俞紅玉 黑龍江省哈爾濱市方正縣第一中學(xué)校

●創(chuàng)新整合點(diǎn)

①利用PowerPoint制作多媒體課件，使課堂生動(dòng)靈活，結(jié)尾簡(jiǎn)介“復(fù)數(shù)”這個(gè)神奇而又充滿魅力的“詭辯量”—i，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育滲透，從而讓學(xué)生對(duì)科學(xué)未知充滿好奇，讓學(xué)生有勇氣去質(zhì)疑去挑戰(zhàn)并積極地去探索宇宙的奧秘。

②利用電子白板制作游戲環(huán)節(jié)，使課堂氛圍活躍，提高學(xué)生的課堂參與度，直觀呈現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果，提高課堂效率。

③設(shè)計(jì)“我是小老師”環(huán)節(jié)，突破學(xué)生的固定思維模式，從“我是出題人”的角度出發(fā)，先是怎樣把復(fù)數(shù)這部分知識(shí)學(xué)得更扎實(shí)、牢固，然后再能力提升，充分體現(xiàn)了學(xué)以致用。

●教材分析

本節(jié)課選自人民教育出版社出版的《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（A版）》第七章第二節(jié)第二課時(shí)《復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算》，依據(jù)新課改新大綱要求，復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章知識(shí)的重點(diǎn)。主要內(nèi)容是復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算。學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)是已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念和坐標(biāo)表示，在第二節(jié)第一課時(shí)，介紹了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減的運(yùn)算法則，同時(shí)指出了復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義，復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式，溝通了“數(shù)與形”之間的聯(lián)系，提供了用“形”來(lái)幫助處理“數(shù)”和用“數(shù)”來(lái)幫助處理“形”的工具。

在這節(jié)內(nèi)容中，類比多項(xiàng)式的乘法法則，可把復(fù)數(shù)代數(shù)形式a+bi看成由a和bi兩個(gè)非同類項(xiàng)組成，這樣，多項(xiàng)式的運(yùn)算法則幾乎可以全部搬過(guò)來(lái)照用不誤，于是復(fù)數(shù)就與多項(xiàng)式、方程聯(lián)系起來(lái)，從而能幫助解決一些多項(xiàng)式中的因式分解、解方程等數(shù)學(xué)問(wèn)題。新教材降低了對(duì)復(fù)數(shù)的要求，只要求學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及幾何意義、加減乘除運(yùn)算及加減的幾何意義。

通過(guò)本節(jié)課對(duì)學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，滲透化歸的思想，將實(shí)數(shù)的運(yùn)算通性、通法擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種創(chuàng)新，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神。所以，《復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算》一課的編排有著重要的意義。

●學(xué)情分析

高一學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)較為豐富，已具有類比知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法。

●教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除法的運(yùn)算法則及其運(yùn)算律。

難點(diǎn)：復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則。

●教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解并掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則。

過(guò)程與方法目標(biāo)：在問(wèn)題探究過(guò)程中，體會(huì)和學(xué)習(xí)類比等數(shù)學(xué)思想方法，感悟運(yùn)算形成的基本過(guò)程。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)類比思想和逆向思維；通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除法的學(xué)習(xí)，體會(huì)實(shí)虛數(shù)的矛盾和統(tǒng)一，加深對(duì)數(shù)學(xué)的情感認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：①數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算法則；②邏輯推理：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的推導(dǎo)；③數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)四則運(yùn)算；④數(shù)學(xué)建模：結(jié)合實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求根公式和復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問(wèn)題。

●教學(xué)環(huán)境與準(zhǔn)備

教學(xué)環(huán)境：多媒體教室、寬帶網(wǎng)絡(luò)、seewo觸控一體機(jī)。

課堂準(zhǔn)備：教材、練習(xí)本、筆等課堂用品。

●教學(xué)過(guò)程

1.復(fù)習(xí)回顧，引入新課

師：各位同學(xué)，大家好。今天這節(jié)課我們將探討復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算。經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們了解了復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算及其幾何意義。復(fù)數(shù)的加法和減法法則，類似多項(xiàng)式的加減法，是將復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加減。從幾何意義的角度出發(fā)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法（平行四邊形法則）來(lái)進(jìn)行，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法（三角形法則）來(lái)進(jìn)。一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。通過(guò)上節(jié)課的探究我們發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的加減法與實(shí)數(shù)中多項(xiàng)式的加減法類似，那么，復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，是否也有這個(gè)規(guī)律呢？接下來(lái)讓我們一起來(lái)探究一下。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算及其幾何意義相關(guān)知識(shí)，通過(guò)復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的對(duì)比，引出復(fù)數(shù)乘除法的運(yùn)算法則。

2.新課探究

（1）復(fù)數(shù)的乘法法則

師：我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的乘法法則如下：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，那么它們的積z1z2=(a+b i)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i。

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，請(qǐng)思考并探討以下問(wèn)題：

問(wèn)題①—兩個(gè)復(fù)數(shù)的積是什么數(shù)？它的值唯一確定嗎？

生：通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍是復(fù)數(shù)，它的值唯一確定。

師：?jiǎn)栴}②—當(dāng)z1，z2都是實(shí)數(shù)時(shí)，與實(shí)數(shù)乘法法則一致嗎？

生：根據(jù)法則，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=d=0時(shí)，z1，z2都是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)的乘法與實(shí)數(shù)乘法法則一致。

師：?jiǎn)栴}③—復(fù)數(shù)的乘法類似于實(shí)數(shù)的哪種運(yùn)算方法？

生：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得結(jié)果中把i2換成-1，并把實(shí)部與虛部分別合并即可。

師：通過(guò)以上探究，我們知道，兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，且唯一確定，運(yùn)算中與實(shí)數(shù)的乘法法則保持一致，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘。

設(shè)計(jì)意圖：與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行類比，有利于學(xué)生理解復(fù)數(shù)的乘法法則，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生類比的核心素養(yǎng)。

（2）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

師：復(fù)數(shù)的加法滿足實(shí)數(shù)運(yùn)算中的運(yùn)算律，那么，復(fù)數(shù)的乘法是否滿足實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律呢？

教師和學(xué)生一起來(lái)驗(yàn)證乘法交換律，余下的以作業(yè)形式讓學(xué)生自己來(lái)驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)復(fù)數(shù)的加法滿足實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律，大膽嘗試推導(dǎo)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律。培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和勇于探索的精神。

（3）復(fù)數(shù)的除法法則

師：與復(fù)數(shù)減法法則的推導(dǎo)方法類似，我們利用復(fù)數(shù)的減法是復(fù)數(shù)加法的逆運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的加法法則，推導(dǎo)出了復(fù)數(shù)的減法法則。現(xiàn)在，我們依據(jù)復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的乘法法則，去推導(dǎo)復(fù)數(shù)的除法法則。即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi，(a，b，c，d∈R)的復(fù)數(shù)x+y i，叫做復(fù)數(shù)a+b i除以c+di的商。

教師說(shuō)明：在進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算時(shí)，通常先把相除的形式改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù)，這里分子分母都乘分母的“實(shí)數(shù)化因式”（共軛復(fù)數(shù)），從而使分母“實(shí)數(shù)化”。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)將復(fù)數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成分式的除法，再類比實(shí)數(shù)中的分母有理化，對(duì)分母進(jìn)行實(shí)數(shù)化，通過(guò)該化簡(jiǎn)的過(guò)程，幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)的除法法則。滲透類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密聯(lián)系。

（4）例題講解

①?gòu)?fù)數(shù)的乘法對(duì)應(yīng)例題。

例：計(jì)算（1-2i）(3+4i)(-2+i)。

教師分析：復(fù)數(shù)的乘法，類似于多項(xiàng)式乘法，從左到右進(jìn)行計(jì)算。注意，在結(jié)果中如果遇到i2換成-1完成計(jì)算。

例：計(jì)算（1）（2+3i）(2-3i)；（2）（1+i）2。

教師分析：可以利用復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算，也可以用與實(shí)數(shù)系相對(duì)應(yīng)的乘法公式計(jì)算。

設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)運(yùn)用新的理論知識(shí)，進(jìn)行應(yīng)用和鞏固練習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)成功。使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從掌握知識(shí)到運(yùn)用知識(shí)的轉(zhuǎn)化。在計(jì)算的過(guò)程中，鍛煉學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心能力。

②復(fù)數(shù)的除法對(duì)應(yīng)例題。

例：計(jì)算（1+2i）÷（3-4i）。

教師分析：先將除法化成分式的形式，再進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化運(yùn)算。

③提升練習(xí)。

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x2+2=0。

設(shè)計(jì)意圖：在熟練應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘法除法運(yùn)算法則之余，進(jìn)行提升練習(xí)。讓學(xué)生先獨(dú)立思考，提高學(xué)生的建構(gòu)能力及主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題的能力。分層教學(xué)，讓不同能力水平的學(xué)生學(xué)有所得。

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程ax2+bx+c=0。

通過(guò)計(jì)算觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)根互為共軛復(fù)數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生探究討論在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)如何求解方程，同時(shí)也讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三。

④開(kāi)展“我是小老師”活動(dòng)。

以小組為單位組內(nèi)出題，做出準(zhǔn)確答案，然后做其他小組出的題。

設(shè)計(jì)意圖：突破學(xué)生的固定思維模式，從“我是出題人”的角度出發(fā)，思考怎樣把復(fù)數(shù)這部分知識(shí)學(xué)得更扎實(shí)、牢固，然后再能力提升，學(xué)以致用。

3.課堂總結(jié)

①?gòu)?fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得結(jié)果中把i2換成-1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可。

②復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則。

③在進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算時(shí)，通常先把相除的形式改寫(xiě)成分式的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母“實(shí)數(shù)化”。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂小結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法除法運(yùn)算的理解，引導(dǎo)學(xué)生自我反饋、自我總結(jié)，并對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行提煉升華。

●教學(xué)反思

在新課程背景下，如何有效利用課堂教學(xué)時(shí)間，盡可能地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是一個(gè)重要的課題。教師首先要對(duì)新課標(biāo)和新教材有整體的把握和認(rèn)識(shí)，才能將知識(shí)系統(tǒng)化，注意知識(shí)前后的聯(lián)系，形成知識(shí)框架、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。筆者首先了解了學(xué)生現(xiàn)階段的認(rèn)知水平和年齡特點(diǎn)，因材施教，并圍繞復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算逐步展開(kāi)。課上，筆者選擇的題目呈階梯式展現(xiàn)，且緊密聯(lián)系新課改新高考，與時(shí)俱進(jìn)。同時(shí)，“我是小老師”這一環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

本課雖然完成了教學(xué)設(shè)計(jì)中的各個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生的能力也得到了相應(yīng)的提高，但仍有不足，如：教學(xué)設(shè)計(jì)中的例題比較多，課堂上的時(shí)間比較緊張；課后沒(méi)有做很好的小結(jié)。如果在教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂中處理好這些問(wèn)題，這節(jié)課也許會(huì)更好。

因此，在以后的教學(xué)中筆者還要經(jīng)常反思，不斷提高自己的教學(xué)水平。