祁文延，王江文，韓寶峰，梅桂明，

(1. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031；2. 保德利電氣設備有限責任公司，陜西 寶雞 721013)

1 引言

現(xiàn)代高速列車普遍采用電力牽引的方式，通過車頂受電弓從接觸網(wǎng)獲取電流，受流性能的優(yōu)劣是列車能量獲取的關鍵因素。為了保證列車高速運行時能夠獲得可靠的受流，受電弓弓頭滑板與接觸線之間就需要保持適當?shù)慕佑|力，通過接觸力可以直接表征受流質量的好壞。近年來，隨著高速鐵路的發(fā)展，列車運行速度不斷提高，弓網(wǎng)間的耦合振動愈加劇烈，造成弓網(wǎng)接觸力的劇烈波動，從而嚴重影響了列車的受流質量。

為了克服上述問題，國內外許多學者提出以主動控制受電弓作為主要手段來抑制接觸力的劇烈波動，其基本思想是根據(jù)弓網(wǎng)系統(tǒng)當前的狀態(tài)量，通過對受電弓施加可控制的外力靈活的調整弓頭抬升量，從而達到減小接觸力波動的目的?，F(xiàn)有的可用于受電弓接觸網(wǎng)系統(tǒng)的先進控制技術主要包括LQR最優(yōu)控制[1]、滑膜變結構控制[2]、模糊控制[3]、PID主動控制[4]以及反饋線性化控制策略[6]等。這些控制策略均可以使得接觸力的最大值減小、最小值增大，平均值穩(wěn)定，從而降低接觸力的標準差，改善受流質量。

然而上述一些控制策略的設計往往需要根據(jù)經(jīng)驗對某些關鍵參數(shù)進行選?。喝鐚τ贚QR最優(yōu)控制，設計的第一步就是確定系統(tǒng)的最優(yōu)性能指標函數(shù)，其中的Q矩陣(狀態(tài)加權矩陣)與R矩陣(控制力權重矩陣)需要靠經(jīng)驗來選取，在控制效果和控制能耗之間做出取舍，不同的Q、R矩陣對應的控制能耗和控制效果均不同；滑膜變結構控制策略是通過設計合理的切換函數(shù)，從而確定受電弓的最優(yōu)主動控制力，但其預測因子和理想特征值等一些關鍵參數(shù)需要靠經(jīng)驗來計算，并且由于控制優(yōu)先級高，需在不確定和不連續(xù)控制間做出選擇；模糊控制中的模糊規(guī)則的建立和隸屬度函數(shù)的選取同樣也需要經(jīng)驗的積累，且控制規(guī)則建立的合理與否直接影響到最終的接觸力控制效果[7]。對比這些方法，反步法對于經(jīng)驗設計的依賴性較小，也更容易實現(xiàn)魯棒與自適應控制，然而反步法在飛行器與機器人等控制方面研究較廣[8]，在弓網(wǎng)系統(tǒng)主動控制上的運用卻少有文獻研究。一般而言，由于反步法具有不斷構造的特點，因此采用反步法為維數(shù)較高的系統(tǒng)設計全局穩(wěn)定的控制器十分困難，而在受電弓主動控制策略的研究中常采用維數(shù)較少的歸算質量塊模型，為本文運用反步法研究弓網(wǎng)系統(tǒng)接觸力的跟蹤控制提供了思路。

基于以上考慮，本文首先建立弓網(wǎng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，將其轉化成級聯(lián)形式，采用反步法為弓網(wǎng)子系統(tǒng)分步設計控制器，經(jīng)過嚴格的理論推導建立精確的控制模型，計算出狀態(tài)反饋控制率，并設計觀測器對系統(tǒng)中不可測量的狀態(tài)進行重構，從而使輸出的接觸力能夠有效跟蹤到目標值。既避免了既有主動控制策略對關鍵參數(shù)經(jīng)驗設計的不足，也強化了對目標接觸壓力的跟蹤控制。最終的仿真結果驗證了該控制方法的正確性和有效性。

2 弓網(wǎng)模型描述

弓網(wǎng)系統(tǒng)是一個復雜的振動耦合系統(tǒng)，在研究過程中，為了便于分析，常將受電弓和接觸網(wǎng)分別進行簡化，得到對應的數(shù)學模型，再通過耦合條件建立弓網(wǎng)系統(tǒng)的動力學模型。

關于受電弓的模型主要有歸算質量模型、多剛體模型、剛柔混合模型和全柔性模型[11]，本文采用能反映受電弓絕大部分動態(tài)特性的二自由度歸算質量模型進行建模，將受電弓弓頭和框架分別等效為一個整體，如圖1所示。

對于接觸網(wǎng)模型，由于接觸網(wǎng)剛度在跨間和跨內均是周期性變化，因此研究過程中常將接觸網(wǎng)等效為變剛度彈簧系統(tǒng)，采用高階的周期性模型來近似代替[13]，其結果為

(1)

式中Ki是恒定的剛度系數(shù)；v為列車速度；L為接觸網(wǎng)的跨距長度。

建立二元弓網(wǎng)系統(tǒng)振動微分方程如下

圖1 弓網(wǎng)耦合系統(tǒng)

(2)

其中，m1、m2、c1、c2、k1、k2分別為受電弓弓頭和框架的等效質量、等效阻尼和等效剛度。k(t)為簡化的等效接觸網(wǎng)變剛度彈簧。F0為靜態(tài)抬升力，考慮到列車高速運行時受電弓的氣動特性[14]，因此F0=70+0.0097v2，u為作動器施加的主動控制力，弓網(wǎng)系統(tǒng)的接觸力可表示為Fc=k(t)y1。

(3)

進一步轉換為

(4)

其中各狀態(tài)矩陣分別為

系統(tǒng)輸出的弓網(wǎng)接觸力為

yFc=k(t)x1

(5)

3 控制策略分析與控制器設計

反步法設計控制器的基本思想是將復雜的系統(tǒng)分解為不超過該系統(tǒng)階數(shù)的若干子系統(tǒng)，分別為每個子系統(tǒng)設計Lyapunov函數(shù)和虛擬控制器，總體合成起來完成整個系統(tǒng)的控制器設計。設計過程中常采取如下變換[15]

(6)

其中ei，i=1，2，3...為系統(tǒng)每級對應的誤差，xi為系統(tǒng)的狀態(tài)，αi-1，i=1，2，3...為需設計的虛擬控制器。

圖2 弓網(wǎng)系統(tǒng)反步法設計控制器的基本流程

3.1 控制模型

根據(jù)式(5)，弓頭位移可表示為

(7)

定義弓頭的理想位移為x1d，則

(8)

其中，yr為目標接觸力，本文中假設為一常數(shù)。

當系統(tǒng)穩(wěn)定時，弓頭位移跟蹤誤差將收斂為0。

(9)

此時，接觸力與理想接觸力的誤差將趨近于一個極小值ξ。即

|e(y(t)-yr(t))t→∞|<ξ

(10)

其中，e代表接觸力與理想接觸力的誤差。

為了設計控制器方便，在式(3)中令

(11)

對式(11)求導并將式(3)代入得

(12)

則式(3)被簡化為

(13)

3.2 控制器設計

定義弓頭位移跟蹤誤差為

e1=x1-x1d

(14)

第一步：

對e1式求導得

(15)

α1為第一個虛擬控制器，設

e2=x2-α1

(16)

(17)

其中，h1>0為第一個常值控制增益。

將式(17)代入式(15)可得

(18)

設計第一個Lyapunov函數(shù)為

(19)

對式(19)求導并將式(18)代入得

(20)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，為使得系統(tǒng)穩(wěn)定收斂，需使Lyapunov函數(shù)負定，即

(21)

第二步：

對e2求導得

(22)

α2為第二個虛擬控制器，設

e3=z-α2

(23)

(24)

其中，h2>0為第二個常值控制增益。

將式(24)代入式(22)得

(25)

設第二個Lyapunov函數(shù)為

(26)

對式(26)求導并將式(25)代入可得

(27)

為使得系統(tǒng)穩(wěn)定收斂，需使

(28)

第三步：

對e3求導得

(29)

設第三個Lyapunov函數(shù)為

(30)

對式(30)求導得

(31)

為使系統(tǒng)穩(wěn)定則需

(32)

為此，只需令

(33)

其中，h3>0為第三個常值控制增益。

將式(29)代入式(33)中最終得到弓網(wǎng)系統(tǒng)的反饋控制率u為

(34)

至此，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論完成了整個系統(tǒng)的控制率推導。

3.3 虛擬控制器

(35)

其中各項分別為

(36)

(37)

其中各項分別為

(38)

(39)

其中

(40)

對式(40)求導有：

(41)

(42)

從式(35)-(42)中可以看出，虛擬控制器的導數(shù)可以從系統(tǒng)的狀態(tài)和目標接觸力中顯式的計算得到。至此，完成了整個系統(tǒng)的控制器設計部分。

3.4 觀測器設計

(43)

(44)

其中，ηi(i=1，2，3，4)為觀測增益。

用式(43)減去式(3)得到狀態(tài)誤差信號的導數(shù)如下

(45)

從而利用式(43)設計的觀測器，觀測誤差是全局漸近穩(wěn)定的。對其證明如下

設計Lyapunov函數(shù)為

(46)

對其展開求導有

≤0

(47)

式(45)表示的是一個時不變的線性系統(tǒng)，因此證明得到狀態(tài)觀測誤差的全局漸近穩(wěn)定性。

4 仿真結果及分析

為了驗證所采用的反步法設計得到的控制器的正確性和有效性，建立弓網(wǎng)系統(tǒng)的仿真模型，得到未加控制之前的接觸力結果，在此基礎上施加主動控制，得到控制之后的結果進行二者的對比分析。仿真中所使用的受電弓參數(shù)來自于EN50318標準[16]，參數(shù)見表1所示?？刂破髟鲆媾c觀測器增益見表2所示。設置參考接觸壓力等于靜態(tài)抬升力，即yr=F0，初始時刻系統(tǒng)的位移和速度均為0。

表1 受電弓接觸網(wǎng)參數(shù)

表2 控制器增益與觀測器增益

對系統(tǒng)不可測狀態(tài)x2，x4的觀測結果分別如圖3和圖4所示，可以看出兩個狀態(tài)信號隨著系統(tǒng)仿真時間的增加，觀測誤差全局漸近穩(wěn)定。

圖3 x2的估計效果對比

當控制增益選取為h1=36，h2=72，h3=108時，在速度為200km/h、250km/h和300km/h的不同速度等級下，進行了仿真驗證，得到目標接觸力的跟蹤結果以及對應的控制力輸入如圖5-圖7所示。

圖4 x4估計效果對比

圖5 200km/h接觸力跟蹤結果及其對應控制力

圖6 250km/h接觸力跟蹤結果及其對應控制力

假設跟蹤偏差在5%以內跟蹤效果為優(yōu)秀，5%-10%以內跟蹤效果良好。大于10%跟蹤效果較差，設立這三個評定等級，待接觸力跟蹤到目標信號之后，對三種速度等級下的接觸力目標值和跟蹤偏差進行了統(tǒng)計，見表3所示。

圖7 300km/h接觸力跟蹤結果及其對應控制力

由表3可得，弓網(wǎng)系統(tǒng)在經(jīng)過本文設計的控制器控制過后，三種速度等級對應的跟蹤偏差分別為2.06%、2.54%、3.01%，均小于5%，跟蹤效果評定等級為優(yōu)秀，大大降低了弓網(wǎng)接觸力的波動，減小了受電弓在高速運行時離線的幾率。

表3 三種工況的接觸力數(shù)值統(tǒng)計

為了研究不同控制增益(h1、h2、h3)的選用對目標接觸力跟蹤效果的影響程度，現(xiàn)取了7種不同的控制增益方案，按等差數(shù)列依次排列見表4。設置理想接觸壓力為120N，運行速度為250km/h，進行幾種不同工況的對比，得到不同控制增益下接觸力的控制效果如圖8所示。分別對其對應的控制力輸入最值進行統(tǒng)計如圖9所示。

圖8 不同控制器增益下接觸力的控制對比

表4 控制器增益選擇方案

對不同控制器增益下達到目標接觸力的上升時間、跟蹤偏差以及對應的控制力輸入量最值進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果見表5所示。

表5 不同控制器增益下接觸力的跟蹤效果及控制力統(tǒng)計

由表5分析可得七種控制增益方案下，隨著控制增益越來越小，跟蹤到目標接觸力的上升時間越來越長，分別為0.51s、0.52s、0.55s、0.57s、0.61s、0.71s和0.82s，并且目標接觸力的跟蹤偏差越來越大。分別為3.57%、3.94%、5.22%、8.02%、12.98%、21.99%和38.90%，前四種控制增益方案的接觸力跟蹤偏差均小于10%，取得了良好及優(yōu)秀的跟蹤效果，后三種控制增益方案的跟蹤偏差均大于10%，跟蹤效果較差。因此可得隨著控制增益越來越小，所設計的控制器對于目標接觸力的跟蹤效果越來越差。

然而不同的控制增益下對應的控制力輸入?yún)s變化不大，對于操動機構工作的影響微乎其微。因此，為了抑制弓網(wǎng)接觸力的波動，在一定范圍內可適當?shù)倪x取較大的控制增益來抑制接觸力的波動。

圖9 控制力輸入的最值統(tǒng)計

5 結論

1) 針對弓網(wǎng)系統(tǒng)的接觸力跟蹤問題，建立其狀態(tài)空間模型，根據(jù)反步法控制策略，經(jīng)過嚴格的理論推導建立了弓網(wǎng)系統(tǒng)精確的控制模型，推導出狀態(tài)反饋控制率，從而使系統(tǒng)最終輸出的接觸力能夠有效跟蹤到目標值。

2) 對于系統(tǒng)中不可測的速度狀態(tài)x2，x4，設計了一種觀測器來對其進行估計。并證明了觀測誤差的全局漸近穩(wěn)定性。

3) 研究了不同增益下接觸力的跟蹤效果：隨著控制增益越來越小，跟蹤效果越來越差，并且在一定范圍內，控制增益的大小對操動機構控制力輸入的影響微乎其微。

仿真結果表明，所設計的控制器能夠使接觸力有效的跟蹤到目標值，極大的降低了弓網(wǎng)接觸力的波動，改善了受流質量，減小了受電弓在高速運行時離線的幾率，為一定條件下的弓網(wǎng)系統(tǒng)目標接觸力的跟蹤控制提供可行方案。另外，本文設計的控制器未考慮來自機車的激擾以及操動機構的時滯性，在下一步控制策略的優(yōu)化過程中，以期為主動控制受電弓的發(fā)展奠定良好的基礎。