孫銀生，徐瑞麗，李風雷，姚利娜

（1.鄭州機械研究所有限公司，河南 鄭州 450002；2.河南職業(yè)技術學院電氣工程學院，河南 鄭州 450046；3.鄭州大學電氣工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

移動機械臂系統(tǒng)[1]由輪式平臺和機械臂兩部分構(gòu)成，能夠在控制方法的作用下按照控制信號使機械臂末端到達指定位置來完成相應的工作任務，廣泛地應用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和物流裝配等領域[2?4]。眾所周知，控制方法和策略對移動機械臂系統(tǒng)起著至關重要的作用，但是系統(tǒng)模型與實際之間的誤差會嚴重影響控制效果[5?6]。另外，由于移動機械臂是一個復雜的系統(tǒng)，在實際工作的過程中不可避免地會受到的外界干擾，如：機械摩擦、輪式平臺驅(qū)動電機以及機械臂各關節(jié)電機的動態(tài)特性等，也會影響整個系統(tǒng)的工作狀態(tài)[7?9]。

目前針對移動機械臂系統(tǒng)控制的研究已經(jīng)取得了一定成果，如：文獻[10]采用極限學習機設計了包含模型不確定性機械臂的自適應神經(jīng)控制方法，但沒有考慮外界干擾和電機動態(tài)的影響；文獻[11]提出了一種由事件驅(qū)動的多關節(jié)機械臂自適應魯棒控制方法，來解決跟蹤精度問題，但是該方法的設計過程比較復雜，并且沒有考慮電機動態(tài)對機械臂控制的影響；文獻[12]針對帶有摩擦和擾動等不確定因素的機械臂系統(tǒng)控制問題，通過模糊系統(tǒng)逼近摩擦，設計了反饋控制律來補償擾動影響，但該方法需要已知擾動上界，且沒有考慮電機動態(tài)的影響；文獻[13]設計了魯棒自適應滑?？刂品椒?，并利用李亞普諾夫泛函和線性矩陣不等式方法解算出空間機械臂控制系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定條件，但沒有考慮電機動態(tài)對機械臂控制的影響。為了進一步提高移動機械臂系統(tǒng)的控制效果，建立了包含模型誤差和外界干擾等不確定性以及電機動態(tài)的數(shù)學模型，設計了基于模糊小波網(wǎng)絡的反步魯棒控制方法，實現(xiàn)了移動機械臂系統(tǒng)的魯棒控制。

2 建立移動機械臂數(shù)學模型

移動機械臂系統(tǒng)不僅可自主移動，還可模擬人的手臂自由活動，移動機械臂示意圖，如圖1所示。

圖1 移動機械臂示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Mobile Manipulator

這里以輪式平臺和兩關節(jié)機械臂構(gòu)成的移動機械臂系統(tǒng)作為研究對象，其中輪式平臺包括2個驅(qū)動輪和1個從動輪，1個驅(qū)動輪在電機的作用下帶動整個平臺運動。機械臂各關節(jié)在伺服電機的驅(qū)動下繞關節(jié)點自由轉(zhuǎn)動，由于移動機械臂系統(tǒng)會受到模型誤差和外界干擾等不確定性的影響，考慮不確定性的移動機械臂系統(tǒng)動力學模型［14?16］描述為：

移動機械臂系統(tǒng)包括4個電機，分別用來驅(qū)動輪式平臺的兩個驅(qū)動輪轉(zhuǎn)動和機械臂的兩個關節(jié)轉(zhuǎn)動。通常針對移動機械臂系統(tǒng)的研究都不考慮電機動態(tài)特性對于系統(tǒng)整體的影響，然而在實際應用中，電機的輸出力矩是非線性的，容易受到機械摩擦等不確定性因素的影響。為了更加符合工程實際，給出了移動機械臂系統(tǒng)的電機模型如下：

式中：Le—電機的電感矩陣；Re—電機的電阻矩陣；Ke—電機的反電勢常數(shù)矩陣—電機的不確定性；u—電機的輸入電壓。

令x1=q，x2=3=ie，則考慮不確定性和電機動態(tài)特性的移動機械臂系統(tǒng)模型為：

3 反步魯棒控制律設計

針對包含不確定性和電機動態(tài)特性的移動機械臂系統(tǒng)模型（式（3）），設計了模糊小波網(wǎng)絡［17?18］的反步魯棒控制律，實現(xiàn)包容不確定性的高精度穩(wěn)定控制。反步魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 反步魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of Back?Stepping Robust Control System

3.1 自適應觀測器設計

由于存在模型誤差和外界干擾等不確定性，測量得到的系統(tǒng)狀態(tài)是不準確的，為了提高控制效果和控制精度，設計一個自適應觀測器作為輔助系統(tǒng)，實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的準確估計。

自適應觀測器設計如下：

3.2 基于模糊小波網(wǎng)絡的不確定性估計

雖然小波網(wǎng)絡對于確定性輸入具有很好的估計和逼近能力，但對于不確定性輸入的估計能力有限。為了提高小波網(wǎng)絡的估計精度和效果，將模糊算法引入小波網(wǎng)絡中，構(gòu)成模糊小波網(wǎng)絡［19］，來實現(xiàn)對移動機械臂系統(tǒng)中不確定性和的快速估計。模糊小波網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 模糊小波網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)Fig.3 Fuzzy Wavelet Network Structur e

式中：W?—最優(yōu)權值矩陣；c?—最優(yōu)中心向量；ω?—最優(yōu)參數(shù)向量；εf—有界誤差向量。

選取小波隸屬函數(shù)為：

式中：?j(x)—第j個小波隸屬函數(shù)；

ωji—?j(x)的第i個參數(shù)；

xji—?j(x)的第i個輸入值；

cji—?j(x)的第i個中心值。

在小波隸屬函數(shù)的基礎上，選取模糊小波基函數(shù)為：

式中：ψk(x)—第k個模糊小波基函數(shù)。

3.3 反步魯棒控制律設計

在自適應觀測器（式（5））和不確定性估計（式（13）、式（14））的基礎上，設計移動機械臂系統(tǒng)的反步魯棒控制律，實現(xiàn)包容不確定性的魯棒控制。

（1）移動機械臂的控制指令為qd，那么x1的跟蹤誤差S1為：

設計虛擬控制指令為：

其中，k1>0。為了克服微分爆炸現(xiàn)象，設計如下濾波器對式（16）進行濾波。

式中：x2f—輸出值；

T2—時間常數(shù)；

y2—誤差，y2=x2f?。

（2）由式（16）和式（17）可得到移動機械臂系統(tǒng)狀態(tài)x2的跟蹤誤差S2為：

設計虛擬控制指令為：

其中，k2>0。

的自適應律為：

式中：λ2>0。為了克服微分爆炸現(xiàn)象，設計如下濾波器對虛式（19）進行濾波。

式中：x3f—輸出值；

T3—時間常數(shù)；

y3—誤差，y3=x3f?。

（3）由式（20）、式（21）可得到移動機械臂系統(tǒng)狀態(tài)x3的跟蹤誤差S3為：

設計實際控制指令u為：

其中，k3>0。

的自適應律為：

其中，λ3>0。

3.4 穩(wěn)定性分析

定理1：針對考慮不確定性和電機動態(tài)特性的移動機械臂系統(tǒng)（式（3）），設計的反步魯棒控制律能夠確保移動機械臂系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤控制信號。反步魯棒控制律包括自適應觀測器（式（5）），基于模糊小波網(wǎng)絡的自適應律式（（11）和式（12））以及魯棒控制律式（（16）、式（19）和式（23））。

證明：考慮如下Lyapunov函數(shù)V：

將自適應觀測器（式（5））、基于模糊小波網(wǎng)絡的不確定性自適應律式（式（13）和式（14）），以及魯棒控制律（式（16）、式（19）和式（23））代入式（26）化簡得：

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可得到定理1成立。即所設計的反步魯棒控制律能夠確保移動機械臂系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤控制信號。

4 仿真及對比分析

為了證明提出的反步魯棒控制方法的控制效果，在MATLAB環(huán)境中進行仿真實驗，并與文獻[20]的方法對比。

4.1 實驗參數(shù)設置

移動機械臂系統(tǒng)中輪式平臺、關節(jié)1和關節(jié)2的質(zhì)量分別為：20.2kg、1.3kg、1.3kg；關節(jié)1和關節(jié)2的長度均為0.2m；電機參數(shù)為：

設置控制律參數(shù)，如表1所示。

表1 控制律參數(shù)Tab.1 Control Law Parameters

4.2 輪式平臺位移和方位角的跟蹤對比

輪式移動平臺橫坐標、縱坐標和方位角的仿真結(jié)果，如圖4～圖6所示。

圖4 橫坐標仿真結(jié)果Fig.4 Simulation Results of x

圖5 縱坐標仿真結(jié)果Fig.5 Simulation Results of y

圖6 方位角仿真結(jié)果Fig.6 Simulation Results of Azimuth

由橫坐標仿真結(jié)果圖4可看出：文獻［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法能夠使輪式平臺的橫坐標在2s后基本跟蹤控制信號，跟蹤誤差在（?0.5～0.5）m間波動；而提出方法能夠確保輪式平臺的橫坐標在0.45s內(nèi)準確跟蹤控制信號，最大跟蹤誤差為僅0.05m。

由縱坐標仿真結(jié)果圖5可看出：文獻［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法能夠使輪式平臺的縱坐標在2s后基本跟蹤控制信號，跟蹤誤差在（?1～0.2）m間波動；而提出方法能夠確保輪式平臺的縱坐標在0.45s內(nèi)準確跟蹤控制信號，最大跟蹤誤差僅為0.05m。由方位角仿真結(jié)果圖6可看出：文獻［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法能使輪式平臺的方位角在1s后基本跟蹤控制信號，跟蹤誤差在（?5～5）°間波動；而提出方法能夠確保輪式平臺的方位角在0.45s內(nèi)準確跟蹤控制信號，最大跟蹤誤差僅為0.5°。

4.3 機械臂關節(jié)角位移跟蹤對比

關節(jié)1和關節(jié)2的角位移仿真結(jié)果，如圖7、圖8所示。由關節(jié)1角位移仿真結(jié)果圖7可看出：文獻［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法能夠使關節(jié)1角位移在1s后基本跟蹤控制信號，跟蹤誤差在（?4～4）°間波動；而提出方法能夠確保關節(jié)1角位移在0.45s內(nèi)準確跟蹤控制信號，最大跟蹤誤差更低，僅為0.5°。

圖7 關節(jié)1角位移仿真結(jié)果Fig.7 Simulation Results of Joint 1 Angular Displacement

圖8 關節(jié)2角位移仿真結(jié)果Fig.8 Simulation Results of Joint 2 Angular Displacement

由關節(jié)2角位移仿真結(jié)果圖8可看出：文獻［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法能夠使關節(jié)2角位移在1s后基本跟蹤控制信號，跟蹤誤差范圍在（?6～6）°間波動；而提出方法能夠確保關節(jié)2角位移在0.45s內(nèi)準確跟蹤控制信號，最大跟蹤誤差也僅為0.5°。

5 結(jié)論

針對考慮不確定性和電機動態(tài)的移動機械臂系統(tǒng)控制問題，提出了一種基于模糊小波網(wǎng)絡的反步魯棒控制方法。仿真實驗結(jié)果表明：設計的控制方法可保證移動機械臂系統(tǒng)在0.45s內(nèi)準確跟蹤到控制信號，表現(xiàn)出了更快的響應速度和更高的準確性。同時，模糊小波網(wǎng)絡可準確估計移動機械臂系統(tǒng)的不確定性，并包容不確定性帶來的影響，確保移動機械臂系統(tǒng)輪式平臺橫坐標、縱坐標、方位角、關節(jié)1角位移和關節(jié)2角位移的最大跟蹤誤差分別僅為0.05m、0.05m、0.5°、0.5°和0.5°，控制效果更佳。