沈瑩琪，褚水林

（浙江省湖州市行知中學；浙江省湖州市南潯區(qū)教育教學研究和培訓中心）

著名教育家杜威認為，教育即生活，由于生活是一個發(fā)展過程、生長過程，所以教育即生長.在新課程改革背景下，課程目標也發(fā)展到了現(xiàn)在的核心素養(yǎng).在核心素養(yǎng)視角下，目標立意更注重知識、方法、能力、思維、態(tài)度的統(tǒng)合與生長.因此，當下的教育教學應順應社會和學生的發(fā)展，以生長、發(fā)展的眼光去培養(yǎng)學生的必備品格和關(guān)鍵能力.對此，卜以樓老師提出了“生長數(shù)學”理念，主張讓學生學習具有生長力的數(shù)學.“生長數(shù)學”的實質(zhì)是指以數(shù)學知識結(jié)構(gòu)、思維方法、重要思想的生長形態(tài)與方法來建構(gòu)數(shù)學課堂結(jié)構(gòu)、形態(tài)的生長.褚水林在文獻［3］提出了生長型復習課的基本內(nèi)涵和范式，并對生長路徑進行了詳細闡述.于是，眾多數(shù)學教師進行了生長型課堂的教學實踐.那么，“生長”是否就是“變式”？如何進行生長教學才能有效提升學生的思維能力？本文中，筆者結(jié)合浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“浙教版教材”），就這一話題談幾點思考，以期與同仁探討.

一、聚焦生長的結(jié)構(gòu)性，發(fā)展思維的系統(tǒng)性

系統(tǒng)性思維是把物質(zhì)系統(tǒng)作為一個整體加以思考的思維方式，對人們認識、研究復雜的事物具有重要意義.發(fā)展學生的思維系統(tǒng)性，需要在教學中培養(yǎng)學生以整體的視角理解數(shù)學知識的本質(zhì).《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提出，數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導學生感受數(shù)學的整體性.特別是在核心概念的教學中，如果教師進行結(jié)構(gòu)化地生長教學，建構(gòu)好與核心概念關(guān)聯(lián)的知識網(wǎng)絡，那么學生便能了解并理解“為什么會有這個知識點？”“這個知識點與其他知識點有什么關(guān)系？”“接下來將學習什么知識點？”等，從而厘清核心知識的內(nèi)涵與外延，分清整體與局部的關(guān)系，掌握知識之間的結(jié)構(gòu)體系.通過知識的生長過程，學生能拾級而上，形成“一覽眾山小”的體驗，從而看清數(shù)學知識的本質(zhì).

案例1：分式方程.

在浙教版教材七年級下冊“5.5分式方程”一節(jié)有以下一段文字.

“必須注意的是，解分式方程一定要驗根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程兩邊所乘的公分母，看分母的值是否為0.使分母為0的根我們說它是增根.”

這樣一段簡單的文字中出現(xiàn)了一個新的概念——增根.對于七年級學生來說，難以理解的是它與“方程的根”有什么關(guān)系.在作業(yè)中又會出現(xiàn)“分式方程無解”的情況.例如，這樣的一道習題：已知關(guān)于x的分式方程無解，求實數(shù)m的值.我們知道，分式方程需要轉(zhuǎn)化成整式方程才能進一步求解，而七年級學生學過的一元整式方程只有一元一次方程，且最多只有一個解（初中階段默認為實數(shù)解），所以一旦分式方程出現(xiàn)增根，那么該分式方程就會無解.在這樣的背景下，如果教師照本宣科，學生就會默認一個錯誤的結(jié)論：如果分式方程有增根，那么它就無解.從問題的根源來講，學生根本沒有弄清楚“分式方程的根”“分式方程的增根”“分式方程有解”和“分式方程無解”這四個概念之間的關(guān)系.

筆者通過所在區(qū)域的各級初中數(shù)學教研活動了解到，有很多學生存在這樣的問題.為了解決這一問題，教師需要從“生長”的視角重構(gòu)本節(jié)課的教學，聚焦生長的結(jié)構(gòu)性，建構(gòu)分式方程的知識體系，并適當?shù)匮a充一些簡單的一元二次方程等會出現(xiàn)多個實數(shù)解的一元整式方程，以思維導圖（如圖1）的形式讓學生清晰地了解與分式方程關(guān)聯(lián)的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)，讓學生更好地理解相關(guān)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而系統(tǒng)地認識和理解“整式方程”和“分式方程”這兩個核心概念及相關(guān)知識.在這樣的整體視角下，學生也能更加清晰地理解“分式方程無解”的本質(zhì).

圖1

二、聚焦生長的自然性，發(fā)展思維的邏輯性

數(shù)學學科具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，數(shù)學學習必須通過思維去把握.思維的邏輯性培養(yǎng)很大程度上取決于教師在課堂中是否營造了“思維必然”.教材中大部分的數(shù)學結(jié)論都給出了合情推理或演繹推理的過程，教師則需要在教學中引導學生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、歸納的過程，讓學生感受結(jié)論的自然生長和生成.但由于學生知識水平的限制，有些結(jié)論便由教師直接給出了.面對這樣的情況，教師也應該從“生長”的視角出發(fā)，以育人為根本目標，聚焦生長的自然性，搭建“腳手架”，營造思維必然，發(fā)展學生思維的邏輯性.

案例2：一次函數(shù)的圖象.

在浙教版教材八年級上冊“5.4一次函數(shù)的圖象”一節(jié)有以下一段文字.

“由此可見，一次函數(shù)y=kx+b（k，b都為常數(shù)，且k≠0）可以用直角坐標系中的一條直線來表示，這條直線也叫做一次函數(shù)y=kx+b的圖象.”

在浙教版教材中，“一次函數(shù)在坐標系中的圖象是一條直線”這個結(jié)論其實是在學生描了5個點后，通過觀察發(fā)現(xiàn)5個點幾乎共線的情況下直接給出的.這一過程看似合情合理，但八年級學生已經(jīng)具備了一定的演繹推理和證明的經(jīng)驗，他們在遇到5個點幾乎共線的情況下，仍然會思考“這5個點一定共線嗎？”“可以證明嗎？”等一系列質(zhì)疑這個結(jié)論是否嚴謹?shù)膯栴}.如果教師忽略這個生長節(jié)點，默認“一次函數(shù)的圖象是直線”，勢必會造成學生思維鏈的斷裂.學生將帶著疑問且機械地用“兩點法”畫一次函數(shù)的圖象.

如何解決這一問題？筆者認為，教師應該聚焦結(jié)論的自然生長，適切地為學生搭建思維的“腳手架”.本案例中，教師可以引導學生對一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）形成這樣的理解：每當x增加（減少）n（n＞0）個單位長度時，y總是增加（減少）nk個單位長度，并將這樣的理解賦予“形”的解釋.如圖2，AB∥CD∥Ox，BC∥DE∥Oy，AB=CD=n，BC=DE=nk，根據(jù)“SAS”可以判定△ABC≌△CDE，那么∠A=∠ECD，從而得∠ACB+∠BCD+∠ECD=180°，即A，C，E三點共線.由于n具有任意性，依此類推，函數(shù)y=kx+b（k＞0）的圖象是一條直線.

圖2

這樣的啟發(fā)和引導，既考慮了學生的認知水平，又順應了結(jié)論的自然生長，讓學生理解了一次函數(shù)的圖象為什么是一條直線.同時，讓學生在經(jīng)歷從變量同幅度增減到圖象以直線呈現(xiàn)的過程中，發(fā)展了思維的邏輯性和深刻性.

三、聚焦生長的自主性，發(fā)展思維的創(chuàng)造性

創(chuàng)造性思維是以感知、記憶、思考、聯(lián)想、理解等能力為基礎，以綜合性、探索性和求新性為特征的高級心理活動.在數(shù)學教學活動中，教師常用類比、變式等方式引發(fā)學生進一步思考，試圖發(fā)展學生思維的創(chuàng)造性.而這一目標的落實，其根本在于學生具有自主類比、探究的意識和能力.“生長數(shù)學，生命成長”的視角強調(diào)學生數(shù)學學習既是知識、方法、經(jīng)驗、思維生長的過程，更是學生生命體成長的過程.教師的教學應該通過環(huán)境創(chuàng)設、氛圍營造、問題聚焦、活動組織等途徑，喚醒學生的生長意識、激發(fā)學生的生長動力、積聚學生的生長潛能，實現(xiàn)學生的知識、能力、情感、態(tài)度、價值觀等自發(fā)、自由、自主地生長.然而，知識點的教學要以數(shù)學課程標準和教材為依據(jù)，需要教師的引導和組織才能完成，學生在這個過程中自主生長的空間有限，而例題和習題的可改編性強，可挖掘的價值大，學生自己也可以進行創(chuàng)編.因此，例題和習題的變式教學成了學生自主生長的主要陣地.

案例3：相似三角形的性質(zhì)及其應用.

在浙教版教材九年級上冊“4.5相似三角形的性質(zhì)及其應用（3）”一節(jié)中有以下一道課后練習題.

如圖3，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120 mm，高線AD=80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上.問加工成的正方形零件的邊長為多少？

圖3

該習題可挖掘的價值很高，2014年中考浙江紹興卷第20題就是基于此題進行改編的.正因為如此，筆者觀摩的“相似三角形的應用”的復習課中，幾乎每一節(jié)課都會引用此習題.有的教師將此習題進行縱向變式，將三角形內(nèi)的正方形PQMN弱化成矩形，然后利用相似三角形和二次函數(shù)的性質(zhì)解決矩形面積的最值問題.究其原因，是因為這樣的變式從特殊到一般，由靜到動，層層遞進，滲透了建模、轉(zhuǎn)化等思想.但這樣的變式教學仍然由教師在主導，學生只是在教師設定的“變式1”到“變式n”之間來回“刷題”，強化知識點而已，學生的思維缺乏發(fā)散性和創(chuàng)造性.這樣缺乏自主生長的教學，終究無法落實數(shù)學育人的目標.

在一次研修活動中，筆者以培養(yǎng)學生的自主生長能力為目標執(zhí)教了一節(jié)探究課——內(nèi)接正方形的生長探究.這節(jié)課以這道教材習題引入，在學生回顧該習題的解決思路后，筆者讓學生針對該題再提出一個疑問.其中有如下三個問題比較有探究價值.

（1）為什么已知三角形的底和高就能求出內(nèi)接正方形的邊長？是否存在一個公式？

（2）在一個已知的三角形中，不通過計算，怎樣才能畫出這樣的正方形？

（3）如果將這個外接三角形改為扇形，那么這個內(nèi)接正方形的邊長該怎么求？

在這節(jié)課中，筆者選取了問題（1）和學生一起進行了探究學習，從特殊到一般地歸納出了三角形的底和高與正方形邊長之間的數(shù)量關(guān)系，并在課后讓學生繼續(xù)探究其余兩個問題.

相比前一種教學，這樣的教學方式更突出以學生為主體.教師主要創(chuàng)設環(huán)境、營造氛圍，引導學生從不同的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，激發(fā)學生的生長潛能，而當學生自發(fā)、自主地提出問題時，這便是一種“思維必然”.由于思維的差異性，學生的自主生長探究會更具層次性，擺脫了固定模式的變式，學生的思維生長也更具發(fā)散性和創(chuàng)造性.

四、結(jié)束語

“生長數(shù)學”理念以育人為根本，順應課程改革和時代發(fā)展，以“生長數(shù)學，生命成長”的視角重構(gòu)初中數(shù)學教學具有重要意義.在基于“生長數(shù)學”的教學過程中，教師要以發(fā)展學生的思維為目標，凸顯數(shù)學教學的育人價值.在教學過程中，教師應該深入研究教材，在教學中聚焦生長的結(jié)構(gòu)性、自然性和自主性，讓學生理解知識的發(fā)生、發(fā)展過程，以整體的視角看清數(shù)學知識的本質(zhì)，并自主探索求新，從而發(fā)展學生思維的系統(tǒng)性、邏輯性和創(chuàng)造性.