為i 軸陀螺刻度因數(shù)，εi(°/h)為i 軸陀螺零偏，Egxi為i 軸陀螺在b 系X 軸上的方向余弦。則有：

式(20)中兩式相減，整理后可得：

其中，i=1,2…6。

同理，分別繞Y、Z 軸正反轉(zhuǎn)N圈，正反轉(zhuǎn)時(shí)間均為t，則有：

由式(21)(22)，可推得第i個陀螺的刻度因數(shù)和安裝關(guān)系：

通過位置實(shí)驗(yàn)可計(jì)算出陀螺的零偏。設(shè)每個位置停留時(shí)間為t，在第j（j=1,2…12）個位置的第i（i= 1,2…6）個陀螺的脈沖輸出為Gji，則第i個陀螺的零偏εi可表示為：

4 算法驗(yàn)證

某10 表“正交+斜置”方式配置的冗余捷聯(lián)慣組采用了5 個光纖陀螺和5 個石英撓性加速度計(jì)的冗余設(shè)計(jì)。陀螺的零偏穩(wěn)定性優(yōu)于0.05（°/h），加表的零偏穩(wěn)定性優(yōu)于2 ×10-5g。對該10 表慣組分別使用本文所述迭代標(biāo)定算法與常用標(biāo)定算法進(jìn)行標(biāo)定，表2 為10 表慣組兩種標(biāo)定方法的加表標(biāo)定結(jié)果對比。

表2 10 表慣組加表標(biāo)定結(jié)果對比Tab.2 Comparison of accelerometer calibration results of 10-sensor IMU

對于加表刻度因數(shù)，10 表慣組的兩種標(biāo)定方法結(jié)果之差為1(pulse/g)量級。對于加表零偏，10 表慣組的兩種標(biāo)定方法結(jié)果之差為1 ×10-4(g)量級。

表3 為兩種方法標(biāo)定所得的加表不對稱度對比，從表中可以看出，采用迭代方法標(biāo)定所得的加表不對稱度的絕對值均大于常用方法，恰好驗(yàn)證了3.1.1 節(jié)中所述的常用方法缺陷的第1 點(diǎn)，由于忽略加表不對稱誤差相當(dāng)于默認(rèn)加表對稱性良好，因此常用方法計(jì)算得出的加表不對稱度也要小于真值，而迭代標(biāo)定方法則不存在這個問題。

表3 10 表慣組加表不對稱度對比Tab.3 Comparison of accelerometer asymmetry of 10-sensor IMU

圖5、圖6 分別為10 表慣組迭代標(biāo)定過程中正負(fù)刻度因數(shù)和零偏的收斂曲線，從圖中可以看出，在迭代5～7 次后每個軸的加表刻度因數(shù)和零偏基本收斂。

圖5 10 表慣組刻度因數(shù)迭代曲線Fig.5 Scale factor iteration curves of 10-sensor IMU

圖6 10 表慣組零偏迭代曲線Fig.6 Zero-bias iteration curves of 10-sensor IMU

分別使用兩種方法標(biāo)定所得的參數(shù)進(jìn)行5100 s 動態(tài)導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)，在動態(tài)導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)中通過轉(zhuǎn)臺對慣組的翻轉(zhuǎn)，更好地激勵加表不對稱誤差。圖7-9 為10 表慣組動態(tài)導(dǎo)航的姿態(tài)曲線、速度曲線以及位置誤差對比圖。

圖7 某10 表慣組動態(tài)導(dǎo)航姿態(tài)曲線Fig.7 Dynamic navigation attitude curves of 10-sensor IMU

圖8是10表慣組兩種標(biāo)定方法的動態(tài)導(dǎo)航速度對比圖?？梢钥闯鲈诩s一個舒拉周期的導(dǎo)航時(shí)間內(nèi)，使用迭代方法標(biāo)定的導(dǎo)航速度曲線在大多數(shù)時(shí)間里絕對值小于常用方法。這意味著在動態(tài)導(dǎo)航過程中，迭代方法在大多數(shù)時(shí)間里有更小的速度誤差。

圖8 某10 表慣組動態(tài)導(dǎo)航速度曲線Fig.8 Dynamic navigation speed curves of 10-sensor IMU

由圖9 可見迭代標(biāo)定方法在整個動態(tài)導(dǎo)航過程中位置誤差均低于常用標(biāo)定方法，并且10 表慣組5100 s動態(tài)導(dǎo)航末端位置誤差降低了約400 m，驗(yàn)證了本文所述標(biāo)定方法的有效性。

圖9 某10 表慣組動態(tài)導(dǎo)航位置誤差對比Fig.9 Dynamic navigation position error of 10-sensor IMU

5 結(jié)論

本文分析了冗余捷聯(lián)慣組的輸入輸出模型，提出了在加表刻度因數(shù)不對稱度較大時(shí)使用迭代求解來提高標(biāo)定精度的方法，給出了詳細(xì)的求解標(biāo)定參數(shù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，建立了冗余捷聯(lián)慣組的標(biāo)定算法。試驗(yàn)結(jié)果表明：本文提出的迭代求解的標(biāo)定方法可有效消除加表不對稱誤差及其對其他參數(shù)標(biāo)定的影響，是一種簡潔可靠的冗余捷聯(lián)慣組標(biāo)定方法，使冗余慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的動態(tài)導(dǎo)航位置精度提高了約13.3%，對冗余導(dǎo)航系統(tǒng)動態(tài)導(dǎo)航應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值。