柴小鵬， 荊國強(qiáng)， 吳肖波

(1.橋梁結(jié)構(gòu)健康與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430034; 2.中鐵大橋科學(xué)研究院有限公司，武漢 430034)

大跨度懸索橋吊索長細(xì)比大、阻尼小、基頻低，在復(fù)雜風(fēng)荷載激勵(lì)下容易發(fā)生復(fù)雜的多模態(tài)振動問題，而且隨著跨度的增加愈加明顯。已建成的明石海峽大橋、英國塞文橋、丹麥大貝爾特東橋、我國的西堠門大橋、南沙大橋的坭洲水道橋和大沙水道橋均出現(xiàn)過風(fēng)致振動問題。其中，西堠門大橋主跨為1 650 m，吊索為騎跨式鋼絲繩吊索，其振動形式主要為低階大幅振動、甚至出現(xiàn)過碰索現(xiàn)象，通過安裝剛性分割器控制了低頻大幅振動，但高頻微幅振動仍有出現(xiàn)[1-2]。南沙大橋吊索為銷鉸式高強(qiáng)鋼絲吊索，施工期吊索主要表現(xiàn)為中高頻的振動，通過綜合采用擺式杠桿阻尼器、沖擊阻尼器、MTMD進(jìn)行控制，減振效果明顯[3-4]。由于MTMD無需與橋面連接，通過頻率調(diào)諧使慣性質(zhì)量響應(yīng)放大，減振效果明顯，具有廣泛的推廣價(jià)值[5-8]。

在建的主跨1 666 m的深中通道伶仃洋大橋[9]、主跨為1 760 m的南京仙新路長江大橋[10]，主跨2 023 m的土耳其1915恰納卡萊大橋[11]，跨度更大、吊索更長，且風(fēng)環(huán)境復(fù)雜，其減振要求更加嚴(yán)格。另外懸索橋吊索實(shí)際振動模態(tài)復(fù)雜多樣，MTMD雖然已有實(shí)踐應(yīng)用，但是MTMD的設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化、吊索安裝位置優(yōu)化、不同主頻的振型參與系數(shù)影響等因素都需要進(jìn)一步研究。

為此，本文以南沙大橋?yàn)楣こ瘫尘?，通過分析吊索實(shí)際發(fā)生振動的頻率分布、振型等振動特性，確定阻尼減振目標(biāo)，建立吊索-MTMD理論分析模型，優(yōu)化TMD的參數(shù)，分析TMD對吊索多主頻的阻尼減振效果，利用MTMD實(shí)現(xiàn)對吊索多主頻的全覆蓋，最后考慮MTMD的振型參與系數(shù)，對MTMD的安裝位置進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到吊索風(fēng)致振動的減振目標(biāo)。

1 大跨度懸索橋吊索振動特性實(shí)測分析

南沙大橋包括兩座主航道橋，分別為主跨1 688 m的坭洲水道橋和主跨1 200 m的大沙水道橋，大橋整體布置如圖1所示。施工期間60 m以上的長吊索均發(fā)生了明顯的振動，通過實(shí)測分析，其主要特征為：

圖1 坭洲水道橋和大沙水道橋總體布置Fig.1 Overall arrangement of Nizhou Waterway Bridge and Dasha Waterway Bridge

(1) 吊索的振動以中高頻為主，不同吊索實(shí)測頻率覆蓋范圍為5～20 Hz，表1為典型吊索的振動頻率、對應(yīng)階次及振動加速度幅值統(tǒng)計(jì)表。

表1 南沙大橋吊索實(shí)測振動響應(yīng)Tab.1 Hanger cables vibration response of Nansha Bridge

(2) 每個(gè)吊點(diǎn)并列雙(三)吊索的振型組合復(fù)雜，每隔40 m加設(shè)一道剛性減振架后，吊索仍出現(xiàn)了順橋向的同步振動[12]、異步振動，和橫橋向的同步和異步振動。

(3) 吊索豎直布置，其風(fēng)致振動的主要表現(xiàn)為渦激振動，根據(jù)汪正興[13]的研究，控制渦激振動所需的阻尼對數(shù)衰減率δ達(dá)到1%～1.5%。

由于每個(gè)吊點(diǎn)有并列雙索或者三索，組合之后模態(tài)復(fù)雜。如果專注于將單根吊索獨(dú)立控制，并列索的組合振型亦會得到控制，因此將南沙大橋吊索阻尼減振目標(biāo)確定為：通過安裝MTMD，使單根吊索5～20 Hz振動的模態(tài)對數(shù)衰減率δ大于1.5%。

2 吊索-MTMD理論分析模型

吊索設(shè)置n個(gè)TMD的多重質(zhì)量調(diào)諧阻尼器振動系統(tǒng)簡化模型如圖2所示。

(a) 構(gòu)造圖

(b) 力學(xué)簡圖圖2 吊索-MTMD模型Fig.2 Hanger cable-MTMD model

吊索-MTMD系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(1)

利用文獻(xiàn)[13]的多目標(biāo)滿意度優(yōu)化理論，可以對TMD阻尼器各參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。確定TMD的設(shè)計(jì)參數(shù)后，用式(2)評估吊索第k階的模態(tài)阻尼對數(shù)衰減率δk

(2)

式中，Dk,max為共振時(shí)吊索第k階的動力放大系數(shù)，其計(jì)算公式見式(3)。

(3)

(4)

當(dāng)MTMD處于k階振型最大處時(shí)，振型參與系數(shù)為1，為了更好的發(fā)揮作用，阻尼器應(yīng)盡量安裝在各階振型最大處，但對于吊索的振型特點(diǎn)而言，同一位置處對應(yīng)不同振型階次的振型參與系數(shù)是不同的。

3 MTMD阻尼器設(shè)計(jì)參數(shù)分析及優(yōu)化

選取大沙水道橋92#吊索的單索為分析對象，其基本參數(shù)如表2所示。

表2 92#吊索單索參數(shù)Tab.2 92# Cable parameters

MTMD是由多個(gè)TMD組成，因此首先對單個(gè)TMD的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，然后分析單個(gè)TMD對吊索多個(gè)振動主頻的控制效果，優(yōu)選出單個(gè)TMD的設(shè)計(jì)參數(shù)后，分析MTMD對吊索多個(gè)主頻振動的控制效果，最后考慮吊索的初始阻尼和實(shí)際的振型參與系數(shù)，分析吊索安裝MTMD后實(shí)際的阻尼參數(shù)。

3.1 TMD的參數(shù)優(yōu)化分析

圖3 吊索-TMD動力放大系數(shù)Fig.3 Cable-TMD dynamic magnification factor

從圖3可知，優(yōu)化后的最優(yōu)阻尼比ξopt=4%，最優(yōu)頻率為17.3 Hz，在此最優(yōu)參數(shù)下，吊索受控目標(biāo)出現(xiàn)兩個(gè)相等的動力放大系數(shù)峰值為21.8，TMD出現(xiàn)兩個(gè)相等的動力放大系數(shù)峰值為244.8，根據(jù)式(2)計(jì)算得到吊索第18階主頻的附加阻尼參數(shù)δ=14.4%。

吊索實(shí)際的振動為多個(gè)主頻，在上述TMD最優(yōu)參數(shù)下，利用式(2)和式(3)，求解92#吊索5～20 Hz范圍內(nèi)的附加阻尼對數(shù)衰減率δ如圖4所示，由于吊索有多個(gè)主頻振動，需要提高單個(gè)TMD對多個(gè)主頻的控制效果，圖4中還列舉了最優(yōu)阻尼比和阻尼比增大后控制效果對比曲線。

圖4 TMD不同阻尼比下吊索各主頻附加阻尼參數(shù)Fig.4 Each main frequencies damping parameter for hanger cable under TMD different damping ratios

從圖4可以看出，采用吊索單一受控頻率下位移最小為優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)阻尼比ξ=0.04時(shí)，阻尼器對吊索17.33 Hz主頻的附加阻尼效果最好，但對相鄰主頻的附加阻尼效果減小很快，其有效控制頻率范圍較窄；而將阻尼比提高至10%后，TMD對17.33 Hz振動的附加阻尼效果降低，而對相鄰主頻附加阻尼效果提高，有效控制范圍變寬；當(dāng)阻尼比從10%提高至15%時(shí)，依然具有上述變化趨勢，但對受控主頻的削弱較多，而對相鄰頻率的提升不明顯，考慮TMD實(shí)際構(gòu)造中鋼絞線提供的阻尼比大約為10%，因此選擇10%作為控制吊索用TMD的最優(yōu)阻尼比。另外，單個(gè)TMD的頻率覆蓋范圍有限，為了對5～20 Hz振動進(jìn)行全覆蓋控制，需要采取多個(gè)主頻的MTMD方案。

3.2 MTMD對吊索多主頻振動控制分析

采用MTMD實(shí)現(xiàn)吊索振動主頻的全覆蓋，是在不同主頻各自覆蓋一定頻率范圍的基礎(chǔ)上，協(xié)同工作實(shí)現(xiàn)對吊索主頻振動的覆蓋。通過多次試算，為了有效抑制單根吊索5～20 Hz振動，需要4組不同主頻的MTMD(實(shí)橋安裝效果如圖5所示)，其頻率分別為f1=6.5 Hz、f2=9.5 Hz、f3=13.5 Hz和f4=18 Hz，4個(gè)TMD的單一效果和協(xié)同工作提供給吊索各主頻振動的阻尼對數(shù)衰減率δ如圖6所示。

圖5 MTMD實(shí)橋安裝效果Fig.5 Installation effect of MTMD in real bridge

圖6 MTMD對吊索各主頻阻尼參數(shù)Fig.6 Cable main frequencies damping parameter by MTMD

從圖6可以看出，單一頻率TMD的頻率覆蓋范圍具有高階寬、低階窄的特點(diǎn)，通過4個(gè)TMD的協(xié)同工作方案，實(shí)現(xiàn)了吊索多模態(tài)振動覆蓋的目的。

3.3 考慮實(shí)際振型參與系數(shù)的MTMD安裝位置優(yōu)化

在實(shí)際吊索阻尼減振中，阻尼器安裝在某個(gè)固定位置，對各階振型的振型參與系數(shù)是不同的，式(4)給出了吊索各階振型參與系數(shù)的計(jì)算方法，根據(jù)現(xiàn)場實(shí)測，吊索初始阻尼參數(shù)δ=0.6%，安裝4個(gè)主頻的MTMD后，92#吊索的5～20 Hz阻尼對數(shù)衰減率δ變化趨勢如圖7所示。

圖7(a)中MTMD安裝在同一位移，其安裝位置比分別為2.5%、3.8%、5%，對應(yīng)的最大振型參與系數(shù)最大值出現(xiàn)在19.6 Hz(第20階)、12.7 Hz(第13階)和9.6 Hz(第10階)，三種布置方案表現(xiàn)為：

(a) 統(tǒng)一安裝位置對比

(b) 不同安裝位置對比圖7 不同安裝位置比下MTMD對吊索各主頻阻尼參數(shù)Fig.7 Each main frequencies damping parameter for hanger cable by MTMD under different installation position ratio

(1) 2.5%的安裝位置比下，高頻部分的效果更好、中低階變差，5～7 Hz低于0.015的目標(biāo)值，不滿足要求；

(2) 5%的安裝位置比下，中低頻率的效果更好，16～20 Hz低于0.015的目標(biāo)值，不滿足要求。

(3) 3.8%的安裝位置比下，中間頻率范圍的阻尼參數(shù)更好，低頻和高頻的效果變差，但均能滿足0.015的目標(biāo)值要求。

圖7(b)中，將6.5 Hz和9.5 Hz的MTMD安裝在位置比6.5%處，13.5 Hz和18 Hz的MTMD安裝在位置比2.9%處，組合形成DMTMD，各階頻率對應(yīng)的阻尼參數(shù)δ大于0.03，各階綜合性能優(yōu)于將4個(gè)主頻安裝在同一位置處的效果。

3.4 不同長度的吊索MTMD

懸索橋的吊索，除過靠近橋塔最長的幾根吊索外，其余吊索型號一致，索力也基本差不多，差別僅在于索長不同，對于不同索長的MTMD參數(shù)設(shè)計(jì)，需要研究上述理論分析的適用范圍，是否每根吊索都需要單獨(dú)進(jìn)行優(yōu)化分析。

吊索的第k階頻率見式(5)

(5)

定義Lk為吊索的第k階模態(tài)有效索長，其物理意義如圖8所示。

圖8 吊索第k階的模態(tài)有效索長Lk示意圖Fig.8 Modal effective cable length Lk schematic diagram

將式(5)變換為關(guān)于Lk的表達(dá)式，為

(6)

從式(6)可知，當(dāng)不同長度吊索的型號相同，索力接近，受控頻率范圍相同時(shí)，其模態(tài)有效長度接近，則MTMD的安裝位置xc也接近。所以，懸索橋吊索采用MTMD減振時(shí)，目標(biāo)控制頻率范圍相同的前提下，可以采用同類型號的MTMD，設(shè)計(jì)及參數(shù)及安裝位置可統(tǒng)一設(shè)計(jì)。

4 結(jié) 論

采用數(shù)值方法，建立吊索-MTMD減振系統(tǒng)，研究MTMD控制吊索多模態(tài)振動的設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化、安裝位置優(yōu)化，得到了如下主要結(jié)論：

(1) 以單一主頻控制效果最優(yōu)為目標(biāo)的TMD優(yōu)化阻尼比為4%，對臨近主頻的覆蓋范圍較窄，不適用吊索的多模態(tài)控制；將阻尼器提高至10%后，頻率覆蓋范圍增加，而繼續(xù)增加阻尼比，綜合效果不明顯；優(yōu)選4個(gè)主頻的MTMD，實(shí)現(xiàn)吊索5～20 Hz受控主頻的全覆蓋。

(2) 將6.5 Hz和9.5 Hz安裝在位置比6.5%處，13.5 Hz和18 Hz安裝在位置比2.9%處，各階頻率對應(yīng)的阻尼參數(shù)δ大于0.03，各階綜合性能優(yōu)于將4個(gè)主頻安裝在同一位置處的效果。

(3) 針對不同長度吊索，其索力、型號、受控頻率范圍接近時(shí)，MTMD的設(shè)計(jì)參數(shù)和安裝位置可統(tǒng)一采用。