李亞昆，崔戰(zhàn)友

（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，河南 鄭州 451100）

目前，機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)主要采用電機(jī)、液壓和氣動(dòng)系統(tǒng)。液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具有反應(yīng)速度快、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定、強(qiáng)負(fù)荷力［1-2］等優(yōu)點(diǎn)，較快占據(jù)了主導(dǎo)地位。但也存在一些不足，比如機(jī)器人關(guān)節(jié)尺寸受到限制，不適合重型場(chǎng)合；液壓系統(tǒng)閥控的動(dòng)態(tài)特性不連續(xù)，易受到負(fù)載的擾動(dòng)等，使得機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度下降。與國(guó)外發(fā)達(dá)國(guó)家相比，我國(guó)在機(jī)器人液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)方面的研究起步較晚，存在一定的差距。如何在短時(shí)間內(nèi)提高機(jī)器人液壓驅(qū)動(dòng)控制精度，盡快趕超國(guó)外液壓機(jī)器人先進(jìn)控制技術(shù)，使得機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境中保持較高的輸出精度，是科研人員研究的熱門方向。因此，提升機(jī)器人液壓驅(qū)動(dòng)控制性能，具有十分重要的意義。

當(dāng)前，為了提高機(jī)器人末端執(zhí)行器定位精度，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器定位精度展開了研究。Navid等［3-4］研究6自由度并聯(lián)機(jī)器人線性化徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)滑?？刂品椒?，通過仿真驗(yàn)證其跟蹤效果，仿真結(jié)果滿足了設(shè)計(jì)的要求。朱龍英等［5-6］研究并聯(lián)機(jī)器人神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制方法，將改進(jìn)的粒子群算法用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比例積分微分（proportional integral derivative，PID）控制參數(shù)調(diào)整，從而得到并聯(lián)機(jī)器人最優(yōu)控制參數(shù)。明瑞浩等［7-8］研究2 自由度并聯(lián)機(jī)器人非線性同步控制方法，設(shè)計(jì)了機(jī)器人非線性同步控制方案，通過仿真驗(yàn)證機(jī)器人末端執(zhí)行器跟蹤誤差，具有較好的跟蹤精度。以往研究的并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器，在控制精度方面有所提高，但隨著企業(yè)加工精度的要求越來越高，現(xiàn)有控制精度已較難滿足高精度產(chǎn)品的需要。因此，本文建立6 自由度液壓并聯(lián)機(jī)器人示意圖，設(shè)計(jì)了增量式非線性逆控制方法。在不同期望信號(hào)條件下，通過Matlab軟件對(duì)并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器位置跟蹤誤差進(jìn)行仿真，對(duì)比非線性逆控制方法的輸出效果，為深入研究6 自由度并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器跟蹤誤差提供參考價(jià)值。

1 液壓系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

本文研究的6自由度液壓并聯(lián)機(jī)器人如圖1所示，主要包括上下2 個(gè)平臺(tái)、6 個(gè)伺服液壓缸和6 個(gè)活塞桿。圖1 中，XaYaZa-Oa為上平臺(tái)坐標(biāo)系，XbYbZb-Ob為下平臺(tái)坐標(biāo)系，1、2、3、4、5、6 為6 個(gè)液壓缸。下平臺(tái)為基座，通常固定不動(dòng)，通過液壓缸驅(qū)動(dòng)上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)。液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)如圖2 所示，圖中，xm為滑閥位移，q為執(zhí)行器位移矢量。當(dāng)滑閥向左移動(dòng)時(shí)，液壓油通過油管流入氣缸室，驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器向右移動(dòng)；當(dāng)滑閥向右移動(dòng)時(shí)，液壓油通過油管流入氣缸室，驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器向左移動(dòng)。執(zhí)行器向左或者向右移動(dòng)，從而驅(qū)動(dòng)6 自由度機(jī)器人上平臺(tái)的伸長(zhǎng)與縮短。

n桿機(jī)器人的剛體動(dòng)力學(xué)方程一般采用Ⅱ階非線性微分方程。特別是對(duì)于本研究中所考慮的并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)，采用牛頓-歐拉方法來獲得笛卡爾空間中的動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中：z、s′和s″分別為笛卡爾空間中定義的末端執(zhí)行器位姿、速度向量和加速度向量；F為驅(qū)動(dòng)力矢量；M為質(zhì)量矩陣；η為離心力和科里奧利力矩陣；J為雅可比矩陣。

典型閥門控制的單對(duì)稱液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)如圖2所示。

Φp1、Φp2分別為流入和流出氣缸室的液壓油流量，Ps、Pt分別為供油和回油壓力。

液壓缸動(dòng)力學(xué)方程［9-10］為

式中：Ap為活塞面積，m2；Cl為泄漏系數(shù)，L/s·Pa；PL=（Pp1-Pp2）為液壓缸壓力差，Pa；Φm=(Φp1-Φp2)/2 為液壓油流量，L/s；Cm為液壓油液壓剛度，Pa/L；q為執(zhí)行器位移，m。

液壓油液壓剛度表達(dá)式［11］為

式中：E為液壓缸油的體積模量，Pa；V1和V2為氣缸室體積，L。

對(duì)于具有匹配和對(duì)稱節(jié)流孔的理想臨界中心閥，液壓油流量表達(dá)式為

式中：Cd為流量系數(shù)，L/m3；w為孔口寬度，m；xm為滑閥位移，m；Ps為供油壓力，Pa。

將最大閥門行程xm，max和零負(fù)載壓力下的最大流量定義為

由式（3）和式（5）可以得到如下表達(dá)式：

式中：GA（PL，xm，q）為一個(gè)函數(shù)表達(dá)式；fA（PL，q，q′）為一個(gè)函數(shù)表達(dá)式；u為控制輸入。

2 增量非線性動(dòng)態(tài)逆控制

n階非線性控制輸入系統(tǒng)方程式［12］定義為

式中：f為向量場(chǎng)；d為外部干擾；G為控制效果矩陣；h（x）為一個(gè)函數(shù)表達(dá)式。

x、d、h假設(shè)是連續(xù)的。假設(shè)f（x）和G（x）是x的函數(shù)，所有微分都是有界的。

假設(shè)h（x）=x，系統(tǒng)的相對(duì)度為（1，1，…，1）1×n，輸出的Ⅰ階時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

式中：y=f（x）為一個(gè)函數(shù)。

對(duì)于m=n的全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，如果G（x）是可逆的，采用傳統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)逆或一般的反饋線性化方法。與非線性動(dòng)態(tài)逆方法不同，為了得到所研究系統(tǒng)的增量形式，在每個(gè)采樣間隔（用下標(biāo)0 表示）的開始時(shí)刻，應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)［13］式（9）中的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)展開后得到表達(dá)式如下：

假設(shè)對(duì)式（10）等式定義為

式中：O為無窮小的一種表示符號(hào)。

則式（10）可轉(zhuǎn)換為

式中：x′0為系統(tǒng)狀態(tài)導(dǎo)數(shù)。

利用x和d的連續(xù)性及f（x）和G（x）微分的有界性，將式（11）的極限計(jì)算為

式（12）中的系統(tǒng)輸入u不假定連續(xù)性。在給定的每個(gè)采樣間隔內(nèi)，采用式（12）中的非線性動(dòng)態(tài)逆設(shè)計(jì)增量非線性動(dòng)態(tài)逆控制律，表達(dá)式為

式中：v為偽控制輸入。

對(duì)于每個(gè)采樣間隔，計(jì)算控制增量Δu=G-1（x0）（v-x′0）并遞歸地添加到u0，即前一個(gè)樣本的集成或測(cè)量控制輸入，如圖3所示。

圖3 增量非線性動(dòng)態(tài)逆控制器Fig.3 Incremental nonlinear dynamic inversion controller

由于系統(tǒng)被線性化為單積分器，因此，通常選擇簡(jiǎn)單的比例控制器作為偽控制ν。圖3 給出了增量非線性動(dòng)態(tài)逆控制器的一般結(jié)構(gòu)，其中表示單個(gè)采樣時(shí)間Ts中的傳輸延遲。當(dāng)G存在模型不確定性時(shí)，用估計(jì)值?作為控制器。

因此，式（14）寫成遞歸離散形式為

式中：uk、uk+1為控制輸入k次和k+1 次；xk-1、x′k-1為控制輸入k-1次和k-1次變化率。

由式（12）和式（14）可得表達(dá)式如下：

由式（13）和式（16）可知，在無限小的采樣時(shí)間下，系統(tǒng)是完全線性化的。簡(jiǎn)單地選擇線性控制律v=x′d+Kp（xd-x），則系統(tǒng)誤差動(dòng)力學(xué)表達(dá)式如下：

式中：e=x-xd為誤差；x為實(shí)際軌跡；xd為期望軌跡。

3 結(jié)果與分析

6自由度液壓并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器采用增量式非線性逆控制方法，通過Matlab軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證，可知執(zhí)行器跟蹤誤差效果，并與非線性逆控制輸出結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。仿真參數(shù)設(shè)置如下：執(zhí)行器等效質(zhì)量m= 3 000 kg，液壓缸行程l=1.0 m，負(fù)載力F= 50 kN，工作壓力為P=150 bar，仿真時(shí)間t=4 s。

假設(shè)并聯(lián)液壓機(jī)器人末端執(zhí)行器期望信號(hào)如圖4 所示，則采用非線性逆控制方法跟蹤誤差如圖5 所示，采用增量式非線性逆控制方法跟蹤誤差如圖6所示。

圖4 階躍波信號(hào)Fig.4 Step wave signal

圖5 非線性逆控制方法Fig.5 Nonlinear inverse control method

圖6 增量式非線性逆控制方法Fig.6 Incremental nonlinear inverse control method

由圖5 和圖6 可知，如果機(jī)器人末端執(zhí)行器期望信號(hào)為階躍信號(hào)，采用非線性逆控制方法，機(jī)器人末端執(zhí)行器產(chǎn)生的最大誤差為1.39×10-2m，當(dāng)控制系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，其誤差在［-0.5×10-2， 0.5×10-2］ m 范圍內(nèi)。而采用增量式非線性逆控制方法，機(jī)器人末端執(zhí)行器產(chǎn)生的最大誤差為0.8×10-2m，當(dāng)控制系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，其誤差在［-0.3×10-2， 0.3×10-2］ m 范圍內(nèi)。同等條件下，通過輸出誤差對(duì)比，采用增量式非線性逆控制方法，機(jī)器人末端執(zhí)行器輸出誤差較小，能夠提高機(jī)器人末端執(zhí)行器追蹤精度。

4 結(jié)論

針對(duì)6 自由度液壓機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤誤差較大問題，設(shè)計(jì)了增量式非線性逆控制的液壓系統(tǒng)，通過仿真驗(yàn)證末端執(zhí)行器跟蹤效果，主要結(jié)論如下。

（1） 采用非線性逆控制方法，6 自由度液壓機(jī)器人末端執(zhí)行器跟蹤誤差較大，而采用增量式非線性逆控制方法，6 自由度液壓機(jī)器人末端執(zhí)行器跟蹤誤差較小。

（2） 采用Matlab 軟件對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器跟蹤誤差進(jìn)行仿真，可以檢驗(yàn)不同控制方法輸出效果，為設(shè)計(jì)人員提供參考資料，避免控制方法設(shè)計(jì)不當(dāng)而造成控制系統(tǒng)輸出精度下降。