陳 鋒

（合肥學(xué)院 先進(jìn)制造工程學(xué)院，安徽 合肥 230022）

0 引言

為描述量子體系在不同坐標(biāo)系下的狀態(tài)及相關(guān)力學(xué)量，狄拉克引入了量子表象的概念。任意量子態(tài)的波函數(shù)都可以看作是希爾伯特空間下某個(gè)表象（基矢）的具體形式，而量子算符對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)是正交歸一的［1-2］。因此，完備性是基矢成為表象的必備條件。以往量子表象的完備性由于缺乏有力和普適的數(shù)學(xué)工具，證明變得非常繁瑣，甚至無法證明［3］。

除了式（1）和式（2）常見的量子態(tài)完備形式外，近年來，量子力學(xué)中關(guān)于逆算符本征態(tài)是研究的熱點(diǎn)問題之一［7］。本文在表象完備性的高斯積分基礎(chǔ)上，提出了一種復(fù)數(shù)回路積分形式的完備性，即

故而，是a?的本征右矢量?？梢娛剑?）是由相干態(tài)和產(chǎn)生算符本征態(tài)構(gòu)成的。

湮滅算符的本征態(tài)是激光光場的相干態(tài)，但是關(guān)于產(chǎn)生算符的本征右矢卻一直沒有得到很好解決。歷史上，達(dá)維朵夫在《量子力學(xué)》教材中，曾經(jīng)錯(cuò)誤地以為a?的本征態(tài)是恒等于零，忽略Delta函數(shù)解［8］。

本文將基于復(fù)數(shù)回路積分表達(dá)形式的量子態(tài)完備性，討論有關(guān)產(chǎn)生算符與湮滅算符對(duì)應(yīng)的逆算符問題，進(jìn)一步還將研究壓縮變換下逆算符作用于真空態(tài)的形式，并給壓縮粒子數(shù)態(tài)的具體表達(dá)形式。

1 福克空間的逆算符

類似，按照產(chǎn)生算符逆算符本征方程的共軛態(tài)形式和回路積分完備性式（3），得到

2 壓縮產(chǎn)生算符的本征態(tài)

壓縮態(tài)由于可以實(shí)現(xiàn)相干態(tài)在某個(gè)方向的噪聲壓縮，使其量子噪聲或漲落進(jìn)行大幅降低，在量子通訊，光學(xué)精密測(cè)量以及量子計(jì)算等諸多方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值［9］。在量子力學(xué)中，對(duì)單模光場的壓縮操作可以用壓縮算符，其作用于產(chǎn)生算符后，可以表示為Sa?S-1=a?coshλ+asinhλ，其中λ是壓縮參數(shù)［10］。

3 壓縮產(chǎn)生算符的逆算符正規(guī)乘積及其應(yīng)用

由式（10）不難看出

再用柯西積分公式［15-16］導(dǎo)出

這就是(a?coshλ+asinhλ)-1的正規(guī)乘積展開。

可將產(chǎn)生算符在壓縮表換下逆算符的正規(guī)乘積作用于真空態(tài)0 給出

類似，對(duì)應(yīng)于壓縮變換下湮滅算符S(λ)aS-1(λ)=acoshλ+a?sinhλ，其逆變換對(duì)應(yīng)的算符的正規(guī)乘積為

式（11）作用于真空態(tài)，得到量子態(tài)為

這就是壓縮粒子態(tài)的明晰表達(dá)式。

4 結(jié)語

基于量子態(tài)完備性的復(fù)數(shù)回路積分形式和產(chǎn)生算符的本征態(tài)，得到了由相干態(tài)和產(chǎn)生算符的本征態(tài)所構(gòu)成的量子表象。另外，給出了產(chǎn)生算符對(duì)應(yīng)的本征態(tài)的δ函數(shù)形式，這一結(jié)論進(jìn)一步豐富和發(fā)展人們關(guān)于量子態(tài)表象完備性的認(rèn)識(shí)。

此外，在?？丝臻g，首次給出產(chǎn)生算符及湮滅算符所對(duì)應(yīng)的逆算符粒子數(shù)態(tài)的具體表達(dá)式。在此形式的基礎(chǔ)上，成功回答狄拉克提出的a-1a以及的乘積結(jié)果問題。進(jìn)一步討論產(chǎn)生算符以及湮滅算符在壓縮變換的算符對(duì)應(yīng)的逆算符形式，并且給出其對(duì)應(yīng)的壓縮真空態(tài)形式。最后，通過量子態(tài)的完備性形式，得到壓縮真空態(tài)的明晰表達(dá)式。

論文研究結(jié)果成功回答量子力學(xué)關(guān)于逆算符的本征矢問題，可以豐富和發(fā)展量子力學(xué)教學(xué)中量子算符的本征態(tài)、逆算符以及表象完備性的認(rèn)識(shí)，并對(duì)量子光學(xué)和量子信息有關(guān)實(shí)驗(yàn)和理論提供有力支撐。