王璐，熊土林，馬沁巍，劉廣彥*，張篤周

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081； 2.中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京 100094)

金屬材料在鍛造、切割等加工工藝中會(huì)不可避免地引入殘余應(yīng)力，殘余應(yīng)力的存在則會(huì)顯著地影響材料的屈服極限、抗拉及抗壓強(qiáng)度等力學(xué)性質(zhì)[1-4]。因此，準(zhǔn)確地獲取材料/結(jié)構(gòu)的殘余應(yīng)力分布對(duì)確保材料/結(jié)構(gòu)的安全至關(guān)重要。實(shí)驗(yàn)測(cè)試法是目前最常用的獲取材料/結(jié)構(gòu)表面殘余應(yīng)力分布的方法，基于是否需要對(duì)材料進(jìn)行破壞，實(shí)驗(yàn)測(cè)試法可以分為破壞性實(shí)驗(yàn)法[5-6]及非破壞性實(shí)驗(yàn)法[7-8]。破壞性實(shí)驗(yàn)法可以通過試件破壞后的變形程度計(jì)算出殘余應(yīng)力，該方法具有較高的計(jì)算精度并且可以實(shí)現(xiàn)構(gòu)件內(nèi)部殘余應(yīng)力的計(jì)算，但無法獲取構(gòu)件處于服役狀態(tài)下的殘余應(yīng)力。非破壞實(shí)驗(yàn)方法可以在確保構(gòu)件完整性的前提下實(shí)現(xiàn)構(gòu)件殘余應(yīng)力分布的計(jì)算，X-ray衍射法就是一種常用的非破壞測(cè)量方法。Marola等[9]基于X-ray測(cè)量了AlSi10Mg合金的殘余應(yīng)力分布。宋志飛等[10]利用X-ray衍射法對(duì)巖石試件進(jìn)行不同入射角度的掠入射衍射測(cè)量，得到巖石中不同方向礦物晶體的衍射峰位變化，再依據(jù)布拉格定律得到測(cè)量點(diǎn)的應(yīng)變，通過彈性材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得到測(cè)點(diǎn)的殘余應(yīng)力。盡管該方法精準(zhǔn)高效，但一般也僅用來測(cè)量少量點(diǎn)的殘余應(yīng)力。高昂的測(cè)試成本使得其難以獨(dú)立且大規(guī)模地應(yīng)用在構(gòu)件殘余應(yīng)力分布場(chǎng)的測(cè)量中，因此發(fā)展一種高效且能獲取整個(gè)構(gòu)件表面的殘余應(yīng)力測(cè)量方法具有重要意義。

基于X-ray技術(shù)獲得的少量離散實(shí)測(cè)值，可以通過插值法、有限元模擬法及反演方法獲取構(gòu)件表面余下部分的殘余應(yīng)力值。插值法是一種基于純數(shù)學(xué)的計(jì)算方法，插值過程中不考慮構(gòu)件自身所服從的力學(xué)約束，因此難以獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果[11]。有限元模擬法在建模的過程中需要對(duì)構(gòu)件加工過程的熱力耦合條件進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，極易產(chǎn)生較大誤差。一個(gè)準(zhǔn)確的殘余應(yīng)力分布場(chǎng)既要吻合對(duì)應(yīng)實(shí)測(cè)點(diǎn)的應(yīng)力值，也要滿足彈性力學(xué)約束，結(jié)合實(shí)驗(yàn)測(cè)試與有限元模擬的反演方法有望成為解決該問題的重要途徑。為了簡(jiǎn)化研究對(duì)象，許多學(xué)者常采用含有少量參數(shù)的基函數(shù)來描述殘余應(yīng)力在構(gòu)件表面的分布情況。由于待反演參數(shù)較少，因此計(jì)算效率較高，但該方法易發(fā)生欠擬合，難以表征復(fù)雜的殘余應(yīng)力場(chǎng)。為此，現(xiàn)基于有限元模型修正法(finite element model updating，F(xiàn)EMU)發(fā)展一種無需構(gòu)建基函數(shù)的殘余應(yīng)力反演方法，該方法無需考慮先驗(yàn)知識(shí)，只需對(duì)所有單元的未知參數(shù)反演即可。由于FEMU反演效率較低，為了進(jìn)一步提高反演效率，結(jié)合深度學(xué)習(xí)技術(shù)，將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)作為有限元仿真軟件的代理模型[12]。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)是一種可以替代有限元程序進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算的方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過調(diào)整神經(jīng)元權(quán)重學(xué)習(xí)輸入和輸出參數(shù)之間的復(fù)雜映射關(guān)系，能夠?qū)崟r(shí)對(duì)輸入和輸出關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(cè)。事實(shí)上，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有優(yōu)異的非線性擬合能力，很多研究工作都嘗試使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代有限元程序進(jìn)行實(shí)時(shí)仿真[13-14]。Ali等[14]發(fā)展了一種有限元仿真耦合深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的技術(shù)，訓(xùn)練收斂的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以代替有限元仿真準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板漸進(jìn)損傷本構(gòu)規(guī)律。Park等[15]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替有限元計(jì)算，準(zhǔn)確而高效地獲得了泡沫鋁的本構(gòu)參數(shù)。從已有的研究中不難發(fā)現(xiàn)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅可以顯著地提高反演效率，還具有與有限元仿真相近的預(yù)測(cè)精度。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種深度前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其由卷積層、池化層和全連接層組成。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的容錯(cuò)能力和泛化能力，非常適合高度非線性關(guān)系的預(yù)測(cè)。作為一種深度卷積網(wǎng)絡(luò)，UNet[16]在解決力學(xué)非線性問題上展現(xiàn)出了巨大的應(yīng)用潛力。Mendizabal等[17]將其應(yīng)用于三維懸臂梁和心臟模型中，準(zhǔn)確地建立了接觸力與有限位移的非線性關(guān)系，證明了UNet在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)快速仿真方面的應(yīng)用價(jià)值。Koeppe等[18]將UNet應(yīng)用到有限元子模型技術(shù)中，精確地預(yù)測(cè)了與模型塑性歷史相關(guān)的應(yīng)力、節(jié)點(diǎn)力和位移。為了提高反演效率，現(xiàn)將采用 UNet 結(jié)構(gòu)代替有限元模型修正法中的有限元計(jì)算對(duì)構(gòu)件的殘余應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行模擬。

結(jié)合上述研究，首先，通過有限元仿真技術(shù)生成大量溫度場(chǎng)與殘余應(yīng)力場(chǎng)的映射數(shù)據(jù)；其次，基于深度卷積網(wǎng)絡(luò)UNet建立溫度場(chǎng)與殘余應(yīng)力場(chǎng)的映射關(guān)系；最后，將訓(xùn)練好的UNet代替?zhèn)鹘y(tǒng)FEMU中有限元修正的部分，對(duì)未知的殘余應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行反演。以期通過數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式建立殘余應(yīng)力預(yù)測(cè)模型，對(duì)實(shí)際工況下材料/結(jié)構(gòu)殘余應(yīng)力分布的實(shí)時(shí)測(cè)量提供參考價(jià)值。

1 殘余應(yīng)力場(chǎng)

所涉及的研究?jī)?nèi)容主要有以下3個(gè)方面：基于有限元模擬生成訓(xùn)練UNet所需要的數(shù)據(jù)集；訓(xùn)練UNet神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；基于訓(xùn)練收斂的UNet代替ABAQUS反演殘余應(yīng)力場(chǎng)。

1.1 殘余應(yīng)力反演理論

參數(shù)反演本質(zhì)是一個(gè)優(yōu)化問題，旨在尋找一個(gè)服從某些約束前提下與實(shí)測(cè)值最小化差異的模擬結(jié)果。FEMU是常用的力學(xué)參數(shù)反演方法之一，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用在材料參數(shù)識(shí)別中。由于殘余應(yīng)力分布的復(fù)雜性，采用傳統(tǒng)的FEMU會(huì)消耗大量時(shí)間。為此，采用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為有限元仿真的代理模型對(duì)殘余應(yīng)力進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算。

為了表征不同工藝條件、不同邊界條件下構(gòu)件的殘余應(yīng)力，選擇合適的待反演參數(shù)至關(guān)重要。在熱分析中，當(dāng)已知熱力學(xué)參數(shù)為單元中點(diǎn)溫度和熱膨脹系數(shù)時(shí)，有限元模型無需位移或力邊界條件便可產(chǎn)生不同實(shí)驗(yàn)條件下的應(yīng)力場(chǎng)，因此通過假定單元中點(diǎn)溫度和熱膨脹系數(shù)參數(shù)來獲得殘余應(yīng)力，從而生成深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練所需要的樣本。為了盡可能豐富訓(xùn)練樣本，提高模型的泛化性，在給定熱膨脹系數(shù)的前提下于有限元單元的幾何中點(diǎn)處施加隨機(jī)溫度，通過控制溫度場(chǎng)來模擬產(chǎn)生殘余應(yīng)力場(chǎng)的不同工藝條件。因此，優(yōu)化任務(wù)實(shí)質(zhì)是尋找能夠滿足反演殘余應(yīng)力與目標(biāo)殘余應(yīng)力差異最小化的溫度場(chǎng)分布，即

(1)

圖1所示為基于UNet的反演流程圖。為了驗(yàn)證算法的有效性，實(shí)測(cè)的殘余應(yīng)力點(diǎn)由有限元仿真實(shí)驗(yàn)生成，采用優(yōu)化算法更新每個(gè)有限元單元中點(diǎn)處的溫度值使得目標(biāo)函數(shù)最小化，采用的優(yōu)化算法為擬牛頓法。

圖1 反演技術(shù)流程圖Fig.1 Flow chart of the inverse method

1.2 有限元模型

選用方形開孔鋁合金構(gòu)件進(jìn)行研究，方形開孔模型作為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化可以很好地驗(yàn)證所提出的殘余應(yīng)力反演算法的有效性。圖2為使用商業(yè)有限元軟件ABAQUS建立的方形開孔試件的示意圖，模型被劃分為512個(gè)單元(CPS4R)，彈性模量為70 GPa，泊松比為 0.3。在生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)環(huán)節(jié)中，僅需在單元中心施加隨機(jī)溫度值，即可生成該溫度下的殘余應(yīng)力場(chǎng)。輸入的隨機(jī)溫度場(chǎng)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練集，生成的殘余應(yīng)力場(chǎng)則為訓(xùn)練集所對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽。在驗(yàn)證模型有效性的環(huán)節(jié)中，在模型原有基礎(chǔ)上設(shè)置Mises屈服應(yīng)力為 200 MPa。為了獲得模擬的殘余應(yīng)力場(chǎng)，模型中間施加了對(duì)稱約束，上下加載端施加了80 MPa的外載使模型發(fā)生塑性變形，隨后完全卸載掉模型上的載荷，把模型中仍存在的應(yīng)力視作殘余應(yīng)力。

圖2 方形開孔構(gòu)件有限元網(wǎng)格示意圖Fig.2 Finite element mesh diagram of square open-hole model

1.3 UNet網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

UNet[18]是一個(gè)成熟且經(jīng)典的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，成功地應(yīng)用在醫(yī)學(xué)圖像分割問題中。如圖3所示，該網(wǎng)絡(luò)是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，包含一條收縮路徑(左側(cè))和一條擴(kuò)展路徑(右側(cè))。收縮路徑類似于一個(gè)自動(dòng)編碼器，能將輸入空間轉(zhuǎn)換為低維表示；而擴(kuò)展路徑類似于一個(gè)解碼器，它可以將低維空間恢復(fù)到圖像原始尺度大小。編碼路徑包含 4個(gè)下采樣過程，每個(gè)下采樣依次由兩個(gè)3×3 卷積層和一個(gè)步長(zhǎng)為2的2×2池化層組成。卷積層學(xué)習(xí)不同溫度場(chǎng)的力學(xué)響應(yīng) (如應(yīng)力場(chǎng))。在每一個(gè)下采樣步驟中，特征通道數(shù)量翻倍，特征圖大小縮小為上一步輸入特征圖片的1/2。通道用于存儲(chǔ)特征圖，且每個(gè)通道存儲(chǔ)一張?zhí)卣鲌D。網(wǎng)絡(luò)的底部有兩個(gè)3×3卷積層連接編碼器和解碼器。與編碼路徑類似，解碼路徑包含4個(gè)上采樣過程，每一次上采樣依次由一個(gè)2×2反卷積層和兩個(gè)3×3卷積層組成。在解碼時(shí)，來自同一狀態(tài)的編碼路徑特征圖需要裁剪并拼接到上采樣特征圖中，以完成信息的融合。在解碼路徑中，每經(jīng)歷一次解碼，特征通道數(shù)減半，特征圖的大小翻倍。最終通過一個(gè)3×3的卷積層把最后一張?zhí)卣鲌D轉(zhuǎn)換到輸出通道，即把應(yīng)力分量分別存儲(chǔ)在不同通道中。特征圖的數(shù)量控制著網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度，理論說來特征圖越多，則表征的問題越復(fù)雜。針對(duì)所研究的構(gòu)件殘余應(yīng)力分布，通過比較不同數(shù)目的特征圖預(yù)測(cè)效果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)特征圖數(shù)目分別為128和256時(shí)，預(yù)測(cè)效果最好。

圖3 UNet網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.3 UNet architecture

1.4 數(shù)據(jù)生成及模型訓(xùn)練

充足的訓(xùn)練樣本是模型具有高精度預(yù)測(cè)能力的核心，借助有限元軟件生成方形開孔模型溫度場(chǎng)映射殘余應(yīng)力場(chǎng)的數(shù)據(jù)樣本。為了使得樣本數(shù)據(jù)更具有普適性，采用拉丁立方采樣法[19]對(duì)變量空間進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，最終確定采樣的溫度區(qū)間介于(-130，130) ℃。

這樣通過在模型每個(gè)單元設(shè)置隨機(jī)溫度的方式，可以生成具有梯度的殘余應(yīng)力場(chǎng)，重復(fù)運(yùn)行ABAQUS即可生成所需要的數(shù)據(jù)集，溫度與殘余應(yīng)力均產(chǎn)生自網(wǎng)格單元的中心，整個(gè)模型共有512個(gè)單元，故得到的512個(gè)測(cè)點(diǎn)，共生成了5 800份訓(xùn)練樣本。

由于標(biāo)準(zhǔn)的UNet輸入圖像為n×n×m格式的數(shù)字矩陣，其中n與m均為大于0的正整數(shù)。但由于采用的模型為方形開孔模型，無法滿足模型的輸入格式，因此在訓(xùn)練之前，對(duì)圖像進(jìn)行了預(yù)處理，通過立方插值將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)格式。

最終將有限元網(wǎng)格處理為16 × 16的數(shù)字矩陣。另外，考慮到有限元模型中心留有開孔，這部分參與計(jì)算會(huì)影響結(jié)果的準(zhǔn)確度，所以在網(wǎng)絡(luò)中增加了掩碼(mask)處理方式，即將中心無數(shù)據(jù)區(qū)域進(jìn)行標(biāo)注，使其在網(wǎng)絡(luò)梯度優(yōu)化過程中不參與計(jì)算，如圖4所示。

圖4 數(shù)據(jù)預(yù)處理Fig.4 Data preprocessing

為了消除指標(biāo)之間的量綱影響，采用式(2)對(duì)數(shù)據(jù)集做標(biāo)準(zhǔn)化處理，表達(dá)式為

(2)

基于Keras庫搭建UNet神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，網(wǎng)絡(luò)采用均方誤差(mean squared error，MSE)作為損失函數(shù)，Adam作為優(yōu)化器，學(xué)習(xí)率設(shè)為10-5，激活函數(shù)為 ReLU，訓(xùn)練次數(shù)設(shè)置為1 000 次。

研究框架如圖5所示。

圖5 殘余應(yīng)力反演計(jì)算流程圖Fig.5 Flow chart of the inversion of residual stresses

2 計(jì)算結(jié)果

2.1 UNet模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證UNet結(jié)構(gòu)在反演中的有效性，利用有限元模擬得到的殘余應(yīng)力場(chǎng)對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。

圖6所示為采用了圖2有限元模型及邊界條件得到的有限元模擬殘余應(yīng)力場(chǎng)及反演得到的殘余應(yīng)力場(chǎng)。隨機(jī)選擇構(gòu)件表面總點(diǎn)數(shù)的1/4作為反演所用的實(shí)測(cè)點(diǎn)。從圖6中可以明顯地看出，UNet預(yù)測(cè)結(jié)果與有限元模擬結(jié)果吻合度較好，在邊界等敏感區(qū)域也有不錯(cuò)的表現(xiàn)，應(yīng)力集中區(qū)域也預(yù)測(cè)得較為準(zhǔn)確，充分地體現(xiàn)了UNet神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的映射能力。

圖6 有限元仿真與UNet預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Finite element simulation versus UNet prediction

2.2 反演誤差分析

為了更直觀地展示UNet的預(yù)測(cè)結(jié)果，圖7所示為不同實(shí)測(cè)點(diǎn)數(shù)目下應(yīng)力分量σx的相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)圖。由于0 MPa附近的相對(duì)誤差較大，并不能表征其實(shí)際的誤差程度，因此此處僅給出了絕對(duì)值在10 MPa以上不同實(shí)測(cè)點(diǎn)與總點(diǎn)數(shù)比例下(1、1/2、1/3、1/4、1/5)的相對(duì)誤差曲線，測(cè)點(diǎn)位置均為隨機(jī)選出。由圖7可見，隨著測(cè)點(diǎn)數(shù)減少，計(jì)算得到的殘余應(yīng)力的誤差越來越大，當(dāng)使用全部測(cè)點(diǎn)進(jìn)行反演時(shí)，超過20%誤差的比例僅為1.89%，當(dāng)僅使用1/5測(cè)點(diǎn)時(shí)，相對(duì)誤差超過20%的單元占比已達(dá)16.80%。當(dāng)選用1/4比例的測(cè)點(diǎn)時(shí)，可以看出其誤差水平與1/3和1/2比例下相差無幾，因此在對(duì)誤差要求不是特別嚴(yán)格的前提下，1/4占比的實(shí)測(cè)單元是一個(gè)比較合適的比例。

圖7 相對(duì)誤差與不同測(cè)點(diǎn)比例關(guān)系曲線Fig.7 Relative error versus ratio of elements

2.3 反演效率對(duì)比

表1比較了利用UNet和FEMU在Intel i7，12 核，主頻為3.2 GHz，內(nèi)存為16 G配置的電腦上的反演效率。如表1所示，采用UNet方法在優(yōu)化過程中迭代一次的時(shí)間為0.07 s，而FEMU優(yōu)化迭代一次則需要20 s。基于UNet的反演方法在98次迭代后收斂，在包括采樣時(shí)間和訓(xùn)練時(shí)間情況下，一個(gè)完整優(yōu)化任務(wù)需要的時(shí)間約為39.35 h。由于FEMU反演太慢，在3 d內(nèi)并沒有實(shí)現(xiàn)FEMU的收斂，所以在此假設(shè)兩種方法需要迭代相同的次數(shù)，在UNet方法中，最終大約經(jīng)過了106迭代而收斂，在此迭代水平下，基于FEMU的反演方法估計(jì)需要花費(fèi)5 555.56 h，其計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于基于UNet的反演方法。由此可見，基于UNet的反演方法在計(jì)算效率上明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的有限元模型修正反演方法。

表1 UNet和FEMU優(yōu)化時(shí)間對(duì)比Table 1 Comparison between UNet and FEMU in optimization time

3 結(jié)論

在考慮滿足物理規(guī)律的前提下，從有限實(shí)測(cè)點(diǎn)高效預(yù)測(cè)全場(chǎng)殘余應(yīng)力是一個(gè)極具挑戰(zhàn)的任務(wù)。發(fā)展了一種深度學(xué)習(xí)技術(shù)的殘余應(yīng)力反演方法，通過代替滿足力學(xué)約束的有限元程序可以更高效地預(yù)測(cè)構(gòu)件表面殘余應(yīng)力場(chǎng)。主要結(jié)論如下。

(1) 無需知道構(gòu)件產(chǎn)生殘余應(yīng)力的工藝條件，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的殘余應(yīng)力反演方法，通過有限測(cè)點(diǎn)便可獲得滿足力學(xué)規(guī)律的全場(chǎng)殘余應(yīng)力。

(2) 根據(jù)溫度場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)數(shù)據(jù)訓(xùn)練的 UNet 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在預(yù)測(cè)殘余應(yīng)力場(chǎng)時(shí)具有優(yōu)越的性能，極大地提高了反演效率。

(3) 提出的使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反演方法不僅適用于殘余應(yīng)力的預(yù)測(cè)，也可用于其他力學(xué)參數(shù)的識(shí)別。