【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)等賦予了新的內(nèi)涵。將幾何直觀、空間觀念和推理意識(shí)有機(jī)結(jié)合起來的視覺空間推理，是數(shù)學(xué)課程改革的新方向。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過實(shí)施操作與推理同步、想象與化歸同頻、局部與整體共生等策略，不斷促進(jìn)學(xué)生視覺空間推理能力的培養(yǎng)與提升。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；視覺空間推理；直觀想象；空間推理；空間思維

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）09-0046-05

【作者簡介】陳小彬，江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)分校（江蘇常州，213161）副校長，高級(jí)教師，常州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

隨著義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入以及新一輪課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)等被賦予了新的內(nèi)涵，它們不僅是人類智能結(jié)構(gòu)的重要組成部分，也是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分，還是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。雖然《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）中并未明確提出視覺空間推理的概念，但是它已成為數(shù)學(xué)課程改革的新方向。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要教師增進(jìn)對培養(yǎng)學(xué)生視覺空間推理能力的關(guān)注，這對促進(jìn)學(xué)生空間想象能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展有著重要意義。

一、視覺空間推理的內(nèi)涵

美國行為科學(xué)家考斯林提出，視覺空間推理包括旋轉(zhuǎn)、掃描、平移、縮放、檢查和分類圖像。美國教育心理學(xué)家奧斯本和維特羅克認(rèn)為，視覺空間推理包含表達(dá)、轉(zhuǎn)換、生成、溝通、記錄和反映視覺信息的能力。澳大利亞數(shù)學(xué)教育學(xué)者歐文斯通過大量案例研究，將兒童視覺空間推理分為五類——整體圖形認(rèn)知、動(dòng)態(tài)視覺空間推理、行動(dòng)視覺空間推理、模式視覺空間推理、程序性視覺空間推理。我國華東師范大學(xué)孔企平教授提出：視覺空間推理是一種創(chuàng)造和操作視覺圖像的過程，是空間思維、可視化思維、視覺空間思維、視覺推理、空間推理等能力的總和，對兒童幾何思維的發(fā)展起著不可替代的作用。

二、視覺空間推理的基本特征

視覺空間推理的基本特征如下：一是直覺性，視覺空間推理能力的培養(yǎng)離不開直覺思維的參與，需要引導(dǎo)學(xué)生通過對研究的問題提出合理的猜測和假設(shè)，使他們直接領(lǐng)悟事物的本質(zhì)，往往表現(xiàn)為突然的認(rèn)識(shí)和領(lǐng)悟；二是空間性，視覺空間推理包含空間思維，要求學(xué)生不再單一地關(guān)注點(diǎn)、線、面，而能以多角度、立體式、整體化的方式思考問題，這是一個(gè)充滿豐富想象力和創(chuàng)造性的探究過程；三是動(dòng)態(tài)性，培養(yǎng)學(xué)生的視覺空間推理能力，需要讓他們把握圖形的整體特征，也要讓他們研究圖形動(dòng)態(tài)的過程，還可以通過推理活動(dòng)使他們在腦海中顯示有程序的圖像；四是整體化，培養(yǎng)學(xué)生的視覺空間推理能力，需要學(xué)生從表象入手，關(guān)注幾何直觀的整個(gè)過程，從而整體把握數(shù)學(xué)對象的基本屬性，提升整體性思維；五是邏輯化，邏輯思維是按照一定規(guī)則進(jìn)行的，主要形式是概念、判斷、推理、論證等，基本方法包含分析與綜合、歸納與演繹、概括與抽象、比較與分類、系統(tǒng)化與具體化等。

三、指向兒童視覺空間推理能力培養(yǎng)的教學(xué)建構(gòu)

（一）操作與推理同步，在直觀想象中催生兒童視覺空間推理能力

1.創(chuàng)設(shè)幾何推理情境，于操作中啟發(fā)兒童合理想象

新課標(biāo)指出：推理意識(shí)有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)蘊(yùn)含幾何推理的情境，讓學(xué)生基于經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理想象，再通過量一量、折一折等操作方法進(jìn)行驗(yàn)證，讓幾何推理和直覺思維貫穿整個(gè)研究過程，從而促進(jìn)學(xué)生在直覺思考中建構(gòu)視覺空間推理能力。如教學(xué)蘇教版三上《認(rèn)識(shí)長方形和正方形》一課，教師在鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想長方形的邊的特點(diǎn)之后，提供大小不同的長方形讓他們小組合作進(jìn)行驗(yàn)證，并組織匯報(bào)交流。

匯報(bào)1：我們小組是用量一量的方法來驗(yàn)證長方形對邊相等的。

匯報(bào)2：我們小組是用折一折的方法來驗(yàn)證長方形對邊相等的，上下對折或者左右對折。（邊講解邊示范）

…………

上述教學(xué)中，教師通過創(chuàng)設(shè)基于視覺經(jīng)驗(yàn)的幾何推理情境，讓學(xué)生先猜測、推理長方形的邊的特征，再通過實(shí)踐操作進(jìn)行理性探究，幾何推理和直覺思維的培養(yǎng)貫穿整個(gè)研究過程。

2.搭建空間推理支架，于觀察中引發(fā)兒童直覺思考

兒童的思維特點(diǎn)決定了他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程離不開直覺思考。要培養(yǎng)學(xué)生的視覺空間推理能力，不僅需要學(xué)生對數(shù)學(xué)對象具有感性的認(rèn)識(shí)，還需要教師在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”搭建推理支架，引導(dǎo)他們通過觀察圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，不斷引發(fā)其展開聯(lián)想與直覺思考，使他們能夠基于直觀感知形成理性思考。如教學(xué)蘇教版五下《圓的面積》一課，教師引導(dǎo)學(xué)生探究圓的面積可能與什么有關(guān)。

師（出示圖1）：仔細(xì)觀察圖形，這兩個(gè)正方形的面積與圓的面積有什么關(guān)系？

生：小正方形的面積＜圓的面積＜大正方形的面積。

師：如果圓的半徑是r，可以怎樣表示它們的關(guān)系？

生：2r2＜圓的面積＜4r2……

師：圓的面積如何計(jì)算呢？

學(xué)生自主探究，結(jié)果呈現(xiàn)如下頁圖2所示。

小結(jié)：分割得越細(xì)，拼成的圖形越接近長方形。

上述教學(xué)中，教師讓學(xué)生觀察圓與正方形的關(guān)系，從而直觀推理出圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系，再通過把圓平均分成4等份、8等份、16等份等進(jìn)行探究。通過給學(xué)生搭建推理的支架，不斷促進(jìn)他們視覺空間推理能力的提升。

3.觀照推理想象過程，于分析中激活兒童空間思維

新課標(biāo)指出：空間觀念是形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師應(yīng)注意組織一些讓學(xué)生將看、比、想結(jié)合起來的視覺活動(dòng)，讓圖形的形成過程充分可視化，并引導(dǎo)學(xué)生有目的、有重點(diǎn)、有思考地積極參與，內(nèi)化他們先前通過觀察獲得的經(jīng)驗(yàn)，從而推動(dòng)其空間思維的發(fā)展。如教學(xué)蘇教版六下《認(rèn)識(shí)圓柱》一課，教師引導(dǎo)學(xué)生開展如下探究活動(dòng)。

探究要求：（1）想一想。以長方形小旗的旗桿為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一圈會(huì)形成什么圖形？（2）做一做。同桌合作，一人旋轉(zhuǎn)，另一人觀察，并用語言描述形成圖形的過程。

空間建構(gòu)：（1）點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。A、B是長方形的兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，如果以AB的對邊所在的直線為軸，A點(diǎn)和B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的痕跡分別形成了什么？（2）線的旋轉(zhuǎn)呢？（3）面的旋轉(zhuǎn)呢？

上述教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過想象分別沿著點(diǎn)、線、面旋轉(zhuǎn)后會(huì)形成什么圖形，并具體操作觀察旋轉(zhuǎn)后形成的圖形等，把握幾何推理的關(guān)鍵要素，促進(jìn)他們空間觀念的形成，激活其空間思維的發(fā)展。

（二）想象與化歸同頻，在邏輯驗(yàn)證中催長兒童視覺空間推理能力

1.觀察抽象，在合情與演繹中形成圖形整體認(rèn)知

立體圖形的教學(xué)更要關(guān)注學(xué)生視覺空間推理能力的培養(yǎng)與滲透，首先以動(dòng)態(tài)的方式靈活地向?qū)W生提供圖、表、文字、符號(hào)等多種表示方法，引導(dǎo)他們通過猜想、比較、分析、歸納等方式，了解數(shù)學(xué)對象更多不同方面的特征；然后讓學(xué)生在實(shí)物和幾何圖形間、多維圖形間進(jìn)行溝通、聯(lián)系、提煉，發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)內(nèi)涵，促進(jìn)他們在合情推理與演繹推理中整體認(rèn)識(shí)圖形。如教學(xué)蘇教版六下《認(rèn)識(shí)圓錐》一課，教師出示圖3，讓學(xué)生想象出立體圖形，并圈出可以描述的物體。有學(xué)生提出：可以看成蛋筒，由半徑3厘米、高11厘米可以想象出三角形，旋轉(zhuǎn)得到圓錐。還有學(xué)生說：可以看成易拉罐，由半徑3厘米、高11厘米可以想象出一個(gè)長方形，旋轉(zhuǎn)得到圓柱。教師根據(jù)學(xué)生的描述，動(dòng)態(tài)出示立體圖形。最后進(jìn)行總結(jié)：由線推理出面，再由面想象出立體圖形。要理解立體圖形的內(nèi)涵，需要學(xué)生經(jīng)歷比較、抽象、想象等一系列思維過程，讓學(xué)生在多元聯(lián)系中形成整體認(rèn)知。

2.形數(shù)貫通，在直覺與理性中延展空間想象能力

在小學(xué)數(shù)學(xué)四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域中，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”這兩個(gè)領(lǐng)域在本質(zhì)上是貫通的，而且有些概念本身就具有雙重性，既可以通過數(shù)的視角去表征，也可以通過形的特征來理解。因此，教師教學(xué)時(shí)要注意站在整體視角下貫通數(shù)與形的知識(shí)。這樣，用形的直觀對數(shù)計(jì)算上的規(guī)律進(jìn)行表征，讓學(xué)生看得見、摸得著，有助于他們空間想象能力的延展。如教學(xué)蘇教版四下《乘法分配律》一課，教師引導(dǎo)學(xué)生展開如下問題探究。

問題1：一件上衣22元，一條褲子8元，3套衣服需要多少元？

生：（22+8）×3，或者22×3+8×3。

師：這兩個(gè)算式都是3套衣服的價(jià)格，它們相等嗎？

問題2：這個(gè)圖形（如圖4）的面積是多少平方厘米？

生：8×（9+5），或者8×9+8×5。

師：這兩道算式算出的面積相等嗎？

問題3：王師傅在給墻壁貼瓷磚（如圖5），他一共貼了多少塊瓷磚？

師：你能用幾種方法來解決？

生：兩種，3×（4+6），或者4×3+6×3。

上述教學(xué)中，教師通過三個(gè)問題來例證乘法分配律。問題1通過純粹的數(shù)量關(guān)系說明具有這樣特征的兩組算式結(jié)果是相等的，而其他兩個(gè)問題都借助幾何直觀，用形的直觀把數(shù)計(jì)算上的規(guī)律表征得看得見、摸得著，讓學(xué)生的視覺空間推理能力在直覺與理性中得到了發(fā)展。

3.系統(tǒng)梳理，在散點(diǎn)與體系中建構(gòu)立體思維圖式

在教學(xué)中，要有效培育學(xué)生的視覺空間推理能力，可以通過直觀畫圖、推理想象等方法，有意識(shí)地引導(dǎo)他們掌握畫示意圖和線段圖的要點(diǎn)及技巧，經(jīng)歷借助圖進(jìn)行思考的過程，這有助于他們把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑，從而有效發(fā)展直觀想象和空間推理能力。如教學(xué)蘇教版六下《立體圖形的認(rèn)識(shí)（總復(fù)習(xí)）》時(shí)，教師提出：描述和想象出一個(gè)長方體可以有多種方式，你能想到哪一種？你是怎樣描述的？學(xué)生反饋如下：

生1：我想到了三視圖，并畫出了上面、前面、右面的圖形。

生2：我想到了展開，并畫出了長方體的展開圖。

生3：我想到從一個(gè)頂點(diǎn)的三條線出發(fā)，分別確定一條長、寬、高。

生4：我想到了平移，通過一個(gè)面的平移得到長方體。

在上述教學(xué)中，學(xué)生從三視圖、展開圖、從線想起、圖形運(yùn)動(dòng)等視角進(jìn)行空間推理，想象出相應(yīng)立體圖形的特征，在點(diǎn)、線、面、體的互相轉(zhuǎn)換中建構(gòu)起了立體思維圖式。

（三）局部與整體共生，在動(dòng)態(tài)生成中催化兒童視覺空間推理能力

1.創(chuàng)設(shè)局部圖形問題場，讓整體思維在解疑證惑中建構(gòu)

幾何直觀是直觀想象的結(jié)果，能反映出學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)對象的幾何屬性進(jìn)行整體把握和直接判斷的能力。在學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形本質(zhì)的過程中，教師創(chuàng)設(shè)局部圖形問題場，引導(dǎo)學(xué)生通過“視覺推理—直觀想象—描述驗(yàn)證”等一系列活動(dòng)，聚焦圖形的核心特征，經(jīng)歷“經(jīng)驗(yàn)直覺”猜測、“知性直覺”分析、“理性直覺”求證的全過程，將有助于他們視覺空間推理能力的提升。例如，教師在引導(dǎo)學(xué)生研究三角形特征的過程中，設(shè)計(jì)這樣的問題場：圖（如圖6）中被遮住的會(huì)是什么三角形？為什么？請寫出理由。對于1號(hào)三角形和2號(hào)三角形，學(xué)生都能抓住一個(gè)三角形中有一個(gè)直角和一個(gè)鈍角的特征，準(zhǔn)確地判斷出它們的類別。問題主要集中在3號(hào)三角形上，不少學(xué)生受到前面兩個(gè)三角形的影響，看到上面有一個(gè)銳角就想到銳角三角形。

2.創(chuàng)建空間觀念實(shí)驗(yàn)場，讓空間思維在具身學(xué)習(xí)中進(jìn)化

在空間觀念的主要表現(xiàn)中，新課標(biāo)仍然突出三維圖形與二維圖形的互相轉(zhuǎn)化。在教學(xué)中，教師要注意建構(gòu)有助于培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的實(shí)驗(yàn)場，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)喚醒、實(shí)物觀察、空間體驗(yàn)、動(dòng)手操作等學(xué)習(xí)活動(dòng)，還要注意引發(fā)他們由此及彼的想象等聯(lián)想推理，通過見到或想象到的幾何圖形，積極開啟視覺空間推理的思維活動(dòng)，從而使他們更好地認(rèn)識(shí)相關(guān)圖形，在問題解決過程中真正實(shí)現(xiàn)視覺空間推理能力的培養(yǎng)。

例如，教學(xué)蘇教版六下《圓柱的體積》一課，教師首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想：圓柱體積的大小與圓柱的底面積和高有怎樣的聯(lián)系呢？能不能把圓柱轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的立體圖形來研究？然后，利用模型指導(dǎo)學(xué)生展開實(shí)驗(yàn)操作——將圓柱的底面分成16份（8份）相等的扇形，并沿著圓柱底面的扇形和圓柱的高把圓柱切開，指導(dǎo)學(xué)生小組合作拼裝成已經(jīng)學(xué)習(xí)過的立體圖形。接著，指導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：拼裝后的立體圖形的底面是什么形狀？（近似長方形），整個(gè)立體圖形是什么形狀？（近似長方體）最后，組織學(xué)生展開討論：（1）把圓柱拼成近似長方體后，什么變了？什么沒變？（2）長方體的底面積等于圓柱的哪一部分？高等于圓柱的哪一部分？在探究圓柱體積計(jì)算公式的過程中，教師利用學(xué)具操作讓每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷了分割、拼合的過程，從而使他們積累了一定的空間推理經(jīng)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步借助媒介，鼓勵(lì)學(xué)生充分想象、思考、推理，在一定程度上促進(jìn)了他們視覺推理和空間思維能力的發(fā)展。

實(shí)踐表明，包含活動(dòng)化思維過程的視覺空間推理教學(xué)，從學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)內(nèi)容到學(xué)習(xí)空間，都是基于學(xué)生終身發(fā)展的需要來探索、研究、試驗(yàn)和創(chuàng)造的，有助于激發(fā)學(xué)生多種思維能力的協(xié)同發(fā)展，激活學(xué)生多種非思維性智力因素和非智力因素的協(xié)同發(fā)展，從而促進(jìn)他們的數(shù)學(xué)思維真正實(shí)現(xiàn)多層級(jí)發(fā)展。

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