楊 軍，劉 棟

（山東省濟(jì)南教育教學(xué)研究院；山東省濟(jì)南稼軒學(xué)校）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的頒布，驅(qū)動(dòng)了考試評(píng)價(jià)從能力立意向素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)變.“隨機(jī)事件的概率”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，屬于“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的一個(gè)主題.從2022年全國(guó)各地區(qū)中考“隨機(jī)事件的概率”相關(guān)試題的設(shè)計(jì)來看，更加關(guān)注對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的考查，強(qiáng)調(diào)用定量的方法刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念、模型觀念和應(yīng)用意識(shí).文章結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，在對(duì)60份選自全國(guó)各地區(qū)的2022年中考試卷中“隨機(jī)事件的概率”試題的各項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析和整理的基礎(chǔ)上，歸納了中考“隨機(jī)事件的概率”試題的主要特點(diǎn)和命制思路，并對(duì)2023年中考備考提出一些建議.

一、考查內(nèi)容分析

隨機(jī)事件的概率是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的定量描述.隨機(jī)現(xiàn)象的特征是可能發(fā)生也可能不發(fā)生，且發(fā)生的可能性大小不確定.但是許多隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小是可以預(yù)測(cè)的.這是一種不確定的思維方式，主要培養(yǎng)學(xué)生從不確定的角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的能力.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此部分內(nèi)容的要求是：（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定隨機(jī)事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解隨機(jī)事件的概率；（2）知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率.

2022年全國(guó)各地區(qū)中考“隨機(jī)事件的概率”試題普遍選取了豐富的設(shè)問情境，從不同角度對(duì)“隨機(jī)事件的概率”內(nèi)容進(jìn)行了全面考查，如表1所示.主要考點(diǎn)有三個(gè)：（1）隨機(jī)事件的相關(guān)概念及隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)；（2）運(yùn)用概率的古典定義求事件的概率；（3）從數(shù)據(jù)分析的角度用頻率估計(jì)概率.相關(guān)試題注重兩步試驗(yàn)概率的計(jì)算，經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)知識(shí)一起考查，用頻率估計(jì)概率的考查占比最小，隨機(jī)事件概念的考查較往年略有下降.

表1 60份試卷中“隨機(jī)事件的概率”試題考查內(nèi)容與題型

抽樣的2022年全國(guó)各地區(qū)中考“隨機(jī)事件的概率”試題涉及選擇題、填空題和解答題.其中，填空題約占36.2%，選擇題約占25.2%，解答題約占38.6%.填空題和選擇題主要考查學(xué)生隨機(jī)事件的概率相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，以及對(duì)隨機(jī)事件的概率相關(guān)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用；解答題則側(cè)重考查學(xué)生綜合運(yùn)用隨機(jī)事件的概率相關(guān)知識(shí)的能力.從分值來看，全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷的滿分多為120分或150分，在抽樣的60份的試卷中，“隨機(jī)事件的概率”試題的總分值為298分，對(duì)于卷面總分的平均占比為3.81%.其中，占比超過5%的試卷有21份，占比低于3%的試卷有26份.總體來看，所占比值與《標(biāo)準(zhǔn)》要求的“隨機(jī)事件的概率”課時(shí)占比基本相符.

2022年中考“隨機(jī)事件的概率”試題的考查內(nèi)容涉及多種數(shù)學(xué)思想和方法.例如，在“摸球”過程中以“放回”與“不放回”為基本數(shù)學(xué)模型，考查學(xué)生的建模思想和分類討論思想.該部分內(nèi)容還涉及對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、運(yùn)算能力等素養(yǎng)的考查.對(duì)2022年全國(guó)各地區(qū)中考“隨機(jī)事件的概率”試題中涉及核心素養(yǎng)情況的統(tǒng)計(jì)如圖1所示，其中考查模型觀念占比最多，說明建立古典模型求概率仍然是此部分內(nèi)容考查的重點(diǎn).

圖1

二、命題特點(diǎn)分析

1.全面考查基礎(chǔ)知識(shí)，突出對(duì)核心概念的理解

隨機(jī)事件的概念是認(rèn)識(shí)隨機(jī)事件概率的基礎(chǔ)，以實(shí)際生活中常見的隨機(jī)現(xiàn)象為情境素材，設(shè)置判斷必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件的問題是中考相關(guān)試題的一般性命題思路.隨機(jī)事件概率的意義一般從隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生，以及發(fā)生的可能性大小的角度來考查.

例1（湖北·武漢卷）彩民李大叔購買1張彩票，中獎(jiǎng).這個(gè)事件是（ ）.

（A）必然事件 （B）確定性事件

（C）不可能事件 （D）隨機(jī)事件

答案：D.

考查目標(biāo)：隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的概念.

命題意圖：此題主要考查學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件概念的掌握情況.在解決問題的過程中，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)情境來源于現(xiàn)實(shí)生活，著重考查學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念和應(yīng)用意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：此題屬于基礎(chǔ)題.通過對(duì)隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件概念的考查，引導(dǎo)教師在教學(xué)活動(dòng)中注重通過多列舉生活中常見的隨機(jī)現(xiàn)象來引導(dǎo)學(xué)生理解核心概念的意義，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握.

例2（湖北·襄陽卷）下列說法正確的是（ ）.

（A）自然現(xiàn)象中，“太陽東方升起”是必然事件

（B）成語“水中撈月”所描述的事件，是隨機(jī)事件

（C）“襄陽明天降雨的概率為0.6”，表示襄陽明天一定降雨

答案：A.

考查目標(biāo)：事件的概率和事件發(fā)生的隨機(jī)性之間的關(guān)系.

命題意圖：通過“太陽東方升起”“水中撈月”“降雨的概率”“抽獎(jiǎng)活動(dòng)的概率”等生活實(shí)例考查學(xué)生對(duì)概率意義的理解，考查學(xué)生對(duì)事件的概率和事件發(fā)生的隨機(jī)性之間關(guān)系的掌握情況.在解決此類問題的過程中，需要運(yùn)用到大量的生活常識(shí)和跨學(xué)科知識(shí)，著重考查了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：此題屬于基礎(chǔ)題.在引導(dǎo)學(xué)生辨析事件的概率和事件發(fā)生的隨機(jī)性之間的關(guān)系的同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)據(jù)觀念去分析生活常識(shí)及跨學(xué)科事例.

例3（貴州·貴陽卷）某校九年級(jí)選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識(shí)競(jìng)賽”.比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個(gè)人的出場(chǎng)順序.主持人將表示出場(chǎng)順序的數(shù)字1，2，3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個(gè)不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個(gè)抽，下列說法中正確的是（ ）.

（A）小星抽到數(shù)字1的可能性最小

（B）小星抽到數(shù)字2的可能性最大

（C）小星抽到數(shù)字3的可能性最大

（D）小星抽到每個(gè)數(shù)的可能性相同

答案：D.

考查目標(biāo)：基本事件發(fā)生的可能性大小.

命題意圖：此題以抽簽活動(dòng)為背景，考查基本事件發(fā)生的可能性大小，考查學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的情況，以及是否具備了應(yīng)用意識(shí)，是否能用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.

命題評(píng)價(jià)：此題屬于基礎(chǔ)題.概率試題的問題情境都是生活中常見的隨機(jī)現(xiàn)象，且大部分情境在教材中都有所呈現(xiàn)，一般通過選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查.通過對(duì)基本事件發(fā)生的可能性大小的考查，引導(dǎo)教師在教學(xué)活動(dòng)中要注重學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，并培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)眼光”.

2.重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)方法，突出模型觀念

（1）古典概型.

用列舉法求隨機(jī)事件的概率是定量研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要內(nèi)容.通常以摸球、拋硬幣、抽撲克牌等學(xué)生熟悉的隨機(jī)試驗(yàn)為載體，通過畫樹狀圖或列表呈現(xiàn)出基本事件及所求隨機(jī)事件的結(jié)果，用古典概型公式求解.從2022年中考“隨機(jī)事件的概率”部分的試題來看，在考查基本模型的基礎(chǔ)上，命題背景的設(shè)計(jì)更加新穎，突出考查了學(xué)生的建模思想和化歸思想.

例4（北京卷）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外兩個(gè)小球無其他差別.從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（ ）.

答案：A.

考查目標(biāo)：古典概型——摸球模型.

命題意圖：讓學(xué)生在列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果（紅，紅），（紅，綠），（綠，紅），（綠，綠）后，根據(jù)結(jié)果（紅，綠）出現(xiàn)的次數(shù)，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算.此題考查學(xué)生用畫樹狀圖法或列表法解決兩步試驗(yàn)的概率問題的同時(shí)，考查學(xué)生區(qū)別兩步試驗(yàn)中的“放回”和“不放回”模型的能力，以及學(xué)生的模型觀念和運(yùn)算能力.

命題評(píng)價(jià)：此題屬于基礎(chǔ)題.此類問題屬于概率部分的重點(diǎn)問題，在中考試題中經(jīng)常出現(xiàn).在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“建模—識(shí)?！媚！钡倪^程，注重讓學(xué)生在過程中獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、提升模型觀念.

例5（山東·濟(jì)南卷）某班級(jí)計(jì)劃舉辦手抄報(bào)展覽，確定了“5G時(shí)代”“北斗衛(wèi)星”“高鐵速度”三個(gè)主題，若小明和小亮每人隨機(jī)選擇其中一個(gè)主題，則他們恰好選擇同一個(gè)主題的概率是（ ）.

答案：C.

例6（江西卷）某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員.醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選.

（1）略；

（2）若需要從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，試用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率.

考查目標(biāo)：可以化歸為摸球模型的古典概型.

命題意圖：例5和例6可以化歸為摸球模型，考查了學(xué)生識(shí)模、用模的能力.注重考查學(xué)生正確識(shí)別，并利用樹狀圖或列表表示“放回”模型和“不放回”模型的能力.在解決問題的過程中，學(xué)生應(yīng)該具備模型觀念和應(yīng)用意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：例5屬于基礎(chǔ)題，例6屬于中檔題.兩道試題都突出了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值.通過畫樹狀圖法或列表法求概率依然是今后中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，命題設(shè)計(jì)更加重視試題情境的隨機(jī)性和等可能性，注重基本模型的抽象，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、抽象能力和模型觀念.采用解答題的形式考查此部分內(nèi)容，能夠呈現(xiàn)出隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件結(jié)果和隨機(jī)事件結(jié)果，充分體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求.復(fù)習(xí)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生基于核心要素，剝?nèi)ァ氨尘啊钡耐庖拢プ?shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，注重讓學(xué)生經(jīng)歷獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的過程.

例7（遼寧·阜新卷）如圖2，是由12個(gè)全等的等邊三角形組成的圖案，假設(shè)可以隨機(jī)在圖中取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是（ ）.

圖2

答案：D.

考查目標(biāo)：幾何概型.

命題意圖：此題考查學(xué)生對(duì)幾何概型和古典概型的共同點(diǎn)是隨機(jī)事件發(fā)生的等可能性，以及幾何概型中隨機(jī)事件發(fā)生的可能結(jié)果的無限性的認(rèn)識(shí)情況.

命題評(píng)價(jià)：此題屬于基礎(chǔ)題.命制試題時(shí)，常常用線段長(zhǎng)度、圖形面積、幾何體體積作為基本事件和隨機(jī)事件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此部分內(nèi)容要求不高，各版本的教材對(duì)這部分內(nèi)容的處理也不一樣，這就要求教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)該注意題目不宜過難，要將教學(xué)重點(diǎn)放在將其轉(zhuǎn)化為古典概型上，以加深學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件的概率的理解.

（2）用頻率估計(jì)概率.

刻畫隨機(jī)事件概率的方法有兩種：古典概型公式和用頻率估計(jì)概率.用頻率估計(jì)概率更具有一般性.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此部分內(nèi)容的要求是：知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率.此類試題一般給出試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)估計(jì)概率，考查的目的是求概率不能停留在對(duì)古典概型的訓(xùn)練上，而應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的一般觀念，即隨機(jī)思想.滲透隨機(jī)思想是把握“可能性”的重點(diǎn)，引導(dǎo)教師在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷試驗(yàn)活動(dòng)，在試驗(yàn)活動(dòng)中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)觀念.

例8（甘肅·蘭州卷）2022年3月12日是我國(guó)第44個(gè)植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對(duì)這種幼樹進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，表2是這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

表2

估計(jì)該種幼樹在此條件下移植成活的概率是____.（結(jié)果精確到0.1.）

答案：0.9.

考查目標(biāo)：通過大量重復(fù)試驗(yàn)，用頻率估計(jì)概率.

命題意圖：學(xué)生對(duì)用概率刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小有了一定的體會(huì)，但是對(duì)其反映的隨機(jī)性的內(nèi)涵認(rèn)識(shí)不足，容易停留在“比值”層面.此題考查學(xué)生對(duì)在大量重復(fù)試驗(yàn)的過程中頻率所呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性和規(guī)律性、頻率與概率之間的關(guān)系，以及利用頻率估計(jì)概率的掌握程度.

命題評(píng)價(jià)：此題屬于基礎(chǔ)題.在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷大量重復(fù)試驗(yàn)的過程，讓學(xué)生在過程中體會(huì)頻率所呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性和規(guī)律性，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到頻率與概率之間的關(guān)系，并進(jìn)一步運(yùn)用頻率估計(jì)概率.

3.加強(qiáng)應(yīng)用性，體現(xiàn)試題情境的育人價(jià)值

《標(biāo)準(zhǔn)》要求命題要突出知識(shí)的應(yīng)用性，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.數(shù)學(xué)教育承載著立德樹人的根本任務(wù)，不僅體現(xiàn)在課堂教學(xué)中，也體現(xiàn)在考查目標(biāo)里.以數(shù)學(xué)文化為素材的概率試題逐漸成為中考試卷的一個(gè)亮點(diǎn).

例9（內(nèi)蒙古·包頭卷）2022年2月20日北京冬奧會(huì)大幕落下，中國(guó)隊(duì)在冰上、雪上項(xiàng)目中，共斬獲9金4銀2銅，創(chuàng)造了中國(guó)隊(duì)冬奧會(huì)歷史最好成績(jī).某校為普及冬奧知識(shí)，開展了校內(nèi)冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并評(píng)出一等獎(jiǎng)3人.現(xiàn)欲從小明等3名一等獎(jiǎng)獲得者中任選2名參加全市冬奧知識(shí)競(jìng)賽，則小明被選到的概率為（ ）.

答案：D.

例10（山西卷）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)際氣象界譽(yù)為“中國(guó)第五大發(fā)明”.小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂.小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），如圖3，讓小樂從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再從中隨機(jī)抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）.

圖3

答案：C.

考查目標(biāo)：德育背景下的古典概型.

命題意圖：通過可以轉(zhuǎn)化為摸球模型的概率問題，考查學(xué)生的模型觀念和應(yīng)用意識(shí).與此同時(shí)，例9以冬奧會(huì)為背景，通過介紹我國(guó)體育事業(yè)的發(fā)展來樹立學(xué)生的民族自信；例10以“二十四節(jié)氣”為背景，彰顯我國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深，樹立學(xué)生的文化自信.

命題評(píng)價(jià)：例9和例10都屬于基礎(chǔ)題.試題情境已經(jīng)成為評(píng)價(jià)試題的重要維度.2022年中考“隨機(jī)事件的概率”相關(guān)試題，特別突出應(yīng)用性，在情境設(shè)置上更加豐富，選取了與日常生活、環(huán)保健康、傳統(tǒng)文化、民俗風(fēng)情、社會(huì)熱點(diǎn)問題相關(guān)的情境，將社會(huì)主義核心價(jià)值觀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入試題中，充分發(fā)揮了中考試題的育人功能.教學(xué)中，教師應(yīng)該注重教學(xué)情境的設(shè)置，以充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值與作用.

例11（江蘇·鹽城卷）如圖4，電路圖上有A，B，C共3個(gè)開關(guān)和1個(gè)小燈泡，閉合開關(guān)C或同時(shí)閉合開關(guān)A，B都可以使小燈泡發(fā)亮.任意閉合其中的1個(gè)開關(guān)，小燈泡發(fā)亮的概率是________.

圖4

例12（四川·南充卷）老師為幫助學(xué)生正確理解物理變化與化學(xué)變化，將6種生活現(xiàn)象制成看上去無差別卡片（如圖5）.從中隨機(jī)抽取一張卡片，抽中生活現(xiàn)象是物理變化的概率是________.

圖5

考查目標(biāo)：求解以跨學(xué)科情境為背景的概率問題.

命題意圖：通過以跨學(xué)科情境為背景命制的概率試題，考查學(xué)生運(yùn)用跨學(xué)科知識(shí)解決問題的能力.例11以物理學(xué)中的電路圖為背景命制；例12以化學(xué)中的物理變化和化學(xué)變化為背景命制，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識(shí)與方法解決問題的能力，考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：例11和例12都屬于中檔題.2022年中考“隨機(jī)事件的概率”相關(guān)試題不僅關(guān)注了學(xué)生情感、態(tài)度和價(jià)值觀的發(fā)展，還設(shè)置了跨學(xué)科的情境問題，這是中考改革的一個(gè)重要方向.數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物等學(xué)科聯(lián)系密切，在學(xué)科交會(huì)處命制試題有較多的素材可選擇.教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題.

4.注重知識(shí)的綜合性，體現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的考查

2022年中考“隨機(jī)事件的概率”試題的綜合性有所提升.通過知識(shí)的交叉、滲透和組合來考查數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，考查相關(guān)知識(shí)與方法、能力與素養(yǎng).

例13（廣東·深圳卷）某工廠進(jìn)行廠長(zhǎng)選拔，從中抽出一部分人進(jìn)行篩選，其中有“優(yōu)秀”“良好”“合格”“不合格”.

（1）本次抽查總?cè)藬?shù)為_______，“合格”人數(shù)的百分比為_______；

（2）補(bǔ)全如圖6所示的條形統(tǒng)計(jì)圖；

圖6

（3）如圖7，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格”人數(shù)的度數(shù)為_______；

圖7

（4）在“優(yōu)秀”中有甲、乙、丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為_______.

答案：（1）50人，40%；（2）略；（3）115.2°；（4）

考查目標(biāo)：同領(lǐng)域主題間的概率問題.

命題意圖：此題考查學(xué)生對(duì)條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，以及頻數(shù)和樣本概念的理解.同時(shí)，全面考查學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、運(yùn)算能力和應(yīng)用意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：此題屬于中檔題.同領(lǐng)域主題間的知識(shí)綜合是中考命題的一種趨勢(shì).教學(xué)中，教師要注重知識(shí)上的融合，并逐步在知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與融合上實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.

例14（廣西·玉林卷）問題情境：在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，教師給出了如圖8所示的圖形及下面三個(gè)等式：①AB=AC；②DB=DC；③∠BAD=∠CAD.若以其中兩個(gè)等式作為已知條件，能否得到余下一個(gè)等式成立？

圖8

解決方案：探究△ABD與△ACD全等.

問題解決：

（1）當(dāng)選擇①②作為已知條件時(shí)，△ABD與△ACD全等嗎？_________（填“全等”或“不全等”），理由是________；

（2）當(dāng)任意選擇兩個(gè)等式作為已知條件時(shí)，試用畫樹狀圖法或列表法求△ABD≌△ACD的概率.

例15（江蘇·常州卷）在5張相同的小紙條上，分別寫有語句：①函數(shù)表達(dá)式為y=x；②函數(shù)表達(dá)式為y=x2；③函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；⑤函數(shù)值y隨自變量x增大而增大.將這5張小紙條做成5支簽，①②放在不透明的盒子A中攪勻，③④⑤放在不透明的盒子B中攪勻.

（1）從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是__________；

（2）先從盒子A中任意抽出1支簽，再從盒子B中任意抽出1支簽.求抽到的2張小紙條上的語句對(duì)函數(shù)的描述相符合的概率.

考查目標(biāo)：隨機(jī)事件的概率與圖形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象及性質(zhì)等知識(shí)的綜合.

命題意圖：例14和例15分別是對(duì)隨機(jī)事件的概率與圖形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的跨領(lǐng)域內(nèi)容的考查，設(shè)計(jì)新穎、難度適中，通過畫樹狀圖或列表解決問題.試題實(shí)現(xiàn)了跨領(lǐng)域內(nèi)容的考查，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合考查.

命題評(píng)價(jià)：例14和例15都屬于中檔題，都是跨領(lǐng)域主題的綜合試題，具有一定的難度.教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，注重培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想解決問題的能力，注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，從而讓學(xué)生在解決問題時(shí)能做到舉一反三、觸類旁通.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1.立足“四基”“四能”，堅(jiān)持“依標(biāo)定教”

結(jié)合上文的分析，筆者認(rèn)為2023年中考“隨機(jī)事件的概率”試題的命制仍然會(huì)保持穩(wěn)定中有所創(chuàng)新，堅(jiān)持考查“四基”“四能”，試題以簡(jiǎn)單題和中等難度題為主，內(nèi)容主要涉及隨機(jī)事件的概念、隨機(jī)事件概率的意義、用畫樹狀圖法或列表法求概率和用頻率估計(jì)概率.復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要認(rèn)真研讀《標(biāo)準(zhǔn)》，進(jìn)一步明確《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)隨機(jī)事件的概率的學(xué)習(xí)要求和質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確把握復(fù)習(xí)內(nèi)容的深度、廣度和難度，不隨意超標(biāo)或提高難度.例如，對(duì)于隨機(jī)事件概念的復(fù)習(xí)，由于它是從小學(xué)階段的定性描述逐步轉(zhuǎn)向初中階段的定量分析，故應(yīng)該通過設(shè)置簡(jiǎn)單易懂的情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟隨機(jī)事件.復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要選擇生活中常見的隨機(jī)現(xiàn)象加深學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件概念的理解，不要以過多的數(shù)學(xué)知識(shí)為背景，避免削弱學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件概念的理解.在利用畫樹狀圖法或列表法求隨機(jī)事件的概率時(shí)，建議以兩步試驗(yàn)為主，不要涉及三步及以上的隨機(jī)試驗(yàn)問題，以免加大學(xué)生求解概率的計(jì)算量.教材是教學(xué)的主要載體，立足基礎(chǔ)就要回歸教材，挖掘和改編教材例題和習(xí)題，充分發(fā)揮教材例題和習(xí)題的功能.

2.突出思想方法，堅(jiān)持素養(yǎng)立意

《標(biāo)準(zhǔn)》要求在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施時(shí)要堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，充分關(guān)注核心素養(yǎng)在教學(xué)中的達(dá)成情況.因此，復(fù)習(xí)教學(xué)更要指向?qū)W生核心素養(yǎng)的發(fā)展.“隨機(jī)事件的概率”內(nèi)容中蘊(yùn)含著隨機(jī)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、模型思想等豐富的數(shù)學(xué)思想.在沒有學(xué)習(xí)排列組合知識(shí)的情況下，畫樹狀圖和列表是解決古典概型計(jì)算問題的重要方法.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，一方面，可以讓學(xué)生畫思維導(dǎo)圖或魚骨圖建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，明確知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)和基本思想；另一方面，可以圍繞基本模型，通過對(duì)具有典型性、拓展性和探究性的變式題的練習(xí)，將其內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、抽象能力、運(yùn)算能力等素養(yǎng).

3.注重綜合應(yīng)用，堅(jiān)持育人導(dǎo)向

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，要適當(dāng)提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例，題目設(shè)置要注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境.因此，2023年中考“隨機(jī)事件的概率”試題仍然會(huì)密切結(jié)合生活實(shí)際和社會(huì)熱點(diǎn)進(jìn)行命制.復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要重點(diǎn)選擇統(tǒng)計(jì)與概率綜合的題目，并兼顧與其他領(lǐng)域知識(shí)聯(lián)系的綜合性題目，以及從不同角度考查學(xué)生的思維能力、體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)涵和價(jià)值的題目.同時(shí)，還要關(guān)注情境的教育性，注意挖掘能激發(fā)學(xué)生愛國(guó)情懷、弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化的素材，真正實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)激發(fā)興趣、培養(yǎng)習(xí)慣、立德樹人的目標(biāo).

四、典型模擬題

1.如圖9，湖邊建有A，B，C，D共4座涼亭，某同學(xué)計(jì)劃將這4座涼亭全部參觀一遍，從入口處進(jìn)，先經(jīng)過涼亭A，接下來參觀涼亭B或涼亭C（已經(jīng)參觀過的涼亭，再次經(jīng)過時(shí)不作停留），則最后一次參觀的為涼亭D的概率為（ ）.

圖9

答案：C.

2.如圖10，有4張反面無差別的卡片，其正面分別印有國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，現(xiàn)將4張卡片正面朝下放置，混合均勻后從中隨機(jī)抽取2張，則抽到的卡片正面圖案都是中心對(duì)稱圖形的概率為（ ）.

圖10

答案：C.

3.林業(yè)部門要考查某種樹苗在一定條件下的移植成活率，表3是這種樹苗在移植過程中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).估計(jì)該種樹苗在此條件下移植成活的概率為_______.（結(jié)果精確到0.01.）

表3

答案：0.88.

4.中華文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，在文學(xué)方面，《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)古代長(zhǎng)篇小說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”.某中學(xué)為了了解學(xué)生對(duì)四大古典名著的閱讀情況，就“你讀完了幾部四大古典名著”的問題在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖11和圖12所示的兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖，試結(jié)合圖中信息解決下列問題.

圖11

圖12

（1）本次調(diào)查一共抽取了_______名學(xué)生；扇形統(tǒng)計(jì)圖中“1部”所在扇形的圓心角的度數(shù)為_______；

（2）被抽取學(xué)生閱讀四大名著的平均本數(shù)為_____；

（3）若該中學(xué)有1 000名學(xué)生，試估計(jì)至少閱讀3部四大古典名著的學(xué)生有多少？

（4）沒有讀過四大名著的2名學(xué)生準(zhǔn)備從四大古典名著中各自隨機(jī)選擇一部來閱讀，求他們選中同一名著的概率.

答案：（1）40，126°；（2）2.05；（3）350名；（4）