祁倩倩

［摘? 要］ 推理是一種常見的數(shù)學(xué)思維方式，具有將抽象內(nèi)容具體化，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)理解的作用. 文章以“證明”的第一課時(shí)的教學(xué)為例，以教學(xué)分析為起點(diǎn)，結(jié)合對(duì)“觀察到的結(jié)論并不一定是正確的”“說理是確定實(shí)踐結(jié)論的關(guān)鍵”兩部分內(nèi)容的授課，具體談?wù)勗诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，該如何立足于實(shí)踐操作，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.

［關(guān)鍵詞］ 證明；演繹推理；思維

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，是促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力發(fā)展的學(xué)科. 邏輯推理能力是指學(xué)習(xí)者能敏銳地分析并思考所遇到的問題，迅速掌握問題核心，并在短時(shí)間內(nèi)做出正確反應(yīng)的能力. 邏輯推理包括演繹推理、歸納推理與類比推理三種，本文著重探討的是演繹推理. 這種推理方式以“一般性”為前提，通過推導(dǎo)獲得具體結(jié)論，它在一慣性與嚴(yán)密性上與其他兩類推理方式相比，具有一定的獨(dú)特性.

教學(xué)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為學(xué)生必須具備且能適應(yīng)其終身發(fā)展與社會(huì)需要的關(guān)鍵品質(zhì)與能力，并明確了六大素養(yǎng)，提出了“四基與四能”“三會(huì)”等要求［1］. 實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)實(shí)踐操作以“做”為支架，讓學(xué)生通過動(dòng)手動(dòng)腦自主發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論，同時(shí)教學(xué)實(shí)踐操作具有顯著的直觀性，便于學(xué)生理解核心知識(shí)，可以取得口頭教學(xué)所無法比擬的教學(xué)效果.

數(shù)學(xué)實(shí)踐操作主要以問題為起點(diǎn)，將結(jié)論設(shè)為操作的最終目標(biāo)，是展示知識(shí)形成過程的一種教學(xué)活動(dòng). 其內(nèi)容選擇并不拘泥于教材，還可以源于生活，是數(shù)學(xué)課程必要的補(bǔ)充. 學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)踐操作中，除了能直觀地看到知識(shí)本質(zhì)，體悟數(shù)學(xué)思想方法，還能積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)［2］.

學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的合情推理能力（通過探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論），在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)他們的演繹推理能力具有較強(qiáng)的可操作性. “證明”的第一課時(shí)，教學(xué)目的在于讓學(xué)生發(fā)自內(nèi)心地感受“證明”的強(qiáng)大力量，為學(xué)生演繹推理能力的形成奠定基礎(chǔ).

教學(xué)實(shí)錄

1.獲得的結(jié)論并不一定是正確的

縱然實(shí)踐操作有著得天獨(dú)厚的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，我們通過實(shí)踐操作所獲得的結(jié)論并不一定是正確的，這就需要我們具備敏銳的洞察力，在演繹推理的過程中學(xué)會(huì)辨析. 本節(jié)課中，師生首先共同回顧“三角形內(nèi)角和”的操作證明過程，在學(xué)生提出“量、剪、拼”的方法后，教師邀請(qǐng)一名學(xué)生到黑板上快速用三角形模板進(jìn)行實(shí)操演示.

教師總結(jié)并板書：實(shí)踐操作是認(rèn)識(shí)新事物的重要手段之一.

師：通過操作所獲得的結(jié)論，通過感官系統(tǒng)所感知到的結(jié)論一定都是正確的嗎？

生1：不一定.

師：請(qǐng)舉個(gè)例子說明一下.

演示1 如圖1，一位學(xué)生畫了兩幅大小圓的圖. 觀察兩幅圖，學(xué)生一致認(rèn)為圖1（2）中間的大圓比圖1（1）中間的小圓大. 當(dāng)畫圖的這位學(xué)生將兩幅圖疊合在一起時(shí)，大家驚訝地發(fā)現(xiàn)圖1（1）中間的小圓竟然大于圖1（2）中間的大圓.

演示2 如圖2，判斷兩根線段的長(zhǎng)度是否相等. 在沒有虛線的情況下，大家都認(rèn)為前面那根線段比后面那根線段長(zhǎng)，而實(shí)際上兩根線段一樣長(zhǎng).

師：通過以上兩個(gè)例子，我們能獲得什么道理？

生2：通過肉眼觀察所得到的結(jié)論，有時(shí)候受參照物的影響會(huì)出現(xiàn)偏差.

師：很好，那么我們?cè)跀?shù)學(xué)實(shí)踐操作過程中所獲得的結(jié)論是否可靠呢？現(xiàn)在請(qǐng)大家做如下操作，將一個(gè)邊長(zhǎng)為8 cm的正方形，剪拼成一個(gè)5 cm×13 cm的長(zhǎng)方形.

演示3 如圖3，學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行畫圖、剪拼. 實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問題，即正方形的面積為8×8=64 cm²，而拼成的長(zhǎng)方形面積卻是5×13=65 cm2，那么這多出來的1 cm2是從哪里來的呢？

教師為學(xué)生提供了一張邊長(zhǎng)為80 cm的大正方形，通過剪拼后，學(xué)生恍然大悟，原來拼成的長(zhǎng)方形中間存在一個(gè)縫隙. 至此，問題就迎刃而解了.

教師板書：實(shí)踐操作所獲得的結(jié)論并不一定是正確的.

三個(gè)實(shí)例，刷新了學(xué)生原本對(duì)實(shí)踐操作的認(rèn)識(shí). 不少學(xué)生原本認(rèn)為自己親眼所見、親耳所聞的一定是真理，而事實(shí)告訴他們：參照物不一樣，感官對(duì)同一信息會(huì)產(chǎn)生不一樣的反饋. 如何避免這種問題呢？需進(jìn)行進(jìn)一步說理與證明.

2. 說理是確定實(shí)踐結(jié)論的關(guān)鍵

如果說實(shí)踐操作是說明事實(shí)的過程，那么論證是驗(yàn)證該事實(shí)是否正確的重要渠道. 反觀之前所接觸過的“論證三角形內(nèi)角和”問題，學(xué)生通過操作獲得相應(yīng)結(jié)論后，教師還會(huì)對(duì)為什么三角形的內(nèi)角和為180°進(jìn)行補(bǔ)充說明，此時(shí)的補(bǔ)充說明就是說理的過程.

教師板書：實(shí)踐操作所獲得的結(jié)論，需要經(jīng)過論證才能確定其是否成立.

例1 某小區(qū)有一條長(zhǎng)、寬分別為a m、b m的長(zhǎng)方形草坪，現(xiàn)在準(zhǔn)備在這塊草坪中間鋪一條鵝卵石的小路，預(yù)計(jì)路寬為1 m. 設(shè)計(jì)師提出了直路（見圖4）與曲路（見圖5）兩種方案，面對(duì)這兩種方案，工程師產(chǎn)生了爭(zhēng)執(zhí).

甲工程師：直路的方案比曲路方案好，因?yàn)橹甭繁惹肥〔牧?

乙工程師：我認(rèn)為曲路的方案好，有藝術(shù)感，而且曲路與直路的面積是一樣的，因此耗材也一樣.

師：你們認(rèn)同哪位工程師的觀點(diǎn)？說明理由.

學(xué)生經(jīng)思考后，提出曲路確實(shí)更具美感，適合用在小區(qū)內(nèi). 但直路與曲路的面積是否一樣，需要研究一下. 從兩條小路的面積來觀察，圖4的直路面積為1×a=a m²，但圖5中曲路的面積該怎么求呢？學(xué)生一致認(rèn)為這是個(gè)棘手的問題.

教師要求學(xué)生通過小組合作的方式來探尋答案. 從巡視中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生無從下手，于是教師適當(dāng)?shù)丶右渣c(diǎn)撥：長(zhǎng)方形草坪的面積為ab（m²），除去草坪部分的面積就是路的面積，如果從路的角度無法獲得結(jié)論，就從草坪面積著手.

在教師的點(diǎn)撥下，立即有學(xué)生發(fā)現(xiàn)路的寬度恒為1，草坪被路分成了兩半. 若將兩塊草坪的面積合并（學(xué)生操作，剪拼），則得出以下結(jié)論：S_曲路=ab－a（b－1）=a m². 由此可確定曲路與直路的面積是一樣的，也就是說乙工程師的意見是正確的. 此即為說理的過程.

師：本題的解題關(guān)鍵在于求曲路面積時(shí)，要關(guān)注到剩下草坪的面積與路的面積的和是ab. 解題時(shí)，思維不要局限于求路的面積，還可以轉(zhuǎn)化為求草坪的面積. 這體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想方法“轉(zhuǎn)化思想”，應(yīng)該說這個(gè)結(jié)論是本節(jié)課的一個(gè)重要收獲.

教師板書：轉(zhuǎn)化思想.

師：剛才，我們用說理的方式證明了在幾何圖形中兩條不同形狀小路面積的關(guān)系問題，從中大家都感受到了說理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有的力量. 其實(shí)，說理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無處不在，接下來，我們通過一個(gè)代數(shù)的例子來感受說理對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響.

例2 教師用PPT展示代數(shù)式：x²－2x+2.

師：在這個(gè)代數(shù)式中，當(dāng)x取值發(fā)生變化時(shí)，值也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化，但究竟是怎么變化的呢？我們都知道x可以取的值太多了，我們?cè)搹氖裁唇嵌热ト≈挡⑴袛嘟Y(jié)論的變化范圍呢？

生1：可以隨便取幾個(gè)試試，或者從正數(shù)、負(fù)數(shù)與零中各取幾個(gè)試試.

師：那就請(qǐng)大家分別從這幾類數(shù)中取值看看.

學(xué)生自主取值存在一定的個(gè)體偏好，如一位學(xué)生分別取了2，6，10， 0，－2，－4，－8. 這位學(xué)生所取的值，都是整數(shù)且為偶數(shù). 真是無心插柳柳成蔭，這種取值方法是教師沒有預(yù)設(shè)到的，因此產(chǎn)生了不少意料之外的猜想.

教師將這位學(xué)生的取值投影到黑板上，并要求大家建立一個(gè)表格（見表1），將數(shù)據(jù)填入表格后進(jìn)行分析.

師：大膽的猜想是獲得偉大發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ). 現(xiàn)在請(qǐng)觀察你們填寫的表格，并對(duì)x²－2x+2的取值范圍提出相應(yīng)的猜想.

在教師的鼓勵(lì)下，學(xué)生經(jīng)過分析獲得如下猜想：①x²－2x+2的值必然為偶數(shù)；②該式的值必然為正數(shù)；③該式的值必然為整數(shù)；④x²－2x+2的值必然大于等于2，等等.

教師要求學(xué)生辨別這些猜想的正確性. 有學(xué)生提出，可以從反面進(jìn)行論證，即舉反例.

師：既然提到了舉反例的方法，現(xiàn)在請(qǐng)大家再取幾個(gè)特殊值來看看以上猜想是否正確.

生2：當(dāng)x為1時(shí)，該式的值為1. 此時(shí)，新的猜想又出現(xiàn)了，即x²－2x+2的值必然大于等于1.

師：這個(gè)結(jié)論是否正確呢？咱們?cè)賮砣≈悼纯?

此時(shí)，學(xué)生提出了困惑：x的值不可能全都取到呀，這怎么判斷呢？

問題又回到了原點(diǎn).

師：如果從完全平方公式著手分析呢？

生3：將式子x²－2x+2進(jìn)行變形可得（x－1）²+1，從這個(gè)式子來看，x可以取任意值，且（x－1）²≥0，此時(shí)問題也就迎刃而解了，即（x－1）²+1≥1.

師：說理是驗(yàn)證操作所獲得的結(jié)論是否正確的重要方式，這也是下節(jié)課我們要著重研究的問題——證明.

此時(shí)，學(xué)生被說理的力量深深震撼，通過式子的轉(zhuǎn)化與演繹推理方法的應(yīng)用，答案浮出了水面. 此過程，教師順應(yīng)學(xué)生的思維，強(qiáng)調(diào)：判斷一句話是錯(cuò)誤的可以從“舉反例”的角度去證明. 判斷一句話是正確的則可以從“嚴(yán)密說理”的角度去證明［3］.

教師板書：實(shí)踐操作得到的結(jié)論，離不開說理論證的過程.

教學(xué)思考

1. 結(jié)合實(shí)情調(diào)整教學(xué)順序

本節(jié)課教學(xué)從預(yù)設(shè)到生成并沒有完全遵循教材內(nèi)容的順序，而是結(jié)合新課標(biāo)所提出的“引導(dǎo)學(xué)生從合情推理到演繹推理發(fā)展”的要求，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平進(jìn)行了教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整. 本節(jié)課的重點(diǎn)放在“為什么要說理”，也就是進(jìn)行演繹推理的理由上. 此過程為觀念形成過程，對(duì)后續(xù)學(xué)生的學(xué)習(xí)具有重要影響，因此教師耗費(fèi)了大量的時(shí)間與精力在這個(gè)問題上.

事實(shí)說明，在解決了“為什么要說理”的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生充分感受證明的力量是正確的選擇，一節(jié)課下來，演繹推理的重要性與證明的力量在每個(gè)學(xué)生的腦海中生根發(fā)芽. 因此，結(jié)合實(shí)際情況微調(diào)教學(xué)順序，不失為一種良好的教學(xué)方式.

2. 結(jié)合課標(biāo)調(diào)整教學(xué)方案

新課標(biāo)的落地，引發(fā)了教育界的一股研究熱潮，尤其是“三會(huì)”要求的提出，讓廣大教育工作者不得不思考接下來的教學(xué)方向與方案. 究竟該如何才能讓學(xué)生通過課堂教學(xué)“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”？

研究發(fā)現(xiàn)，教師應(yīng)用現(xiàn)成的導(dǎo)學(xué)案、教案與課件等，疏于深入思考，會(huì)導(dǎo)致教學(xué)流于形式，學(xué)生也無法感受到教師的良苦用心，更無法做到“三會(huì)”.

本節(jié)課，從教學(xué)內(nèi)容上來分析，主要有三個(gè)模塊，分別為：①引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到實(shí)踐操作是認(rèn)識(shí)一般事物的基本手段；②帶領(lǐng)學(xué)生感知，實(shí)踐操作所獲得的結(jié)論并不一定是正確的；③讓學(xué)生體驗(yàn)，通過實(shí)踐操作所獲得的結(jié)論只有經(jīng)過說理的過程，才能確定其是否成立. 其中，說理存在兩種方式，一種為舉反例，還有一種為步步有據(jù).

因此，教師制訂在教學(xué)方案時(shí)，需從以上幾部分內(nèi)容著手進(jìn)行分析，并結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，而非不加思考直接取用現(xiàn)成的課件. 基于學(xué)生實(shí)際情況，在本節(jié)課中筆者將前兩個(gè)模塊合并在一起教學(xué)，使得課堂充滿靈氣.

3. 結(jié)合預(yù)設(shè)促進(jìn)課堂生成

課堂預(yù)設(shè)與生成是相輔相成的關(guān)系，因?yàn)閷W(xué)生的思維是動(dòng)態(tài)變化的，所以真正的課堂是動(dòng)態(tài)的. 教師只有在課前做好充分預(yù)設(shè)，才能在課堂上遇到“意外”時(shí)，靈活地采取應(yīng)對(duì)措施，讓課堂充滿智慧. 這種狀態(tài)下的課堂能有效促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng).

探討x²－2x+2的取值范圍時(shí)，雖然教師做了精心預(yù)設(shè)，但學(xué)生特殊的取值，出乎教師的意料. 此時(shí)教師并沒有避開這位學(xué)生特殊的取值，而是順應(yīng)學(xué)生思維往下探討. 這種隨機(jī)應(yīng)變的能力是教師綜合素養(yǎng)的體現(xiàn)，也是尊重學(xué)生的體現(xiàn)，學(xué)生在此過程中充分感知到證明的作用與力量.

綜上，在本節(jié)課的教學(xué)中，教師沒有完全照本宣科，也沒有急于求成地簡(jiǎn)單告知，而是讓學(xué)生親身經(jīng)歷了實(shí)踐操作后思維的發(fā)生發(fā)展. 師生通過幾個(gè)實(shí)例證明了“實(shí)踐操作所獲得的結(jié)論并不一定是正確的”，這個(gè)觀點(diǎn)不僅對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有深遠(yuǎn)的影響，而且對(duì)于學(xué)生的“三會(huì)”也有重要影響. 本節(jié)課，學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到演繹推理的重要性，通過推理觸碰到了知識(shí)的本質(zhì)，而課堂也因?yàn)檠堇[推理，更具內(nèi)涵.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 董林偉. 初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論與實(shí)踐研究［M］. 南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

［3］ 史寧中. 試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（04）：1-16，46.