南京市教學(xué)研究 王紅兵 南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心 諸士金

“知識(shí)結(jié)構(gòu)化才能形成能力，就像散落在地面上的珍珠顯示不出它特有的價(jià)值一樣，只有將散落的珍珠用線串成珍珠鏈才能讓她大放異彩、身價(jià)倍增.”[1]因此，從數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)角度來說，教師首先要對(duì)教學(xué)內(nèi)容有一個(gè)整體的把握，進(jìn)而利用結(jié)構(gòu)化的思想去設(shè)計(jì)教學(xué)過程，幫助學(xué)生厘清知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)其知識(shí)結(jié)構(gòu)化，逐漸形成數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)觀.這一過程有利于學(xué)生自主建立深刻和清晰的學(xué)習(xí)路徑，形成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和理性精神.下面以“圓”中“垂徑定理”的內(nèi)容為素材進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)和分析.

1 垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征分析

垂徑定理是圓的重要性質(zhì)，是圓中證明線段相等、角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為與圓有關(guān)的其他計(jì)算、證明、作圖等提供重要的方法和依據(jù).垂徑定理的結(jié)構(gòu)化特征主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，即外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化特征與內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)化特征.

1.1 垂徑定理的外聯(lián)模塊結(jié)構(gòu)化

圓有許多重要性質(zhì)，其中最主要的性質(zhì)是圓的對(duì)稱性(軸對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性)，它是探索其他性質(zhì)的基礎(chǔ)前提.垂徑定理正是圓的軸對(duì)稱性的具體體現(xiàn)(如圖1).圓的軸對(duì)稱性質(zhì)是圓的一個(gè)重要模塊，這個(gè)模塊的探究方法和積累的經(jīng)驗(yàn)，一方面有利于圓其他類似模塊相關(guān)知識(shí)的探究，另一方面也為圖形中與軸對(duì)稱性相關(guān)知識(shí)的探究提供參考路徑.

圖1 垂徑定理外聯(lián)知識(shí)模塊結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 垂徑定理的內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)化

垂徑定理的條件：①過圓心，②垂直于弦.定理的結(jié)論有：③平分弦，④平分弦所對(duì)的劣弧，⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧.事實(shí)上，以其中任意兩個(gè)為條件都可以得出其余結(jié)論.由于垂徑定理是圓整體的軸對(duì)稱性反映在圓局部元素特征的具體體現(xiàn)，因此，這里研究圓心、半徑(直徑)、弦、弧等局部元素的特征需要將這些內(nèi)部元素以軸對(duì)稱為線進(jìn)行結(jié)構(gòu)化(如圖2).

圖2 垂徑定理內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)示意圖

2 垂徑定理的結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 學(xué)情分析

學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱等圖形變化，但運(yùn)用圖形變化的觀念去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的意識(shí)還不強(qiáng)，因此對(duì)于垂徑定理的發(fā)現(xiàn)和證明，學(xué)生可能不容易想到從軸對(duì)稱的角度去思考.此外，垂徑定理的條件與結(jié)論比較復(fù)雜，條件的表述的方式比較多，部分學(xué)生不能把握條件的本質(zhì)，從而導(dǎo)致對(duì)定理的理解不深入.

2.2 教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點(diǎn)

(1)探索并證明垂徑定理，會(huì)用垂徑定理解決一些簡單問題.

(2)經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過程，體會(huì)圓的軸對(duì)稱性.

教學(xué)重點(diǎn)是垂徑定理的探索及初步應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是垂徑定理的探索.

2.3 教學(xué)設(shè)計(jì)與分析

引言：圓具有怎樣的對(duì)稱性？

設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)問題，既回顧了上節(jié)課研究的圓的中心對(duì)稱性，又引出了圓的軸對(duì)稱性.

(1)了解圓的軸對(duì)稱性

問題1圓的對(duì)稱軸是什么？利用課前剪好的圓形紙片，你能把圓的軸對(duì)稱性演示給同桌看嗎？

師生活動(dòng)：教師要求學(xué)生課前剪好圓形紙片，激發(fā)學(xué)生從“軸對(duì)稱性”出發(fā)，借助操作直觀感受圓的軸對(duì)稱性.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圓的對(duì)稱軸，在多次、多人折疊的過程中，借助幾何直觀體會(huì)圓的軸對(duì)稱性，認(rèn)識(shí)到任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸.學(xué)生從直觀的“看”到具體的“做”，經(jīng)歷了從具象的圓到抽象的圓的過程.

追問1：如何解釋圓的軸對(duì)稱性？

視角1：把圓沿直徑所在的直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合.

視角2：圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上.

追問2：視角1我們通過操作已經(jīng)觀察得到了，你能找出其中的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)嗎？

追問3：視角2又如何理解呢？

生1：任取圓上一點(diǎn)(直徑兩端點(diǎn)除外)，作直徑的垂線交圓于另一點(diǎn)，說明這兩點(diǎn)到直徑的距離相等.

生2：任取圓上一點(diǎn)(直徑兩端點(diǎn)除外)，作直徑的對(duì)稱點(diǎn)，證明該點(diǎn)在圓上.

設(shè)計(jì)意圖：從兩個(gè)角度預(yù)設(shè)學(xué)生對(duì)圓的軸對(duì)稱性進(jìn)行解釋.這里是在前面操作感受圓是軸對(duì)稱圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)一步明晰幾何學(xué)習(xí)的路徑，即既要有基于“看”和“做”下的“合情推理”，也要有“想”和“證”下的“演繹推理”.兩個(gè)方向，可以組織學(xué)生先獨(dú)立思考，然后開展合作交流.

(2)探索垂徑定理

問題2通過折紙活動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)圓有軸對(duì)稱性，你能嘗試證明它嗎？

設(shè)計(jì)意圖：前面兩種視角是一種思路分析，如何證明圓有軸對(duì)稱性，需要根據(jù)不同的學(xué)情在課堂上做出合適的選擇.建議在證明“圓是軸對(duì)稱圖形”時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生厘清“軸對(duì)稱圖形”概念，進(jìn)而回歸到概念上去證明.這里從演示到解釋，從圖形的標(biāo)識(shí)到證明的嘗試，進(jìn)而把合情推理和演繹推理結(jié)合在一起，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

問題3在圖3中，你還有哪些發(fā)現(xiàn)？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生聚焦圖3，部分學(xué)生可能通過連線得到類似圖4的圖形，從“形結(jié)構(gòu)”上觀察，激發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)合圓的構(gòu)成元素展開聯(lián)想和思考.

圖3

圖4

設(shè)計(jì)意圖：證明“圓是軸對(duì)稱圖形”的過程中，學(xué)生必然要經(jīng)歷對(duì)圖形以及元素之間關(guān)系的梳理.這一過程能夠較大程度地激發(fā)學(xué)生基于問題2中的形結(jié)構(gòu)“模型”進(jìn)行深層次聯(lián)想，從而發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論.這里師生活動(dòng)旨在凸顯數(shù)學(xué)的思維體驗(yàn)，并為后面發(fā)現(xiàn)“垂徑定理”的構(gòu)成條件和結(jié)論作鋪墊.

追問1：回到圖3，你能發(fā)現(xiàn)有哪些相等的線段和弧？請(qǐng)用文字語言進(jìn)行概括.

追問2：如何證明你的發(fā)現(xiàn)？

追問3：從圖5的各種情形中能得出什么結(jié)論？為什么？

圖5

設(shè)計(jì)意圖：問題3的三個(gè)追問，層次和目的明確.追問1指向厘清已有條件和發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；追問2則是要求證明已經(jīng)表達(dá)清楚的“發(fā)現(xiàn)”；追問3則是通過圖的變式，將直徑、半徑、弦心距以及過圓心的直線進(jìn)行統(tǒng)一，通過分析發(fā)現(xiàn)，垂直于弦的不一定必須是直徑，也可以是半徑、弦心距、過圓心的直線，而它們的“形結(jié)構(gòu)”本質(zhì)特征是都過圓心.

追問4：不難看出，①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所對(duì)的劣弧，⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，垂徑定理是以①②作為條件，得到結(jié)論③④⑤.我們還能從中選出一些作為條件，其余的作為結(jié)論形成真命題嗎？

師生活動(dòng)：教師啟發(fā)學(xué)生先寫出命題，然后思考命題是否正確.

設(shè)計(jì)意圖：基于不同的分類組合得到不同的命題，一方面是對(duì)“垂徑定理”內(nèi)涵的深度理解，另一方面也是對(duì)“垂徑定理”外延的其他形式進(jìn)行辨析.組織師生活動(dòng)，先寫命題，再思考命題是否正確，需要根據(jù)學(xué)情選擇部分或全部命題進(jìn)行不同程度的證明或說理.追問4是在辨析定理的基礎(chǔ)上滲透提出問題的一種思維方式.

圖6

(3)運(yùn)用垂徑定理

例1如圖6，在⊙O中，弦AB長為8 cm，圓心O到弦AB的距離是3 cm，求圓O的半徑.

設(shè)計(jì)意圖：例1重點(diǎn)考查“垂徑定理”的應(yīng)用，難度不大，且圖形貼近定理的基本圖形.在分析題意的過程中容易激發(fā)學(xué)生聯(lián)想到定理，從而更容易結(jié)合條件分析出解題思路.

圖7

例2如圖7，有一圓弧形拱橋，拱的跨度AB為16 m，拱高CD為4 m，那么弓形的半徑是多少？

設(shè)計(jì)意圖：從例1中的求線段長到例2的求弓形半徑，是一種基于模型一致的問題解決和應(yīng)用，巧妙地對(duì)“垂徑定理”進(jìn)行鞏固.

問題4你能綜合運(yùn)用本節(jié)課的知識(shí)，確定一張圓形紙片的圓心嗎？

追問：如果只用直尺和圓規(guī)，你能確定它的圓心嗎？

設(shè)計(jì)意圖：問題4短短的追問不僅涵蓋了本節(jié)課的全部知識(shí)內(nèi)容，更有效提升了學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力.

(4)小結(jié)

①本節(jié)課是怎樣發(fā)現(xiàn)和證明垂徑定理的？

②垂徑定理的條件和結(jié)論分別是什么？

③用垂徑定理可以求得哪些量？怎樣求得？

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的核心知識(shí)以及應(yīng)用知識(shí)解決問題的方法.

3 結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的反思

3.1 結(jié)構(gòu)化教學(xué)要以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向

課程目標(biāo)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，而落實(shí)“四基”與“四能”的主陣地是課堂教學(xué)，因此必須對(duì)知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，且實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)必須以核心素養(yǎng)的導(dǎo)向?yàn)榻虒W(xué)目標(biāo).本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)中“探索并證明垂徑定理”，立足于“探索”，顯化于“證明”.在經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、猜想、概括、推理得出垂徑定理的過程中，重在引導(dǎo)學(xué)生自主探尋圓中有關(guān)垂徑定理的外部知識(shí)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，以及內(nèi)部元素結(jié)構(gòu)特征.這樣的探尋過程具有鮮明的“邏輯性”，所聯(lián)想到的知識(shí)之間有強(qiáng)烈的“結(jié)構(gòu)化”特征，學(xué)生在經(jīng)歷從合情推理到演繹證明的過程中，發(fā)展了理性精神，形成了正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.

3.2 結(jié)構(gòu)化教學(xué)要體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的特征

課程標(biāo)準(zhǔn)中要求數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要反映數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，符合學(xué)生的發(fā)展規(guī)律，在內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí)要凸顯出數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)特征，教學(xué)活動(dòng)的組織要體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育形態(tài)結(jié)構(gòu)化安排，學(xué)生的學(xué)習(xí)獲得應(yīng)該形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知路徑和數(shù)學(xué)知識(shí).以垂徑定理為例，本節(jié)課的設(shè)計(jì)具有較為明顯的層次性和多樣性，以問題串的形式層層推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“看、做、想、證”等符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng).這樣的活動(dòng)環(huán)環(huán)相扣，具有結(jié)構(gòu)化特征，在這樣的活動(dòng)中學(xué)生也逐步清晰地認(rèn)識(shí)了圓作為軸對(duì)稱圖形的“形結(jié)構(gòu)”特征.

3.3 結(jié)構(gòu)化教學(xué)要關(guān)注學(xué)法的結(jié)構(gòu)化

教學(xué)活動(dòng)是在教師引導(dǎo)下學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的過程.有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.結(jié)構(gòu)化教學(xué)要求教師一方面提升教的水平，另一方面要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化.教師要在“看、做、想、證”等數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織上下功夫，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷類似垂徑定理這樣的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程；要在“適時(shí)分步介入”的問題引導(dǎo)上下功夫，精心預(yù)設(shè)，在預(yù)設(shè)中敏銳發(fā)現(xiàn)生成資源，及時(shí)地發(fā)掘生成資源的價(jià)值；要在“獨(dú)立思考、合作交流、師生共研”的教學(xué)相長的合作上下功夫，幫助學(xué)生克服畏難情緒，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

總之，以垂徑定理的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施為例，我們可以看到結(jié)構(gòu)化的知識(shí)比碎片化的知識(shí)更有利于知識(shí)存儲(chǔ)與提取，更能有效促進(jìn)問題的解決.因此，只有緊扣學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，從整體上把握教學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)，“教結(jié)構(gòu)”，學(xué)生才能“學(xué)結(jié)構(gòu)、用結(jié)構(gòu)”.