劉金英

（天津市教育科學(xué)研究院）

2022年中考是教育部頒發(fā)《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）后的首次中考，也是“雙減”政策實施后的第一次中考．落實育人為本、倡導(dǎo)知行合一、體現(xiàn)融合創(chuàng)新的學(xué)業(yè)質(zhì)量評價，必然是中考命題的顯著特征.本文擬結(jié)合“綜合與實踐”專題內(nèi)容，對2022年全國各地中考的典型試題進(jìn)行評析，并提出2023年該專題的中考復(fù)習(xí)教學(xué)建議.

一、考查內(nèi)容分析

2022年中考“綜合與實踐”試題，以問題為載體、以情境為依托、以探究為途徑，更加注重對綜合性、過程性、應(yīng)用性和實踐性內(nèi)容的考查.同時，優(yōu)化了問題呈現(xiàn)的情境，注重引導(dǎo)，設(shè)置梯度，強化素養(yǎng)立意，整體實現(xiàn)了“以現(xiàn)實問題和跨學(xué)科實踐為主，采用項目式學(xué)習(xí)方式”的課程要求，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值．

1.考查內(nèi)容概述

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，初中階段綜合與實踐領(lǐng)域，可采用項目式學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡釋社會生活及科學(xué)技術(shù)中遇到的現(xiàn)實問題，感受數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、金融、地理、藝術(shù)等學(xué)科領(lǐng)域的融合，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和實踐能力．

與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）相比，在課程內(nèi)容的要求上，共同指向了以問題為載體，落實“四基”“四能”，體現(xiàn)綜合性、過程性和應(yīng)用性的特征，即學(xué)生通過“綜合與實踐”專題的學(xué)習(xí)，可以體驗建立模型、解決問題的過程，了解學(xué)過的知識（包括其他學(xué)科知識）之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，發(fā)展應(yīng)用意識和能力.所不同的是，《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》進(jìn)一步提出了以問題解決為導(dǎo)向的實踐活動的重點是“項目式學(xué)習(xí)方式”，突出了問題呈現(xiàn)的真實情境和跨學(xué)科內(nèi)容的融合創(chuàng)新，強化了實踐性的要求．

2.考查要點分析

（1）設(shè)計理念.

依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》和《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的課程理念，2022年全國各地區(qū)中考普遍從不同側(cè)面、不同角度對“綜合與實踐”專題內(nèi)容進(jìn)行了全面考查.例如，為考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力，在之前強調(diào)以問題為載體的基礎(chǔ)上，更加注重以問題解決為導(dǎo)向，綜合數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三個領(lǐng)域的知識內(nèi)容，以及物理、地理、生物和體育等其他學(xué)科內(nèi)容，重在知識之間的內(nèi)在聯(lián)系；為考查學(xué)生基于“綜合與實踐”專題所達(dá)成的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，重在從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的思維方法有邏輯地分析和解決問題，用數(shù)學(xué)的語言和工具建立模型表達(dá)和描述現(xiàn)實世界.

（2）呈現(xiàn)方式.

2022年全國各地的中考數(shù)學(xué)試卷，包含省級統(tǒng)一命題的中考試卷（以下統(tǒng)稱“省卷”），也包含目前還未省級統(tǒng)一命題的中考試卷（以下統(tǒng)稱“地方卷”）.對于“綜合與實踐”專題：在題型方面，有重點從某種角度切入突出體現(xiàn)問題導(dǎo)向和現(xiàn)實意義的選擇題或填空題，也有體現(xiàn)探究過程或設(shè)計任務(wù)單等方式的解答題；在難度方面，容易題、中檔題和難題均有所涉及，省卷中安徽卷第23題、江西卷第23題、河南卷第23題、陜西卷第26題，以及地方卷中貴州遵義卷第23題、山東泰安卷第25題、湖南永州卷第26題、四川成都卷第26題等，均是壓軸題，有一定難度．

（3）典型示例.

用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，是《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2022年全國各地中考在試題命制上進(jìn)行了積極探索，省卷中涌現(xiàn)出許多典型試題，如表1所示．為呈現(xiàn)跨學(xué)科、項目式學(xué)習(xí)方式，2022年全國各地區(qū)中考命題人員做了新的嘗試，地方卷中有一些典型試題，如表2所示.

表1 省卷中體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的典型試題

表2 地方卷中體現(xiàn)項目式學(xué)習(xí)方式的典型試題

筆者認(rèn)為，按照當(dāng)前各地中考紙筆作答的形式，從命題的角度設(shè)計出能夠充分體現(xiàn)綜合性、跨學(xué)科、實踐性、多元化的“項目”，還需要一個不斷探索的過程.同時，基于本屆學(xué)情和教情的實際情況，其課程的主要內(nèi)容要求依然是《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，表2中的項目給出了很好的樣例.大多數(shù)相關(guān)試題的設(shè)計均在積極落實《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的課程理念，力求在某些方面有所突破，傳承改進(jìn)、融合創(chuàng)新．

二、命題特點分析

著力培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課程的整體要求.2022年全國各地中考“綜合與實踐”專題分別從試題內(nèi)容設(shè)計的綜合性、現(xiàn)實意義、承載的思想方法和應(yīng)用價值等四個方面較好地體現(xiàn)了這一要求．

1.以問題解決為導(dǎo)向，重視綜合性和內(nèi)在關(guān)聯(lián)

綜合性是“綜合與實踐”專題的顯著特征，需要以現(xiàn)實問題為載體，并基于問題之中要素與要素間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識與方法予以解決，是命制這部分試題時常用的方法．

（1）問題來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部.

問題是數(shù)學(xué)的心臟．?dāng)?shù)學(xué)內(nèi)部的問題，往往需要通過觀察、分析、探索、聯(lián)想等積極的思維活動尋求解決方案．

例1（江西卷）沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形（如圖1（a）），再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖1（b）），則長方形的對角線長為_______.

圖1

考查目標(biāo)：該題以解決七巧板拼圖中的問題為依托，綜合等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形的性質(zhì)及勾股定理的內(nèi)容，重點考查了組合圖形中幾何要素之間的相互依存關(guān)系．

命題意圖：通過觀察分析、動手操作及合理運用依存關(guān)系解決問題，可以有效甄別學(xué)生理解幾何圖形基本性質(zhì)的能力層次.該題中七巧板由5個等腰直角三角形、1個平行四邊形和1個正方形組成，題目的設(shè)計正是通過拼圖過程中基于圖形中邊、角之間的內(nèi)在聯(lián)系獲得其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，當(dāng)給定某條邊的長度時，由勾股定理就可以得到相關(guān)線段的長．

命題評價：七巧板是中國古代勞動人民的發(fā)明，被譽為“東方魔板”.以七巧板拼圖設(shè)計問題，在綜合考查基本圖形的基本性質(zhì)的同時，進(jìn)一步體現(xiàn)了其美學(xué)價值和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的魅力.類似地，四川遂寧卷第21題綜合反比例函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點的特征及函數(shù)的性質(zhì)，解決了新定義的“黎點”及其相關(guān)問題；浙江麗水卷第16題綜合了矩形、代數(shù)式和整式的運算等內(nèi)容，研究四個矩形不重疊地圍成新矩形的情境中線段之間的內(nèi)在聯(lián)系．

（2）問題來源于其他學(xué)科.

數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科，在物理、生物、地理、體育等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用.解決來源于其他學(xué)科的問題，可以感受到數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語言在其他學(xué)科中的應(yīng)用，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的重要途徑之一．

例2（山西卷）根據(jù)物理學(xué)知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強p（Pa）是它的受力面積S（m2）的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)S=0.25m2時，該物體承受的壓強p的值為_________.

圖2

答案：400Pa．

考查目標(biāo)：該題的問題來源于物理學(xué)科，綜合反比例函數(shù)的表達(dá)式及其圖象，重點考查了應(yīng)用反比例函數(shù)解決物體承受的壓強問題．

命題意圖：能結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，并根據(jù)圖象上點的特征用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的表達(dá)式是關(guān)鍵，體現(xiàn)了對模型觀念的考查．該題中物體承受的壓強p與它的受力面積S具有反比例函數(shù)的關(guān)系，表達(dá)的是一個量變化另一個量隨之變化，可以用具有一般性的反比例函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行刻畫.這里S是自變量，p是關(guān)于S的函數(shù)，當(dāng)給定S的一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值p就有唯一確定的值與之對應(yīng)．

命題評價：該題與物理學(xué)科知識緊密聯(lián)系，依托具有反比例關(guān)系的兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，由特殊到一般再到特殊，自然合理，水到渠成，體現(xiàn)了“函數(shù)是刻畫同一變化過程中兩個變量之間的單值對應(yīng)關(guān)系的模型”的思想內(nèi)涵．類似地，廣東卷第20題涉及了物理學(xué)科中“彈簧長度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系”，需要綜合一次函數(shù)的知識予以解決；湖北宜昌卷第5題、浙江舟山卷第15題、山東臨沂卷第20題，均與物理學(xué)科知識相關(guān)；貴州遵義卷第15題研究“北緯28°緯線的長度”，與地理學(xué)科知識相關(guān)；臺灣卷第26題研究“綠藻細(xì)胞”，與生物學(xué)科知識相關(guān)．這些“問題”可以作為開展“綜合與實踐”專題項目式學(xué)習(xí)的素材．

2.以設(shè)置情境為依托，關(guān)注真實性和現(xiàn)實意義

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在社會生活和科學(xué)技術(shù)的真實情境中，結(jié)合方程與不等式、函數(shù)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)、抽樣與數(shù)據(jù)分析等內(nèi)容，經(jīng)歷現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)化，探索數(shù)學(xué)關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過程，感悟從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，逐步形成“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng).因此，從數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率的角度，在真實情境中觀察與分析現(xiàn)實世界，并將其轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的現(xiàn)實意義，必然成為命題的重要方面．

（1）從數(shù)與代數(shù)的角度觀察現(xiàn)實世界.

例3（重慶B卷）圖3是小穎0到12時的心跳速度變化圖，在這一時段內(nèi)心跳速度最快的時刻約為（ ）.

圖3

（A）3時 （B）6時

（C）9時 （D）12時

答案：C．

考查目標(biāo)：該題給出了心跳速度變化圖，考查能根據(jù)函數(shù)圖象分析實際問題中變量的信息，并結(jié)合圖中信息對變量的變化趨勢進(jìn)行初步推測．

命題意圖：該題意在引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察現(xiàn)實世界，感受數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語言在其他學(xué)科中的應(yīng)用價值．

命題評價：該題給出了心跳速度變化圖，圖中每個點的橫、縱坐標(biāo)都是具有單值對應(yīng)關(guān)系的兩個變量，“心跳速度最快”表示其函數(shù)值取最大時的情況，對應(yīng)的自變量的值即為所求.此題的設(shè)計思路與《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》附錄中的“例89體育運動與心率”是一致的，均需要利用數(shù)學(xué)的方式觀察、表達(dá)現(xiàn)實世界中變量與變量之間的對應(yīng)關(guān)系.類似地，北京卷第25題選用的“單板滑雪大跳臺”、河南卷第10題選用的“呼氣式酒精測試儀”、湖南長沙卷第16題選用的“二維碼”等，都是非常好的現(xiàn)實情境，均可以作為“數(shù)與代數(shù)”主題中項目學(xué)習(xí)的切入點．

（2）從圖形與幾何的角度觀察現(xiàn)實世界.

例4（天津卷）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形.下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）.

答案：D．

考查目標(biāo)：該題以社會主義核心價值觀公民層面的美術(shù)字為素材，主要考查了軸對稱圖形的概念．

命題意圖：該題選自人教版教材八年級上冊第十三章軸對稱“數(shù)學(xué)活動1 美術(shù)字與軸對稱”，讓學(xué)生認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形，使學(xué)生感受到軸對稱圖形無處不在．

命題評價：該題依托數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容，通過選取社會主義核心價值觀的基本內(nèi)容和要求，突出了數(shù)學(xué)內(nèi)容所承載的文化和價值取向.類似地，福建卷第4題、湖南永州卷第3題、山東臨沂卷第2題、四川自貢卷第6題選取的窗花，融入了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化元素；山西卷第2題選取的航天圖標(biāo)，展現(xiàn)了中國航天科技的新高度；重慶B卷第2題、湖南婁底卷第4題、四川內(nèi)江卷第4題選取了第24屆北京冬奧會的圖案；等等.另外，湖北鄂州卷第14題選取中國象棋某次對弈的殘局圖、浙江金華卷第7題選取城市某區(qū)域的示意圖，設(shè)計思路與《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》附錄中的“例90 繪制公園平面地圖”是一致的.這樣的素材，根植中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，展現(xiàn)當(dāng)代中國科技的進(jìn)步，弘揚社會主義核心價值觀，能夠有效激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，增強學(xué)生的民族自信心和自豪感，開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，可以作為“圖形與幾何”主題中項目學(xué)習(xí)的切入點．

（3）從統(tǒng)計與概率的角度觀察現(xiàn)實世界.

例5（吉林卷）為了解全國常住人口城鎮(zhèn)化率的情況，張明查閱相關(guān)資料，整理數(shù)據(jù)并繪制如圖4所示的統(tǒng)計圖.

圖4

回答下列問題：

（1）2017—2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率的中位數(shù)是_______．

（2）2021年年末全國人口141260萬人，2021年年末全國城鎮(zhèn)常住人口為_______萬人．（只填算式，不計算結(jié)果.）

（3）下列推斷較為合理的是_______（填序號）．

①2017—2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率高于64.72%；

②全國常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全國常住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度較小，估計2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率低于64.72%．

答案：（1）62.71%；（2）141260×64.72%；（3）①.

考查目標(biāo)：該題選擇“全國常住人口城鎮(zhèn)化率”的問題為背景，主要考查學(xué)生對反映數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量“中位數(shù)”意義的理解，以及通過統(tǒng)計圖所提供的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行合理推斷的能力．

命題意圖：通過收集現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)、整理繪制統(tǒng)計圖，以及觀察、分析隨機現(xiàn)象的變化趨勢，使學(xué)生感悟到從不確定的角度認(rèn)識客觀世界的思維模式和解決問題的方法．

命題評價：該題通過設(shè)計“張明查閱相關(guān)資料，整理數(shù)據(jù)并繪制統(tǒng)計圖”提供的信息，呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征和現(xiàn)實意義，幫助學(xué)生感知大數(shù)據(jù)時代的特征，體會數(shù)據(jù)分析的重要性，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念.該題設(shè)計思路與《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》附錄中的“例91國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）調(diào)研”是一致的.類似地，云南卷第20題“學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，判斷用游戲的方式確定表演的節(jié)目是否公平”，甘肅威武卷第23題“北京冬奧會時，討論小明和小穎被分配到同一場館做志愿者的概率”，湖南湘潭卷第20題“主題比賽活動中，研究兩人恰好講述同一名科技英雄故事的概率”，這些問題均綜合了概率內(nèi)容，通過分析簡單隨機事件的所有可能的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生體會現(xiàn)實世界中大量存在的隨機現(xiàn)象．這樣的設(shè)計真實、自然，與學(xué)生的實際生活密切相關(guān)，具有較強的現(xiàn)實意義，可以作為“統(tǒng)計與概率”主題中項目學(xué)習(xí)的切入點．

3.以探究路徑為重點，強調(diào)過程性和研究方法

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，用數(shù)學(xué)的思維方法，運用數(shù)學(xué)與其他相關(guān)學(xué)科的知識，綜合地、有邏輯地分析問題，經(jīng)歷分工合作、試驗調(diào)查、建立模型、計算反思、解決問題的過程，提升思維能力，逐步形成“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)．因此，通過模擬研究路徑和方法，呈現(xiàn)有邏輯的思考、設(shè)計可操作的任務(wù)，為學(xué)生提供綜合應(yīng)用所學(xué)知識、方法解決數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部或現(xiàn)實問題的機會，從而幫助學(xué)生獲得完整的探究活動的結(jié)構(gòu)，是命題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．

（1）重在呈現(xiàn)有邏輯的思考.

例6（河南卷）綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

（1）操作判斷.

操作1：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作2：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．

根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在EF上時，寫出圖5中一個30°的角：_______．

圖5

（2）遷移探究.

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．

①如圖6，當(dāng)點M在EF上時，∠MBQ的度數(shù)為_____，∠CBQ的度數(shù)為______；

圖6

②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖7，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

圖7

（3）拓展應(yīng)用.

在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ=1cm時，直接寫出AP的長．

答案：（1）∠MBC（答案不唯一）.

（2）①15°，15°；②∠MBQ=∠CBQ，理由略.

考查目標(biāo)：該題是河南卷壓軸題，以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動的形式，設(shè)置了“操作判斷—遷移探究—拓展應(yīng)用”的探究過程，主要涉及正方形、矩形、直角三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定和性質(zhì)．

命題意圖：該題源自人教版教材八年級下冊第十八章“平行四邊形”中的“數(shù)學(xué)活動1 折紙做60°，30°，15°的角”，考查學(xué)生能否通過軸對稱變換的方式研究基本圖形中要素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，能否將已有的研究經(jīng)驗和方法遷移至新的問題情境中，并用于解決更加復(fù)雜的問題.

命題評價：該題的問題設(shè)計逐層深入，環(huán)環(huán)相扣；探究路徑既有從一般到特殊，也有從特殊到一般；研究方法既有圖形中要素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，也有在“做數(shù)學(xué)”的過程中所呈現(xiàn)的有邏輯的思考方式，將所要考查的知識隱匿于操作、探究活動的過程之中，使學(xué)生在解決問題的過程中體會到如何基于圖形的變化進(jìn)行探究、應(yīng)循著怎樣的路徑去探究，有助于學(xué)生養(yǎng)成合乎邏輯的思維習(xí)慣.善學(xué)會用，引導(dǎo)學(xué)生積累活動經(jīng)驗，學(xué)會探究、遷移和應(yīng)用，是該題的亮點．

這樣的設(shè)計，在2022年全國各地的中考試題中所占比例較高.例如，設(shè)計為壓軸題的，有山東泰安卷第25題，通過“問題探究—遷移運用”，將探究三角形中線段之間關(guān)系的經(jīng)驗和方法應(yīng)用于研究圓內(nèi)接四邊形中線段之間的關(guān)系；有四川成都卷第26題，通過“嘗試初探—深入探究—拓展延伸”，討論圖形變化中的不變性；還有貴州遵義卷第23題，通過“提出問題—探究展示—反思?xì)w納—拓展探究”，討論四點共圓的條件.再如，湖南岳陽卷第23題的“特例發(fā)現(xiàn)—探究證明—拓展運用”，湖南湘潭卷第25題的“特例體驗—規(guī)律探究—嘗試應(yīng)用”，湖北黃岡卷第23題的“問題背景—應(yīng)用拓展”，貴州黔東南州卷第25題的“探究發(fā)現(xiàn)—拓展遷移”，均呈現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思維活動的展開方式，為開展項目式學(xué)習(xí)提供了很好的問題解決著力點．

（2）重在設(shè)計可操作的任務(wù).

例7（浙江·溫州卷）根據(jù)表3中的素材，探索完成任務(wù).

表3

答案：以拱頂為原點建立平面直角坐標(biāo)系，可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，完成任務(wù)1；任務(wù)2，懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是-1.8，橫坐標(biāo)的取值范圍為-6≤x≤6；任務(wù)3，由拋物線的軸對稱性，可以從頂點處開始懸掛燈籠，共掛7盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是-4.8，也可以從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，共掛8盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是-5.6．

考查目標(biāo)：該題設(shè)置了一個現(xiàn)實生活中的真實情境，需要運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案，主要涉及建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，確定拋物線的函數(shù)表達(dá)式及二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，重點考查根據(jù)已知條件建立數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合模型中變量的現(xiàn)實意義分析滿足條件的點的坐標(biāo)特征．

命題意圖：一方面，基于真實情境，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)學(xué)科與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系；另一方面，試題呈開放式設(shè)計，選取的平面直角坐標(biāo)系不同，所確定的拋物線的函數(shù)表達(dá)式不同，設(shè)計的方案也就不同.學(xué)生可在運用不同方法解決實際問題的過程中，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．

命題評價：該題以任務(wù)單的方式，把問題解決的過程呈現(xiàn)出來，便于學(xué)生理解和參與，設(shè)計新穎，可操作性強，對于學(xué)生理解實際問題中變量之間對應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)實意義、體會模型觀念具有重要意義.這里綜合運用數(shù)學(xué)、建筑、藝術(shù)等內(nèi)容進(jìn)行探究的過程與方法，同樣為開展項目式學(xué)習(xí)提供了很好的問題解決著力點．

4.以核心素養(yǎng)為根本，突出實踐性和應(yīng)用價值

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：用數(shù)學(xué)的語言，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程，感悟科學(xué)研究的過程與方法，感受數(shù)學(xué)在與其他學(xué)科融合中所彰顯的功效，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，逐步形成“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng).因此，在現(xiàn)實情境中，提出能引發(fā)學(xué)生思考的數(shù)學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)是認(rèn)識、理解、表達(dá)現(xiàn)實世界的工具、方法和語言，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，是命題的基本原則.

（1）用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界.

例8（安徽卷）如圖11，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米.E（0，8）是拋物線的頂點．

圖11

（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

圖12

圖13

圖14

②現(xiàn)修建一個總長為18米的柵欄，有如圖13和圖14所示的修建型或型兩種設(shè)計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時點P1的橫坐標(biāo)的取值范圍（P1在P4右側(cè)）．

考查目標(biāo)：該題設(shè)置了“在隧道截面內(nèi)修建柵欄”的現(xiàn)實情境，考查二次函數(shù)的表達(dá)式、圖象和性質(zhì)，函數(shù)值及其應(yīng)用.同時，考查學(xué)生綜合運用矩形性質(zhì)、平行線性質(zhì)、解一元二次方程等內(nèi)容解決實際問題的能力．

命題意圖：意在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言和工具解決現(xiàn)實問題，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性．

命題評價：該題以真實情境為背景，以問題解決為導(dǎo)向，將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活中的問題有機融合，提出能引發(fā)學(xué)生思考的數(shù)學(xué)問題，從函數(shù)圖象出發(fā)，結(jié)合圖象上點的特征，討論點、線段和拋物線的函數(shù)表達(dá)式之間的相互轉(zhuǎn)化，從“數(shù)”與“形”兩個角度審視同一問題，是數(shù)形結(jié)合思想方法的具體體現(xiàn).同時，通過對不同設(shè)計方案的選擇，可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)符號建立方程和函數(shù)表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并在求出結(jié)果及討論結(jié)果現(xiàn)實意義的基礎(chǔ)上，養(yǎng)成理論聯(lián)系實際的習(xí)慣，發(fā)展實踐能力.這樣的設(shè)計承載了項目式學(xué)習(xí)的重要觀點．

（2）用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實問題.

例9（四川·自貢卷）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進(jìn)行實地測量，活動過程如下.

（1）探究原理.

制作測角儀時，將細(xì)線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G.測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖15），繞點O轉(zhuǎn)動量角器，使觀測目標(biāo)P與直徑兩端點A，B共線（如圖16），此時目標(biāo)P的仰角∠POC=∠GON.試說明兩個角相等的理由．

圖15

圖16

（2）實地測量.

如圖17，公園廣場上有一棵樹，為測量樹高，同學(xué)們在觀測點K處測得樹頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測點與樹的距離KH為5米，點O到地面的距離OK為1.5米.求樹高PH.（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米.）

圖17

（3）拓展探究.

公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖18），同學(xué)們經(jīng)過討論，決定先在水平地面上選取觀測點E，F(xiàn)（點E，F(xiàn)，H在同一直線上），分別測得點P的仰角α，β，再測得E，F(xiàn)間的距離m，點O1，O2到地面的距離O1E，O2F均為1.5米.求PH（用α，β，m表示）．

圖18

答案：（1）由圖形中角與角之間的位置關(guān)系，根據(jù)同角或等角的余角相等可得；

（2）樹高PH約10.2米；

考查目標(biāo)：該題主要考查銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容.全面掌握直角三角形的組成要素（邊、角）之間的關(guān)系，在現(xiàn)實場景中合理使用工具，綜合運用已學(xué)知識解決與直角三角形有關(guān)的測量問題是解題的關(guān)鍵．

命題意圖：通過設(shè)置貼近學(xué)生實際的現(xiàn)實背景和呈現(xiàn)方式，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)就在身邊，感受到數(shù)學(xué)知識的工具性作用，并在解決實際問題的過程中形成并發(fā)展運算能力、推理能力和模型觀念，是該題的設(shè)計意圖．

命題評價：該題源自于人教版教材九年級下冊第二十八章“銳角三角函數(shù)”中的“數(shù)學(xué)活動1 制作測角儀，測量樹的高度”和“數(shù)學(xué)活動2 利用測角儀測量塔高”.該題依托真實情境，有一定的活動性，操作性較強，從“探究原理”明確仰角的含義出發(fā)，到測量底部能夠到達(dá)的“實地測量”樹的高度，再到測量底部不能到達(dá)的涼亭的高度，親切自然，有理有據(jù)，科學(xué)合理，增強了學(xué)生對同類問題的認(rèn)識，提高了學(xué)生解決問題的能力.從數(shù)學(xué)角度來看，解直角三角形解決了與直角三角形有關(guān)的度量問題，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.事實上，該題第（3）小題的設(shè)計，給出了這類問題的一般解法和結(jié)論，具有普適性，充分發(fā)揮了銳角三角函數(shù)和解直角三角形在解決實際問題中所起的作用．

該題的設(shè)計，有真實情境，有重要觀點，有探究路徑，有一般性結(jié)論，如果將真實情境設(shè)置為與中國文化古跡、風(fēng)景園林建筑、植物生態(tài)分布等內(nèi)容相關(guān)，并將活動的過程設(shè)計為“學(xué)習(xí)任務(wù)—學(xué)生活動—教師組織—活動意圖”，應(yīng)該就是一個非常好的項目式學(xué)習(xí)的教學(xué)案例．

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

通過上述對2022年全國各地中考典型試題的分析，可以看到，關(guān)于“綜合與實踐”專題的考查，既強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識的關(guān)聯(lián)，又重視與其他學(xué)科內(nèi)容的有機融合；強調(diào)以問題解決為導(dǎo)向，依托真實情境，考查學(xué)生在動手操作、實踐檢驗、推理論證中合理選擇已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗、有效應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力和水平；同時承載了數(shù)學(xué)的思維方式，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用價值.因此，以重要觀念為統(tǒng)領(lǐng)，注重結(jié)構(gòu)化、實踐性、整體性是“綜合與實踐”專題復(fù)習(xí)教學(xué)的重要方面.

1.明確新課程理念，樹立大概念意識

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用．

在“綜合與實踐”專題教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》為數(shù)學(xué)教學(xué)改革和實踐“定標(biāo)”的作用，基于大概念設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生在跨學(xué)科的背景下用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界中事物的概念、關(guān)系和規(guī)律，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神，增強社會責(zé)任感，樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，以便更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的育人功能．

2.基于結(jié)構(gòu)化內(nèi)容，精選好問題資源

數(shù)學(xué)知識不是孤立的、分散的個體，存在著其自身的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與聯(lián)系、價值與意義，具有整體性、邏輯性和思想性等特點.開展“以現(xiàn)實問題和跨學(xué)科實踐為主，采用項目式學(xué)習(xí)方式”的教學(xué)，就是要打破“一個個地教”“一個個地學(xué)”的定式，使學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，對內(nèi)容進(jìn)行重組和優(yōu)化，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識．

在“綜合與實踐”專題教學(xué)中，教師要基于結(jié)構(gòu)化內(nèi)容，精選“好問題”資源.例如，在知識交會處設(shè)計問題，體現(xiàn)綜合性；在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的數(shù)學(xué)思考；在學(xué)生的實驗操作過程中分解問題，即將復(fù)雜問題進(jìn)行有序分解，讓學(xué)生在操作中思考，在思考中發(fā)現(xiàn)，在問題分解的過程中獲得解決問題的基本策略和經(jīng)驗，體現(xiàn)“做數(shù)學(xué)”的過程和方法．

3.落實實踐性要求，采用項目式學(xué)習(xí)

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強調(diào)：改變單一講授式教學(xué)方式，注重啟發(fā)式、探究式、參與式、互動式等教學(xué)方式，探索大單元教學(xué)，積極開展跨學(xué)科的主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)等綜合性教學(xué)活動.根據(jù)不同的學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)對象，選擇合適的教學(xué)方式或多種方式相結(jié)合，組織開展教學(xué).通過豐富的教學(xué)方式，讓學(xué)生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學(xué)習(xí)過程中感悟基本思想，積累基本活動經(jīng)驗，發(fā)揮每一種教學(xué)方式的育人價值，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．

在“綜合與實踐”專題教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)真實情境，從社會生活、人文科學(xué)及學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗等方面入手，引導(dǎo)學(xué)生開展豐富多樣的實踐活動，通過經(jīng)歷觀察、思考、抽象、預(yù)測、推理、反思等過程，幫助學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會探究、學(xué)會實踐，逐步達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的意會和感悟，使學(xué)生能夠在一點一滴的實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，體會數(shù)學(xué)是認(rèn)識、理解、表達(dá)現(xiàn)實世界的工具、方法和語言，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

4.增強整體性指導(dǎo)，實現(xiàn)“教—學(xué)—評”一致

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》注重實現(xiàn)“教—學(xué)—評”一致性，細(xì)化了評價與考試命題建議，切實加強了對教學(xué)與評價的指導(dǎo)，增加了相關(guān)案例，不僅明確了“為什么教”“教什么”“教到什么程度”，而且強化了“怎么教”的具體指導(dǎo)，以形成育人合力．

建議在“綜合與實踐”專題教學(xué)中，一是要關(guān)注所有學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，發(fā)揮每個項目的作用，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)特點，不斷豐富教學(xué)與評價的方式和維度；二是要精選好的項目，以任務(wù)驅(qū)動、持續(xù)探究、學(xué)生參與、學(xué)科融合等方式開展教學(xué)實踐活動；三是要合理利用評價結(jié)果，通過提煉重要觀點，明確其學(xué)業(yè)成就的具體表現(xiàn)特征及能力層次的要求，更多地關(guān)注學(xué)生的進(jìn)步，關(guān)注學(xué)生已有的學(xué)業(yè)水平與提升空間，充分發(fā)揮評價的激勵作用．

四、典型模擬題

提出問題：黃瓜銷售的純收益與上市時間具有怎樣的關(guān)系？以某蔬菜種植基地為例，假設(shè)市場銷售價格減去種植成本就是純收益．

探究發(fā)現(xiàn)：通過收集、整理歷年黃瓜市場銷售價格和種植成本的情況，發(fā)現(xiàn)從1月1日開始的300天內(nèi)（包括第300天），每25 kg一袋的黃瓜，市場銷售價格y1（單位：元/袋）與上市時間t（單位：天）的關(guān)系能用一條折線上的點表示，如圖19所示；種植成本y2（單位：元/袋）與上市時間t（單位：天）的關(guān)系能用拋物線的一部分上的點表示，如圖20所示.那么y1，y2關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式分別是什么？

圖19

圖20

分析推理：如果不考慮其他因素的影響，按照上述市場銷售價格y1和種植成本y2關(guān)于上市時間t的變化規(guī)律，判斷何時上市的黃瓜純收益最大？最大值M是多少？

拓展延伸：如果調(diào)整市場銷售方案，當(dāng)115≤t≤120時，規(guī)定：上市時間t從1月1日開始的第115天開始，每增加1天，市場銷售價格在上述y1的基礎(chǔ)上每1kg提高0.2元.試進(jìn)一步討論，若還是按照上述種植成本y2關(guān)于上市時間t的變化規(guī)律，試判斷在價格調(diào)整期間黃瓜銷售純收益的最大值能否超過調(diào)整前的最大值M？

命題意圖：以函數(shù)內(nèi)容為主題，綜合運用經(jīng)濟(jì)、社會、文化等知識，討論現(xiàn)實生活中產(chǎn)品的市場銷售與上市時間之間的關(guān)系．

試題答案：由圖19，可得黃瓜市場銷售價格y1與上市時間t的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)0≤t＜200，y1=-t+300；當(dāng)200≤t≤300時，y1=2t-300.由圖20，可得黃瓜的種植成本y2與上市時間t的函數(shù)關(guān)系式為y2=+100，其中0≤t≤300.

當(dāng)0≤t＜200和200≤t≤300，根據(jù)市場銷售價格減去種植成本就是純收益，依次得到黃瓜純收益y與上市時間t的函數(shù)關(guān)系式為（0≤t＜200）和y=+100（）200≤t≤300，結(jié)合t的取值范圍，可依次得到所對應(yīng)的函數(shù)最大值，比較它們的大小，可知從1月1日開始的第50天時，上市的黃瓜純收益最大，最大值M是100元/袋.

進(jìn)一步討論，在調(diào)整銷售方案后，可知在價格調(diào)整期間黃瓜銷售純收益的最大值能超過調(diào)整前的最大值M.

教學(xué)提示：教學(xué)中，以上述問題解決為背景，可從經(jīng)濟(jì)效益、社會需求、傳統(tǒng)節(jié)日等方面提出與產(chǎn)品（這里是“黃瓜”）的市場銷售或上市時間有關(guān)的問題，作為項目式學(xué)習(xí)活動的主題.例如，在中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化節(jié)日期間，對市場銷售方案做出適當(dāng)調(diào)整，通過計算、判斷、推理某種產(chǎn)品銷售純收益取得最大值的情況，以體會不同調(diào)整方案的可行性，并對該產(chǎn)品的上市時間做出最好的安排.也可以通過重新收集、整理歷年某產(chǎn)品的市場銷售與上市時間的關(guān)系的情況，繪制圖象、建立函數(shù)模型進(jìn)行分析和預(yù)測．在這樣的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生經(jīng)歷基于真實情境進(jìn)行分析和解決問題的過程，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探索、推理、調(diào)整等研究過程，有助于形成并發(fā)展學(xué)習(xí)能力和實踐能力，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．

綜上所述，基于2022年全國各地中考命題分析，可以看到，“綜合與實踐”專題的教學(xué)與評價，著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是目標(biāo)，采用項目式學(xué)習(xí)的方式是重點，強化綜合性、過程性、應(yīng)用性和實踐性是關(guān)鍵，融入跨學(xué)科知識內(nèi)容、在真實情境中體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值是進(jìn)一步改革的方向.落實育人為本、倡導(dǎo)知行合一、體現(xiàn)融合創(chuàng)新，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美好，是我們始終秉持的教育情懷！