張菊

［摘? 要］ 一節(jié)好課能夠誘發(fā)學生數(shù)學思考，激發(fā)學生的潛能，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習能力. 在打造好課的過程中，教師必須認真地研究教材、研究學生、研究教學，在“三個理解”的基礎上創(chuàng)設可以揭示問題本質(zhì)、引導學生自主探究、優(yōu)化學生認知結(jié)構(gòu)的教學活動，以此提高教學品質(zhì)，落實數(shù)學素養(yǎng).

［關鍵詞］ 好課；三個理解；教學品質(zhì)

教師的教學水平和數(shù)學水平直接影響著數(shù)學教學的效果，影響著學生學習能力的提升，影響著學生學習興趣的激發(fā). 對于一個高水平的數(shù)學教師來講，他們往往可以用最簡單、最樸實、最易于理解的語言表達出數(shù)學的深意，以此讓學生掌握問題本質(zhì)，激發(fā)學生的潛能［1］. 那么若想達到這一教學效果，教師應不斷提升自己的數(shù)學水平和教學水平，從而將數(shù)學知識“深入淺出”地傳授給學生，以此激發(fā)學生的積極情感，落實學生數(shù)學素養(yǎng). 作為數(shù)學教師，只有將知識點理解透徹，才能恰當?shù)貞枚喾N教學手段和教學方法將知識講懂、講透，以此幫助學生獲得更深層次的數(shù)學理解，建構(gòu)完善的認知體系. 同時，教師要理解學生，知曉他們的認知水平、學習習慣、思維習慣、情感規(guī)律等，從而通過有效引導激發(fā)學生的動機和潛能，提高學生的數(shù)學能力. 當然，教師還要理解教學，讓學生獲取知識和技能的同時，實現(xiàn)綜合能力和綜合素養(yǎng)的全面提升.

筆者以探究“圓與圓的位置關系”為例，在“三個理解”的基礎上談幾點對“深入淺出”的數(shù)學教學活動的理解，僅供參考.

理解數(shù)學是“深入”的前提

教師對數(shù)學的理解水平除了概念、定理等基礎知識的理解和把握水平外，還包括思想方法、表征方式等內(nèi)容的理解和把握水平. 教師對數(shù)學的理解水平直接影響著學生對數(shù)學的理解水平，直接影響著“教”與“學”的品質(zhì). 一個好教師應具有整體意識，要跳出單一知識點的束縛，善于從整體的角度出發(fā)幫助學生建立和完善認知結(jié)構(gòu). 在本課教學中，為了更好地教學，教師應理解以下兩方面的問題.

1. 關注聯(lián)系性，建構(gòu)完善的認知體系

在探究圓與圓各種位置關系的過程中，其探究的思路、方法、結(jié)論具有明顯的關聯(lián)性，因此教師要把握好這種聯(lián)系，從整體出發(fā)帶領學生科學建構(gòu)認知體系. 在教學中，教師可以引導學生從最易于理解的內(nèi)切和外切出發(fā)，通過直觀觀察引導學生用兩圓的圓心距d和兩圓的半徑r₁，r₂來表示兩圓的位置關系. 若兩圓外切，則有d=r₁+r₂；若兩圓內(nèi)切，則有d=|r₁－r₂|.這樣理解兩圓內(nèi)切和外切，可為學生理解兩圓的其他位置關系提供線索：由兩圓外切易于聯(lián)想兩圓外離，即當d>r₁+r₂時，兩圓外離；由兩圓內(nèi)切易于聯(lián)想兩圓內(nèi)含，即當d1－r₂時，兩圓內(nèi)含. 這樣由兩圓外切聯(lián)想到兩圓外離，由兩圓內(nèi)切聯(lián)想到兩圓內(nèi)含，將知識有效串聯(lián)在一起，有助于學生形成完善的認知體系：至此，就有兩圓相交的位置關系，通過觀察和聯(lián)想易得兩圓相交時圓心距d和半徑r₁，r₂的數(shù)量關系為|r₁－r₂|1+r₂.

在教學中，這樣將兩圓的位置關系置于一個動態(tài)的系統(tǒng)中來認識，讓學生在動態(tài)的變化中領悟其中蘊含的數(shù)量關系，強化了數(shù)學知識的聯(lián)系性，既有助于知識的深化，又有助于建構(gòu)完善的認知體系，有利于提升學習品質(zhì)［2］.

2. 多渠道表征，理解問題的本質(zhì)

眾所周知，個體的學習能力和思維方式是存在差異的，而這些差異會導致知識輸出時產(chǎn)生不同的表征方式，繼而產(chǎn)生不同的解題方法. 在數(shù)學教學中，教師要引導學生通過不同的表征，拓寬視野，提高解題能力.

如例題：求過點A（0，6）且與圓C：x²+y²+10x+10y=0切于原點的圓方程.

該例求解的關鍵是對兩圓外切關系的處理，教師可以引導學生通過不同的表征，由表及里地進行探究，逐漸認清問題的本質(zhì).

表征1：研究已知不難發(fā)現(xiàn)兩圓外切，根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)易得兩圓的圓心及切點共線. 由“兩圓切于原點”可知，兩圓圓心和原點共線，共線方程為y=x.分析至此，可設所求圓的圓心為（a，a），半徑為r，則圓的標準方程為（x－a）²+（y－a）²=r²，根據(jù)待定系數(shù)法求解.

表征2：從幾何的角度出發(fā)，可知所求圓的圓心在直線y=x上，且在線段OA的中垂線上，這樣可以先求圓心坐標再求半徑，該表征優(yōu)于表征1.

表征3：進一步研究已知條件，設所求圓的圓心E為（a，a），又原點在該圓上，所以利用AE=OE求出a即可. 這樣通過對條件的進一步思考，使解題過程更加優(yōu)化.

在教學中，教師要盡量避免“就題論題”，應引導學生從不同角度思考、表征，找到不同的解決問題的方法，促進學生對數(shù)學知識本質(zhì)的理解. 當然，若想達到這一效果離不開教師對教材資料的深度解讀，只有將知識理解透徹，才能巧妙誘發(fā)學生深度思考，以此拓展學生的思維.

理解學生是“深入淺出”的基礎

在數(shù)學教學中，只有理解學生才能設計出適合學生發(fā)展的教學策略，做到有的放矢. 教學中理解學生，既要理解學生的知識基礎，還要理解學生的學習習慣、學習方式、思維特點等.

1. 理解學生的差異

眾所周知，因受學習環(huán)境、學習興趣、認知水平等內(nèi)外因素的影響，學生的學習能力和思維習慣存在一定的差異性. 在教學前，教師要對學生的差異有所了解，這樣才能根據(jù)不同的認知體系設計不同的教學活動，從而為不同的學生提供有效的幫助.

例如，兩圓相交時數(shù)量關系的建構(gòu)和理解是本節(jié)課教學的一個重難點，對于大部分學生來講，通過觀察容易找到d1+r₂這一數(shù)量關系，然d>|r₁－r₂|這一數(shù)量關系單憑觀察卻很難發(fā)現(xiàn). 對于一些學習能力較強的學生，他們會構(gòu)建如圖1所示的圖形，通過三角形的三邊關系推導出|r₁－r₂|1+r₂，但該方法與部分學生已有的認知結(jié)構(gòu)存在一定的“距離”，這需要教師在認識方法上進行啟發(fā)和引導，讓全部學生理解兩圓相交時圓心距與兩圓半徑的數(shù)量關系. 這樣將抽象的問題直觀化，使問題落在學生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，能讓學生解決問題的同時，突破教學重難點，促進知識深化.

2. 理解學生的已有經(jīng)驗

數(shù)學知識間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，教學中只有理解學生，掌握學生的已有經(jīng)驗和知識水平，才能通過合理的開發(fā)和利用使其順利遷移到當前知識. 同時，只有理解學生的已有經(jīng)驗才能知曉在探尋新知時是否會出現(xiàn)障礙及突破路徑，以便教師做好充分的準備，靈活處理課堂中出現(xiàn)的各種“意外”，確保教學計劃的順利實施.

比如，大多數(shù)學生習慣利用表征1的解答思路求解例題，這與學生的已有經(jīng)驗息息相關. 在初中階段，學生求一次函數(shù)、正比例函數(shù)等表達式時大多數(shù)應用的是待定系數(shù)法；到了高中階段，學生求直線、圓的方程時大多數(shù)也會應用待定系數(shù)法，可見利用待定系數(shù)法求解成了一種定式，影響著學生的思考習慣. 另外，在教學中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生對“圓心在OA的中垂線上”這一條件的認識不夠，因此沒有在第一時間提取這一有價值的信息，可見學生的數(shù)形結(jié)合意識不強，解決解析幾何問題時還是習慣從“數(shù)”的角度去分析，對于“形”可優(yōu)化運算的理解不到位. 因此，在教學中，教師必須進行引導和示范，通過方法的優(yōu)化幫助學生形成新的數(shù)學經(jīng)驗，有效發(fā)展學生的數(shù)學思維.

3. 理解學生的發(fā)展需求

在本課教學中，若僅僅照本宣科地將兩圓的位置關系講授給學生，恐怕難以激發(fā)學生的學習熱情，不利于學生發(fā)展. 因此，教學中教師應從學生的已有知識和經(jīng)驗出發(fā)，帶領學生經(jīng)歷概念、規(guī)則等內(nèi)容的形成過程，引導學生經(jīng)歷問題探究和解決的過程，并在這些過程中參與抽象、反思、拓展等活動，這樣通過“做中學”和“做中思”不僅可以幫助學生深刻理解和應用概念、規(guī)則等內(nèi)容，還可以引導學生更好地感悟蘊含其中的思想方法，有效提升學生的學習品質(zhì).

理解學生是“因材施教”的前提，教學中教師只有理解學生才能通過有針對性的指導和有效的幫扶去更好地發(fā)展學生，提高學生的數(shù)學學習能力；只有清楚地掌握學生的已有經(jīng)驗、行為習慣和思維特點，才能使教學設計更具普適性，以此推動全員全面發(fā)展.

理解教學是“學入淺出”的關鍵

好的課堂離不開好的教學，其是實現(xiàn)教學目標的關鍵. 想打造好的課堂，教師要理解教學，既要明晰數(shù)學教學的基本規(guī)律，還要關注教學內(nèi)容和學生的實際需求，繼而以學生為出發(fā)點設計出能夠推動教學目標實現(xiàn)和促進學生發(fā)展的教學方案，提升教學的有效性.

1. 創(chuàng)設問題情境，引導數(shù)學探究

在教學中，大多數(shù)教師會精心設計問題情境，讓學生在問題的驅(qū)動下積極思考、主動探究，以此激發(fā)學生的學習動機，提高教學的有效性. 不過教師創(chuàng)設問題時應關注教材、關注學生，要有一定的針對性和啟發(fā)性，既能引出主題，又能引發(fā)思考，同時還能激發(fā)學生的學習欲望，讓學生在問題探究中能夠有所思、有所獲.

在本課教學中，教師設計了這樣一個問題：如圖2所示，半徑為r₂的小圓C₂在半徑為r₁的大圓C₁外面的圓周上滾動，在運動的過程中有沒有什么不動的東西呢？

以學生現(xiàn)有的水平，能夠給出“C₁C₂=r₁+r₂”這一結(jié)論，繼而引出本節(jié)課探究的主題——用圓心距d和兩圓半徑r₁，r₂表示兩圓的位置關系. 上述問題的創(chuàng)設具有目的性和合理性，既讓學生獲得了相應的結(jié)論，又激發(fā)了學生的數(shù)學學習欲望. 另外，該問題還有一定的探究性和拓展性：問題設計的是“在外面的圓周上滾動”，因此學生易于聯(lián)想到“若在里面的圓周上滾動又會得到什么結(jié)論”，這能夠自然引出內(nèi)切.

這樣由相切到相離再到相交，引導學生通過逐層分析，觀察和探究，使學生發(fā)現(xiàn)蘊含其中的關系，得到相應結(jié)論；揭示學生獲取知識的過程，有效發(fā)展學生的數(shù)學探究能力，實現(xiàn)知識的理解與深化.

2. 關注數(shù)學探究，感悟數(shù)學思想

在教學中，為了能夠讓學生深入理解知識，教師應該帶領學生經(jīng)歷數(shù)學探究的過程，并在過程中感悟基本思想方法，以此幫助學生認清問題的本質(zhì)，掌握數(shù)學研究方法，落實數(shù)學素養(yǎng).

在本課教學中，探究兩圓的位置關系及對應的數(shù)量關系是重難點，在突破這一重難點的過程中蘊含著“對應”思想. 兩圓“外離”—“外切”—“相交”對應的數(shù)量關系為“d>r₁+r₂”—“d=r₁+r₂”—“d1+r₂”，兩圓“內(nèi)含”—“內(nèi)切”—“相交”對應的數(shù)量關系為“d<|r₁－r₂|”—“d=|r₁－r₂|”—“d>|r₁－r₂|”，由此可得兩圓相交應滿足|r₁－r₂|1+r₂. 這樣通過“對應”思想能讓學生發(fā)現(xiàn)兩圓相交對應的數(shù)量關系，幫助學生突破本課的重難點.

學生的思想方法不是孤立存在的，其蘊含在知識形成和發(fā)展的過程中，蘊含在問題探索和解決的過程中. 在日常教學中，教師要引導學生進行數(shù)學思想方法的抽象，從而讓學生在基本思想方法的指導下更好地認識知識、理解知識、應用知識.

3. 把握教學目標，提升教學品質(zhì)

為了更好地教學，教師必須認真研讀教材，準確理解教材，制訂科學的教學目標. 在教學中，教師只有弄清楚教什么、教到什么程度，學生學什么、學到什么水平，才能制訂可以體現(xiàn)教學內(nèi)容實質(zhì)的、有價值的目標.

在本課教學中，要求學生掌握“利用圓心距d和兩圓半徑r₁，r₂表示兩圓的位置關系”. 目標是“掌握”，這是一個較高層次的要求，學生既要掌握相關的知識點，還要靈活應用該知識點解決問題. 因此，在本課教學中，教師既要引導學生探究、總結(jié)、歸納判定兩圓位置關系的方法，還要帶領學生經(jīng)歷具體應用的過程（如上述例子）.

在教學中，只有準確地把握教學目標，才能設計有意義的教學活動，以此提高教學質(zhì)量，提升教學品質(zhì).

總之，“三個理解”是教學基礎，其有助于教師優(yōu)化教學設計，把握數(shù)學本質(zhì). 理解學生是教學的根本出發(fā)點，只有符合學生認知、適合學生發(fā)現(xiàn)的教學活動才能激發(fā)學生的潛能，真正做到因材施教，讓學生獲得不同程度的發(fā)展；理解教學有助于教師整合教學資源，在教學目標的指引下設計出適合學生發(fā)展的教學活動，從而有效落實數(shù)學教學的“三維目標”，提高數(shù)學教學品質(zhì).

參考文獻：

［1］ 賀玉亮.初中數(shù)學深度教學重在觸及本質(zhì)、引領思維［J］. 福建教育學院學報，2020，21（12）：35-37.

［2］ 方長林. 基于“三個理解”促進深度學習［J］. 中學數(shù)學研究，2021（01）：1-4.