邱伊健, 鄭萍, 程香平, 郭玉松

(1. 江西省科學(xué)院 應(yīng)用物理研究所，江西 南昌 330001; 2. 南昌師范學(xué)院，江西 南昌 330032)

0 引言

手工鋪設(shè)、長絲纏繞、蒸壓和真空袋處理技 術(shù)[1]，通常與連續(xù)纖維增強熱固性復(fù)合材料相關(guān)，它通常應(yīng)用于短期或一次性使用的產(chǎn)品，并且對產(chǎn)品質(zhì)量和性能的要求較高。然而，當(dāng)需要大量的此類產(chǎn)品時，這些技術(shù)是有限制的。對于當(dāng)前許多應(yīng)用來說，強度或剛度峰值的提高并不是這種復(fù)合材料的主要需求。而是在滿足特定強度和剛度需求情況下，人們往往希望批量生產(chǎn)這種產(chǎn)品，使得用于連續(xù)纖維的加工技術(shù)在機(jī)器時間和人工時間方面顯得極其冗長和昂貴。通常聚合物基復(fù)合材料中的基體不具有承受很大載荷的能力，其主要作用之一是將負(fù)載從一根纖維轉(zhuǎn)移到另一根纖維。它影響復(fù)合材料的抗壓、抗剪強度，也有助于提高復(fù)合材料的抗斷裂性能和能量吸收能力。

短纖維增強樹脂基復(fù)合材料(SFERC)[2-4]由于其良好的經(jīng)濟(jì)性和相對可靠的機(jī)械性能已經(jīng)被廣泛關(guān)注。近年來，由于復(fù)合材料制造工藝的進(jìn)步，短切纖維增強彈性復(fù)合材料在中低端工程結(jié)構(gòu)中的力學(xué)性能能夠滿足大多數(shù)使用需求，在某種程度上能夠替代連續(xù)纖維增強復(fù)合材料(CFRC)[5-6]。由于短切纖維在基體中復(fù)合狀態(tài)的無序性，并呈現(xiàn)卷曲 狀[7]，使得這種材料在細(xì)觀層面存在極其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。如何將SFERC 中復(fù)雜的細(xì)觀結(jié)構(gòu)建立準(zhǔn)確的均一化方法，是一項具有挑戰(zhàn)性的工作。

已有大量研究工作提出SFERC 的均質(zhì)化方 法[8-13]，傳統(tǒng)的方法是依靠實驗技術(shù)來表征材料的有效力學(xué)性能。這些性能用適當(dāng)?shù)默F(xiàn)象學(xué)本構(gòu)模型來表達(dá)時，可以作為傳統(tǒng)工程材料力學(xué)分析的基礎(chǔ)。然而，現(xiàn)代方法論傾向于用均一化方案和微觀力學(xué)模型結(jié)合來取代這種現(xiàn)象學(xué)的方法，它是通過在宏觀和微觀兩個尺度下同時求解，以降低求解非線性和時變響應(yīng)的兩個尺度相關(guān)計算代價的解耦方法。復(fù)合材料均一化理論最早由Hill[9]和Ogden[10]提出。但是由于復(fù)合材料均一化場是復(fù)雜結(jié)構(gòu)的非線性場，在受到外部載荷時場量的非線性變化限制了其實際應(yīng)用。隨后Castaneda[11-12]提出了2 階均一化方案并由Kouznetsova 等[13]成熟應(yīng)用。由于平均場理論組分均一化響應(yīng)的限制，Chen 等[14]采用全場法得到了復(fù)合結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力和應(yīng)變場響應(yīng)。全場法比平均場法具有更高的微觀場分辨率。最近Caylak 等[15]研究了結(jié)合平均場和全場均一化方法的框架下建立多態(tài)不確定模型，用模糊隨機(jī)變量發(fā)展多態(tài)不確定平均場和全場方法，在纖維體積分?jǐn)?shù)不確定幾何形狀和材料參數(shù)不確定的情況下，確定纖維增強復(fù)合材料的隨機(jī)有效性能。

除此之外，人們還將各種其他領(lǐng)域的研究方法引入復(fù)合材料的細(xì)觀力學(xué)研究[16-20]，例如機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能記憶法[18,21-24]，即便它們目前與傳統(tǒng)的直接數(shù)值計算法相比并沒有帶來切實的計算效益，但是可以作為未來本研究領(lǐng)域的一個新方向。

與直立纖維相比，卷曲纖維的隨機(jī)離散化計算很難采用直接的有限元分析(FEA)方法來處理。直立纖維可以直接離散到代表體積元(RVE)結(jié)構(gòu)中，而卷曲纖維由于其模量在各部位是不一致的，需要先將卷曲纖維的模量進(jìn)行局部均一化，然后對均一化完成后的局部樣本進(jìn)行離散。傳統(tǒng)均一化方法通常采用一個尺度，即RVE 尺度，直接把短切纖維離散到RVE 結(jié)構(gòu)中，然后對RVE 進(jìn)行均一化。這種離散算法最典型的是2 階或4 階隨機(jī)纖維取向張量的統(tǒng)計離散法。而本文要解決的問題在于卷曲纖維模量是隨著局部坐標(biāo)位置不斷變化的，它不能像直立纖維那樣直接通過3 個方向的正向模量和3 個方向的剪切模量來表征。

本文對于卷曲纖維的方向性模量需要在纖維局部進(jìn)行模量路徑上微分轉(zhuǎn)置處理，將偏軸模量轉(zhuǎn)置到正軸模量的分量上，然后對卷曲纖維進(jìn)行離散。與傳統(tǒng)算法不同的是，本文的創(chuàng)新點在于在有限元模型的構(gòu)建中采用雙尺度，即單胞(UC)和RVE 尺度同時進(jìn)行分析。首先將卷曲纖維的模量均一化到UC 尺度，獲取UC 結(jié)構(gòu)的均一化模量，然后采用本文提出的算法將UC 尺度模型離散到RVE 結(jié)構(gòu)中，進(jìn)行二次均一化。為了使得雙尺度均一化的實現(xiàn)，本文采用一種新型的隨機(jī)場，稱為空間方向敏感(HE)算法[25]，將空間隨機(jī)場分為兩部分，其中一部分為確定場量，另一部分為隨機(jī)場量。

1 多尺度均一化實驗

1.1 卷曲短切纖維彈性場微分的坐標(biāo)變換

為描述單根卷曲短切纖維結(jié)構(gòu)模量，把短切纖維假設(shè)為 Hsiao-Daniel 正弦波形式的卷曲狀 態(tài)[8]。其卷曲周期為ω，振幅為A，如圖1 所示。圖1 中，θ為軸與Ox軸的旋轉(zhuǎn)角度，軸表示局部纖維長度方向，軸、軸分別表示與長度方向垂直的纖維截面方向。

圖1 卷曲短纖維長度微分的坐標(biāo)變換Fig. 1 Coordinate transformation of length differential of CCF

纖維的波動性方程在Oxyz坐標(biāo)系(后文簡稱主坐標(biāo)系)下可以定義為

式中：u為纖維波動的縱坐標(biāo)值。

在卷曲纖維的任意一端截取一段長度為dx的波動段，并且在平行于這段纖維主方向的切線上建立轉(zhuǎn)置纖維局部坐標(biāo)系(后文簡稱轉(zhuǎn)置坐標(biāo)系)。其中坐標(biāo)軸平行于切線方向，坐標(biāo)軸垂直于切線方向，而坐標(biāo)軸與Oyz軸保持一致。因此主坐標(biāo)系與轉(zhuǎn)置坐標(biāo)系下的應(yīng)力轉(zhuǎn)換可以表示為

式中：σxx、σyy、σzz分別為主坐標(biāo)系3 個方向的正應(yīng)力；τyz、τxz、τxy分別為主坐標(biāo)系3 個方向的剪應(yīng)力；Tij為轉(zhuǎn)置矩陣(i、j為矩陣分量的下角標(biāo))；分別為轉(zhuǎn)置標(biāo)系的3 個正應(yīng)力；分別為轉(zhuǎn)置坐標(biāo)系的3 個方向剪應(yīng)力。

這里的Tij-1為矩陣Tij的逆矩陣，并且

同理，相應(yīng)的應(yīng)變轉(zhuǎn)換方程可以表示為

式中：εx、εy、εz和分別為主坐標(biāo)系和轉(zhuǎn)置坐標(biāo)系3 個方向的正應(yīng)變；γx、γy、γz和分別為主坐標(biāo)系和轉(zhuǎn)置坐標(biāo)系下 3 個方向的剪應(yīng)變。

通過在式(4)兩邊分別左乘對角矩陣Rij，

將左邊正應(yīng)變和剪應(yīng)變化簡成一致形式，右邊左乘一個單位矩陣E=Rij-1Rij，將右邊也簡化成一致形式，得到

因此主坐標(biāo)系下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為

式中：S和Sij分別為主坐標(biāo)系和轉(zhuǎn)置坐標(biāo)系下的柔量矩陣，二者存在如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

在轉(zhuǎn)置坐標(biāo)系下，纖維可以看成主軸方向平行于Ofxf軸的橫觀各向異性材料，對于橫觀各向異性的柔量矩陣采用Hill 矩陣可以寫成如下形式：

1.2 短切纖維的隨機(jī)場

1.2.1 Digimat 原生算法

Digimat 軟件采用2 階張量取向填充算法，它是一種以概率隨機(jī)取向形式統(tǒng)計的一種纖維離散方法，這種算法一般用于直立纖維，并且纖維結(jié)構(gòu)中不附帶基體相的情況。對于短纖維復(fù)合材料，定義微觀結(jié)構(gòu)的最重要的隨機(jī)變量是纖維體積分?jǐn)?shù)vf、纖維取向和纖維長度lf。由圖2(a)可知，可以根據(jù)兩個纖維角φf和θf來定義單根纖維取向。

圖2 纖維取向Fig. 2 Fiber orientation

圖2 中，Ω為復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)域，P(q)為 第q根纖維的方向矢量，x1′、x2′、x3′分別為纖維方向矢量分解的3 個正交向量，e1′、e2′、e3′分別為纖維方向矢量分解的3 個正交基向量。

式中：P1f、P2f、P3f分別為纖維取向的3 個正交方向矢量分量；α1f、α2f、α3f分別為纖維與總體坐標(biāo)系所呈的3 個Euler 角。

需要說明的是，使用歐拉角或方向單位向量時，3 個變量中只有2 個是獨立的。所有4 個獨立的隨機(jī)變量Pf、φf、θf和lf(或者分別是歐拉角或方向矢量分量中的2 個)需要提供適當(dāng)?shù)母怕史植迹瑏肀硎纠w維體積分?jǐn)?shù)、取向和長度的不確定性。

對于2 階取向張量填充算法(2 階纖維張量取向描述法)來填充聚集無序短纖維的取向問題，因為它們可以與纖維取向的變換矩陣和概率分布直接相關(guān)。這里簡要介紹一下張量取向aij的定義的推導(dǎo)，首先考慮包含根據(jù)圖2(b)中有限數(shù)量的纖維的任意參考體積Ω，其中包含了有限數(shù)目nf根短纖維，如圖2(b)所示。任意纖維號為q的取向是根據(jù)其單獨的纖維取向向量P(q)定義的，其向量組成P(q)根據(jù)式(9)來定義。因此，對于參考體積為Ω，纖維總數(shù)為nf的2 階纖維張量取向由式(10)定義：

式(10)用于域Ω內(nèi)的所有纖維。如果Ω內(nèi)的纖維數(shù)目接近無窮大，即nf→∞，則用連續(xù)定義 式(11)來代替2 階纖維張量取向的離散定義(見 式(10))：

式中：f(Pf)為纖維取向Pf出現(xiàn)的概率密度分布函數(shù)?？紤]到概率分布中期望值的定義：

根據(jù)式(12)，2 階纖維張量取向的分量aij定義了纖維(歸一化)方向矢量分量乘積的期望值，因此參考式(9)，即乘積的期望值，分別為離散和連續(xù)纖維取向分布的歐拉角。由于式(10)和式(11)中乘積的交換性，2 階張量取向是對稱的，即aij=aji。因此，對于完全排列的纖維，全部朝向x1方向，2 階纖維張量取向的形式為

而

則表示纖維取向完全無序。

1.2.2 HE 算法

在獲取短切纖維卷曲彈性應(yīng)力應(yīng)變場變換之后，還需要考慮卷曲纖維在基體相中的離散分布。因此需要在體積元中建立合適的纖維隨機(jī)場來描述離散纖維強化基體復(fù)合結(jié)構(gòu)的彈性本構(gòu)。本文通過RVE 結(jié)構(gòu)來研究離散短纖維在基體中的離散行為，其坐標(biāo)系為Orxryrzr，而單根短切纖維通過UC結(jié)構(gòu)來表征，其坐標(biāo)系用Ouxuyuzu表示，它內(nèi)部包含了單根短切纖維，與附著于纖維壁呈一定厚度的界面層，以及部分UC 結(jié)構(gòu)中包裹纖維及其界面層的基體材料(見圖3)。

圖3 單胞纖維在RVE 中的離散角度Fig. 3 Discrete angle of single cell fiber in RVE

圖3 中，α為UC 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)矢量與主坐標(biāo)系Ox軸的夾角，β為旋轉(zhuǎn)矢量在主坐標(biāo)系Oyz平面上的投影與Oy軸的夾角。

本文中介紹一種新型隨機(jī)場模型，這種模型稱為HE 算法，本文將該算法應(yīng)用于針對卷曲短纖維隨機(jī)場的離散化模型。HE 算法首先將一個空間隨機(jī)場H(x，y，z，δ)分解為一個確定域和一個隨機(jī)域：

式中：為空間場平均值(它又可以分為α和β角度方向的空間場(見圖3)；δ為初始隨機(jī)性；ξ為常變量；λi和φi分別為解析協(xié)方差內(nèi)核的本征值和本征函數(shù)；n為HE 的截斷階。通過求解下面的Fredholm 積分方程[26-30]解出λi和φi的值：

式中：x1(x1,y1,z1)和x2(x2,y2,z2)分別為Ofxfyfzf坐標(biāo)系內(nèi)隨機(jī)選擇的兩個點；VRVE為RVE 的體積；C(x1,x2)為假設(shè)協(xié)方差函數(shù)的指數(shù)形式，

UC 纖維的離散通過兩個旋轉(zhuǎn)張量角度α和β通過旋轉(zhuǎn)變換將場量由主坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)至離散UC 坐標(biāo)系，如圖3 所示。本文采用Galerkin 有限元法[31]對特征函數(shù)進(jìn)行離散。

1.3 短切卷曲纖維強化樹脂基三維隨機(jī)排列的概率模型

在卷曲纖維外層一定厚度范圍內(nèi)存在一層界面相，其屬性是樹脂基體材料，并且界面相承擔(dān)了更密集的應(yīng)力傳遞，它比遠(yuǎn)離纖維的基體形變量更大，因此在直徑為dCCF的纖維外部增加一層外徑為di的界面層?？紤]含基體相的獨立短切纖維復(fù)合結(jié)構(gòu)UC，如圖4所示。圖4 中，LCCF為CCF的長度。

圖4 包含單根波動碳纖維的單胞結(jié)構(gòu) Fig. 4 Unit cell with single wavy CCF

CCF 的隨機(jī)卷曲度[6]可以定義為

式中：x為微尺度域上的位置向量；LCCF為CCF 的長度。CCF UC 的無限小片段看成是離軸橫斷各向同性層(見圖4)。通過把Chamis 的簡化微觀力學(xué)模型[24]應(yīng)用于短切纖維隨機(jī)場，可以得到5 個獨立的彈性屬性E11、E22、G12、G23、V12。

對UC 的E1和υ12使用混合等效應(yīng)變準(zhǔn)則時[30]，可以得到

式中：VCCF(x,δ)為碳纖維的體積；ECCF1為碳纖維長度方向模量；Vm為基體體積；Em為基體彈性模量；Vi(x,δ)為隨機(jī)界面的體積；Ei(x,δ)為隨機(jī)界面彈性模量；v12(x,δ)為基體泊松比；vCCF12為碳纖維泊松比；νi為隨機(jī)界面的泊松比。

界面材料的體積分?jǐn)?shù)可以表示為

式中：di包含了纖維和界面層；dCCF為不包含界面層的單根纖維外經(jīng)。橫向有效模量可以通過復(fù)合材料基礎(chǔ)力學(xué)推導(dǎo)而來[32-37]：

同理，隨機(jī)剪切模量(G23(x，δ)，G12(x，δ)=G13(x，δ))也可以通過將式(19)中的Em替換為Gm，ECCF2替換為GCCF12得到。隨后的計算可以通過第2 節(jié)所述短切纖維卷曲度坐標(biāo)變換公式計算。同時，短切碳纖維增強相的長徑比影響可以間接通過局部體積分?jǐn)?shù)和纖維卷曲度來考慮。

本文提出的構(gòu)建空間隨機(jī)CCF 排列模型的方法可以通過兩個取向角來表征(αCCF和βCCF)，分別表示UC 在RVE 中的α和β的離散角。這里將CCF 看成是隨空間變化的隨機(jī)場，并且通過HE 方法將其表示為

式中： ＜·＞表示平均值。x軸、y軸、z軸方向的角度均值和相關(guān)長度是決定CCF 隨機(jī)取向的主要統(tǒng)計參數(shù)因素。在實際的聚合物基體中，每根CCF不可能完全對齊，如圖5 所示，圖中〈θCCF〉、θird分別為平均波動和隨機(jī)波動。因此，取向的CCF復(fù)合材料具有空間變化的各向異性。

圖5 RVE 空間變化的隨機(jī)排列角度Fig. 5 Random arrangement angle of RVE space variation

應(yīng)力張量和應(yīng)變張量在RVE 坐標(biāo)系Orxryrzr和UC 坐標(biāo)系Ouxuyuzu之間來回變換，如式(21)所示：

隨機(jī)轉(zhuǎn)動張量根據(jù)式(20)中的角度可以表 示為

式中：Rkl表示隨機(jī)旋轉(zhuǎn)張量變換。

1.4 平均應(yīng)力，應(yīng)變及其后處理方法

在三維RVE 結(jié)構(gòu)中，每個離散的UC 可以看成是包含在其中的一個子域，如果要從子域中提取應(yīng)力和應(yīng)變，則在對結(jié)果進(jìn)行后處理時不能使用關(guān)鍵點自由度(Kdofs)，因為 Kdofs 是針對完整的RVE，而不是子域。應(yīng)力和應(yīng)變必須以某種方式平均，涉及到應(yīng)力和應(yīng)變在子域上的積分。由于將應(yīng)力和應(yīng)變的積分過程作為計算機(jī)代碼來實現(xiàn)對于大多數(shù)用戶是一項要求很高的工作，下面的簡化可以保持?jǐn)?shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性。高斯定理(散度定理)給出了下列積分公式：

式中：[fx,fy,fz]為三維空間中的連續(xù)可微向量場；?Ω為三維空間中感興趣域的邊界；[nx,ny,nz]為?Ω的單位向外法線；S為?Ω的表面積。特別地，如果在三維空間中引入[fx,fy,fz]=[gxhx,gyhy,gzhz]，這里g和h是兩個單獨的連續(xù)可微向量場，類似于f，高斯定理給出了下列分段積分：

利用這些數(shù)學(xué)公式，可以導(dǎo)出三維情況下的平均應(yīng)變和應(yīng)力，為此使用高斯定理得出以下平均應(yīng)變的表達(dá)式：

1.5 數(shù)值模擬算法實現(xiàn)和材料參數(shù)

1.5.1 算法實現(xiàn)

本文提出的算法實現(xiàn)過程如圖6 所示。首先對DIGIMAT 腳本進(jìn)行RVE 參數(shù)，材料模型等相關(guān)數(shù)據(jù)輸入，包括HE 算法、RVE 設(shè)計尺寸、邊界條件、纖維目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)、纖維半徑、縱橫比、纖維填充數(shù)目、纖維最小間距、界面相直徑與纖維直徑之比(di/dCCF)等參數(shù)。然后程序根據(jù)HE 算法的周期邊界條件對RVE 進(jìn)行填充，得到相應(yīng)的RVE FE 結(jié)構(gòu)模型。在MATLAB 軟件腳本對RVE FE 結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行Halpin-Tsai 方程坐標(biāo)變換，將宏觀RVE 尺度隨機(jī)場量離散到細(xì)觀的UC 尺度下，并得到以UC 為最小單位的離散化的空間隨機(jī)分布模量場，將離散化數(shù)據(jù)在Abaqus CAE 軟件中基于空間隨機(jī)分布模量場進(jìn)行相應(yīng)的有限元計算，從而得到相應(yīng)的數(shù)值解。

圖6 HE 算法的流程圖Fig. 6 Flowchart of space direction-sensitive hoteling expansion algorithm

1.5.2 材料屬性和實驗材料制備

表1 為RVE 中3 種材料結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)和統(tǒng)計參數(shù)。需要說明的是，基體材料和界面材料是同種物質(zhì)，但是界面材料由于緊鄰CCF 相，受到其強化作用的影響，其材料力學(xué)行為與基體材料在微力學(xué)模型中存在一些區(qū)別，但是這種細(xì)微的調(diào)整在微力學(xué)模型中是必要的，也是可以接受的。雖然CCF 填充樹脂基復(fù)合材料復(fù)合強度隨著CF 含量的增加遞增，但是短纖維強化與長纖維不同，短纖維增強樹脂基體隨著纖維含量的增加，復(fù)合結(jié)構(gòu)脆性斷裂的風(fēng)險呈指數(shù)遞增。因此為兼顧韌性和強度，短纖維增強環(huán)氧樹脂基復(fù)合材料的纖維體積分?jǐn)?shù)應(yīng)該低于3%。本文選取最大體積分?jǐn)?shù)為1.24%。

基體材料考慮塑性變形，采用J2 塑性模型[30]，并且考慮的是指數(shù)和線性強化準(zhǔn)則，CCF 只考慮彈性效應(yīng)，相應(yīng)參數(shù)如表1 所示。

表1 RVE 結(jié)構(gòu)各相材料屬性Table 1 Material properties of each phase in RVE structure

RVE 結(jié)構(gòu)微力學(xué)實驗?zāi)Ｐ腿鐖D7 所示。選取平均長度為1 mm 的短切碳纖維作為增強相，均勻分散于環(huán)氧樹脂基體中，并用聚四氟乙烯模具將其定型固化為正方體形狀，如圖7(a)所示。力學(xué)實驗選取尺寸為20 mm×20 mm×20 mm 的立方體，填充纖維體積分?jǐn)?shù)分別選取0.2%、0.41%、0.61%、0.82%、1.03%和1.24% 6 組進(jìn)行實驗。其中，圖7(b)所示為纖維體積分?jǐn)?shù)為1.24%的樣本中短切碳纖維在基體內(nèi)隨機(jī)分布的細(xì)觀顯微圖像。然后將固化的立方體試樣再次置于模具中，加入無增強相的環(huán)氧樹脂固化后，成為拉伸力學(xué)試樣，如圖7(c)所示。

圖7 復(fù)合結(jié)構(gòu)實驗樣本及其細(xì)觀顯微圖像Fig. 7 Composite structure test samples and their mesoscopic images

2 實驗結(jié)果與討論

2.1 實驗樣本的纖維長度及2 階張量取向角的概率分布測定

為確保數(shù)值RVE 模型參數(shù)與實驗樣本的一致性，采用樣品基體的化學(xué)焚化法提取纖維，通過圖像處理系統(tǒng)對它們進(jìn)行長度掃描，統(tǒng)計圖7 所示的樣本中短纖維的長度概率分布情況。圖8(a)所示為測試樣本纖維長度的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。圖8 中，f(LCCF)為短纖維長度的概率密度分布函數(shù)，而F(LCCF)為纖維長度歸一化概率分布函數(shù)，它們之間的關(guān)系為f(LCCF)=dF(LCCF)/dx。

測試樣本中，短纖維長度分布為0~4.8 mm，纖維長度分布概率整體呈線性遞增，同時存在一些概率跳躍分布點，這些跳躍點在較短纖維區(qū)間 (< 1 mm)分布較明顯。

同時還確定了纖維取向分布，它需要有關(guān)微觀結(jié)構(gòu)幾何形狀的完整的三維信息。如果纖維和基體的密度存在較大不同，例如對于大多數(shù)玻璃纖維，碳纖維增強的聚合物，可以通過X 射線計算機(jī)斷層掃描以無損方式研究微觀結(jié)構(gòu)。為此，在大量連續(xù)的旋轉(zhuǎn)角度下，通過X 射線源對樣本進(jìn)行射線照相。對拍攝的圖像進(jìn)行計算，可以重建微觀結(jié)構(gòu)；可獲得基于體素的顯微組織三維圖像結(jié)果并跟蹤每根纖維，從而提供必要的纖維方向數(shù)據(jù)，以根據(jù) 2 階張量取向法確定纖維取向張量。通過X 射線計算機(jī)斷層掃描獲取纖維取向矢量p，并得出樣本中每根纖維的纖維角度。圖8(b)、圖8(c)給出了實驗樣本中根據(jù)圖3 所示角度確定的纖維取向分布曲線，該樣本取向纖維以仰角α和投影角β確定。其中投影角α和β的概率分布都是呈高斯正態(tài)分布，β的概率分布統(tǒng)計的周期為π，即[-90°，90°]，而α的概率分布統(tǒng)計的周期為π/2，即[-45°，45°]，從而導(dǎo)致β和α分別呈現(xiàn)單峰和雙峰。

圖8 實驗樣本中隨機(jī)取向纖維的長度和方向角的統(tǒng)計分布Fig. 8 Statistical distribution of length and orientation angle of randomly oriented fibers in experimental samples

2.2 RVE 尺寸效應(yīng)及邊界影響區(qū)長度

2.2.1 RVE 尺寸效應(yīng)

RVE 通常在下部長度尺內(nèi)引入，來描述其上部長度尺度的性質(zhì)，其定義基于代表性這個關(guān)鍵詞。如果RVE 能夠再現(xiàn)從有關(guān)長度尺度的無限大體積材料中獲得的特性，則認(rèn)為RVE 具有代表性，這應(yīng)該作為確定它的尺寸的一個標(biāo)準(zhǔn)。代表性通常是根據(jù)感興趣材料上部長尺度的有效性質(zhì)來定義的。只要材料在其上部長度尺度上是均勻的，就可以在其下部長度尺度上引入RVE 作為材料的適當(dāng)體積。在多尺度模型中，在上部尺度中的任何有限維在下部尺度上都被認(rèn)為是無限的。換言之，RVE 的維數(shù)必須在下部長度尺度上是有限的，而它在其上部長度尺度上可以被視為數(shù)學(xué)上的無窮小。在較低長度尺度上的無限維體積總是具有代表性，但不是理想的RVE 候選體。

根據(jù)Hill[9]的理論，RVE 尺寸對數(shù)值模擬的精度影響很大程度上取決于邊界條件影響的區(qū)域深度。它是指從曲線或曲面到邊界效應(yīng)減小點的距離，是一個特征度量。雖然它沿RVE 的表面逐點變化，但它是有界的，其上限稱為衰減長度t，t是給定材料的確定值。受邊界條件影響的區(qū)域的體積Vs影響。Vs可以等效地看作是衰減長度厚度的殼，是RVE 的最外層。由于對于給定的材料，t通常是一個固定值，通過衰減長度到RVE 的距離，應(yīng)力和應(yīng)變場不再受強加邊界條件的影響，例如，是否通過施加均勻位移或均勻牽引來完成。在將具有衰減長度厚度的殼體從RVE 上剝離后，留下的芯中的應(yīng)力和應(yīng)變場應(yīng)與通過分析無限大體積材料獲得的應(yīng)力和應(yīng)變場相同。例如，考慮具有邊長a、衰減長度t和體積為VRVE(RVE 的體積)的立方RVE。隨著RVE 的大小增加，a增加，而t保持不變。當(dāng)t相對于a變得可以忽略時，兩個體積的比值r趨于消失(見式(31))，此時RVE 預(yù)測的有效性無限接近其上部尺度。

目前實驗測定衰減長度采用數(shù)字散斑全場應(yīng)變儀測定試樣在加載前后的局部應(yīng)變量的不同來計算衰減長度，而數(shù)值方法可以直接通過FEA 計算 獲得。

在此模擬中，采用空間方向敏感性Hotelling膨脹算法對CCF 鑲嵌環(huán)氧樹脂的RVE 進(jìn)行填充。為研究RVE 尺寸對力學(xué)精度的影響，考慮的RVE尺 寸 分 別 為 0.25 mm×0.25 mm×0.25 mm 、 0.5 mm×0.5 mm×0.5mm 和1 mm×1 mm×1 mm，并對3 種尺寸的RVE 立方體基于HE 算法進(jìn)行填充。力學(xué)實驗則選擇圖7(b)所示實驗樣本。界面剛度假設(shè)為0 Pa，并且在RVE 中實現(xiàn)了彈性剛度隨機(jī)離散分布。RVE 結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分選取的是8 節(jié)點磚塊單元，單元尺寸均為5 μm×5 μm×5 μm。模型采用的是不考慮孔隙問題的理想化情況。

2.2.2 RVE 邊界影響區(qū)長度

圖9 顯示了3 種尺寸的RVE 結(jié)構(gòu)中，采用周期 邊界條件HE 填充碳纖維的具體過程，體積分?jǐn)?shù)由0.2%遞增至1.24%，圖中每列所對應(yīng)的體積分?jǐn)?shù)是一致的。其中VRVE=13mm 的最大纖維填充數(shù)量為 330根，VRVE=0.53mm的最大纖維填充數(shù)量為44根，而VRVE=0.253mm的最大纖維填充數(shù)量為8根。

圖9 3 種尺寸RVE 的纖維填充過程(纖維橫縱比：145DCCF=6.9 μm，纖維扭曲度=0.3)Fig. 9 Fiber filling process of CCF for RVE of three sizes(Fiber aspect ratio: 145DCCF=6.9 μm, Torsion of fiber= 0.3)

結(jié)構(gòu)邊界條件的約束方法是通過有限元節(jié)點施加線性約束方程，并將周期邊界條件施加到帶有周期性的RVE 結(jié)構(gòu)中。對所屬面(見圖10)施加約束方程，對于面(也可以是邊或者頂點)的每個節(jié)點上的任意自由度i，邊界約束方程如下：

圖10 RVE 面邊界約束方程Fig. 10 Surface boundary conditions of RVE

段落 true="1">式中：ui為第i個分量的位移，i=1, 2, 3；Lx、Ly、Lz分別為x軸、y軸、z軸方向的初始長度。

同時，對3 種不同尺寸的RVE 在x′軸方向上施加0.03 mm 的位移邊界條件，通過數(shù)值計算，獲取了對應(yīng)的邊界影響區(qū)長度(見圖11)。

由于纖維與基體材料存在非常大的平均應(yīng)力差，圖11 中把短纖維和界面材料從基體中去除，從而可以準(zhǔn)確獲取邊界影響區(qū)長度的細(xì)節(jié)信息。從圖11 中可以看到：基體材料在此邊界條件的影響下，應(yīng)力分布為20~55 MPa 之間；通過對比不同x軸方向深度的切面應(yīng)力分布圖可知，由于存在邊界影響區(qū)，RVE 結(jié)構(gòu)由外到內(nèi)存在不同的應(yīng)力分布梯度；VCCF=1.24%(短切碳纖維體積分?jǐn)?shù))的RVE結(jié)構(gòu)，應(yīng)力影響區(qū)長度t取值為15~20 μm 之間，它受到RVE 尺寸的影響并不明顯。在邊界影響區(qū)范圍內(nèi)，外層平均應(yīng)力值明顯大于內(nèi)層。當(dāng)t值超過20 μm 時，平均應(yīng)力值不隨x深度變化而改變。

圖11 衰減長度t對RVE 計算精度的影響，VCCF=1.24%Fig. 11 Influence of attenuation lengthton the accuracy of RVE calculation,VCCF=1.24%

為比較隨機(jī)纖維體積分?jǐn)?shù)，UC尺寸(見圖3)，以及纖維扭曲度在3種尺寸RVE中對t的影響，對RVE結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，如圖12所示。首先研究不同VCCF下3種尺寸RVE的衰減長度與實驗測定的值進(jìn)行對比(見圖11(a))。由于短切纖維的不斷填充，RVE結(jié)構(gòu)內(nèi)兩相界面的指數(shù)式增加以及相界面無序性的增大，使得應(yīng)力影響區(qū)效應(yīng)變得明顯，整體的t值隨Vccf呈指數(shù)變大，其對t值的影響范圍約為17 μm?？墒峭ㄟ^圖12(a)對比，在其他條件(各相組成、VCCF、扭曲度等)相同前提下，t值與RVE尺寸無關(guān)，而實驗測定的t值比數(shù)值模擬的結(jié)果略大。

此外，填充纖維的彎曲度對t值也存在一定的影響(見圖12(b))，扭曲度的影響與t值基本呈線性關(guān)系，但是弱于VCCF的影響，其影響范圍約為4 μm。圖12(c)所示為UC的尺寸對t值的影響。對于UC結(jié)構(gòu)(見圖3)，考慮它是由纖維長度LCCF和基體長度Lm共同組成，并且LCCF為確定的值，通常是通過控制Lm來調(diào)節(jié)UC的尺寸，因此這里采用Lm/LCCF的值(UC中基體長度與纖維長度的比值)來確定UC的尺寸。結(jié)果顯示，UC中基體相越大，t值越小，其對t值的影響范圍約為1.6 μm。

圖12 RVE 體積，纖維扭曲度和UC 結(jié)構(gòu)與RVE 應(yīng)力影響區(qū)長度關(guān)系Fig. 12 Relationship among RVE volume, fiber tortuosity, UC structure and the length of RVE

對比圖3 可知，對RVE 衰減長度t的影響因素有很多，但是影響程度為VCCF>扭曲度 >Lm/LCCF>VRVE。

2.3 HE 算法的模量均一化響應(yīng)

由于CCF 在基體中的隨機(jī)分散，復(fù)合結(jié)構(gòu)中細(xì)觀層面的結(jié)構(gòu)模量存在差異性，這主要體現(xiàn)在纖維和基體界面層的模量擾動。過大的擾動也給結(jié)構(gòu)模量均一化過程帶來了相應(yīng)的誤差。本文研究6 組方向模量，包括3 個方向楊氏模量、3 個剪切模量和3 個泊松比。

圖13 所示為尺寸VRVE=0.5 mm3，VCCF=1.24 以及旋轉(zhuǎn)角度α=45°、β=90° RVE 中的6 個方向模量和3 個泊松比的計算結(jié)果。從圖13 中可以看出：E1′、E2′的均值在270~330 GPa 之間，由于受到旋轉(zhuǎn)角度的影響，E3′均值模量略小，其范圍在230~300 GPa之間；G1′2′、G2′3′和G3′1′均值在500 GPa 以上；泊松比ν1′2′、ν2′3′和ν3′1′的均值在0.22~0.27 之間，并且基體相分布略大于纖維相，與實際情況相符。

圖13 VCCF=1.24%以及旋轉(zhuǎn)張量角度α=45°，β=90°時的模量空間隨機(jī)分布Fig. 13 Spatial random distribution of modulus withVCCF=1.24% and rotation tensor angleα=45° andβ=90°

RVE結(jié)構(gòu)中方向模量的平均響應(yīng)主要受到旋轉(zhuǎn)角度(見圖3)的影響，因此通過固定一個旋轉(zhuǎn)角度(α或β)來研究方向模量受到另一個角度旋轉(zhuǎn)的變化，旋轉(zhuǎn)角度α和β在RVE中的取值范圍均為0°~90°之間。圖14和圖15分別顯示了將旋轉(zhuǎn)角度α和β固定(45°)，方向模量隨另一個角度的變化情況。結(jié)果顯示，復(fù)合結(jié)構(gòu)中平均剪切模量變化范圍為550~600 GPa之間，平均楊氏模量變化范圍為280~320 GPa之間，泊松比的平均變化范圍為0.231~0.257。

圖14 隨角β改變的平均方向模量的變化Fig. 14 Average directional modulus varying with rotation angleβ

圖15 隨角α改變的平均方向模量的變化Fig. 15 Average directional modulus varying with rotation angleα

由圖14和圖15可見：G1′2′、G2′3′和E2’受角度β的變化較大，G2′3′、E1′和E2′受角度α的影較大；而泊松比均一化結(jié)果是隨機(jī)分布的(見圖14(b))，與旋轉(zhuǎn)角度變化沒有明顯關(guān)系；當(dāng)α=45°時，6個方向模量隨β的0-90°變 化 值 的 大 小 關(guān) 系 為G2'3'>G1′2′>G3′1′>E2′>E1′>E3'；β=45°時，6個方向模量隨α的0°~90°變化值的大小關(guān)系為G2′3′>E2′>E1′>G1′2′>G3′1′>E3'；受兩個旋轉(zhuǎn)角度影響最大的方向模量均為G2′3′，它隨兩個角度的變化值分別為50 GPa和72 GPa。表明G2′3′對于旋轉(zhuǎn)角度更敏感，無論是哪個角度的旋轉(zhuǎn)，在2′3′平面上，有更多的隨機(jī)短纖維排布由緯向轉(zhuǎn)變?yōu)閺较颍蛘哂蓮较蜣D(zhuǎn)變成緯向。

除此之外，為驗證本文中方向模量均一化的準(zhǔn)確性，與拉伸實驗樣本(見圖7)測定的結(jié)果進(jìn)行了對比，對比結(jié)果如表2 所示。

表2 當(dāng)α=β=45°時，均一化模量與實驗對比Table 2 Comparison of the homogenization modulus with the experiment when α=β=45°

根據(jù)表2 中所示，實驗測定的和有限元模量均一化計算出的結(jié)果差異在2~7 GPa 之間，并且實驗測定的數(shù)值比有限元計算出的數(shù)值偏大，可以根據(jù)圖11(a)中的結(jié)果來說明，因為實驗測定的應(yīng)力影響區(qū)厚度較數(shù)值分析的大，而應(yīng)力影響區(qū)存在較大的集中應(yīng)力，因此會對模量的均一化評估產(chǎn)生偏大的影響。

3 結(jié)論

本文提出一種采用Hotelling expansion 模型進(jìn)行CCF 的三維隨機(jī)填充的均一化方法，并對該方法生成的RVE 結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。首先通過數(shù)字散斑全場應(yīng)變測量儀測定了CCF 增強環(huán)氧樹脂基復(fù)合結(jié)構(gòu)的衰減長度，并利用數(shù)值模擬的方法研究衰減長度的影響因素。然后利用所提出的均一化模型研究了短纖維空間分布引起的方向模量各向異性響應(yīng)行為。根據(jù)數(shù)值實驗結(jié)果，討論了旋轉(zhuǎn)角度對短纖維的空間隨機(jī)分布對復(fù)合材料方向模量的影響。得出主要結(jié)論如下：

1)提出一種有效預(yù)測隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料方向模量均一化的解決方案。在研究復(fù)合材料均一化方向模量時，由于不同方向模量與旋轉(zhuǎn)角度之間存在的敏感度各異，導(dǎo)致各方向模量均一化結(jié)果隨旋轉(zhuǎn)角度變化存在大小差異。

2)短纖維在空間上的隨機(jī)分布狀態(tài)的不同導(dǎo)致了RVE 衰減長度尺寸的變化。受實驗所需成本和時間的限制，僅對RVE 體積VRVE、纖維扭曲度，UC 結(jié)構(gòu)與衰減長度t的測試，并得出其相應(yīng)的變化情況。數(shù)值計算結(jié)果對比實驗數(shù)據(jù)的結(jié)果較小主要是由于除去內(nèi)嵌的纖維，真實的材料中存在氣泡，夾雜物等微小孔洞，而數(shù)值分析并沒有將其考慮進(jìn)去。這一干擾效應(yīng)的屏蔽及其對有效數(shù)值計算精度的修正還有待于進(jìn)一步的研究。