量化參數(shù)失配下基于事件觸發(fā)的量化反饋滑?？刂?/h1>
2023-03-27 12:48陳志鵬鄭柏超賴琛趙陽陽
科學(xué)技術(shù)與工程 2023年5期
陳志鵬，鄭柏超,2*，賴琛，趙陽陽
(1.南京信息工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210044； 2.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210044)
在數(shù)字網(wǎng)絡(luò)控制環(huán)境中，由于實(shí)際信號(hào)傳輸?shù)膸捪拗疲瑪?shù)據(jù)傳輸之前信號(hào)量化是必不可少的過程。量化控制分為靜態(tài)量化控制[1]和動(dòng)態(tài)量化控制[2-3]。靜態(tài)量化器的量化參數(shù)固定，在實(shí)際應(yīng)用中不能完全消除穩(wěn)態(tài)誤差和避免量化器飽和，所以針對靜態(tài)量化器存在的問題，人們在此基礎(chǔ)上加入動(dòng)態(tài)參數(shù)提出了動(dòng)態(tài)量化控制。目前主流的方法有在線檢測技術(shù)[4]和離線計(jì)算技術(shù)[5]。它們的共同點(diǎn)是，當(dāng)量化的信號(hào)發(fā)生測量飽和時(shí)，調(diào)整動(dòng)態(tài)參數(shù)來增加量化范圍，當(dāng)量化的信號(hào)收斂時(shí)通過調(diào)整動(dòng)態(tài)參數(shù)來降低量化誤差的影響。
事件觸發(fā)控制[6-9]可以確保系統(tǒng)穩(wěn)定和性能的同時(shí)降低帶寬要求，在滿足某些預(yù)先設(shè)計(jì)的條件后進(jìn)行采樣，當(dāng)采樣誤差超過一定閾值時(shí)確定采樣時(shí)間并更新控制律。與動(dòng)態(tài)量化控制的結(jié)合能更有效減少網(wǎng)絡(luò)信號(hào)傳送和節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。文獻(xiàn)[7]中基于事件觸發(fā)機(jī)制和量化控制策略，研究了離散時(shí)滯奇異馬爾科夫跳變系統(tǒng)的控制器問題。在文獻(xiàn)[8]中，系統(tǒng)的輸出量化和控制輸入量化由兩個(gè)不同的動(dòng)態(tài)量化器實(shí)現(xiàn)，并設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，以確保統(tǒng)一的全局漸近穩(wěn)定性和L2增益性能。對于非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[9]研究了在采樣前量化和采樣后量化情況下基于事件觸發(fā)采樣的非線性系統(tǒng)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)量化控制。
滑?？刂芠10-11]是克服擾動(dòng)和參數(shù)不確定性的有效工具。事件觸發(fā)滑模控制[12-13]與量化反饋滑?？刂芠14-15]擁有良好的魯棒性引起了相當(dāng)大的關(guān)注。但是上述文獻(xiàn)考慮的是理想情況下的量化過程，也就是編碼器側(cè)和解碼器側(cè)的量化器靈敏度參數(shù)一致。由于硬件缺陷，實(shí)踐中量化器靈敏度參數(shù)不會(huì)完全保持一致。針對量化參數(shù)失配問題，文獻(xiàn)[16]研究了時(shí)變比率模型和量化器靈敏度參數(shù)的不匹配關(guān)系，設(shè)計(jì)的滑?？刂坡煽梢员ＷC系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[17]研究了含有多個(gè)量化通道的線性系統(tǒng)的H2控制問題。在各通道量化參數(shù)不匹配的情形下，設(shè)計(jì)一種包含線性控制和非線性控制部分的復(fù)合控制方案，滿足了H2性能要求并抵消量化誤差。文獻(xiàn)[18]針對信息物理系統(tǒng)，研究了執(zhí)行器攻擊和量化參數(shù)不匹配下的控制設(shè)計(jì)問題，設(shè)計(jì)的控制器可以消除量化誤差，并實(shí)現(xiàn)對攻擊的魯棒補(bǔ)償。文獻(xiàn)[19]通過[K,KL]扇區(qū)的特點(diǎn)并設(shè)計(jì)基于開關(guān)邏輯的控制器來消除由于量化參數(shù)引起的不確定性。
在上述研究的基礎(chǔ)上，現(xiàn)設(shè)計(jì)聯(lián)合事件觸發(fā)機(jī)制和動(dòng)態(tài)量化策略的滑?？刂品椒?。研究線性不確定系統(tǒng)中量化器飽和問題的同時(shí)，考慮編碼器和解碼器側(cè)的量化器靈敏度參數(shù)的失配問題。編碼器和解碼器側(cè)的量化器靈敏度參數(shù)更新均使用動(dòng)態(tài)量化方法，提出一種量化器靈敏度變化率時(shí)變的離散在線調(diào)整策略。結(jié)合離散在線調(diào)整策略建立編碼器和解碼器側(cè)量化參數(shù)失配的時(shí)變比例模型。將量化器的事件觸發(fā)方案和提出的離散在線調(diào)整策略相結(jié)合，保證所設(shè)計(jì)的滑模控制器可以將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到期望的滑模面，對線性不確定系統(tǒng)具有良好的收斂性能，建立閉環(huán)系統(tǒng)的全局魯棒鎮(zhèn)定。
1 預(yù)備知識(shí)及問題描述
1.1 預(yù)備知識(shí)
Rn表示n維歐幾里得空間，Z>0是正整數(shù)的集合，Z≥0包含Z>0和0。符號(hào)He(X)表示X+XT。sign(·)表示符號(hào)函數(shù)?！瑇‖p是向量或矩陣的p范數(shù)。λmin(·)表示方陣的最小特征值。
1.2 問題描述
考慮一類不確定系統(tǒng)，表達(dá)式為
(1)
式(1)中：x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；u(t)∈Rm為控制輸入，外部干擾w[t,x(t)]∈Rm；A∈Rn×n、B∈Rn×m分別為適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣。
量化器被視為分段函數(shù)q:Rn→E，其中E是Rn的有限子集，結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制和動(dòng)態(tài)量化策略后，量化參數(shù)失配的量化器定義為
(2)
式(2)中：q(·)為取整函數(shù)；ti,i∈Z≥0表示事件觸發(fā)的瞬間；x(ti)為事件觸發(fā)機(jī)制后的狀態(tài)信息；tk,k∈Z≥0為量化靈敏度參數(shù)的更新時(shí)刻；τc(tk)和τd(tk)分別為量化器qτ(tk)[x(ti)]在編碼器側(cè)和解碼器側(cè)的靈敏度參數(shù)。
事件觸發(fā)機(jī)制定義為
ti+1=inf{t∈(ti,+∞):‖Ce(t)‖≥
α‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖}
(3)
式(3)中：e(t)=x(ti)-x(t)為采樣誤差；α∈(0,β+1)是事件觸發(fā)閾值參數(shù)；β為大于1的正參數(shù)；C∈Rm×n為切換向量。
量化器滿足以下條件[15]：
‖x(ti)‖≤Mτc(tk)?‖eτ(tk)(ti)‖≤Δτc(tk)，
‖x(ti)‖>Mτc(tk)?‖qτc(tk)[x(ti)]‖>(M-Δ)τc(tk)，M為量化測量飽和參數(shù)，給出以下兩個(gè)假設(shè)。
假設(shè)1系統(tǒng)(A,B)是可控的。
假設(shè)2干擾w[t,x(t)]滿足‖w[t,x(t)]‖≤w1+w2‖x(t)‖2，w1和w2是已知的正實(shí)數(shù)。
用到引理1[20]:
對于任意的β>1，事件觸發(fā)閾值參數(shù)α∈(0,1)，如果參數(shù)τc(tk)>0并滿足
(4)
不等式(5)成立，即
(5)
2 量化策略和控制器設(shè)計(jì)
2.1 滑模面設(shè)計(jì)
定義線性滑模面為
s(t)=Cx(t)=C1x1(t)+C2x2(t)=0
(6)
式(6)中：C∈Rm×n，C1∈Rm×(n-m)，C2=Im×m。
假設(shè)系統(tǒng)(1)的結(jié)構(gòu)[21]為
(7)
B2u(t)+B2w[t,x(t)]
(8)
式中：x1(t)∈R(n-m)，x2(t)∈Rm，A11∈R(n-m)×(n-m)，A12∈R(n-m)×m，A21∈Rm×(n-m)，A22∈Rm×m，B2∈Rm×m，將x2(t)=-C1x1(t)代入式(7)，有
(9)
He[(A11-A12C1)TP]+Q<0
(10)
如果存在正定矩陣X=P-1∈R(n-m)×(n-m)，Z=Q-1∈R(n-m)×(n-m)和Y=C1X∈Rm×(n-m)滿足線性矩陣不等式為
(11)
式(11)中：*表示矩陣中對于對角線的對稱位置上的元素。
那么降階系統(tǒng)[式(9)]是穩(wěn)定的[20]。
2.2 量化參數(shù)失配的離散在線調(diào)整策略
量化失配無法給出具體的失配方式，所以動(dòng)態(tài)量化中量化器靈敏度參數(shù)的變化率不能是一個(gè)固定值，而是一個(gè)保持在某一區(qū)間的隨時(shí)間變化的不確定的值。結(jié)合動(dòng)態(tài)量化構(gòu)造了量化參數(shù)失配的量化器靈敏度參數(shù)τc(tk)和τd(tk)的離散在線調(diào)整方式，包括兩個(gè)階段：Zoom-out階段(開環(huán)縮小階段)和Zoom-in階段(閉環(huán)放大階段)，邏輯變量θ用于區(qū)分這兩個(gè)階段，形式如下。
(12)
通過在動(dòng)態(tài)量化中加入時(shí)變量化器靈敏度參數(shù)變化率，建立編碼器和解碼器側(cè)的量化參數(shù)的時(shí)變比例模型，量化器靈敏度參數(shù)τc(tk)和τd(tk)的離散更新如下。
(13)
(14)
2.3 控制器設(shè)計(jì)
滑?？刂坡傻男问饺缦隆?/p>
u(t)=u1(t)+u2(t)
(15)
u1(t)=-(CB)-1CAqτc(tk)[x(ti)]-
ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}
(16)
u2(t)=-φ(CB)-1sign{Cqτc(tk)[x(ti)]}×
(17)
其中w*=w1+w2Δτc(tk)+w2(φ+1+α)‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞。
2.3.1 定理1
證明在Zoom-out階段，控制輸入u(t)為0，系統(tǒng)方程[式(1)]變?yōu)?/p>
(18)
證明過程類似于文獻(xiàn)[20]中的定理2的證明，可以得到
‖x(t)‖≤a1ea2t
(19)
根據(jù)動(dòng)態(tài)量化機(jī)制，可以觀察到在Zoom-out階段，τc(tk)的更新速率快于系統(tǒng)的發(fā)散速率，存在時(shí)刻tk>t0，使得‖x(t)‖>Mτc(tk)和‖x(t)‖≤Mτc(tk+1)，此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)被捕獲，進(jìn)入Zoom-in階段，根據(jù)引理1[式(4)]，需要考慮兩種情況。
將證明兩種情況下狀態(tài)軌跡會(huì)進(jìn)入邊界層區(qū)域。
=[Cx(t)]T{CAx(t)+CBu(t)+
CBw[t,x(t)]}
(20)
因?yàn)閑τ(tk)(ti)=r(tk)qτc(tk)[x(ti)]-x(ti)，e(t)=x(ti)-x(t)，有
Ce(t)}T{CA[r(tk)-1]qτc(tk)[x(ti)]+
CAqτc(tk)[x(ti)]-CAeτ(tk)(ti)-CAe(t)+
CBu(t)+CBw[t,x(t)]}
(21)
將式(16)代入式(21)可得
ksign{qτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-
[Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)]T×
ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-
(22)
整理后有
r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}T{CA[r(tk)-1]×
qτc(tk)[x(ti)]-CAeτ(tk)(ti)-CAe(t)+
CBw(t,x(t)]}-
[Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)]T×
ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-
(23)
通過對r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)進(jìn)行放縮可得
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
(1-φ){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}T×
{CA[r(tk)-1]qτc(tk)[x(ti)]-
CAeτ(tk)(ti)-CAe(t)+CBw[t,x(t)]}-
[Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)]T×
ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-
(24)
因?yàn)椤琗TY‖≤‖X‖1‖Y‖∞，不難得到
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
(1-φ){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
‖r(tk)‖1‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×
{‖r(tk)-1‖∞‖CA‖∞×
‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
‖CA‖∞‖eτ(tk)(ti)‖∞+‖CA‖∞×
‖e(t)‖∞+‖CB‖∞‖w[t,x(t)]‖∞}+
‖Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)‖1×
{‖r(tk)-1‖∞‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
k‖CA‖∞‖eτ(tk)(ti)‖∞+‖CA‖∞×
‖e(t)‖∞+‖CB‖∞‖u2(t)‖∞+
‖CB‖∞‖w[t,x(t)]‖∞}
(25)
注意到‖r(tk)-1‖≤φ，‖r(tk)‖≤φ+1，且‖eτ(tk)(ti)‖≤Δτc(tk)，結(jié)合引理1[式(4)]，可得
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
‖CBu2(t)‖∞+
{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
(φ+1)‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×
[(φ+α)‖CAqτc(tk)[x(ti)]‖∞+
‖CA‖∞Δτc(tk)+
‖CB‖∞‖w[t,x(t)]‖∞]+
{(φ+α)‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
k‖CA‖∞Δτc(tk)+‖CB‖∞×
‖w[t,x(t)]‖∞}
(26)
整理可得
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
CBu2(t)+‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×
‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
(27)
根據(jù)假設(shè)2，w*=w1+w2Δτc(tk)+(φ+1+α)w2‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞，可得
‖w[t,x(t)]‖≤w1+w2‖x(t)‖≤
w1+w2‖r(tk)qτc(tk)[x(ti)]-eτ(tk)(ti)-
e(t)‖≤w1+w2[(φ+1+α)×
‖qτc(tk)[x(ti)]‖+Δτc(tk)]≤w*
(28)
將式(28)代入式(27)可得
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
‖CBu2(t)‖∞+
(φ+α)‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
(29)
‖CB‖∞w*，可以得到
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
‖CBu2(t)‖∞+
CBu2(t)+‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×
(30)
另一方面，通過式(17)中u2(t)的設(shè)計(jì),結(jié)合‖r(tk)-1‖≤φ，有
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)≤0
(31)
(32)
(33)
綜合式(30)～式(33)，容易得到
(34)
對于?a∈R,b∈R，不等式‖a+b‖1≤‖a‖1+‖b‖1成立，再結(jié)合引理1[式(4)]得到‖Cx(t)‖1≤‖Cr(tk)qτc(tk)[x(ti)]-
‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1
(35)
所以可得
(36)
兩邊同時(shí)乘以-kr(tk)，有
-kr(tk)‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1≤-kr(tk)×
(37)
因?yàn)椤琣‖1≥‖a‖2，有‖Cx(t)‖1≥‖Cx(t)‖2，可以看到
(38)
C1x1(t)+x2(t)=δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)
(39)
因此可以得到
x2(t)=-C1x1(t)+δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)
(40)
將式(40)代入式(7)得
A12δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)
(41)
[A12δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)]TPx1(t)+
x1(t)PA12δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)
‖PA12‖2‖C‖1‖x1(t)‖2
(42)
所以
‖x1(t)‖2≤
(43)
因?yàn)椤瑇(t)‖2≤‖x1(t)‖2+‖x2(t)‖2，結(jié)合式(40)可得
‖x(t)‖2≤(1+‖C1‖2)×
σ(1+β)Δτ(tk)‖C‖1
(44)
‖x(t)‖2≤KΔτc(tk)
(45)
(46)
在式(46)兩邊同除以τc(tk)，得到
(47)
‖x(ti)‖2≤‖r(tk)‖2‖qτc(tk)[x(ti)]‖2+
‖eτ(tk)(ti)‖2≤
(48)
‖x(ti)‖2≤Mτc(tk+1)
(49)
事件觸發(fā)控制中，如果相鄰兩次觸發(fā)的時(shí)間間隔過小，也就是趨近于0時(shí)，控制器會(huì)無限次觸發(fā)，也就是Zeno行為，需要證明事件觸發(fā)間隔存在下限。
2.3.2 定理2
對于含有式(15)～式(17)控制器的不確定線性系統(tǒng)[式(1)]，事件觸發(fā)機(jī)制滿足式(3)，幀間時(shí)間Ti=ti+1-ti，i∈Z≥0在Zoom-out階段和Zoom-in階段分別滿足
(50)
(51)
證明 Zoom-out階段，根據(jù)假設(shè)2和e(ti)=0，考慮式(17)可得
‖x(t)‖+w1‖B‖≤
(‖A‖+w2‖B‖)‖e(t)‖+
(‖A‖+w2‖B‖)‖x(ti)‖+w1‖B‖
(52)
應(yīng)用比較引理，可以得到
‖e(t)‖≤
[e(‖A‖+w2‖B‖)(ti+1-ti)-1]
(53)
根據(jù)事件觸發(fā)機(jī)制可得
α‖qτc(tk)[x(ti)]‖≤
[e(‖A‖+w2‖B‖)(ti+1-ti)-1]
(54)
最后有
(55)
同理在Zoom-in階段，不難看出
‖e(t)‖+(‖A‖+w2‖B‖)‖x(ti)‖+
‖B‖‖u(t)‖+‖B‖w1
(56)
最終可以得到
(57)
3 系統(tǒng)仿真
3.1 實(shí)例一
為了說明事件觸發(fā)機(jī)制和量化器靈敏度參數(shù)失配的離散更新策略的有效性，考慮火箭整流罩聲學(xué)結(jié)構(gòu)模型[22]，系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和外部干擾如下所示。
表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters
表2 和 Table 2
表3 和Table 3
應(yīng)用所提出的滑模控制律，結(jié)合提出的事件觸發(fā)機(jī)制和量化參數(shù)失配的離散更新機(jī)制，仿真結(jié)果如圖1～圖8所示。
圖1 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 Response curves of system states
圖2 系統(tǒng)控制輸入響應(yīng)曲線Fig.2 Response curves of system control inputs
圖3 滑動(dòng)函數(shù)的響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves of the sliding function
圖4 邏輯變量θ Fig.4 Logical variableθ
圖5 靈敏度參數(shù)τc(t)更新曲線Fig.5 Update curves of sensitivity parameter τc(t)
圖6 幀間時(shí)間圖Fig.6 Interframe time graph
圖7 和的變化圖Fig.7 Variation diagram of
圖8 和的變化圖Fig.8 Variation diagram of
其中系統(tǒng)的響應(yīng)曲線圖如圖1～圖3所示，可以看出，設(shè)計(jì)的控制器在系統(tǒng)存在外部干擾和量化參數(shù)失配的情況下系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入和滑模面均能收斂于原點(diǎn)并且趨近于穩(wěn)定。
圖4和圖5中邏輯變量θ和靈敏度參數(shù)τc(t)都可以反映出系統(tǒng)都是從Zoom-out階段轉(zhuǎn)換到Zoom-in階段，τc(t)在Zoom-out階段持續(xù)變大，轉(zhuǎn)換到Zoom-in階段后持續(xù)變小。
圖6給出系統(tǒng)的幀間時(shí)間，結(jié)果表明不存在Zeno行為。圖7和圖8顯示在Zoom-out階段和Zoom-in階段τc(t)的變化率的不匹配情況，從表2和表3很容易看出，兩個(gè)量化靈敏度參數(shù)在任何時(shí)候都不相等。
3.2 實(shí)例二
倒立擺是控制領(lǐng)域中重要的研究對象，為驗(yàn)證控制器的有效性，將文獻(xiàn)[23]中的一級(jí)倒立擺作為實(shí)例二，倒立擺的表達(dá)式為
(58)
(59)
(60)
(61)
外部干擾w[t,x(t)]=0.01sin(2t)+0.02× cos(2t)x1(t)，初始狀態(tài)x0=[0.09 0 0.06 0]T，選取Q=I3×3，C2=1，通過計(jì)算得到矩陣A和B的能控標(biāo)準(zhǔn)型，求得
量化器靈敏度參數(shù)τc(tk)和τd(tk)的變化率同表2和表3，實(shí)例二其余的參數(shù)選擇如表3所示。
表3 仿真參數(shù)Table 3 Simulation parameters
仿真結(jié)果如圖9～圖14所示，系統(tǒng)狀態(tài)、系統(tǒng)輸入以及滑模函數(shù)的響應(yīng)曲線如圖9～圖11所示，很容易看出，倒立擺系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)擺性能。
圖9 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.9 Response curves of system states
圖10 系統(tǒng)控制輸入響應(yīng)曲線Fig.10 Response curves of system control input
圖11 滑動(dòng)函數(shù)的響應(yīng)曲線Fig.11 Response curves of the sliding function
圖12 邏輯變量θ Fig.12 Logical variableθ
圖13 靈敏度參數(shù)τc(t)更新曲線Fig.13 Update curves of sensitivity parameter τc(t)
圖14 幀間時(shí)間圖Fig.14 Interframe time graph
圖12和圖13中邏輯變量θ和靈敏度參數(shù)τc(t)都可以反映出系統(tǒng)從Zoom-out階段到Zoom-in階段的轉(zhuǎn)變，靈敏度參數(shù)按照離散調(diào)整策略在Zoom-out階段持續(xù)變大，轉(zhuǎn)換到Zoom-in階段后持續(xù)變小。圖14給出系統(tǒng)的幀間時(shí)間，結(jié)果表明不存在Zeno行為。
綜上所述，可以看出，當(dāng)存在外部干擾和量化參數(shù)失配時(shí)，設(shè)計(jì)的量化反饋滑?？刂破骺梢员ＷC倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
4 結(jié)論
利用事件觸發(fā)方法研究了具有量化參數(shù)失配和外部干擾的不確定線性系統(tǒng)的滑?？刂破鞯聂敯翩?zhèn)定問題。
(1)設(shè)計(jì)了一種含有時(shí)變量化器靈敏度變化率的離散在線調(diào)整策略，從而可以結(jié)合動(dòng)態(tài)量化的方法來解決量化參數(shù)失配問題。
(2)提出了一種與量化器相關(guān)的事件觸發(fā)機(jī)制，不會(huì)發(fā)生Zeno行為。
(3)結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制和動(dòng)態(tài)量化策略提出的滑?？刂坡煽梢杂行У叵炕瘏?shù)失配和外部干擾的影響，保證滑模運(yùn)動(dòng)的到達(dá)。為用事件觸發(fā)方法和動(dòng)態(tài)量化方法研究量化參數(shù)的失配下的狀態(tài)量化和控制輸入量化的滑模控制設(shè)計(jì)問題提供了新的思路。
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陳志鵬，鄭柏超,2*，賴琛，趙陽陽
(1.南京信息工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210044； 2.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210044)
在數(shù)字網(wǎng)絡(luò)控制環(huán)境中，由于實(shí)際信號(hào)傳輸?shù)膸捪拗疲瑪?shù)據(jù)傳輸之前信號(hào)量化是必不可少的過程。量化控制分為靜態(tài)量化控制[1]和動(dòng)態(tài)量化控制[2-3]。靜態(tài)量化器的量化參數(shù)固定，在實(shí)際應(yīng)用中不能完全消除穩(wěn)態(tài)誤差和避免量化器飽和，所以針對靜態(tài)量化器存在的問題，人們在此基礎(chǔ)上加入動(dòng)態(tài)參數(shù)提出了動(dòng)態(tài)量化控制。目前主流的方法有在線檢測技術(shù)[4]和離線計(jì)算技術(shù)[5]。它們的共同點(diǎn)是，當(dāng)量化的信號(hào)發(fā)生測量飽和時(shí)，調(diào)整動(dòng)態(tài)參數(shù)來增加量化范圍，當(dāng)量化的信號(hào)收斂時(shí)通過調(diào)整動(dòng)態(tài)參數(shù)來降低量化誤差的影響。
事件觸發(fā)控制[6-9]可以確保系統(tǒng)穩(wěn)定和性能的同時(shí)降低帶寬要求，在滿足某些預(yù)先設(shè)計(jì)的條件后進(jìn)行采樣，當(dāng)采樣誤差超過一定閾值時(shí)確定采樣時(shí)間并更新控制律。與動(dòng)態(tài)量化控制的結(jié)合能更有效減少網(wǎng)絡(luò)信號(hào)傳送和節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。文獻(xiàn)[7]中基于事件觸發(fā)機(jī)制和量化控制策略，研究了離散時(shí)滯奇異馬爾科夫跳變系統(tǒng)的控制器問題。在文獻(xiàn)[8]中，系統(tǒng)的輸出量化和控制輸入量化由兩個(gè)不同的動(dòng)態(tài)量化器實(shí)現(xiàn)，并設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，以確保統(tǒng)一的全局漸近穩(wěn)定性和L2增益性能。對于非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[9]研究了在采樣前量化和采樣后量化情況下基于事件觸發(fā)采樣的非線性系統(tǒng)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)量化控制。
滑?？刂芠10-11]是克服擾動(dòng)和參數(shù)不確定性的有效工具。事件觸發(fā)滑模控制[12-13]與量化反饋滑?？刂芠14-15]擁有良好的魯棒性引起了相當(dāng)大的關(guān)注。但是上述文獻(xiàn)考慮的是理想情況下的量化過程，也就是編碼器側(cè)和解碼器側(cè)的量化器靈敏度參數(shù)一致。由于硬件缺陷，實(shí)踐中量化器靈敏度參數(shù)不會(huì)完全保持一致。針對量化參數(shù)失配問題，文獻(xiàn)[16]研究了時(shí)變比率模型和量化器靈敏度參數(shù)的不匹配關(guān)系，設(shè)計(jì)的滑?？刂坡煽梢员ＷC系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[17]研究了含有多個(gè)量化通道的線性系統(tǒng)的H2控制問題。在各通道量化參數(shù)不匹配的情形下，設(shè)計(jì)一種包含線性控制和非線性控制部分的復(fù)合控制方案，滿足了H2性能要求并抵消量化誤差。文獻(xiàn)[18]針對信息物理系統(tǒng)，研究了執(zhí)行器攻擊和量化參數(shù)不匹配下的控制設(shè)計(jì)問題，設(shè)計(jì)的控制器可以消除量化誤差，并實(shí)現(xiàn)對攻擊的魯棒補(bǔ)償。文獻(xiàn)[19]通過[K,KL]扇區(qū)的特點(diǎn)并設(shè)計(jì)基于開關(guān)邏輯的控制器來消除由于量化參數(shù)引起的不確定性。
在上述研究的基礎(chǔ)上，現(xiàn)設(shè)計(jì)聯(lián)合事件觸發(fā)機(jī)制和動(dòng)態(tài)量化策略的滑?？刂品椒?。研究線性不確定系統(tǒng)中量化器飽和問題的同時(shí)，考慮編碼器和解碼器側(cè)的量化器靈敏度參數(shù)的失配問題。編碼器和解碼器側(cè)的量化器靈敏度參數(shù)更新均使用動(dòng)態(tài)量化方法，提出一種量化器靈敏度變化率時(shí)變的離散在線調(diào)整策略。結(jié)合離散在線調(diào)整策略建立編碼器和解碼器側(cè)量化參數(shù)失配的時(shí)變比例模型。將量化器的事件觸發(fā)方案和提出的離散在線調(diào)整策略相結(jié)合，保證所設(shè)計(jì)的滑模控制器可以將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到期望的滑模面，對線性不確定系統(tǒng)具有良好的收斂性能，建立閉環(huán)系統(tǒng)的全局魯棒鎮(zhèn)定。
1 預(yù)備知識(shí)及問題描述
1.1 預(yù)備知識(shí)
Rn表示n維歐幾里得空間，Z>0是正整數(shù)的集合，Z≥0包含Z>0和0。符號(hào)He(X)表示X+XT。sign(·)表示符號(hào)函數(shù)?！瑇‖p是向量或矩陣的p范數(shù)。λmin(·)表示方陣的最小特征值。
1.2 問題描述
考慮一類不確定系統(tǒng)，表達(dá)式為
(1)
式(1)中：x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；u(t)∈Rm為控制輸入，外部干擾w[t,x(t)]∈Rm；A∈Rn×n、B∈Rn×m分別為適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣。
量化器被視為分段函數(shù)q:Rn→E，其中E是Rn的有限子集，結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制和動(dòng)態(tài)量化策略后，量化參數(shù)失配的量化器定義為
(2)
式(2)中：q(·)為取整函數(shù)；ti,i∈Z≥0表示事件觸發(fā)的瞬間；x(ti)為事件觸發(fā)機(jī)制后的狀態(tài)信息；tk,k∈Z≥0為量化靈敏度參數(shù)的更新時(shí)刻；τc(tk)和τd(tk)分別為量化器qτ(tk)[x(ti)]在編碼器側(cè)和解碼器側(cè)的靈敏度參數(shù)。
事件觸發(fā)機(jī)制定義為
ti+1=inf{t∈(ti,+∞):‖Ce(t)‖≥
α‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖}
(3)
式(3)中：e(t)=x(ti)-x(t)為采樣誤差；α∈(0,β+1)是事件觸發(fā)閾值參數(shù)；β為大于1的正參數(shù)；C∈Rm×n為切換向量。
量化器滿足以下條件[15]：
‖x(ti)‖≤Mτc(tk)?‖eτ(tk)(ti)‖≤Δτc(tk)，
‖x(ti)‖>Mτc(tk)?‖qτc(tk)[x(ti)]‖>(M-Δ)τc(tk)，M為量化測量飽和參數(shù)，給出以下兩個(gè)假設(shè)。
假設(shè)1系統(tǒng)(A,B)是可控的。
假設(shè)2干擾w[t,x(t)]滿足‖w[t,x(t)]‖≤w1+w2‖x(t)‖2，w1和w2是已知的正實(shí)數(shù)。
用到引理1[20]:
對于任意的β>1，事件觸發(fā)閾值參數(shù)α∈(0,1)，如果參數(shù)τc(tk)>0并滿足
(4)
不等式(5)成立，即
(5)
2 量化策略和控制器設(shè)計(jì)
2.1 滑模面設(shè)計(jì)
定義線性滑模面為
s(t)=Cx(t)=C1x1(t)+C2x2(t)=0
(6)
式(6)中：C∈Rm×n，C1∈Rm×(n-m)，C2=Im×m。
假設(shè)系統(tǒng)(1)的結(jié)構(gòu)[21]為
(7)
B2u(t)+B2w[t,x(t)]
(8)
式中：x1(t)∈R(n-m)，x2(t)∈Rm，A11∈R(n-m)×(n-m)，A12∈R(n-m)×m，A21∈Rm×(n-m)，A22∈Rm×m，B2∈Rm×m，將x2(t)=-C1x1(t)代入式(7)，有
(9)
He[(A11-A12C1)TP]+Q<0
(10)
如果存在正定矩陣X=P-1∈R(n-m)×(n-m)，Z=Q-1∈R(n-m)×(n-m)和Y=C1X∈Rm×(n-m)滿足線性矩陣不等式為
(11)
式(11)中：*表示矩陣中對于對角線的對稱位置上的元素。
那么降階系統(tǒng)[式(9)]是穩(wěn)定的[20]。
2.2 量化參數(shù)失配的離散在線調(diào)整策略
量化失配無法給出具體的失配方式，所以動(dòng)態(tài)量化中量化器靈敏度參數(shù)的變化率不能是一個(gè)固定值，而是一個(gè)保持在某一區(qū)間的隨時(shí)間變化的不確定的值。結(jié)合動(dòng)態(tài)量化構(gòu)造了量化參數(shù)失配的量化器靈敏度參數(shù)τc(tk)和τd(tk)的離散在線調(diào)整方式，包括兩個(gè)階段：Zoom-out階段(開環(huán)縮小階段)和Zoom-in階段(閉環(huán)放大階段)，邏輯變量θ用于區(qū)分這兩個(gè)階段，形式如下。
(12)
通過在動(dòng)態(tài)量化中加入時(shí)變量化器靈敏度參數(shù)變化率，建立編碼器和解碼器側(cè)的量化參數(shù)的時(shí)變比例模型，量化器靈敏度參數(shù)τc(tk)和τd(tk)的離散更新如下。
(13)
(14)
2.3 控制器設(shè)計(jì)
滑?？刂坡傻男问饺缦隆?/p>
u(t)=u1(t)+u2(t)
(15)
u1(t)=-(CB)-1CAqτc(tk)[x(ti)]-
ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}
(16)
u2(t)=-φ(CB)-1sign{Cqτc(tk)[x(ti)]}×
(17)
其中w*=w1+w2Δτc(tk)+w2(φ+1+α)‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞。
2.3.1 定理1
證明在Zoom-out階段，控制輸入u(t)為0，系統(tǒng)方程[式(1)]變?yōu)?/p>
(18)
證明過程類似于文獻(xiàn)[20]中的定理2的證明，可以得到
‖x(t)‖≤a1ea2t
(19)
根據(jù)動(dòng)態(tài)量化機(jī)制，可以觀察到在Zoom-out階段，τc(tk)的更新速率快于系統(tǒng)的發(fā)散速率，存在時(shí)刻tk>t0，使得‖x(t)‖>Mτc(tk)和‖x(t)‖≤Mτc(tk+1)，此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)被捕獲，進(jìn)入Zoom-in階段，根據(jù)引理1[式(4)]，需要考慮兩種情況。
將證明兩種情況下狀態(tài)軌跡會(huì)進(jìn)入邊界層區(qū)域。
=[Cx(t)]T{CAx(t)+CBu(t)+
CBw[t,x(t)]}
(20)
因?yàn)閑τ(tk)(ti)=r(tk)qτc(tk)[x(ti)]-x(ti)，e(t)=x(ti)-x(t)，有
Ce(t)}T{CA[r(tk)-1]qτc(tk)[x(ti)]+
CAqτc(tk)[x(ti)]-CAeτ(tk)(ti)-CAe(t)+
CBu(t)+CBw[t,x(t)]}
(21)
將式(16)代入式(21)可得
ksign{qτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-
[Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)]T×
ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-
(22)
整理后有
r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}T{CA[r(tk)-1]×
qτc(tk)[x(ti)]-CAeτ(tk)(ti)-CAe(t)+
CBw(t,x(t)]}-
[Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)]T×
ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-
(23)
通過對r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)進(jìn)行放縮可得
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
(1-φ){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}T×
{CA[r(tk)-1]qτc(tk)[x(ti)]-
CAeτ(tk)(ti)-CAe(t)+CBw[t,x(t)]}-
[Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)]T×
ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-
(24)
因?yàn)椤琗TY‖≤‖X‖1‖Y‖∞，不難得到
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
(1-φ){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
‖r(tk)‖1‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×
{‖r(tk)-1‖∞‖CA‖∞×
‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
‖CA‖∞‖eτ(tk)(ti)‖∞+‖CA‖∞×
‖e(t)‖∞+‖CB‖∞‖w[t,x(t)]‖∞}+
‖Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)‖1×
{‖r(tk)-1‖∞‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
k‖CA‖∞‖eτ(tk)(ti)‖∞+‖CA‖∞×
‖e(t)‖∞+‖CB‖∞‖u2(t)‖∞+
‖CB‖∞‖w[t,x(t)]‖∞}
(25)
注意到‖r(tk)-1‖≤φ，‖r(tk)‖≤φ+1，且‖eτ(tk)(ti)‖≤Δτc(tk)，結(jié)合引理1[式(4)]，可得
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
‖CBu2(t)‖∞+
{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
(φ+1)‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×
[(φ+α)‖CAqτc(tk)[x(ti)]‖∞+
‖CA‖∞Δτc(tk)+
‖CB‖∞‖w[t,x(t)]‖∞]+
{(φ+α)‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
k‖CA‖∞Δτc(tk)+‖CB‖∞×
‖w[t,x(t)]‖∞}
(26)
整理可得
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
CBu2(t)+‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×
‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
(27)
根據(jù)假設(shè)2，w*=w1+w2Δτc(tk)+(φ+1+α)w2‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞，可得
‖w[t,x(t)]‖≤w1+w2‖x(t)‖≤
w1+w2‖r(tk)qτc(tk)[x(ti)]-eτ(tk)(ti)-
e(t)‖≤w1+w2[(φ+1+α)×
‖qτc(tk)[x(ti)]‖+Δτc(tk)]≤w*
(28)
將式(28)代入式(27)可得
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
‖CBu2(t)‖∞+
(φ+α)‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+
(29)
‖CB‖∞w*，可以得到
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
‖CBu2(t)‖∞+
CBu2(t)+‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×
(30)
另一方面，通過式(17)中u2(t)的設(shè)計(jì),結(jié)合‖r(tk)-1‖≤φ，有
[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+
φ{(diào)Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)≤0
(31)
(32)
(33)
綜合式(30)～式(33)，容易得到
(34)
對于?a∈R,b∈R，不等式‖a+b‖1≤‖a‖1+‖b‖1成立，再結(jié)合引理1[式(4)]得到‖Cx(t)‖1≤‖Cr(tk)qτc(tk)[x(ti)]-
‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1
(35)
所以可得
(36)
兩邊同時(shí)乘以-kr(tk)，有
-kr(tk)‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1≤-kr(tk)×
(37)
因?yàn)椤琣‖1≥‖a‖2，有‖Cx(t)‖1≥‖Cx(t)‖2，可以看到
(38)
C1x1(t)+x2(t)=δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)
(39)
因此可以得到
x2(t)=-C1x1(t)+δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)
(40)
將式(40)代入式(7)得
A12δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)
(41)
[A12δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)]TPx1(t)+
x1(t)PA12δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)
‖PA12‖2‖C‖1‖x1(t)‖2
(42)
所以
‖x1(t)‖2≤
(43)
因?yàn)椤瑇(t)‖2≤‖x1(t)‖2+‖x2(t)‖2，結(jié)合式(40)可得
‖x(t)‖2≤(1+‖C1‖2)×
σ(1+β)Δτ(tk)‖C‖1
(44)
‖x(t)‖2≤KΔτc(tk)
(45)
(46)
在式(46)兩邊同除以τc(tk)，得到
(47)
‖x(ti)‖2≤‖r(tk)‖2‖qτc(tk)[x(ti)]‖2+
‖eτ(tk)(ti)‖2≤
(48)
‖x(ti)‖2≤Mτc(tk+1)
(49)
事件觸發(fā)控制中，如果相鄰兩次觸發(fā)的時(shí)間間隔過小，也就是趨近于0時(shí)，控制器會(huì)無限次觸發(fā)，也就是Zeno行為，需要證明事件觸發(fā)間隔存在下限。
2.3.2 定理2
對于含有式(15)～式(17)控制器的不確定線性系統(tǒng)[式(1)]，事件觸發(fā)機(jī)制滿足式(3)，幀間時(shí)間Ti=ti+1-ti，i∈Z≥0在Zoom-out階段和Zoom-in階段分別滿足
(50)
(51)
證明 Zoom-out階段，根據(jù)假設(shè)2和e(ti)=0，考慮式(17)可得
‖x(t)‖+w1‖B‖≤
(‖A‖+w2‖B‖)‖e(t)‖+
(‖A‖+w2‖B‖)‖x(ti)‖+w1‖B‖
(52)
應(yīng)用比較引理，可以得到
‖e(t)‖≤
[e(‖A‖+w2‖B‖)(ti+1-ti)-1]
(53)
根據(jù)事件觸發(fā)機(jī)制可得
α‖qτc(tk)[x(ti)]‖≤
[e(‖A‖+w2‖B‖)(ti+1-ti)-1]
(54)
最后有
(55)
同理在Zoom-in階段，不難看出
‖e(t)‖+(‖A‖+w2‖B‖)‖x(ti)‖+
‖B‖‖u(t)‖+‖B‖w1
(56)
最終可以得到
(57)
3 系統(tǒng)仿真
3.1 實(shí)例一
為了說明事件觸發(fā)機(jī)制和量化器靈敏度參數(shù)失配的離散更新策略的有效性，考慮火箭整流罩聲學(xué)結(jié)構(gòu)模型[22]，系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和外部干擾如下所示。
表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters
表2 和 Table 2
表3 和Table 3
應(yīng)用所提出的滑模控制律，結(jié)合提出的事件觸發(fā)機(jī)制和量化參數(shù)失配的離散更新機(jī)制，仿真結(jié)果如圖1～圖8所示。
圖1 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 Response curves of system states
圖2 系統(tǒng)控制輸入響應(yīng)曲線Fig.2 Response curves of system control inputs
圖3 滑動(dòng)函數(shù)的響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves of the sliding function
圖4 邏輯變量θ Fig.4 Logical variableθ
圖5 靈敏度參數(shù)τc(t)更新曲線Fig.5 Update curves of sensitivity parameter τc(t)
圖6 幀間時(shí)間圖Fig.6 Interframe time graph
圖7 和的變化圖Fig.7 Variation diagram of
圖8 和的變化圖Fig.8 Variation diagram of
其中系統(tǒng)的響應(yīng)曲線圖如圖1～圖3所示，可以看出，設(shè)計(jì)的控制器在系統(tǒng)存在外部干擾和量化參數(shù)失配的情況下系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入和滑模面均能收斂于原點(diǎn)并且趨近于穩(wěn)定。
圖4和圖5中邏輯變量θ和靈敏度參數(shù)τc(t)都可以反映出系統(tǒng)都是從Zoom-out階段轉(zhuǎn)換到Zoom-in階段，τc(t)在Zoom-out階段持續(xù)變大，轉(zhuǎn)換到Zoom-in階段后持續(xù)變小。
圖6給出系統(tǒng)的幀間時(shí)間，結(jié)果表明不存在Zeno行為。圖7和圖8顯示在Zoom-out階段和Zoom-in階段τc(t)的變化率的不匹配情況，從表2和表3很容易看出，兩個(gè)量化靈敏度參數(shù)在任何時(shí)候都不相等。
3.2 實(shí)例二
倒立擺是控制領(lǐng)域中重要的研究對象，為驗(yàn)證控制器的有效性，將文獻(xiàn)[23]中的一級(jí)倒立擺作為實(shí)例二，倒立擺的表達(dá)式為
(58)
(59)
(60)
(61)
外部干擾w[t,x(t)]=0.01sin(2t)+0.02× cos(2t)x1(t)，初始狀態(tài)x0=[0.09 0 0.06 0]T，選取Q=I3×3，C2=1，通過計(jì)算得到矩陣A和B的能控標(biāo)準(zhǔn)型，求得
量化器靈敏度參數(shù)τc(tk)和τd(tk)的變化率同表2和表3，實(shí)例二其余的參數(shù)選擇如表3所示。
表3 仿真參數(shù)Table 3 Simulation parameters
仿真結(jié)果如圖9～圖14所示，系統(tǒng)狀態(tài)、系統(tǒng)輸入以及滑模函數(shù)的響應(yīng)曲線如圖9～圖11所示，很容易看出，倒立擺系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)擺性能。
圖9 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.9 Response curves of system states
圖10 系統(tǒng)控制輸入響應(yīng)曲線Fig.10 Response curves of system control input
圖11 滑動(dòng)函數(shù)的響應(yīng)曲線Fig.11 Response curves of the sliding function
圖12 邏輯變量θ Fig.12 Logical variableθ
圖13 靈敏度參數(shù)τc(t)更新曲線Fig.13 Update curves of sensitivity parameter τc(t)
圖14 幀間時(shí)間圖Fig.14 Interframe time graph
圖12和圖13中邏輯變量θ和靈敏度參數(shù)τc(t)都可以反映出系統(tǒng)從Zoom-out階段到Zoom-in階段的轉(zhuǎn)變，靈敏度參數(shù)按照離散調(diào)整策略在Zoom-out階段持續(xù)變大，轉(zhuǎn)換到Zoom-in階段后持續(xù)變小。圖14給出系統(tǒng)的幀間時(shí)間，結(jié)果表明不存在Zeno行為。
綜上所述，可以看出，當(dāng)存在外部干擾和量化參數(shù)失配時(shí)，設(shè)計(jì)的量化反饋滑?？刂破骺梢员ＷC倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
4 結(jié)論
利用事件觸發(fā)方法研究了具有量化參數(shù)失配和外部干擾的不確定線性系統(tǒng)的滑?？刂破鞯聂敯翩?zhèn)定問題。
(1)設(shè)計(jì)了一種含有時(shí)變量化器靈敏度變化率的離散在線調(diào)整策略，從而可以結(jié)合動(dòng)態(tài)量化的方法來解決量化參數(shù)失配問題。
(2)提出了一種與量化器相關(guān)的事件觸發(fā)機(jī)制，不會(huì)發(fā)生Zeno行為。
(3)結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制和動(dòng)態(tài)量化策略提出的滑?？刂坡煽梢杂行У叵炕瘏?shù)失配和外部干擾的影響，保證滑模運(yùn)動(dòng)的到達(dá)。為用事件觸發(fā)方法和動(dòng)態(tài)量化方法研究量化參數(shù)的失配下的狀態(tài)量化和控制輸入量化的滑模控制設(shè)計(jì)問題提供了新的思路。
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