孫謙

摘要：數(shù)學(xué)教育的重要目的是促進(jìn)兒童思維的深度發(fā)展。結(jié)構(gòu)化學(xué)材是兒童思維發(fā)展的有效支架。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可以利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的融通性、多元性和生長(zhǎng)性，支持兒童思維的整體性、轉(zhuǎn)換性和自調(diào)性，促進(jìn)兒童的思維抵達(dá)深處。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；結(jié)構(gòu)化學(xué)材；思維發(fā)展

*本文系江蘇省基礎(chǔ)教育內(nèi)涵發(fā)展項(xiàng)目“小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)課程基地建設(shè)”的階段性研究成果。

結(jié)構(gòu)化學(xué)材是在單元整體甚至跨單元、跨學(xué)科視角下對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行重組，基于兒童認(rèn)知特點(diǎn)，指向兒童結(jié)構(gòu)性思維發(fā)展的可視化、易操作的學(xué)習(xí)支架。它采用多樣的表達(dá)形式吸引兒童注意，適合兒童同時(shí)進(jìn)行外在的具象操作和內(nèi)在的心理經(jīng)歷，支持兒童思維向縱深發(fā)展。在結(jié)構(gòu)化學(xué)材的支持下，促進(jìn)兒童思維的深度發(fā)展，促進(jìn)兒童學(xué)習(xí)的深度發(fā)生，可以從思維的整體性、轉(zhuǎn)換性和自調(diào)性三個(gè)方面尋找路徑。

一、結(jié)構(gòu)化學(xué)材的融通性，支持思維整體性

所謂思維整體性，是指在研究問(wèn)題時(shí)，使用全方位視角去思考知識(shí)整體及局部的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。整體性思維與系統(tǒng)性思維、拓廣性思維、同構(gòu)性思維不可分，三方面目標(biāo)指向整體性思維的高度、廣度和深度。［1］結(jié)構(gòu)化學(xué)材是在貫穿數(shù)學(xué)思想方法、洞察知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系、厘清認(rèn)知思維結(jié)構(gòu)［2］的基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)出來(lái)的，具有融通性，可以幫助兒童從整合的視角，將學(xué)習(xí)對(duì)象分類、歸納、抽象，演繹內(nèi)在的邏輯關(guān)系，形成對(duì)一類對(duì)象的整體性認(rèn)識(shí)，發(fā)展模型意識(shí)和推理意識(shí)。

結(jié)構(gòu)化學(xué)材助推兒童系統(tǒng)性思維發(fā)展。系統(tǒng)性思維是把事物整體當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)加以思考的思維方式，具有整體性、綜合性、定量化和精確化等特點(diǎn)。結(jié)構(gòu)化學(xué)材的開(kāi)發(fā)，從宏觀角度，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與生活現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)耦合：從日常生活實(shí)際抽象出的有待解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材貫通意義，如利用日常生活中稱重的天平作為學(xué)材理解等式和不等式的意義。從中觀角度，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)單元之間的系統(tǒng)耦合：義務(wù)教育階段不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)可以通過(guò)結(jié)構(gòu)化學(xué)材統(tǒng)整，如數(shù)與運(yùn)算、圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量分屬于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何領(lǐng)域，利用數(shù)形結(jié)合的結(jié)構(gòu)化學(xué)材，可以通過(guò)圖形度量來(lái)解釋運(yùn)算的原理，也可以通過(guò)計(jì)算來(lái)找到圖形度量的關(guān)系。從微觀角度，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)單元內(nèi)部知識(shí)的系統(tǒng)耦合：一個(gè)單元內(nèi)部的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)緊密聯(lián)系，自然可以利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材來(lái)促進(jìn)關(guān)聯(lián)。

結(jié)構(gòu)化學(xué)材助推兒童同構(gòu)性思維發(fā)展。同構(gòu)性思維的核心是建立知識(shí)之間的橫向聯(lián)系——通過(guò)類比，發(fā)現(xiàn)同構(gòu)，關(guān)聯(lián)方法，實(shí)現(xiàn)遷移。發(fā)展同構(gòu)性思維與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)“學(xué)科內(nèi)容的一致性”高度統(tǒng)一。一致性的實(shí)現(xiàn)是聚焦核心概念，通過(guò)將零散的內(nèi)容建立關(guān)聯(lián)，形成有關(guān)學(xué)科的大概念、大觀念，在這個(gè)過(guò)程中一定伴隨著類比、關(guān)聯(lián)和遷移等思維操作。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)單元知識(shí)呈現(xiàn)分散編排、內(nèi)在聯(lián)系的特點(diǎn)，可以利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材進(jìn)行知識(shí)同構(gòu)、方法同構(gòu)和思想同構(gòu)。例如，結(jié)構(gòu)化學(xué)材——可彎可直的一組軟米尺（如圖1所示），將形的連續(xù)（數(shù)軸的延展）和數(shù)的連續(xù)（計(jì)數(shù)單位的累加）兩種思想聯(lián)系起來(lái)。

結(jié)構(gòu)化學(xué)材助推兒童拓廣性思維發(fā)展。思維的廣度是指思維所涉及范圍的廣闊程度。培養(yǎng)兒童的拓廣性思維，就是讓兒童在不同的抽象層次上，從已有的模式、概念出發(fā)，通過(guò)類比等去拓廣已有的結(jié)果，對(duì)可能產(chǎn)生的模式、概念進(jìn)行研究，從而使數(shù)學(xué)研究的對(duì)象不斷擴(kuò)充。這種拓廣，存在兩種形式：一種是對(duì)內(nèi)縱向拓廣，表現(xiàn)為對(duì)概念研究程序的進(jìn)一步細(xì)化；一種是對(duì)外橫向拓廣，表現(xiàn)為根據(jù)已有概念的研究性質(zhì)推想出同類概念是否也具有同樣的研究性質(zhì)。［3］兒童在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容以各種概念為主，概念學(xué)習(xí)中的拓廣性思維發(fā)展可以借助結(jié)構(gòu)化學(xué)材。例如，利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材——小巧型組合式計(jì)數(shù)器（如圖2所示），來(lái)研究各種各樣的數(shù)。兒童先利用在算桿上串珠學(xué)習(xí)自然數(shù)1—9；再利用算桿的增加學(xué)習(xí)自然數(shù)的數(shù)位和位值原理；接著類推到小數(shù)，利用計(jì)數(shù)器左右兩邊的延展將“十進(jìn)制”遷移到小數(shù)。計(jì)數(shù)器的直觀組合過(guò)程成為搭建數(shù)位順序表的工具支架與模型支架，也是學(xué)習(xí)“數(shù)系”的重要載體。［4］

二、結(jié)構(gòu)化學(xué)材的多元性，支持思維轉(zhuǎn)換性

思維轉(zhuǎn)換性體現(xiàn)思維的多視角，即從多個(gè)角度觀察同一現(xiàn)象，用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，會(huì)得到更加全面的認(rèn)識(shí)；從多個(gè)層次、多個(gè)方面、多個(gè)角度思考同一問(wèn)題，會(huì)得到更加完滿的解決方案。發(fā)展兒童思維的轉(zhuǎn)換性，就是要引導(dǎo)兒童根據(jù)不同的需求，靈活切換三種不同層次的思維形式——直覺(jué)行動(dòng)思維、具體形象思維和抽象邏輯思維，達(dá)到多層面、多視角全面認(rèn)知的目的。數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有高度抽象性，大量的信息都是由符號(hào)和數(shù)字組成的。以兒童現(xiàn)有的思維水平，難以直接進(jìn)行心理運(yùn)演，必須借助結(jié)構(gòu)化學(xué)材的多元表征方式，如圖像、實(shí)物操作、口頭語(yǔ)言、文字符號(hào)等，將個(gè)體思考的過(guò)程再現(xiàn)出來(lái)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)。具體來(lái)說(shuō)，多元表征具身、離身的不同體驗(yàn)，可以讓兒童從不同的感覺(jué)通道豐富對(duì)被表征對(duì)象的認(rèn)識(shí)；多元表征文本、非文本的呈現(xiàn)方式，可以讓兒童獲得的數(shù)學(xué)概念信息優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)、相輔相成；本質(zhì)相同的言語(yǔ)化和視覺(jué)化表征的多種變式，可以對(duì)接不同兒童的不同思維方式，產(chǎn)生多元的學(xué)習(xí)視角。教師可以基于知識(shí)和兒童認(rèn)識(shí)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)一系列知識(shí)內(nèi)在關(guān)聯(lián)、形象具體直觀的學(xué)材，組成基于意義學(xué)習(xí)的“學(xué)材包”，幫助兒童進(jìn)行多元表征，抓住新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，促發(fā)其將所學(xué)習(xí)的知識(shí)積極、主動(dòng)地遷移到新的問(wèn)題解決中，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通、助推思維深度發(fā)展的目的。

例如，教學(xué)“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位口算”時(shí)，教師開(kāi)發(fā)了“天平”系列多層級(jí)的結(jié)構(gòu)化學(xué)材包。第一層次的學(xué)材包，包括三種意義形態(tài)的天平：實(shí)物天平、圖片天平和腦海中的抽象天平。第二層級(jí)的學(xué)材包，則是針對(duì)“平衡”情況下解決“24+6=？”的進(jìn)位加法口算開(kāi)發(fā)的小棒、計(jì)數(shù)器和紙筆等學(xué)材包。對(duì)第一層次三種天平學(xué)材的操作，指向直覺(jué)行動(dòng)思維、具體形象思維和抽象邏輯思維。首先，通過(guò)實(shí)物天平來(lái)稱量具體的物體，在天平兩邊增減砝碼或者稱量的物品，來(lái)具身感知什么是“平衡”和“相等”。接著，通過(guò)圖片天平兩臂的高、低、平狀態(tài)，和=、>、<建立一一對(duì)應(yīng)的聯(lián)系，抽象“等式”和“不等式”的意義。最后，解決“47+□=52”“6+□□>70”的問(wèn)題，依托腦海中的抽象天平，拋開(kāi)實(shí)物與圖片，完全進(jìn)行心理操作。三個(gè)環(huán)節(jié)，三個(gè)層次，讓兒童的動(dòng)作從具身到離身，思維從具象到抽象。而第二個(gè)層次小棒、計(jì)數(shù)器和紙筆等組成的學(xué)材包，在探究“24+6何以等于30”中發(fā)揮了重要作用。兒童可以根據(jù)自己的水平選擇適合自己的學(xué)材，并在合作交流中呈現(xiàn)不同的方法——小棒擺、計(jì)數(shù)器撥，畫(huà)小棒和計(jì)數(shù)器，直接用分解式來(lái)計(jì)算，反映出直覺(jué)行動(dòng)思維、具體形象思維和抽象邏輯思維三個(gè)不同的層次。再通過(guò)合作學(xué)習(xí)的方式互相理解認(rèn)識(shí)，互相轉(zhuǎn)換思維。在此基礎(chǔ)上，對(duì)不同的方法進(jìn)行歸納——無(wú)論采用什么動(dòng)作和學(xué)材，都是先把個(gè)位上的4和6加起來(lái)，再加上十位上的2（20）。此時(shí)，兒童各種形式、層次的思維轉(zhuǎn)換自如，“通”卻“不同”，思維靈活性不斷提高。

三、結(jié)構(gòu)化學(xué)材的生長(zhǎng)性，支持思維自調(diào)性

思維結(jié)構(gòu)中存在自我意識(shí)，可以監(jiān)控思維結(jié)構(gòu)發(fā)展。認(rèn)知結(jié)構(gòu)中包含元認(rèn)知，它是組織、提煉、監(jiān)控、調(diào)節(jié)、反省知識(shí)的知識(shí)及方法。思維自調(diào)性是一種思維自覺(jué)的行動(dòng)，是學(xué)習(xí)者作為獨(dú)立的學(xué)習(xí)主體，主動(dòng)、自覺(jué)地從事學(xué)習(xí)活動(dòng)，目的在于采用各種調(diào)控措施使得自己的學(xué)習(xí)達(dá)到最優(yōu)化的過(guò)程，具有能動(dòng)性、有效性和相對(duì)獨(dú)立性等特點(diǎn)。［5］對(duì)于兒童來(lái)說(shuō)，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，除了憑借努力去探索和發(fā)現(xiàn)未知的領(lǐng)域，掌握解決問(wèn)題的方法與策略，也要主動(dòng)對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思和審視， “通過(guò)對(duì)已有的結(jié)構(gòu)的反省，構(gòu)造出不同于原來(lái)的新結(jié)構(gòu)”［6］ ，發(fā)展內(nèi)在的學(xué)習(xí)心理機(jī)制。實(shí)現(xiàn)兒童思維自調(diào)性的發(fā)展，就要讓兒童處于特殊的生活情境和特定領(lǐng)域的知識(shí)背景中，面臨真實(shí)的問(wèn)題或挑戰(zhàn)，自始至終將自己作為一個(gè)具有主觀能動(dòng)性的學(xué)習(xí)主體，完整經(jīng)歷和體驗(yàn)觀察、發(fā)現(xiàn)、探究、反思、修正的過(guò)程，在解決遇到的問(wèn)題和困難時(shí)，自覺(jué)調(diào)整思維，成功地遷移甚至創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)知識(shí)，順利解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。達(dá)到這樣的目標(biāo)，需要借助于結(jié)構(gòu)化學(xué)材的趣味性、豐富性和能動(dòng)性，激發(fā)兒童的興趣，讓兒童手腦結(jié)合，運(yùn)用多種探究方式。更為重要的是，要利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的生長(zhǎng)性，將其作為一種“沖突性”工具技術(shù)，不斷激起新的“學(xué)習(xí)困境”，動(dòng)搖兒童已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，讓兒童自覺(jué)根據(jù)實(shí)際需求，主動(dòng)調(diào)整思考的方向和思維的節(jié)奏，從淺表問(wèn)題開(kāi)始，逐步逼近問(wèn)題核心。首先，利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的“植根”設(shè)計(jì)，讓兒童明確思維的終極目標(biāo)。結(jié)構(gòu)化學(xué)材是基于知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)材料，是在分解某個(gè)概念知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)核心元素的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出來(lái)的，自始至終都指向這個(gè)核心元素。其次，利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的“延展”設(shè)計(jì)，讓兒童自主明晰思維的發(fā)展路徑。結(jié)構(gòu)化學(xué)材的層級(jí)性和發(fā)展性，圍繞概念內(nèi)部關(guān)聯(lián)的核心元素，引導(dǎo)兒童由淺入深、逐級(jí)展開(kāi)探究活動(dòng)，最終抵達(dá)解決問(wèn)題的終點(diǎn)。最后， 利用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的“留白”設(shè)計(jì)，給兒童思維的自我調(diào)整留下空間。結(jié)構(gòu)化學(xué)材在大概念統(tǒng)整理念下進(jìn)行設(shè)計(jì)，針對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象處于多層級(jí)不同思維水平的特點(diǎn)，抓大放小，凸顯兒童心理軌跡的過(guò)程，讓不同的兒童在數(shù)學(xué)思維上得到不同的發(fā)展。

例如，教學(xué)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”時(shí)，提供結(jié)構(gòu)化學(xué)材——沒(méi)有標(biāo)識(shí)的米尺（1米長(zhǎng)）。讓兒童自己測(cè)量各種物品——黑板、窗戶的邊框、課桌表面，數(shù)學(xué)書(shū)封面的長(zhǎng)和寬等。在一次次的測(cè)量中，“量而有余”和“量而無(wú)余”的情況交替產(chǎn)生，激發(fā)了兒童的認(rèn)知沖突，引發(fā)了兒童對(duì)“新數(shù)”的需求。為了追求更加精確的結(jié)果，也為了更方便地測(cè)量，學(xué)生根據(jù)自己的需要一次次進(jìn)行調(diào)整，將米尺“精致化”處理。米尺上的分點(diǎn)越來(lái)越密，單位長(zhǎng)度越來(lái)越小，小數(shù)部分的數(shù)位越來(lái)越多，數(shù)的精確程度越來(lái)越高。動(dòng)作、圖像和抽象三者協(xié)同作用，也讓兒童慢慢體會(huì)到了數(shù)的另一個(gè)隱藏的性質(zhì)——稠密性，拓展了對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的視野。在使用結(jié)構(gòu)化學(xué)材的具身操作中，隨著體驗(yàn)的不斷豐富，兒童逐步把握概念的核心元素，知識(shí)從淺表走向深入，思維也從粗放不斷自調(diào)，逐步走向精細(xì)。

“數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)致力于促進(jìn)學(xué)生更積極地去進(jìn)行思考?！?［7］ 結(jié)構(gòu)化學(xué)材呈現(xiàn)的方法、形式和內(nèi)容，就是知識(shí)發(fā)生、思維發(fā)展的過(guò)程樣態(tài)。結(jié)構(gòu)化學(xué)材支撐下的深度學(xué)習(xí)，推動(dòng)兒童思維多層面、有層次發(fā)生、發(fā)展。結(jié)構(gòu)化學(xué)材是兒童思維發(fā)展的支架，將抽象、內(nèi)隱的思維關(guān)系“下沉”到一種看得見(jiàn)、摸得著的狀態(tài)，讓兒童通過(guò)對(duì)它的具體動(dòng)作，觸發(fā)來(lái)自腦海深處的思維脈動(dòng)，真正實(shí)現(xiàn)思維的深層發(fā)展。

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