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導(dǎo)數(shù)中隱零點(diǎn)問題的處理策略

2023-04-05 02:35
高中數(shù)理化 2023年3期
關(guān)鍵詞:等價(jià)實(shí)數(shù)零點(diǎn)

田 鵬

(重慶市長壽中學(xué))

導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用是高中階段的難點(diǎn),更是高考的高頻考點(diǎn),其中有很多問題都與函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān),處理這類問題需要有較強(qiáng)的代數(shù)變形能力,對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求很高.特別地,函數(shù)(或?qū)Ш瘮?shù))的零點(diǎn)不可精確求解的問題處理起來更為棘手.對此,本文探討幾種處理隱零點(diǎn)問題的策略.

1 基本概念

零點(diǎn)設(shè)函數(shù)y=f(x),若實(shí)數(shù)x0滿足f(x0)=0,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).從函數(shù)圖像上看,函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)即為其圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

隱零點(diǎn)若x0為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn),但x0無法精確求解,則稱x0為隱藏的零點(diǎn),即隱零點(diǎn).有些函數(shù)的零點(diǎn)表面上看不可求,但結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上可以求出,這類零點(diǎn)不能稱為隱零點(diǎn).例如,x=0不能稱為函數(shù)f(x)=ex-x-1的隱零點(diǎn).

零點(diǎn)存在定理設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在(a,b)上的連續(xù)函數(shù),且滿足f(a)f(b)<0,則存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)=0.換句話說,函數(shù)y=f(x)在(a,b)上存在零點(diǎn).結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),還可以精確判斷函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的零點(diǎn)個數(shù).另外,該定理往往用來判斷零點(diǎn)所屬區(qū)間.

2 策略探究

2.1 設(shè)而不求,整體代換

1)自變量代換

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)m的值;

(2)當(dāng)m≥1時,證明:f(x)>g(x)-x3.

(2)因?yàn)閒(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2,所以f(x)>g(x)-x3等價(jià)于ex+m-x3>ln(x+1)+2-x3,即ex+m-ln(x+1)-2>0.當(dāng)m≥1時,ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2,所以不等式等價(jià)于ex+1-ln(x+1)-2>0.

設(shè)函數(shù)h(x)=ex+1-ln(x+1)-2,則h(x)的定義域?yàn)?-1,+∞),則只需要證明hmin(x)>0.,易證函數(shù)h′(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)?>0,所以由零點(diǎn)存在定理知存在唯一的實(shí)數(shù)x0∈,使得h′(x0)=0,即.所以當(dāng)x∈(-1,x0)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,hmin(x)=h(x0)=ex0+1-ln(x0+1)-2.由可得x0+1=-ln(x0+1),從而

2)參數(shù)代換

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)x0,證明:.

當(dāng)a>2 時,函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(求解過程略).

(2)注意到f(1)=0,故由(1)知a>2.因?yàn)?設(shè)h(x)=2ax2-2ax+1,其對稱軸為,且h(0)=h(1)=,記h(x)=0的兩根分別為,則0<x1<,又由(1)知f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增,且f(x)在(0,1)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x0,所以x0=x1∈(0,,從而

2.2 等價(jià)變形,化隱為顯

1)同構(gòu)變形

(1)當(dāng)a=e時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

(2)因?yàn)閒(x)≥1,所以aex-1-lnx+lna≥1,則elna+x-1-lnx+lna≥1,則

elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x.

設(shè)函數(shù)g(x)=ex+x,則不等式等價(jià)于g(lna+x-1)≥g(lnx),易證g(x)在R 上單調(diào)遞增,則不等式等價(jià)于lna+x-1≥lnx.設(shè)函數(shù)h(x)=lna+x-1-lnx,則不等式等價(jià)于hmin(x)≥0.因?yàn)?當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以hmin(x)=h(1)=lna,則lna≥0,解得a≥1,故a的取值范圍為[1,+∞).

2)凹凸變形

證明f(x)>1等價(jià)于x2ex-lnx>1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),所以不等式等價(jià)于

3 小結(jié)

隱零點(diǎn)問題常常與不等式的證明結(jié)合在一起,難度較大,是考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.處理這類問題的基本策略是整體代換和化隱為顯,前者需要構(gòu)造關(guān)于隱零點(diǎn)的方程,利用自變量或參數(shù)進(jìn)行整體代換.化隱為顯即是通過等價(jià)變形的手段改變代數(shù)式的結(jié)構(gòu),使得隱零點(diǎn)顯現(xiàn)出來,進(jìn)而解決問題.本文僅介紹了兩種化隱為顯的策略.當(dāng)然,化隱為顯的方法還有很多,留給讀者自行探索.

(完)

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