楊玉虎，何 渠，解 然，周國成

（天津大學機械工程學院，天津 300350）

諧波齒輪傳動具有大速比、結構緊湊、同時嚙合齒數(shù)多及承載大等特點，在航空航天、儀表儀器及機器人領域中得到廣泛應用.

20世紀 50年代，Musser[1]率先提出采用直線齒廓的諧波傳動.但是，直線齒廓在嚙合中會發(fā)生輪齒對稱線偏轉(zhuǎn)，因而存在嚙合區(qū)間過小和尖點嚙合的現(xiàn)象[2].Шyвaлoв[3]發(fā)現(xiàn)了直線齒廓的這種不足，并用圖解法進行了驗證，采用漸開線齒廓在一定程度能補償直線齒廓的缺陷.沈允文等[4]采用使柔輪壓力角稍大于剛輪壓力角的方法，補償柔輪變形對輪齒嚙合性能的影響，發(fā)現(xiàn)柔輪壓力角的修正量與傳動比有關[5].León等[6]分析了模數(shù)、壓力角和修正系數(shù)對齒廓嚙合性能的影響，并輔以有限元仿真設計齒廓主要幾何參數(shù).

隨著智能機器人與航空航天技術的快速發(fā)展，采用直線或漸開線齒廓已不能滿足性能需求，人們開始探索新型齒廓.Гинэбypг[7]提出圓弧齒廓，這種寬齒槽齒形可有效改善齒根應力集中問題，柔輪輪齒柔性足以補償嚙合側(cè)隙，且沿齒高方向的齒間楔形側(cè)隙有利于形成潤滑油膜.沈允文[8]通過理論和實驗驗證了采用圓弧齒廓諧波齒輪的可行性和合理性.曾世強等[9]比較了相同參數(shù)下漸開線和雙圓弧齒廓的嚙合性能，發(fā)現(xiàn)雙圓弧齒廓的嚙合區(qū)間大于漸開線齒廓.在此基礎上，辛洪兵[10-11]研究了雙圓弧齒廓參數(shù)的選取和設計方法，并總結一系列齒廓參數(shù)選取參考值.陳曉霞等[12-13]提出了雙圓弧齒廓的弧長坐標表示方法，為雙圓弧齒廓的解析表達及高效設計提出一種有效的方法.其后，Tang等[14]開展了雙圓弧公切線齒廓的參數(shù)優(yōu)化設計研究，分析了齒廓參數(shù)對齒廓共軛嚙合區(qū)域及共軛齒廓差異的影響，并給出具體的單參數(shù)及多參數(shù)優(yōu)化算例.但上述文獻在齒廓設計中，總體上仍是依據(jù)經(jīng)驗給出柔輪齒廓參數(shù)，然后根據(jù)柔輪與剛輪齒廓的嚙合性能迭代運算確定齒廓參數(shù)，設計效率低且缺少速比等工況參數(shù)的關聯(lián)設計信息.

文獻[14-16]從運動學分析出發(fā)，提出基于瞬心線的雙圓弧齒廓設計方法，該方法避免了采用包絡法必須反復進行的干涉檢驗，實現(xiàn)了齒廓特定點的精確共軛以及連續(xù)共軛嚙合.注意到，日本學者 Ishikawa[17]提出根據(jù)柔輪齒頂點的運動軌跡進行二分之一映射和鏡像的 S形齒廓設計方法.這種方法形象直觀，齒廓能夠?qū)崿F(xiàn)連續(xù)嚙合.但由于假定剛輪為齒條，因而在齒廓設計中忽略了柔輪齒歪斜和速比等運動信息，須進行復雜的齒廓修形[18].

本文針對現(xiàn)有圓弧齒廓依據(jù)經(jīng)驗和反復包絡迭代計算確定齒廓設計參數(shù)的不足，提出根據(jù)柔輪齒頂相對剛輪的最大切向位移構造共軛齒廓的設計方法.從波發(fā)生器函數(shù)與速比等參數(shù)信息出發(fā)，通過分析柔輪齒頂?shù)南鄬\動軌跡，提取柔輪齒頂?shù)那邢蛭灰菩畔?，?jù)此構造柔輪的初始齒廓參數(shù)，進而完成共軛齒廓設計.

1 諧波齒輪傳動概述

諧波齒輪的 3個主要零部件：剛輪、柔輪及波發(fā)生器，如圖1所示.

圖1 諧波齒輪傳動主要部件Fig.1 Three main components of harmonic drive

波發(fā)生器與柔輪完成裝配后，柔輪將按照波發(fā)生器形狀產(chǎn)生相應的變形，嚙合平面上分別產(chǎn)生徑向變形 w、切向變形 u以及輪齒法線偏轉(zhuǎn) μ，柔輪齒位置發(fā)生相應變化，如圖2所示.圖中rm表示未變形柔輪中線的半徑，紅色箭頭表示變形方向.

圖2 柔輪變形中線Fig.2 Deformed neutral curve of flexspline

設柔輪變形曲線為標準橢圓，橢圓長短半軸分別為 a、b，長軸處最大徑向變形量為 w0，變形曲線方程為

式中 e為橢圓偏心率，即

在波發(fā)生器的作用下，柔輪產(chǎn)生周期性彈性變形與剛輪形成周期性錯齒運動，傳動比為

式中：z1是柔輪齒數(shù)；z2是剛輪齒數(shù)；“－”表示波發(fā)生器與柔輪的轉(zhuǎn)向相反.

2 柔輪雙圓弧齒廓設計

2.1 齒廓參數(shù)

為建立柔輪齒廓的參數(shù)模型，以輪齒對稱線為yf軸，對稱線與中線交點為原點Of，建立與柔輪輪齒固連的局部坐標系 Ofxfyf，如圖3所示.其中，r為變形前柔輪分度圓半徑，ha、hf分別為齒頂高、齒根高.

圖3 柔輪齒廓參數(shù)Fig.3 Parameters of flexspline tooth profile

已知柔輪分度圓與齒厚比，則分度圓與齒廓曲線的交點B確定，過B點作與yf軸夾角為α的直線，稱為齒廓基準線，α稱為名義壓力角[11].基準線分別交齒頂圓、齒根圓于A點、D點.

作 AB中垂線 EC，以 A、B、C 3點作齒頂圓弧，圓心為Oa.EC的長度v決定雙圓弧齒廓的整體凹凸程度，將直接影響共軛齒廓的形狀.以 B為公切點，過 B、D兩點，作與圓弧 AB相切的圓弧 BD，作為齒根圓弧，圓心為Ob.公切點切線與yf軸夾角為γB.柔輪齒廓的基本設計參數(shù)如表1所示.

表1 柔輪齒廓參數(shù)定義Tab.1 Definition of tooth parameters for flexspline

2.2 齒廓方程

如圖3所示，A、B、D 3點的位置矢量分別為

C位于AB的垂弦方向上，有

齒頂圓弧中心Oa和半徑ρa由此確定，有

以B點為公切點，過齒根點D作齒根圓弧，圓弧中心Ob和半徑ρb為

兩段圓弧的公切點傾角為

采用弧長坐標表示齒廓方程[13]，l為弧長參數(shù)，柔輪齒廓及其法線方程可表示為如下分段函數(shù).

(1) AB齒頂圓弧段函數(shù)分別為

(2) BD齒根圓弧段函數(shù)分別為

3 輪齒運動學

3.1 嚙合端各構件的相對運動關系

假定剛輪固定，波發(fā)生器為輸入構件，柔輪為輸出構件.以波發(fā)生器回轉(zhuǎn)中心 O為原點，長軸為 y軸，建立剛輪坐標系 Ocxcyc，如圖4所示.對應柔輪與剛輪齒的對稱線與 y軸重合時為初始位置.圖4中，Owxwyw是與波發(fā)生器固連的動坐標系，初始時刻與剛輪坐標系重合.

圖4 各構件的相對運動關系Fig.4 Relative motion relationships among the three components

設波發(fā)生器由初始位置逆時針轉(zhuǎn)動Wφ角，同時柔輪輸出端相對初始位置順時針轉(zhuǎn)動Fφ角，關系為

波發(fā)生器相對柔輪嚙合端的轉(zhuǎn)角為 φ，嚙合端坐標系原點由Of′點變形至 Of點.采用標準橢圓波發(fā)生器時，變形量函數(shù)為

Of點相對點的位移可用矢量表示

設柔輪齒上任一點 N在動坐標系 Ofxfyf下的位置矢量為，其在 Ocxcyc下的矢量可表示為

式中

根據(jù)式(20)，對應柔輪齒嚙入到嚙出轉(zhuǎn)角的范圍，可得柔輪公切點B的運動軌跡方程有

相應的B點運動速度矢量可表示為

3.2 柔輪齒公切點運動軌跡分析

為進一步探討輪齒的運動規(guī)律和變形情況，假定柔輪輸出端固定，波發(fā)生器主動，剛輪從動.根據(jù)式(22)得到嚙合端輪齒在一個周期內(nèi)的運動軌跡Oi(1，2，…，n)，如圖5所示，其中O1對應完全嚙合，On對應完全脫開；vm為柔輪齒的最大切向位移，是柔輪齒自身的偏轉(zhuǎn)以及柔輪的切向變形共同導致.

圖5 柔輪輸出端固定時柔輪齒的相對運動軌跡Fig.5 Trajectory of flexspline tooth when the output end is fixed

利用反轉(zhuǎn)法，齒廓公切點 B的運動軌跡在柔輪輸出端下可表示為

因此，最大切向位移為

vm用于設計齒頂圓弧的補償量 EC，該補償量決定了雙圓弧齒廓的凹凸程度，對共軛嚙合區(qū)間角度有重要影響.

3.3 柔輪齒頂圓弧的連續(xù)共軛條件

如圖6所示，對比直線齒廓與雙圓弧齒廓及其運動軌跡，前者的齒廓法向矢量為常值，運動過程中共軛解非常少；而后者齒廓存在曲率變化，法向矢量存在連續(xù)變化，即齒廓豎直切線傾角γ連續(xù)變化.齒頂齒廓曲率變化決定了傾角的變化范圍.因此，需合理設計 v及γB，使得齒廓能夠連續(xù)嚙合且得到盡可能大的共軛存在角度.

圖6 柔輪齒廓法矢量與齒頂?shù)乃俣仁噶縁ig.6 Normal vector of flexspline tooth profile and velocity vector of tooth tip

如圖7所示，設豎直方向與齒廓切線的夾角為傾角γ，與速度矢量的夾角為 β.β的最大值為 90°，最小值βmin發(fā)生在公切點B處，有

圖7 齒廓傾角γ 與速度矢量夾角β 的定義Fig.7 Definition of tooth profile obliquity angle γand velocity vector inclination angle β

式中：jf為坐標系 Ofxfyf中 yf方向的單位矢量；VB由式(23)得到.

為滿足齒頂齒廓均存在共軛解，傾角γ需大于速度矢量最小夾角βmin，即連續(xù)共軛條件

式中傾角γ最大值對應齒廓齒頂點處，且小于 90°，最小值對應齒廓公切點處，則式(27)也可表示為

由式(12)可知，公切線傾角γB主要由最大切向位移量vm決定，為此需要引入系數(shù)v*，對最大切向位移進行適當調(diào)整，有

式中v.*∈(0,1]

3.4 共軛齒廓求解

柔輪嚙合端坐標系 Ofxfyf下的柔輪齒廓曲線RAB與法線nAB在剛輪坐標系 Ocxcyc下表示為

式中

采用改進運動學法求共軛齒廓[10]，設Vc為共軛齒廓嚙合點在 Ocxcyc坐標系下的相對速度矢量，表達式為

共軛齒廓的嚙合方程為

B矩陣不包含任何共軛齒廓曲線的幾何參數(shù)，只包含相對運動參數(shù)φ，簡化了共軛齒廓的求解過程.

4 齒廓參數(shù)設計與嚙合特性分析

4.1 設計算例

為驗證本文雙圓弧齒廓設計方法的有效性，分別以兩種速比(i＝80、100)參數(shù)為例，選用標準橢圓凸輪波發(fā)生器，給定柔輪中線半徑rm＝40.6400mm，模數(shù)m＝0.4064，取最大徑向變形量w0等于模數(shù)m，柔輪齒頂高取0.8m，齒根高取1.2m，齒厚比取1.2.

對柔輪進行運動分析，根據(jù)式(25)及柔輪中線方程，求解用于補償基準直線的切向位移量 vm＝30μm.根據(jù)式(26)計算出一個運動周期內(nèi)的夾角 β的變化及最小值，如圖8所示.

圖8 一個周期內(nèi)β隨φ的變化Fig.8 Variations of β varies with φ in one cycle

根據(jù)式(33)求解共軛齒廓，得到共軛區(qū)間角度 φ隨v*與α變化的等高線.為保證齒頂齒廓滿足連續(xù)共軛解，v*和α的選取應滿足式(28)，即參數(shù)的可行域，如圖9灰色區(qū)域所示，由圖可知，隨著 v*的增大，共軛區(qū)間不斷增大，但可行域變小，隨著α的增大，共軛區(qū)間不斷增大，但可行域變大.參照文獻[11]選取參考值α＝28.6°，為獲得較大的共軛區(qū)間，v*分別選取0.65、0.60，設計柔輪齒廓，并對剛輪齒廓進行包絡擬合，齒廓參數(shù)如表2所示.

圖9 共軛存在角度φ隨v*與α 變化Fig.9 Contour map of φ varies with v* and α

表2 柔輪與剛輪齒廓參數(shù)Tab.2 Tooth parameters of flexspline and circular spline

4.2 嚙合特性分析

為更直觀分析柔輪齒相對剛輪的運動狀態(tài)，以i＝100為例，根據(jù)式(20)，計算柔輪齒相對剛輪從嚙入到嚙出的相對運動軌跡如圖10所示.由圖10可知，嚙合過程無干涉現(xiàn)象，嚙合側(cè)隙均勻.

圖10 柔輪齒運動軌跡Fig.10 Motion trajectory of flexspline tooth

根據(jù)設計完成的柔輪、剛輪齒廓參數(shù)求解共軛存在方程，得到共軛存在區(qū)間如圖11所示，并利用文獻[13]所提出的側(cè)隙計算方法，對柔輪齒與剛輪齒在半個嚙合周期內(nèi)(φ∈[0，π/2])的嚙合側(cè)隙分布情況進行分析，如圖11所示，齒廓在整個共軛存在區(qū)間內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)連續(xù)共軛嚙合，嚙出角度高達 68.6162°.由圖12可知，嚙合過程中側(cè)隙δ始終大于0，無齒廓干涉，且理論最大側(cè)隙不超過 2.5μm，能夠較好地滿足工程需要.

圖11 齒廓共軛存在區(qū)間Fig.11 Existing conjugate domain of tooth profile

圖12 齒廓側(cè)隙分布Fig.12 Backlash distribution of tooth profile

4.3 有限元仿真驗證

在有限元分析軟件中模擬波發(fā)生器與柔輪的裝配過程，檢驗柔輪變形后柔輪齒與剛輪齒的嚙合側(cè)隙及應力分布.選取表2中速比100的齒廓參數(shù)，設置柔輪壁厚 1.2mm，軸向?qū)挾?2mm，將柔輪簡化為齒圈薄壁圓環(huán)，波發(fā)生器簡化為柔性軸承外圈圓環(huán)[19].

給定柔輪材料為42CrMo，彈性模量為205GPa，泊松比為 0.28，密度為 7.85×103kg/m3；剛輪為QT800，彈性模量為 150GPa，泊松比為 0.25；波發(fā)生器為 45號鋼，彈性模量為 200GPa，泊松比為 0.30.在 ANSYS平臺，以掃掠劃分形式劃分網(wǎng)格，采用六面體單元，剛輪、柔輪與波發(fā)生器的網(wǎng)格尺寸分別設置為 0.20mm、0.05mm、0.05mm，單元總數(shù) 568880.有限元仿真模型如圖13所示.

圖13 裝配前諧波齒輪有限元模型Fig.13 FEA model of the harmonic drive before assembly

設置柔輪內(nèi)壁與波發(fā)生器外壁表面接觸為非線性摩擦接觸，摩擦系數(shù) 0.05，選用增廣拉格朗日算法計算得到剛?cè)彷喌膹较蜃冃畏植荚茍D如圖14所示.圖14中，最大徑向位移分布在長軸區(qū)域，最小值出現(xiàn)在短軸區(qū)域附近，單側(cè)共軛存在角度近 68.31°，單側(cè)存在37對共軛齒.

圖14 徑向變形分布云圖Fig.14 Distribution of radial deformation

柔輪裝配后的等效應力分布云圖如圖15所示，顯示結果隱藏波發(fā)生器.由圖15可知，空載下柔輪長軸端與短軸端輪齒齒根部分承受最大應力，應力沿中性線兩端遞減，在距長軸端 30°～45°處有應力最小值.

圖15 柔輪的等效應力分布Fig.15 Von Mises stress distribution of flexspline

對比有限元仿真與數(shù)值分析結果，分別如圖14、圖16所示.其中，圖16根據(jù)等分弧長分布法計算得到[12]，結果顯示存在 68.40°的嚙合區(qū)間，單側(cè)共軛齒對數(shù)為 38對，與圖14結果(68.31°及單側(cè) 37對)比較存在少量差異.計算有限元仿真結果的齒側(cè)間隙，與理論側(cè)隙值對比如圖17所示，圖中側(cè)隙最大值小于 10μm，整體誤差也稍大于理論側(cè)隙值，這是由于有限元仿真計及了柔輪在波發(fā)生器作用下的幾何接觸和薄殼產(chǎn)生的微小彈性變形等因素，而理論模型忽略了柔輪的彈性變形.

圖16 理論嚙合模型Fig.16 Theoretical meshing model

圖17 理論與有限元的側(cè)隙值對比Fig.17 Comparison of backlash distribution between theoretical value and FEA value

為更精確地驗證柔輪變形量，從圖14中提取1/4柔輪中性線上 200個采樣點的徑向變形量與周向變形量，與柔輪的解析變形結果進行對比，如圖18所示.圖中，徑向變形量最大誤差小于 1μm，周向變形量最大誤差小于 11μm，整體誤差能夠滿足工程需要，驗證了本文解析模型的有效性.

圖18 理論與有限元的徑向/周向變形量對比Fig.18 Comparison of radial and circumferential deformation between theoretical value and FEA value

5 結 論

針對現(xiàn)有諧波齒廓表征參數(shù)過多、設計柔度不足及設計參數(shù)之間關聯(lián)度較低的問題，本文提出一種考慮柔輪齒相對運動軌跡的雙圓弧齒廓設計方法，經(jīng)有限元仿真分析驗證方法的有效性，得到如下結論.

(1) 分析 2種運動模式下的柔輪齒廓公切點的運動軌跡：固定剛輪，獲取柔輪齒相對剛輪齒的運動軌跡和速度矢量函數(shù)；固定柔輪，獲得最大切向位移用于設計雙圓弧齒廓，有效地將輪齒變形尺度與齒廓參數(shù)設計結合起來.

(2) 提出了一種雙圓弧齒廓參數(shù)設計方法，設計的共軛齒廓可實現(xiàn)連續(xù)嚙合且不存在干涉，具有較大的共軛存在區(qū)間，共軛存在角度為 68.31°，理論齒側(cè)間隙小于2.5μm.

(3) 當齒厚比和分度圓給定時，柔輪齒頂圓弧的凹凸程度是影響共軛存在區(qū)間的主要因素，共軛區(qū)間隨圓弧補償系數(shù)v*和名義壓力角α的增大而增大.