王德朋

(新疆喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 844000)

不等式是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中較為重要的內(nèi)容，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，同時(shí)也是高考內(nèi)容的重要考點(diǎn).不等式的問題通常都會與其他章節(jié)的內(nèi)容結(jié)合在一起進(jìn)行考查，涵蓋的內(nèi)容知識量比較大.因此，在不等式的證明過程中，方法的運(yùn)用比較靈活，可以通過方法的創(chuàng)新對不等式進(jìn)行證明.在不等式的證明中采用化歸思想的方法來解決問題就是一個(gè)很好的方法.將原始問題轉(zhuǎn)化為新的較容易解決的問題，運(yùn)用相應(yīng)知識對新問題進(jìn)行證明.最后將其還原到對原問題的證明.本文通過一些例題來探討化歸思想在不等式證明中的應(yīng)用.

1 化歸思想的含義

轉(zhuǎn)化與化歸思想是指將待解決的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題，即化難為易、化繁為簡，對新問題求解的一種數(shù)學(xué)思想方法.著名數(shù)學(xué)家羅莎通過對“化歸法”的生動比喻，體現(xiàn)了化歸思想的特點(diǎn)：將待解決的問題，經(jīng)過轉(zhuǎn)化，變?yōu)樽约菏熘膯栴}進(jìn)行求解，最終回到原來問題的解決.這一解題過程可以用圖1所示.

圖1

2 化歸思想的應(yīng)用指導(dǎo)

2.1 熟悉化歸方法，能夠靈活運(yùn)用

在高中的數(shù)學(xué)解題中，教師經(jīng)常讓學(xué)生多做題，進(jìn)行“題海戰(zhàn)術(shù)”.通過大量的做題來提高解題效率，這種做法有一定的好處，但學(xué)生的思維得不到鍛煉.化歸方法有等價(jià)變形法、非等價(jià)變形法、引入?yún)?shù)法、換元法及待定系數(shù)法等一系列解題方法.學(xué)生在對不等式進(jìn)行剖析的過程中，能夠找到用化歸思想中的一種方法進(jìn)行解決.平常的教學(xué)中，教師要多對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，鍛煉學(xué)生的思維能力，對化歸方法能夠靈活運(yùn)用，能夠做到熟練掌握，且能夠?qū)栴}有效轉(zhuǎn)化.最終做到對不等式的有效證明.

2.2 把握化歸原則，進(jìn)行簡單轉(zhuǎn)化

在高中階段基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中，不等式證明的相關(guān)知識較為晦澀難懂，學(xué)生對于證明不等式的方法不夠靈活，思維不夠敏捷.在教學(xué)中，教師要向?qū)W生引入化歸思想，引導(dǎo)學(xué)生把抽象的問題轉(zhuǎn)化為形象具體的問題.學(xué)生能夠理解簡單化原則、熟悉化原則以及直觀化原則，對于不等式的證明有更好的運(yùn)用.將較難理解的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題，且能夠用自己所熟知的知識對問題進(jìn)行解決.對不等式進(jìn)行簡單轉(zhuǎn)化，可以大大提高學(xué)生的解題效率.

3 化歸思想在不等式證明中的應(yīng)用

分析觀察發(fā)現(xiàn)，要證明的不等式直接證明有些困難.根據(jù)已知，能夠聯(lián)想到：sin2β+cos2β=1.即可以令a=xsinβ,b=xcosβ(x≤1).

證明令a=xcosβ,b=xsinβ,(x≤1),將a和b代入不等式左邊，得

|a2+2ab-b2|=|x2cos2β+2x2sinβcosβ-x2sin2β|

=x2|cos2β-sin2β+2sinβcosβ|

=x2|cos2β+sin2β|

分析觀察不等式，能夠運(yùn)用放縮法對不等式進(jìn)行證明，使問題更簡化.將左端從m=2開始逐步擴(kuò)大，用歸納法對原式進(jìn)行證明.

設(shè)m=n時(shí)，結(jié)論成立，則

說明m=n+1時(shí)，該命題是真命題，即原不等式得證.

分析觀察不等式左邊是有關(guān)x和y的對稱式，根據(jù)已知條件和不等式，可以運(yùn)用三角代換進(jìn)行證明.

證明因?yàn)閨x|≤1,|y|≤1，令x=sinβ,y=cosθ，將sinβ和cosθ代入不等式的左端,得

=sinβ·cosθ+|cosβ·sinθ|.

所以sin(β±θ)≤1.

例5 已知x>0,y>0,并且x3+y3=2， 證明：x+y≤2.

分析根據(jù)已知條件，要證x+y≤2會有困難，能夠引入?yún)?shù)x和y做以變換，“x=c+d,y=c-d”可以使問題得到簡化，方便于不等式的證明.

證明令x=c+d,y=c-d，則

x+y=2c,(x>0,y>0).

那么，x,c,y構(gòu)成以c為等差中項(xiàng)的等差數(shù)列.

所以x3+y3=(x+y)[(x+y)2-3xy]=2.

即2c·(4c2-3xy)=2.即c·(4c2-3xy)=1.

所以1=x·(4x2-3xy)

=4x3-3x·x2.

即1≥x3，因此，x≤1.

那么，x+y≤2，即原問題得證.

證明設(shè)向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)，兩向量的夾角為θ，

根據(jù)兩向量的內(nèi)積，得a·b=|a|·|b|·cosθ.

即a1a2+b1b2+c1c2

因?yàn)閏os2θ≤1,

4 結(jié)論

不等式是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中極為重要的一部分，不等式的證明更是關(guān)鍵之處.證明不等式成立的方法有很多，諸如：柯西不等式法、基本不等式法、比較法、分析與綜合法、換元法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法與幾何法等.本文主要運(yùn)用化歸的思想對不等式進(jìn)行證明，將原問題轉(zhuǎn)化為熟知的、簡單的以及容易解決的問題，最終還原到對原問題的解答.通過對幾道例題的證明，從對于化歸思想的原則上(熟悉化原則與簡單化原則)及方法上(等價(jià)思想、不等價(jià)思想、對稱代換思想、增量代換思想、和差代換思想與橫向化歸)的有效應(yīng)用，使待證明的不等式轉(zhuǎn)化為能夠解決且熟悉的不等式，更有利于不等式的證明.不等式證明中，思想是靈魂，方法是關(guān)鍵.學(xué)生在運(yùn)用化歸思想證明不等式時(shí)，要能夠熟練運(yùn)用化歸方法將問題有效轉(zhuǎn)化，并能夠掌握化歸原則，對問題進(jìn)行有效處理.