程志松

(山東省寧陽縣第一中學 271400)

在同一平面中相交于原點的兩條數軸，如果它們的度量單位相等，稱為笛卡爾坐標系，其中兩條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系，稱為笛卡爾直角坐標系，否則稱為笛卡爾斜角坐標系.笛卡爾平面直角坐標系是我們平時使用最多的坐標系.那么若兩數軸的度量單位不一定相等時就構成了平面仿射坐標系.仿射變換是一種線性變換，能夠保持圖象的平行性與平直性，借助仿射變換這一特點，我們可以構建仿射坐標系.

已知向量a，b不共線，令a方向為x軸正方向，b方向為y軸正方向，如圖1建立仿射坐標系.

圖1

仿射坐標系同樣擁有四個象限，其坐標符號與平面直角坐標系一樣，第一象限(+，+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-).

我們首先研究一下在笛卡爾平面直角坐標系中直線方程截距式在向量基底作用下的幾何意義.

圖2

所以x=λa,y=μb.

通過分析發(fā)現，基底作用下向量表示與直線方程的截距式是等價的.那么在仿射坐標系中，我們能否得到相同的結論呢？

如圖3，{m,n}為仿射坐標系下的一組基底.

圖3

則OP=λam+μbn.

所以x=λa，y=μb.

下面我們以高考題為例，淺析等和線的應用.

1 等和線求取值范圍

由題意可知P(x,y)在第二象限，所以x<0.

圖4

圖5

由等和線可得直線OB為x+y=1，直線OM為x+y=0.

因為點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(不含邊界)，所以0

2 等和線求面積

圖6

因為|λ|+|μ|≤1，

所以λ>0,μ>0時，λ+μ≤1；

λ<0,μ>0時，-λ+μ≤1；

λ<0,μ<0時，-λ-μ≤1；

λ>0,μ<0時，λ-μ≤1.

3 等和線求最值

圖7

令λ+μ=m，由等和線可知當EF∥BD且與圓C相切時m取最大值.

作AN⊥EF,垂足為點N，交BD于點M.

因EF∥BD，故△AMB∽△ANF.

由等和線可知此時λ+μ=3.

所以λ+μ最大值為3.

17世紀初，笛卡爾建立了他的坐標系，這是變量數學的先導和基礎，深刻地影響了數學的發(fā)展道路.我們現在看來十分簡單的笛卡爾坐標系，經過仿射變換成為仿射坐標系，借助平面向量基本定理的推導讓我們進一步地理解直線截距式方程就是等和線的概念.向量是連接幾何與代數的有效手段，通過建系使點坐標化，進而幾何的目標可以通過代數達到，而代數的語言也可以用幾何解釋.