摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》有三個應(yīng)當(dāng)重視的“細(xì)節(jié)”問題：“課程目標(biāo)”的論述應(yīng)當(dāng)講究邏輯，從而避免理解上的困難；核心素養(yǎng)的“三會”闡釋以及與教學(xué)目標(biāo)撰寫相關(guān)的“行為動詞分類”應(yīng)當(dāng)?shù)~語概念，注重實質(zhì)意義，從而避免束縛一線教師的思想；“實例”的編寫應(yīng)當(dāng)發(fā)揮更大的作用，從而幫助大家更好地理解新課標(biāo)的基本理念，并為實際的數(shù)學(xué)教學(xué)提供必要的范例。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)新課標(biāo)；課程目標(biāo)；“三會”；行為動詞；實例

在“數(shù)學(xué)教育雜談”系列的前一篇文章［1］中，筆者從宏觀的角度談了對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“數(shù)學(xué)新課標(biāo)”）的一些思考。本文則從相對微觀的角度進(jìn)一步談?wù)剶?shù)學(xué)新課標(biāo)中的幾個“細(xì)節(jié)”問題，從而幫助大家更好地學(xué)課標(biāo)、用課標(biāo)。

一、從邏輯的角度看“課程目標(biāo)”的論述

胡適先生說過：“內(nèi)行的教育家，因為專做這一項事業(yè)，眼光總注射在他的‘本行，跳不出習(xí)慣法的范圍。他們籌劃的改革，總不免被成見拘束住，很不容易有根本的改革?！睌?shù)學(xué)新課標(biāo)中“課程目標(biāo)”部分的論述便未能跳出原有的概念框架，包括局限于從數(shù)學(xué)學(xué)科的視角進(jìn)行分析思考，更不恰當(dāng)?shù)貙ⅰ靶屡f”指導(dǎo)思想做了簡單組合。這是筆者在本系列的前一篇文章中表達(dá)過的觀點。除此以外，筆者以為，相關(guān)論述從邏輯的角度看，容易導(dǎo)致理解上的困難，包括直接的誤讀。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)中“課程目標(biāo)”部分的開頭是：“課程目標(biāo)的確定，立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人價值。”［2］這句話其實是從一般（而非數(shù)學(xué)）課程的角度表明了我們應(yīng)當(dāng)如何理解“課程目標(biāo)”。也就是說，無論哪一門課程的教育，都應(yīng)該很好地落實“育人”這一教育的整體目標(biāo)，特別是應(yīng)該“立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展”。

從邏輯的角度看，接下來先論述“核心素養(yǎng)內(nèi)涵”，應(yīng)當(dāng)說是十分合理的。因為，如果我們認(rèn)定課程目標(biāo)應(yīng)該“立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展”，那么從數(shù)學(xué)教育的角度對如何理解所說的“學(xué)生核心素養(yǎng)”，也即什么是“（數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的）學(xué)生核心素養(yǎng)”作出清楚的說明，就為我們理解數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)提供了具體解答。

然而，令人費解的是，盡管相關(guān)論述已清楚地表明了這樣一個觀點，即我們應(yīng)將“三會”看成“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)”的主要含義，數(shù)學(xué)新課標(biāo)卻將這部分內(nèi)容用小標(biāo)題概括為“核心素養(yǎng)的構(gòu)成”，并在這部分內(nèi)容后面并列地加上了小標(biāo)題為“在小學(xué)與初中階段的主要表現(xiàn)”的內(nèi)容。既然已經(jīng)對“核心素養(yǎng)的構(gòu)成”做了具體說明，為什么還要加上“核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)”這樣一項內(nèi)容？當(dāng)然，如果從詞義上進(jìn)行分析，“構(gòu)成”與“主要表現(xiàn)”確實存在一定的差異。但是，究竟為什么要對此作出特別的強調(diào)呢？筆者猜測，采取這樣一種“遞進(jìn)”的論述方式的主要原因，可能是為了表明對“核心素養(yǎng)內(nèi)涵”，沒有停留于一般性的論述，而密切聯(lián)系數(shù)學(xué)學(xué)科作出了進(jìn)一步的分析思考。但如果真是這樣的話，為什么沒有直接使用“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”這樣一個詞語？另外，采取這樣一種“遞進(jìn)”的論述方式是否意味著所說的“三會”不能被看成“核心素養(yǎng)”在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的主要含義？如果是，則顯然與前面的論述形成了直接的矛盾。

進(jìn)而，如果將注意力集中到“（核心素養(yǎng)）在小學(xué)與初中階段的主要表現(xiàn)”這一部分的具體內(nèi)容上，還可以發(fā)現(xiàn)有更多問題需要深入地分析思考。

第一，將核心素養(yǎng)在小學(xué)與初中階段的主要表現(xiàn)概括地表述為“小學(xué)階段側(cè)重對經(jīng)驗的感悟，初中階段側(cè)重對概念的理解”［3］是否恰當(dāng)？只需稍做思考就可發(fā)現(xiàn)，這一結(jié)論不僅需要進(jìn)一步說明（比如：何謂“經(jīng)驗的感悟”？它與“經(jīng)驗的積累”有什么不同？），也有明顯的局限性（比如：除去“概念的理解”，我們顯然也應(yīng)十分重視“提出與解決問題的能力”）。

第二，具體闡述的核心素養(yǎng)在小學(xué)與初中階段的15個主要表現(xiàn)，基本上是與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“數(shù)學(xué)舊課標(biāo)”）闡述的10個“數(shù)學(xué)核心概念”一致的（只是在小學(xué)增加了“量感”，在初中增加了“抽象能力”，并且將“推理能力”劃分為“推理意識”和“推理能力”，將“數(shù)據(jù)分析觀念”劃分為“數(shù)據(jù)意識”和“數(shù)據(jù)觀念”，將“模型思想”劃分為“模型意識”與“模型觀念”）。那么，它們與“三會”之間有什么關(guān)系？數(shù)學(xué)新課標(biāo)中的相關(guān)論述，將它們分別歸屬于“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的思維”和“數(shù)學(xué)的語言”。但這顯然進(jìn)一步強化了將“三會”絕對地分割開來的做法，更是與數(shù)學(xué)新課標(biāo)強調(diào)的核心素養(yǎng)的“整體性、一致性和階段性”直接相沖突。對此，筆者將在下文做進(jìn)一步分析。

論述了“核心素養(yǎng)內(nèi)涵”之后，數(shù)學(xué)新課標(biāo)又論述了“總目標(biāo)”。但是，根據(jù)“課程目標(biāo)”開頭的那句話，關(guān)

于“核心素養(yǎng)內(nèi)涵”的分析已經(jīng)為我們認(rèn)識數(shù)學(xué)教育的“總目標(biāo)”提供了具體解答，為什么又要專門論述“總目標(biāo)”呢？“總目標(biāo)”的第一句話“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”符合上述邏輯，很好理解。但是，之后為什么要加上“學(xué)生能：（1）獲得適應(yīng)未來生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。（2）體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法分析問題和解決問題。（3）對數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價值，欣賞數(shù)學(xué)美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神”［4］這樣幾句話呢？

不難發(fā)現(xiàn)，這幾句話是對數(shù)學(xué)舊課標(biāo)強調(diào)的“四基”“四能”與“情感態(tài)度與價值觀”的概述。因此，加上這幾句話，可能是出于“繼承”的需要。但是，我們究竟應(yīng)該如何理解過去強調(diào)的目標(biāo)與現(xiàn)今強調(diào)的“核心素養(yǎng)”之間的關(guān)系？

當(dāng)然，“總目標(biāo)”又可被看成是相對于“學(xué)段目標(biāo)”而言的，而“學(xué)段目標(biāo)”正是“課程目標(biāo)”的第三項內(nèi)容。但是，在此我們?nèi)匀幻媾R一個重要的問題：在論述各個“學(xué)段目標(biāo)”時，究竟應(yīng)當(dāng)圍繞“三會”，還是15個“主要表現(xiàn)”，或是“四基”“四能”和“情感態(tài)度與價值觀”進(jìn)行分析？

在此還應(yīng)特別提及一個密切相關(guān)的觀點，即“四基”“四能”“數(shù)學(xué)核心概念”與“三會”等構(gòu)建了關(guān)于數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的一個層層遞進(jìn)的完整體系：“首先，‘三會是這個目標(biāo)體系的頂層目標(biāo)或終極目標(biāo)……其次，為達(dá)成‘三會，設(shè)置了通往‘三會或為‘三會提供支撐的中間目標(biāo)或過渡性目標(biāo)，稱為核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)……最后，第三層目標(biāo)是達(dá)成核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的支撐目標(biāo)或過渡性目標(biāo)，也就是大家熟悉的‘四基、四能目標(biāo)?！保?］從形式上看，這一論述似乎有一定的道理，并且為我們很好地解決上述矛盾提供了現(xiàn)實的可能性，但事實上反映了對“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識”的一種誤解。因為，一個真正的層次結(jié)構(gòu)，在各個層次之間應(yīng)當(dāng)存在密切的聯(lián)系，特別是，較低層次的概念應(yīng)是較高層次概念的具體體現(xiàn)，并且為其實現(xiàn)提供必要的保證和具體的途徑，反之，較高層次的概念應(yīng)對較低層次的概念進(jìn)行滲透與提供指導(dǎo)。而從上述解釋中，卻只能看到一種“層層加碼”的現(xiàn)象，即概念“簡單堆砌”，相互之間缺乏內(nèi)在的聯(lián)系，因而不能形成一個真正的體系。由以下對照比較，讀者便可對此有更好的認(rèn)識：

按照數(shù)學(xué)新課標(biāo)中“課程目標(biāo)”這一部分的論述方式，可對所提及的各個主要概念之間的關(guān)系，包括論述的次序，作出如圖1所示的梳理。

從邏輯的角度看，關(guān)于“數(shù)學(xué)教育目標(biāo)（課程目標(biāo)）”的論述則應(yīng)是如下頁圖2所示的層層推進(jìn)的體系。

進(jìn)而，如果認(rèn)定“核心素養(yǎng)導(dǎo)向”是這方面最重要的指導(dǎo)思想，那么，我們顯然就應(yīng)當(dāng)按照這一思想對上述體系做進(jìn)一步的詮釋，即采取如圖3所示的論述方式。

總之，“課程目標(biāo)”這一部分的具體論述不應(yīng)滿足于概念的簡單堆砌，更不應(yīng)定位于“新舊思想”的簡單組合。相反，為取得真正的進(jìn)步，我們必須跳出已有的概念框架，從更高的層面進(jìn)行深入的分析研究。對此，筆者引用李可染先生的以下論述：“以最大的功力打進(jìn)去，以最大的勇氣打出來?！边@句話盡管是就藝術(shù)創(chuàng)造而言的，但仍清楚地表明了什么是我們在課標(biāo)修訂方面的真正需要。

二、從“詞語和意義”的角度看核心素養(yǎng)的闡釋與教學(xué)目標(biāo)的撰寫

以上分析已經(jīng)使我們感覺到，將作為數(shù)學(xué)教育“終極目標(biāo)”的核心素養(yǎng)界定為“三會”既無必要，也不合適。實際上，就內(nèi)容而言，“三會”重復(fù)了蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫?qū)?shù)學(xué)主要特征的分析，即所謂的“抽象性、嚴(yán)密性與應(yīng)用的廣泛性”。而且，“三會”也未能很好地體現(xiàn)“核心素養(yǎng)導(dǎo)向”——跳出狹隘的專業(yè)視角，從更大的范圍去認(rèn)識數(shù)學(xué)教育的價值。

在此，我們還應(yīng)清楚地看到將“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的思維”“數(shù)學(xué)的語言”人為地割裂開來的另一個局限性：容易造成理解上的困難。

具體地，數(shù)學(xué)新課標(biāo)中關(guān)于“三會”的論述包括：［6］

會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界：數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識與探究現(xiàn)實世界的觀察方式……

會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界：數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實世界的思考方式……

會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界：數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實世界的表達(dá)方式……

按照這樣的論述，所謂的“三會”主要涉及三個關(guān)鍵詞：“觀察”“思考”和“表達(dá)”。對此，分別借助“認(rèn)識與探究”“理解與解釋”和“描述與交流”作出進(jìn)一步的說明。又由于這三者都可被歸屬于“人類對現(xiàn)實世界的認(rèn)識”，因而，我們可以作出如圖4所示的進(jìn)一步概括。

顯然，即使單純地從詞語的角度進(jìn)行分析，我們也可清楚地看出這一做法的局限性，即詞語應(yīng)用上的“捉襟見肘”與“交叉重疊”。例如，既然這三者都可被歸屬于“人類對現(xiàn)實世界的認(rèn)識”，那么，作為進(jìn)一步的具體說明，顯然就不應(yīng)在較低的層次再次使用“認(rèn)識”這個詞語。再則，如果不借助其他概念，我們顯然也無法對“探究”這一概念的準(zhǔn)確含義作出具體的說明。

當(dāng)然，相對于單純的詞語分析而言，我們又應(yīng)更加重視這一做法是否有利于人們在這一方面認(rèn)識的發(fā)展和深化，包括是否應(yīng)對“觀察”“思考”和“表達(dá)”作出絕對的區(qū)分。

具體地，絕對地區(qū)分開這一做法顯然是與認(rèn)識活動的整體性直接相沖突的，并且不利于人們清楚地認(rèn)識思維在認(rèn)識活動中的核心地位。為了更清楚地說明這一點，以下從整體的視角指明人類認(rèn)識活動的一些重要特點：

第一，任何認(rèn)識活動都同時涉及“主體”與“對象”這兩個方面。對這兩者，我們又都應(yīng)當(dāng)做廣義的理解：首先，“人”不僅指單獨的“個體”，也包括“群體”；其次，“現(xiàn)實世界”也不局限于自然界，還包括波普爾所謂的“世界三”（或者說“客觀知識”）。顯然，依據(jù)后一事實，我們也可更好地認(rèn)識“反思”與“再認(rèn)識”對于認(rèn)識活動的特殊重要性。

第二，人類對現(xiàn)實世界的認(rèn)識并非鏡面式的反射，相反，主體在這一過程中也發(fā)揮了十分重要的作用。用建構(gòu)主義的話來說就是，認(rèn)識是主體的主動建構(gòu)，是一種意義賦予。從這一角度，我們也可更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對于提升認(rèn)識能力的重要性。因為，除了主要著眼于事物和現(xiàn)象的量性特征以外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也十分有益于抽象能力的提升，包括逐步養(yǎng)成這樣一種認(rèn)識方式：借助于概念和理論去認(rèn)識，從而獲得更深刻的認(rèn)知，而不是局限于單純的“經(jīng)驗積累”。

由此，我們也可清楚地認(rèn)識到“觀察”“思考”與“表達(dá)”之間存在的重要聯(lián)系：人們總是通過“有色眼鏡”去觀察世界，也即離不開一定的概念體系或語言；進(jìn)而，人們其實不是用眼睛在看，而是用頭腦在“看”。這就是認(rèn)識活動建構(gòu)性質(zhì)的集中體現(xiàn)，更清楚地表明了思維在認(rèn)識活動中的核心地位。實際上，通過認(rèn)知的信息加工理論，也可很好地認(rèn)識這一點：信息的輸入（觀察）和輸出（表達(dá)）都離不開包括現(xiàn)實、語言在內(nèi)的媒介，同步還伴隨著加工（思考），并以此為核心。

綜上可見，就作為數(shù)學(xué)教育“終極目標(biāo)”的核心素養(yǎng)這一論題而言，不應(yīng)將論述重點放在單純的“詞語創(chuàng)新”上，而應(yīng)更加重視對問題本身（也即如何認(rèn)識數(shù)學(xué)教育的價值）的分析。對此，筆者引用著名數(shù)學(xué)家、教育家陳重穆先生在20世紀(jì)90年代提出的一個主張：“淡化形式，注重實質(zhì)。”這一主張告訴我們，要適度地“淡化概念”，即“不要單純在概念本身上下功夫”，不要把概念看成是“百分之百的不可變動、神圣不可侵犯”，而應(yīng)把重點放在對實質(zhì)的領(lǐng)悟之上。［7］

進(jìn)而，筆者想特別提及這樣一點：詞語使用上的“隨意性”還可能對人們的積極思維造成一定的消極影響。下面就以數(shù)學(xué)新課標(biāo)的附錄2“有關(guān)行為動詞的分類”與相關(guān)的解讀為例，做簡要說明。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)在附錄2中，將與每堂課或者每個具體教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)有關(guān)的行為動詞分為“描述結(jié)果目標(biāo)的”與“描述過程目標(biāo)的”兩類，并將前者分為“了解”（或“知道”“初步認(rèn)識”）、“理解”（或“認(rèn)識”“會”）、“掌握”（或“能”）、“運用”（或“證明”“應(yīng)用”）四個層次，將后者分為“經(jīng)歷”（或“感受”“嘗試”）、“體驗”（或“體會”）、“感悟”、“探索”四個層次。［8］

對此，相關(guān)人士給出如下建議：“當(dāng)我們確定好一節(jié)課各個維度目標(biāo)的具體內(nèi)容后，接下來就要根據(jù)目標(biāo)內(nèi)容的屬性，從結(jié)果目標(biāo)行為動詞和過程目標(biāo)行為動詞中，選擇相應(yīng)的目標(biāo)行為動詞進(jìn)行匹配，這樣就可以寫出規(guī)范的教學(xué)目標(biāo)?！边@就要求我們在撰寫教學(xué)目標(biāo)時，采取“行為動詞+目標(biāo)內(nèi)容”的形式，并且讓行為動詞與目標(biāo)內(nèi)容相匹配。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出六個方面的匹配建議（要求）：“一是基礎(chǔ)知識目標(biāo)內(nèi)容與行為動詞的匹配；二是基本技能目標(biāo)內(nèi)容與行為動詞的匹配；三是基本思想目標(biāo)內(nèi)容與行為動詞的匹配；四是基本活動經(jīng)驗方面：我們習(xí)慣上使用‘積累；五是數(shù)學(xué)‘四能方面：我們習(xí)慣上使用‘經(jīng)歷；六是核心素養(yǎng)方面：我們習(xí)慣上使用‘發(fā)展?！保?］

筆者的看法是：強調(diào)認(rèn)識的發(fā)展性與階段性當(dāng)然是對的，但是，我們顯然也應(yīng)該看到“過程”與“結(jié)果”以及不同水平之間的辯證關(guān)系；作為指導(dǎo)性文件，重視詞語的準(zhǔn)確性顯然也沒有錯，但是，我們?nèi)绻Ｍ嚓P(guān)文件確能對廣大數(shù)學(xué)教育工作者，特別是一線教師發(fā)揮切實的指導(dǎo)作用，就應(yīng)該在這一方面采取十分慎重的態(tài)度。因為，不僅上述動詞的分類很難把握，而且匹配的要求也很難實現(xiàn)——有興趣的讀者不妨具體嘗試一下，即就某個具體的教學(xué)內(nèi)容，按上述要求去撰寫一個“合格的”教學(xué)目標(biāo)，看看你能否很好地完成這個任務(wù)，這又會占用你多少的時間和精力。如果將此當(dāng)成一線教師必須理解、執(zhí)行的硬性規(guī)范，那么，即使在最好的情況下，也只會造成一種“新八股”。對此，筆者想特別借用小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師俞正強老師的經(jīng)歷和感受來說明：［10］

我是1986年參加工作的……當(dāng)時的教學(xué)目標(biāo)稱為“雙基”，即基本知識、基本技能……

到了2000年左右，新課程改革了……改革的顯著之處在于將“雙基目標(biāo)”改為“三維目標(biāo)”……于是，我努力將自己的教學(xué)目標(biāo)調(diào)整為“三維目標(biāo)”?？墒?，從此我發(fā)現(xiàn)，寫教案的時候，我已經(jīng)不會寫教學(xué)目標(biāo)了。因為我發(fā)現(xiàn)每節(jié)課都有特定的基本知識、基本技能，卻很難區(qū)分出每節(jié)課的思想方法。當(dāng)思想方法成為教學(xué)目標(biāo)的時候，發(fā)現(xiàn)上節(jié)課也這樣，下節(jié)課也這樣。更痛苦的是，實在不知道這節(jié)課的情感態(tài)度價值觀與上節(jié)課有何不同……就這樣迷茫了，在迷茫中努力地教學(xué)……

到2010年，好像又修改了，三維目標(biāo)還是不對。作為一個一線數(shù)學(xué)教師，很認(rèn)真地接受新的“四基目標(biāo)”……讓我抓狂的是基本經(jīng)驗，不知道如何去落實……教師們看我一臉困惑的樣子，告訴我：教書啊，別想那么多……

……從2016年開始，“四基目標(biāo)”好像又不大重要了，代之以“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”。因此，討論環(huán)節(jié)有位專家問我：“你這節(jié)課，培養(yǎng)了什么核心素養(yǎng)？”我當(dāng)時就被問蒙了……盡管課上成功了，大家也認(rèn)為上得挺成功的，但面對這個問題，我真的不知從何說起。

這個實例表明，現(xiàn)實中更可能出現(xiàn)的一個情況是，所說的規(guī)范只會束縛一線教師的思想，即給一線教師帶上一個沉重的文字枷鎖。

三、從指導(dǎo)性的角度看“實例”的編寫

案例的重要性現(xiàn)已獲得越來越廣泛的認(rèn)同。這也可由以下事實得到進(jìn)一步的證實：數(shù)學(xué)新課標(biāo)的附錄1“課程內(nèi)容中的實例”一共包括93個實例，其篇幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出正文中關(guān)于任一論題的論述。

但在這一方面，我們也可看到一些簡單化的認(rèn)識與不恰當(dāng)?shù)淖龇?，特別是，將“案子”簡單等同于“案例”，即滿足于各種實例的收集，卻忽視了還應(yīng)對此作出深入分析，包括從整體上認(rèn)真研究應(yīng)當(dāng)如何從事案例研究，以及如何更好地發(fā)揮實例的作用。下面對此作出具體分析。

首先，有關(guān)實例是編寫在數(shù)學(xué)新課標(biāo)的附錄中的，因此，總體而言，這些實例就應(yīng)起到幫助人們更好地理解數(shù)學(xué)新課標(biāo)基本理念或主要思想的作用。而義務(wù)教育課程的基本定位是“規(guī)定了教育目標(biāo)、教育內(nèi)容和教學(xué)基本要求，體現(xiàn)國家意志，在立德樹人中發(fā)揮著關(guān)鍵作用”［11］，因此，這些實例的作用就應(yīng)集中于這樣三個方面：（1）如何通過各個內(nèi)容的教學(xué)很好地落實數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，包括更好地理解基本目標(biāo)？（2）教育內(nèi)容的組織如何很好地體現(xiàn)相應(yīng)的“課程理念”，特別是課程內(nèi)容的“整體性、一致性與階段性”？（3）如何按照數(shù)學(xué)新課標(biāo)在教學(xué)方面的基本要求從事各個內(nèi)容的教學(xué)，特別是“重視單元整體教學(xué)設(shè)計”“強化情境設(shè)計與問題提出”以及“進(jìn)一步加強綜合與實踐（跨學(xué)科學(xué)習(xí)）”等要求。［12］

正是基于這樣的認(rèn)識，筆者以為，數(shù)學(xué)新課標(biāo)中實例（及其說明）的編寫就有較大的改進(jìn)余地，特別是，應(yīng)當(dāng)通過實例幫助大家更好地理解數(shù)學(xué)新課標(biāo)的基本理念，并為實際的數(shù)學(xué)教學(xué)（包括教材編寫——實際上是一種教學(xué)設(shè)計）提供必要的范例。

其次，在本系列的前一篇文章［13］中，筆者提及，強調(diào)“課程”的視角容易造成對各種與教學(xué)有關(guān)的問題不夠重視的后果。從這一角度進(jìn)行分析，數(shù)學(xué)新課標(biāo)中實例的編寫也有不少需要改進(jìn)的地方。以下結(jié)合三個實例做具體分析。

一是數(shù)學(xué)新課標(biāo)附錄1中的例4“用不同符號表示變化規(guī)律”及其說明：［14］

在下列橫線上填上合適的數(shù)字、字母或圖形，并說明理由。

【說明】啟發(fā)學(xué)生在解決問題的過程中探索規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生感悟?qū)哂幸?guī)律性的事物，無論是用數(shù)字還是用字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達(dá)形式不同。

首先應(yīng)當(dāng)提及，對“找規(guī)律”（數(shù)學(xué)新課標(biāo)的附錄1中，這方面的實例還有例14“尋找規(guī)律進(jìn)行推斷”［15］）的強調(diào)正是新一輪課程改革實施以來數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域十分普遍的一種現(xiàn)象。但由于相關(guān)實踐有不少明顯的問題或不足之處，就引發(fā)了不少專業(yè)人士的批評。這些批評集中于這樣幾個方面：很多所謂的“規(guī)律”事實上不能被看成真正的規(guī)律，所說的“找規(guī)律”在某些方面更是與科學(xué)的認(rèn)識直接相違背。特別是，我們顯然不應(yīng)依據(jù)幾個簡單的例子，在沒有經(jīng)過進(jìn)一步檢驗和證明的情況下，隨意地去認(rèn)定所謂的“規(guī)律”。也正因此，相關(guān)實例中所說的“找規(guī)律”，事實上就只是一種素樸的認(rèn)識。對此，我們應(yīng)該通過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)進(jìn)行必要的提升。下面通過張奠宙先生對人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的一個“找規(guī)律”內(nèi)容的分析來具體說明：［16］

針對人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級下冊（指的是在2012年之前的一版教材，相關(guān)問題在2012年之后的新版教材中已做了較大的變動）“找規(guī)律”內(nèi)容中所呈現(xiàn)的小旗排列方式（紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅）以及相關(guān)的問題“后面一個應(yīng)是什么？”，張奠宙先生指出：“這里的一個‘應(yīng)字，是不妥當(dāng)?shù)?。它意味著找的?guī)律只有一種（黃紅旗兩個一組間隔出現(xiàn)），第一排的第10面旗只能是黃色……事實上，我們可以找到許多其他的規(guī)律，使得第10面旗是‘紅。例如，“9個一組，周期重復(fù)”，于是第9、第10以及第18、第19，連續(xù)兩面都是紅旗……實際上，找規(guī)律問題是一個開放的問題。任何一個有限序列，都可以生成無限多種的規(guī)律。認(rèn)為只有一個規(guī)律，推斷出‘必須是什么和‘應(yīng)該是什么，把開放題封閉成一個唯一答案的題目，在數(shù)學(xué)上是不對的。”

當(dāng)然，就數(shù)學(xué)新課標(biāo)中的實例而言，教學(xué)的重點已經(jīng)有所轉(zhuǎn)移：集中到了“規(guī)律”的表述。但是，在筆者看來，這恰好十分清楚地表明了“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的思維”“數(shù)學(xué)的語言”之間所存在的重要聯(lián)系。具體地，如果說面對所給的三組符號或圖形注意分析它們的共同點與不同點，可被看成是“數(shù)學(xué)的眼光”的具體體現(xiàn)，那么，除去異同點以外，更加重視由特殊上升到一般，由具體過渡到抽象，即從數(shù)學(xué)的角度揭示它們的共同本質(zhì)，就可被看成是“數(shù)學(xué)的思維”的重要體現(xiàn)。再者，為了對共同本質(zhì)作出清楚的表述，又必須用到“數(shù)學(xué)的語言”，特別是應(yīng)引入“模式”這樣一個概念，因為與“規(guī)律”相比，它應(yīng)當(dāng)說是更加合適的一個詞語。［17］

進(jìn)而，從同一角度進(jìn)行分析，筆者以為，相對于直接列出三組符號或圖形，更加恰當(dāng)?shù)囊粋€做法是，以日常生活中的一些常見情境（如花盆的擺設(shè)、彩旗的懸掛）為背景去引出相關(guān)的問題。因為，數(shù)字或字母符號以及幾何圖形都已達(dá)到一定的抽象層面；而且，具體情境的使用可以起到“去情境”的作用，這是幫助學(xué)生學(xué)會“三會”，特別是“數(shù)學(xué)的表達(dá)”十分重要的一個方面。

二是數(shù)學(xué)新課標(biāo)附錄1中的例10“生活中的數(shù)”及其說明：［18］

某學(xué)校為學(xué)生編號，設(shè)定末尾用1表示男生，用2表示女生。例如，202103321表示“2021年入學(xué)的（3）班的第32號同學(xué)，該同學(xué)是男生”，那么202104302表示什么？

【說明】這個例子啟發(fā)學(xué)生思考，編號提供給我們一些什么信息。例如，一個年級最多有多少個班，一個班最多有多少名學(xué)生。同時，可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計本校的學(xué)生編號方案。

正如以上“說明”中所提及的，這一實例所涉及的事實上是“編碼問題”，從而采用“生活中的數(shù)”這樣一個標(biāo)題就不是很合適，更容易導(dǎo)致這樣一個錯誤的認(rèn)識：此例的教學(xué)仍然應(yīng)當(dāng)以所謂的“數(shù)感”作為主要的指導(dǎo)思想。我們在此所關(guān)注的顯然已經(jīng)不是“對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運算結(jié)果的直接感悟”［19］，而是如何能夠發(fā)現(xiàn)各種編碼中包含的信息。

進(jìn)而，除去“學(xué)生的編號”以外，在各類觀摩教學(xué)中經(jīng)常可以看到的“身份證的認(rèn)識”顯然也具有同樣的性質(zhì)。但是，我們在此又應(yīng)清楚地認(rèn)識到這樣一個事實：無論是“學(xué)生編號”還是“身份證的認(rèn)識”，主要都應(yīng)被看成一種生活常識，而不是真正的數(shù)學(xué)知識。［20］

當(dāng)然，通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生掌握一定的生活常識也應(yīng)得到肯定，但在實現(xiàn)這一目標(biāo)的同時，我們顯然又應(yīng)進(jìn)一步去思考：如何通過同一內(nèi)容的學(xué)習(xí)讓學(xué)生有更大的收獲。

具體地，筆者以為，在相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)明確提及的一個問題是：每個學(xué)生都有名字，要想了解學(xué)校中有多少班級以及班上有多少學(xué)生也非難事，為什么要對學(xué)生進(jìn)行編號？更一般地說，這一方面的教學(xué)工作應(yīng)當(dāng)很好地突出兩個核心問題：（1）什么是編碼？生活中為什么要進(jìn)行編碼？（2）我們應(yīng)如何進(jìn)行編碼？相對于引導(dǎo)學(xué)生刻意地去捉摸從“學(xué)生編號”中可以引出哪些信息，上述問題對提升學(xué)生的思維水平顯然有更大的幫助，包括如何才能更有效、簡潔地進(jìn)行表征。當(dāng)然，對上述問題的具體研究，不應(yīng)脫離學(xué)生的實際水平。例如，就“我們應(yīng)如何進(jìn)行編碼”這一問題而言，應(yīng)滿足于這樣一個認(rèn)識：編碼既不應(yīng)遺漏，也不應(yīng)重復(fù)。對此，在教學(xué)中應(yīng)借助更多實例作出分析和說明。

三是數(shù)學(xué)新課標(biāo)附錄1中的例67“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”及其說明：［21］

知道一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能通過系數(shù)表示方程的根，能用方程的根表示系數(shù)。

【說明】引導(dǎo)學(xué)生了解一元二次方程一般表達(dá)式ax2+bx+c=0（a≠0）的關(guān)鍵是用字母表示方程的系數(shù)，可以寫出方程根的一般表達(dá)式；知道這樣的表達(dá)是算術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)的“分水嶺”。

……

這就是韋達(dá)定理。

學(xué)生在這樣的過程中，感悟符號表達(dá)對于數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，積累用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行一般性推理的經(jīng)驗。

上面的“說明”有一定道理，并清楚地表明了這樣一點：對同一課例可以從不同的角度進(jìn)行分析，這主要取決于我們?nèi)绾慰创龑W(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容的作用或價值。但是，如果我們認(rèn)定“一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)主要是為了幫助學(xué)生“感悟符號表達(dá)對于數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，積累用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行一般性推理的經(jīng)驗”，則顯然沒有很好地體現(xiàn)整體的視角。因為，“一元二次方程”是在初三學(xué)習(xí)的，而學(xué)生早在兩年前就已接觸到“符號表達(dá)”，包括依據(jù)明確的法則對字母表達(dá)式進(jìn)行變形。再則，將求解公式的得出看成“算術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)的‘分水嶺”應(yīng)當(dāng)說也不是很恰當(dāng)，包括在此顯然又應(yīng)對“分水嶺”的準(zhǔn)確含義作出清楚說明。

與此相對照，筆者以為，從整體的角度進(jìn)行分析，在教學(xué)中就應(yīng)特別重視將一元二次方程的學(xué)習(xí)與學(xué)生已掌握的一元一次方程聯(lián)系起來，并清楚地指明這是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個基本路徑，即由簡單到復(fù)雜，同時引導(dǎo)學(xué)生具體分析：它不僅是指由一次上升到二次，也包括由一元過渡到二（多）元，還包括由方程過渡到方程組，乃至由等式過渡到不等式。當(dāng)然，強調(diào)發(fā)展的同時，也應(yīng)注意分析不同方面之間的聯(lián)系。例如，對已在如何求解方程（組）這一方面具備了一定知識和經(jīng)驗的初三學(xué)生來說，一個毋庸特別強調(diào)的事實是，相關(guān)研究應(yīng)當(dāng)集中于如何求解新遇到的一元二次方程，而實現(xiàn)這一目標(biāo)的關(guān)鍵就在于通過適當(dāng)?shù)淖兓盎粗獮橐阎?，即將二次方程轉(zhuǎn)化成一次方程來求解。當(dāng)然，幫助學(xué)生很好地認(rèn)識求解公式的作用，特別是“算法化的思想”，也應(yīng)成為相關(guān)教學(xué)的又一重點。

此外，將一元二次方程求解公式的得出與韋達(dá)定理的發(fā)現(xiàn)混在一起進(jìn)行分析，應(yīng)當(dāng)說也不是一個很好的做法。因為，后者可被看成幫助學(xué)生學(xué)習(xí)“逆向思維”的一個很好契機：既然能由系數(shù)順利地求得一元二次方程的根（如果確實存在），自然也應(yīng)反過來思考是否也能由根求得一元二次方程的系數(shù)。當(dāng)然，在教學(xué)中，應(yīng)為學(xué)生提供從多個方面進(jìn)行嘗試和探索的機會，而不應(yīng)將結(jié)果直接告訴學(xué)生，包括所謂的“假探究，真提示”（詳可見筆者所著《小學(xué)數(shù)學(xué)概念與思維教學(xué)》一書第五章的例9）。

最后要指出的是，對上述三個實例，筆者在先前的文章中都已有所涉及；在這方面，我們更可看到不少相關(guān)的文章。這也就清楚地表明了加強學(xué)習(xí)的重要性。當(dāng)然，我們不應(yīng)簡單地搬用各種現(xiàn)成的結(jié)論，而應(yīng)更加重視如何以此為背景，密切聯(lián)系教學(xué)實踐，更深入地開展研究，包括認(rèn)真地總結(jié)與反思。因為，只有這樣，我們才能取得切實的進(jìn)步，而不至于永遠(yuǎn)處于原地徘徊的狀態(tài)，乃至不斷重復(fù)過去的錯誤。

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（鄭毓信，南京大學(xué)哲學(xué)系，教授，博士生導(dǎo)師。享受國務(wù)院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員。從事學(xué)術(shù)研究與各類教學(xué)工作50多年，包括中學(xué)、大學(xué)、研究生教育與各類教師培訓(xùn)工作，多次赴英、美等國以及我國港臺地區(qū)做長期學(xué)術(shù)訪問或合作研究，赴意大利、荷蘭、德國等國多所著名大學(xué)做專題學(xué)術(shù)講演。出版專著30余部，在國內(nèi)外學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文近500篇，學(xué)術(shù)成果獲省部級獎7次。在數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育、科學(xué)哲學(xué)與科學(xué)教育領(lǐng)域有較大影響。）