劉 恒，郭月圓，張 玉

（南京信息工程大學 電子與信息工程學院，南京 210044）

硅微機械諧振式傳感器具有體積小，功耗小，可批量生產，輸出為頻率信號從而抗干擾性強等優(yōu)勢，廣泛應用于加速度、壓力、質量等的測量[1,2]。目前主要有兩個問題制約著性能的提升：一是硅材料的楊氏模量受溫度變化會導致輸出頻率的漂移和分辨率降低[3]。目前解決方案有三種：第一種是更換硅基材料，采用對溫度敏感性小的半導體材料，如石英等；第二種是將傳感器放在恒溫環(huán)境工作，減少溫度變化對輸出頻率影響；第三種是利用先進智能算法對輸出頻率進行溫差補償。二是微結構振動的幅度和頻率耦合問題[4]。當微機械振動梁諧振幅度小于臨界振幅時，忽略高階非線性剛度項的影響，微結構等效為一個二階彈簧-質量-阻尼系統(tǒng)，振動幅度與輸出頻率耦合可忽略不計，幅度-頻率曲線不發(fā)生跳變；當振幅度超過臨界振幅時，振動幅度與輸出頻率耦合較大，幅度-頻率曲線存在不對稱性和分岔，系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。研究者已經關注到微機械諧振傳感器超過臨界振幅的非線性行為，利用杜芬（Duffing）振子來建立數值模型進行分析[5]，但對穩(wěn)定性無控制，工程應用中受到一定限制。

傳感器封裝后長期工作會帶來品質因數和材料特性等的變化，為了提升傳感器的穩(wěn)定性和分辨率，閉環(huán)測控電路需維持振梁工作在諧振狀態(tài)，同時為了抑制幅度和頻率的耦合，提升諧振器的穩(wěn)定性，需維持振梁的恒定幅度振動[6]。自動增益控制技術被廣泛應用于恒定幅度控制，而鎖相環(huán)和自激振蕩技術常被用來實現(xiàn)頻率跟蹤控制[7]。幅度自動增益控制包括交流自動增益控制（AC-AGC）和直流增益控制（DC-AGC）兩種，其中交流自動增益采用專用的芯片，線性范圍較小，調整步進大，精度較小，目前多采用直流自動增益控制方法。在直流自動增益控制中，當諧振頻率鎖定后，直流參考電壓決定了微機械諧振傳感器的振動幅度。當振動幅度過大，微機械諧振式傳感器就會出現(xiàn)幅-頻曲線的分岔，系統(tǒng)穩(wěn)定性惡化[8]。為了滿足幅度和相位要求，測控電路需要自動增益的幅度控制環(huán)路與諧振頻率跟蹤環(huán)路。由于兩個環(huán)路的高階和非線性問題，難以獲得直流參考電壓與振動幅度的關系。

針對上述問題，本文提出了一種閉環(huán)自激控制的直流參考電壓約束方法，通過計算臨界振幅，得到臨界直流參考電壓，約束直流參考電壓小于臨界值，抑制振動頻率與振動幅度耦合，提升微機械諧振器的穩(wěn)定性。

1 微機械諧振器原理及臨界振幅求解

如圖1所示，硅材料的音叉諧振器的結構層包括驅動部分、檢測部分和諧振子部分。諧振子部分有1個音叉諧振梁和附著在諧振梁上的梳齒和平板，音叉梁被支撐并懸空；驅動部分有4 個固定的驅動梳齒結構，梳齒也在支撐下懸空，驅動梳齒和附著在音叉梁上的梳齒形成梳齒電容，作為驅動換能器；檢測平板與附著在音叉梁的上平板構成檢測部分的平板電容。由于微結構的制造誤差，檢測部分采用了平板電容結構，平板電容結構能夠通過改變加載在音叉梁和檢測平板之間的直流電壓來調節(jié)音叉梁的諧振頻率，從而實現(xiàn)調諧諧振頻率與設計頻率一致。

圖1 微機械諧振器結構Fig.1 Structure of MEMS resonator

微機械諧振器的動力學方程為：

式(1)中，m為音叉諧振梁及其附著的微結構的質量，k為音叉諧振梁在工作模態(tài)的剛度，c為阻尼系數，y為音叉梁沿Y 軸方向的位移，F(xiàn)(t) 為靜電驅動力，角頻率為ω。非線性剛度k表示為：為線性剛度系數，k1和k2為一次和二次諧波項，其中音叉梁固有頻率，品質因數。假設方程(1)的近似解為[9]：

由于3 次及以上諧波項作用小，當系統(tǒng)在無阻尼狀態(tài)時，忽略其作用，系統(tǒng)響應的幅度值有以下關系：

當振幅過大時，系統(tǒng)會出現(xiàn)幅度-頻率的耦合，諧振頻率ω1與振動幅度y1為[6]：

幅度-頻率曲線出現(xiàn)分岔點對應的振幅yb為[9]：

根據理論分析，微機械諧振器的臨界振幅yc應大于分岔點對應的振幅yb，見圖2。

對應的臨界振幅yc為：

臨界振幅yc為一次和二次諧波剛度項作用的結果，還與封裝的品質因數有關。對于頻率差分式微機械音叉諧振器，工作模態(tài)兩個音叉梁振動方向相反，一次諧波項抵消。二次諧波剛度項主導的臨界振幅yc2為：

由式(6)可知，臨界振幅與品質因數Q和二階剛度系數k2有關。對于此條件下，微機械音叉諧振器處在線性諧振階段，儲存的能量最大值Emax為：

在微結構制造后，剛度系數k0和k2為確定值，根據式(7)可知，增大品質因數Q，存儲的能量減少，微機械諧振器更容易受到非線性效應影響而不穩(wěn)定。

對于圖1所示的微諧振器結構細化后如圖3所示，音叉諧振器的剛度k0和等效質量m表示為：

式(9)中，附加平板的面內有效面積Aact為：

式(8)-(10)中，E=160Gpa，為常溫下多晶硅的楊氏模量；ρ=2330Kg/m3，為常溫下多晶硅的密度；Aact為附加結構的表面積；n1為梳齒電容的個數；n2是平行板電容的對數，n3是平行板電容的個數，h為微結構的厚度。L，L1，L2，L3，L4，L5為對應微結構的長度，W，W1，W2，W3，W4，W5為對應微結構的寬度，尺寸標注如圖3所示。對于k2的求解，諧振梁為雙端固支梁時，文獻[10]給出的對應關系是：

圖3 微機械諧振器結構及尺寸Fig.3 Structure and size of micromechanical resonator

常數α的取值為0.75[10]。根據式(11)，k2與諧振梁的寬度W的平方成反比，W越大，對應非線性項越小。微機械諧振器的結構層采用單晶硅材料，在硅材料里摻雜高濃度的硼離子來改變微結構的導電性，襯底材料為pyrex7740 玻璃，微結構與玻璃襯底通過陽極鍵合。

制造的微結構劃片后進行了計算機視覺輔助尺寸測量，在實物照片上標記二維尺寸，如圖4所示。

圖4 微結構制造及尺寸測量和封裝Fig.4 Microstructure dimension measurement and packaging

開環(huán)掃頻電路如圖5所示，包括電荷放大器、隔離直流后的交流放大電路、高通濾波、反相器、模擬開關、低通濾波器1、方波發(fā)生器電路[11]。

圖5 開環(huán)掃頻測試電路原理圖Fig.5 Schematic diagram of open-loop frequency sweep test

直流穩(wěn)壓電源給測試電路提供直流驅動電壓Vd，交流驅動電壓由動態(tài)信號分析儀Agilent35670A 的1通道提供，檢測端Vs由正5 V 電源分壓產生，靜態(tài)測試時接地，由LTC1799 電路產生858.650 kHz 的高頻方波Vm。低通濾波后的輸出信號接入Agilent35670A的2 通道。在交流電壓的幅值為1 V，掃描范圍為34-40 kHz，圖6(a)為直流電壓為3 V 時的幅度-頻率曲線，曲線沒有出現(xiàn)局部跳躍，諧振頻率為35.754 kHz，正弦波幅值為252 mV，品質因數為1476，而繼續(xù)增大直流電壓到5 V 時，曲線出現(xiàn)局部跳躍，出現(xiàn)明顯非線性現(xiàn)象，諧振頻率增大為36.362 kHz，振動幅度增大為274 mV，見圖6(b)（圖6 中橫坐標為頻率，縱坐標為線性幅度比（LinMag），刻度為：30 e-3/div）。

圖6 測試得到的幅度-頻率曲線Fig.6 Amplitude-frequency curve obtained from test

設計的諧振梁寬度為8 μm，測試為7.24 μm，見圖7，測量的品質因數為1476，α選取為0.75，結合式(6)，計算得到臨界振幅yc2為0.62 μm。檢測平板間距設計為3 μm，測試為3.06 μm，如圖8所示，臨界振幅不到檢測平板間距的1/3，諧振微結構達到臨界振幅時不會發(fā)生吸合失效。

圖7 測試的音叉諧振梁寬度Fig.7 Width of tuning fork resonance beam

圖8 測試的平板電容極板間距Fig.8 Test plate capacitance plate spacing

2 基于邊帶比的振動幅度估算方法

2.1 估算原理

微機械諧振式傳感器為了減小功耗及保護微結構不被測量環(huán)境中的固體顆?；蛞后w所損壞，管殼多為金屬或陶瓷，封裝的蓋帽采用不透明的玻璃、金屬、陶瓷等材料，難以利用計算機視覺方法獲取真空封裝后的微結構振幅，只能通過電學方法估算振動幅度。結合開環(huán)測試電路，振幅估算測試電路原理見圖9。

圖9 基于邊帶比測量振動幅度電路原理圖Fig.9 Circuit schematic diagram of vibration amplitude measurement based on sideband ratio

微結構振動幅度的表征是通過檢測電容來反推的，在接口電路上，通過電荷放大器將變化的檢測電容轉換為電壓VT(t)，見圖9。右邊檢測平板流過的電流I包括兩部分，一部分來自流經檢測電容CS的電流IS(t)，另一部分來自耦合電容CP的電流IP(t)。由于電流IP(t)的變化頻率與驅動電壓頻率ω一致，而檢測電流IS(t)中也存在振動引起的頻率為ω的電流，很難根據電荷放大器輸出的電壓VT(t)來判斷結構是否處在諧振狀態(tài)，測試中存在同頻干擾問題[11]。所以在音叉梁上加載高頻方波電壓Vm(t)，其幅值為Vm，角頻率為ωm，。當電荷放大器的反饋電容為CF，輸出電壓VT(t)為：

式（12）中，Va(t)=Vasin(ω t+φ)，輸出電壓VT(t)從頻域分析，包括直流電壓分量(Vd-Vs)·CP/CF，Vs，-Vs·Cs0及與驅動頻率ω一致的交流電壓分量Vasin(ω t+φ)·CP/CF和-Vs·βa(t)sin(ωt)/CF，高頻調制后的交流分量Vm(t)·βa(t)sin(ωt)/CF。在靜電驅動力作用下，音叉梁做正弦周期性運動，諧振結構的位移y(t)表示為：y(t)=Ysin(ωt)，Y為振動幅度。對應的檢測電容Cs(y(t))為：

式(13)中，g為檢測平板初始間距，ε為封裝氣體的介電常數，A檢測平板的正對面積，CSn為歸一化檢測電容。令η=Y/g為歸一化振動幅度比例系數。檢測電容CS(y(t))表示為：

式(14)中：

將式（14）代入到式（12）中，輸出電壓VT(t)中的多邊帶中與ωm相近的頻帶對應的電壓幅度為：

式（16）表明，多邊帶中頻率為ωm±j·ω處對應電壓幅度近似成比例于。那么相鄰兩個單邊帶電壓比也簡稱為SBR。歸一化后的鄰近邊帶比r(η)可以表示為：

式(17)表明，相鄰單邊帶電壓比r(η)與振動幅度比η有關，與調制電壓Vm(t)和反饋電容CF無關。根據r(η)來求解η，對應的關系式為：

根據式(18)知，只要測得相鄰單邊帶電壓比r(η)就可確定振動幅度比η，而η=Y/g，在測得質量塊附著的平板與諧振梁平板之間的初始垂直距離g和測得相鄰單邊帶電壓比r(η)后就可以計算得到諧振梁振動的幅度Y。

2.2 基于邊帶比的振動幅度測量實驗

實驗中的直流驅動電壓Vd由直流穩(wěn)壓電源提供，交流電壓Va(t)由信號發(fā)生器提供，檢測電壓Vs由穩(wěn)壓電路分壓得到，V s為0 V 時，Vd為3 V，Va幅值為1 V，頻譜分析儀Agilent 4395A 探頭接在電荷放大器的輸出端，阻抗為50 Ω。

圖10 為驅動頻率ω為20 kHz 對應的受迫振動的頻譜圖，+ω、+2ω、+3ω為調制頻率ωm右邊的邊帶頻譜，對應頻率為：ωm+ω、ωm+2ω、ωm+3ω，-ω、-2ω、- 3ω為左邊的邊帶頻譜，對應頻率為：ωm-ω、ωm-2ω、ωm-3ω。邊帶頻譜頻率依次相差20kHz。左右兩邊對稱的邊帶頻譜由于隨機噪聲的影響，幅度并不完全相等。對測試的數據進行分析，以+ω和 +2ω對應電壓計算后得到的η為0.0399，以-ω和 -2ω對應電壓計算后得到的η為0.0412。分析圖10，頻譜圖中還存在ωm+ω0和ωm-ω0的電壓信號，對應的頻率為822.898 kHz 和894.430 kHz，也說明存在一個頻率為35.750 kHz 的信號被調制了，對應為白噪聲激勵下的音叉梁諧振輸出信號。調整頻率范圍，觀察到圖11中低頻段頻譜不僅存在20 kHz 的驅動電壓信號，還存在35.750 kHz 的諧振信號，佐證了白噪聲的激勵作用。

圖10 電荷放大器輸出信號中頻段頻譜（ω=20 kHz）Fig.10 Mid-band spectrum of charge amplifier output signal（ω=20 kHz）

圖11 電荷放大器輸出信號的低頻段頻譜（ω=20 kHz）Fig.11 Low-band spectrum of charge amplifier output signal（ω=20 kHz）

圖12 是交流驅動電壓頻率為35.750 kHz 對應的頻譜，在784100-932900 Hz 范圍內，只有諧振信號被調制后的頻譜，與圖6 對應的頻率掃描結果一致。基于單邊帶比的微結構振動幅度的電學測量不僅可以測量驅動電壓下的振動幅度，還可以確定微結構的諧振頻率。調節(jié)信號發(fā)生器的頻率，當調制的單邊帶電壓幅度最大時，對應的信號發(fā)生器的頻率即為微結構的諧振頻率，圖12 為與圖6(a)相同驅動電壓的頻譜圖，在諧振狀態(tài)時，對應的輸出信號的電壓幅度明顯比圖10 中ω+ 和ω- 的大。圖13 與圖6(b)相同驅動電壓的頻譜圖，諧振點電壓幅度明顯比圖12 的對應點值大。

圖12 電荷放大器輸出信號的中頻段頻譜(ω =35.750 kHz)Fig.12 Mid-band spectrum of charge amplifier output signal(ω=35.750 kHz)

圖13 電荷放大器輸出信號的中頻段頻（ω =36.362 kHz）Fig.13 Intermediate band frequency of charge amplifier output signal（ω =36.362 kHz）

計算得到圖13 條件下的η均值為0.04 受迫振動幅度Y約為0.122 μm；在驅動頻率為35.750 kHz，對應諧振狀態(tài)的η均值為0.10，振幅0.304 μm，未超過臨界振幅；在驅動頻率為36.362 kHz，對應諧振狀態(tài)的η均值為0.28，振動幅度約為0.851 μm，超過臨界值，這與開環(huán)掃頻實驗的幅度-頻率曲線存在跳變一致。

3 閉環(huán)自激驅動原理及實驗

閉環(huán)測控電路中，在高頻方波調制和模擬開關解調后再經過低通濾波器1 得到正弦波信號，正弦波信號一路通過全通移相器后再經過一個固定電容與驅動梳齒電極相連，另一路通過全波整流后再通過低通濾波器2 得到幅度對應的直流電壓，此直流電壓與直流參考電壓進行減法運算，再經過比例-積分器調節(jié)，最后通過電阻與驅動梳齒電極相連，兩個環(huán)路構成直流自動增益控制（DC-AGC）。開環(huán)測試得到的正弦信號，正比于微結構的振動位移，結合圖4，測控電路框圖如圖14。圖14 中，kc為電荷放大器的增益系數，τ為低通濾波器2 的時間常數，A為濾波后得到的直流電壓，VR為直流參考電壓，Vd為直流驅動電壓，Va為交流驅動電壓，μ為移相器時間常數，kp和kI分別為比例、積分系數，kv為電壓-力轉換系數，與驅動梳齒有關，R(t)為熱噪聲產生的等效驅動力。假設諧振梁的振動位移為y(t)，y(t)=a(t)cos(ω t+?(t))，幅度為a(t)，相位為?(t)，角頻率為ω。

圖14 微機械諧振器測控電路框圖Fig.14 Measurement and control circuit diagram

根據各模塊的動力學原理，建立分析模型，有[12]：

式(19)中，K=kc·kv，真空封裝品質因數較大，慢時變系統(tǒng)狀態(tài)變量變化接近為0，令各狀態(tài)變量對時間求導后為0，得到振動后的穩(wěn)定平衡點為：

系統(tǒng)起振要求直流參考電壓滿足：

根據式(21)，V R大于靜態(tài)平衡點對應的直流驅動電壓，微結構才能起振。移相誤差φ在理想條件下應為0，當存在相位偏移時，偏差角度越大，則需更大的VR才可起振。V R的增大，必將帶來振動幅度的增大，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件時要求穩(wěn)態(tài)的振動幅度小于臨界振幅yc2，有：

式(22)中，kc由掃頻實驗和幅度計算確定，激勵頻率為35.750 kHz，諧振幅度為0.304 μm，放大后的幅度值為 252 mV，代入計算得到VR臨界值為0.866 V。

通過以上分析，可以得到直流參考電壓選取原則，首先，直流參考電壓應大于起振電壓，滿足式(21)；其次，直流參考電壓應盡可能大，直流參考電壓越大，振梁振動幅度和檢測端的信噪比越大，便于振動信息提??；最后，為避免振梁非線性特性產生，直流參考電壓應小于臨界參考電壓，滿足式(22)。

閉環(huán)實驗見圖15，測試電路板平放在恒溫實驗箱中（溫度誤差±0.01℃）。直流參考電壓調整到0.4 V，振蕩波形如圖16，系統(tǒng)上電自激經過約5 ms 穩(wěn)定，波形在長時間內幅度恒定，穩(wěn)態(tài)波形幅值為248 mV；增大直流參考電壓到1.0 V，振蕩波形如圖17，自激波形較快于圖16 進入幅度穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)波形在大時間尺度看幅度波動不大，幅值約為1.09 V，但當示波器時間刻度變小，振動幅度存在變化且周期并不完全一致。

圖15 微機械諧振器測控實驗設備Fig.15 Experimental equipment of micromechanical resonator

圖16 微機械諧振器穩(wěn)態(tài)輸出波形Fig.16 Steady state output waveform of micromechanical resonator

圖17 微機械諧振器大耦合下的輸出波形Fig.17 Output waveform of micromechanical resonator under large coupling

利用12 位半數字頻率計（Agilent53132A）和6位半數字萬用表（RIGOL DM3068）對實驗箱(HZ-XY-DT（H）30F-2)里的諧振器的頻率和幅度進行同步采樣，采樣間隔均為1 s，單次采樣時長均為1000 s。

圖18 為幅度采集數據，直流參考電壓小于臨界值，振動幅度穩(wěn)定，變化小于1 mV；直流參考電壓大于臨界值，振動幅度變化較大，在閉環(huán)自動增益電路作用下幅度變化漸近減小。利用全交疊Allan 方差分析幅度的穩(wěn)定性[13,14]，采樣數據平均分為2 組，組長為500，步長為1，直流參考電壓小于臨界值，幅度偏差隨時間加長穩(wěn)定度提升，長時間后器件內部溫度恒定，幅度擾動??；直流參考電壓大于臨界值，初始樣本幅度波動小，但長時間后幅度均值變化大，幅度穩(wěn)定度遠小于前面的穩(wěn)定狀態(tài)，分析結果如圖19所示。

圖18 幅度采集數據Fig.18 Amplitude acquisition data

圖19 幅度穩(wěn)定度分析Fig.19 Amplitude stability analysis

圖20 為頻率采集數據，直流參考電壓小于臨界值，諧振頻率較穩(wěn)定，波動幅度不超過0.1 Hz。直流參考電壓大于臨界值，振動幅度變化較大，波動幅度超過180 Hz，由于諧振器品質因數大，在自激振蕩電路控制作用下頻率變化量漸近減小。同樣，利用全交疊Allan 方差分析頻率的穩(wěn)定性，分組跟幅度分析一致，直流參考電壓小于臨界值，頻率偏差隨時間加長穩(wěn)定度變差，但總體趨近于0.01 Hz，測控電路能維持1000 s 內的0.01 Hz 的頻率偏差；直流參考電壓大于臨界值，初始頻率波動幅度大，但在自激振蕩電路作用下，頻率變化范圍減小，1000 s 內頻率偏差大于0.1 Hz，頻率穩(wěn)定度遠小于穩(wěn)定狀態(tài)，結果見圖21。

圖20 頻率采集數據Fig.20 Frequency acquisition data

圖21 頻率穩(wěn)定度分析Fig.21 Frequency stability analysis

4 結論

本文介紹了一種抑制微機械諧振器的幅度-頻率耦合方法并進行了驗證，方法的核心是通過調節(jié)自激振蕩控制電路的直流參考電壓來控制振梁振動幅度小于臨界振幅。首先，通過理論分析確定了音叉梁諧振器的臨界振幅與振梁的寬度、檢測平板間距和品質因數有關，針對制造的靜電驅動電容檢測型音叉諧振器，采用了計算機輔助視覺測量方法獲得了微結構的尺寸，包括諧振梁的寬度和檢測平板間距；利用開環(huán)掃頻方法獲得了品質因數，計算得到臨界振幅為0.62 μm。其次，介紹了一種頻譜邊帶比的振動幅度測試方法，實驗測試穩(wěn)態(tài)振幅為0.30μm，非穩(wěn)態(tài)為0.85μm，與理論分析一致。最后，構建了自激振蕩閉環(huán)測控電路分析模型，并利用平均周期法獲得了振幅與直流參考電壓的線性關系，臨界直流參考電壓應小于0.866 V。恒溫實驗測試表明：直流參考電壓為0.4 V，諧振器恒定幅度振動；直流參考電壓為1.0 V，諧振器振動幅度不恒定，諧振器穩(wěn)定性變差，通過調節(jié)直流參考電壓能有效抑制幅度-頻率的耦合。