楊 雄，袁新全

（婁底職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 數(shù)底 417000）

求導(dǎo)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要內(nèi)容之一，其中隱函數(shù)求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)中的難點(diǎn)內(nèi)容，為了便于對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)的理解，首先闡釋一元隱函數(shù)的求導(dǎo)的方法，然后推廣到多元隱函數(shù)求導(dǎo)的情況，并且得出相應(yīng)的隱函數(shù)求導(dǎo)公式，同時(shí)應(yīng)用實(shí)際案例對(duì)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)行應(yīng)用探索.

1 隱函數(shù)的定義及其求導(dǎo)方法

（2）把隱函數(shù)看作方程，方程左右兩端對(duì)x求導(dǎo)（求導(dǎo)時(shí)注意y是關(guān)于x的函數(shù)），可得到關(guān)于導(dǎo)數(shù)y'(x) 的方程，進(jìn)行解方程即可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'(x) .或者在多元函數(shù)中方程兩端求偏導(dǎo)，再解方程求出偏導(dǎo)數(shù).

（3）將x,y看作兩個(gè)“平等地位”的變量，利用一元微分或多元函數(shù)全微分的形式不變性，在等式或兩端同時(shí)取微分，一元微分得到關(guān)于dy與dx的等式，把導(dǎo)數(shù)看作微商即可求出y'(x) ，多元函數(shù)求出全微分等式，類比dx前的因子是x的偏導(dǎo)數(shù)，dy前的因子是y的偏導(dǎo)數(shù).

2 一元隱函數(shù)求導(dǎo)法則

2.1 一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

隱函數(shù)存在定理1[2]設(shè)函數(shù)F(x,y) 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)它滿足條件并有

如果F(x,y) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，可以把（1）式的兩端看作x的復(fù)合函數(shù)而再求一次導(dǎo)數(shù)，則有一元隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)公式

案例1求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

方法一用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解直接用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有

分析在此求導(dǎo)過(guò)程中一定注意，y是關(guān)于x的函數(shù)，即比如求的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)該是2yy'，而不是2y，等式兩邊求導(dǎo)后相當(dāng)于解一元一次方程即可求出導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然求出的導(dǎo)函數(shù)還是一個(gè)隱函數(shù).

方法二用等式兩端求微分的方法求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解方程兩邊取微分，則有

分析等式兩端求微分，求解過(guò)程用到一元微分的形式不變性，其實(shí)質(zhì)用然后把等式兩端的dx約去，得到關(guān)于y'的方程，解方程即得導(dǎo)數(shù).

方法三直接應(yīng)用定理1 中的（1）式求解.

分析直接用定理1 求解，隱函數(shù)要變到的形式，然后分別對(duì)F(x,y) 求偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，y看作常數(shù)，當(dāng)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，x看作常數(shù)，其他與一元函數(shù)求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式一樣.

2.2 一元隱函數(shù)的其他求導(dǎo)方法分析

2.2.1 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

案例2設(shè)其中f二階可導(dǎo)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于1，求

解等式兩端對(duì)x求導(dǎo)，則有，即

對(duì)上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，可得進(jìn)而有將y'代入上式，有

分析在求此類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一注意y是關(guān)于x的函數(shù)，二要注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，不能丟掉內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，三要注意一直用方程兩端求導(dǎo)，求導(dǎo)過(guò)程中不要先求出一階導(dǎo)數(shù)y'，再對(duì)一階導(dǎo)數(shù)等式兩端求導(dǎo)，這樣變成了一個(gè)分?jǐn)?shù)函數(shù)求導(dǎo)，繼續(xù)求高階導(dǎo)數(shù)會(huì)變復(fù)雜，只要最后把y'代入即可.

2.2.2 用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

案例3求隱函數(shù)xy=yx的導(dǎo)數(shù).

解對(duì)等式兩端取對(duì)數(shù)，則有

分析如果等式中含有冪指函數(shù)，一般用到對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，先等式兩邊取對(duì)數(shù)，并一般需要先通過(guò)相應(yīng)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，然后等式兩邊求導(dǎo)數(shù)即可.當(dāng)然有時(shí)可以轉(zhuǎn)換成e的指數(shù)形式，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，如此題可轉(zhuǎn)換成.

2.2.3 用等式兩邊求微分的方法求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

案例4求隱函數(shù)cos(xy)=x3y3的導(dǎo)數(shù).

解對(duì)等式兩端求微分，則有

分析此解法與例1 中的解法二是有區(qū)別的，例1 中用到的是一元函數(shù)的微分公式，這里用到的二元函數(shù)的全微分公式，即，實(shí)質(zhì)是等式兩邊求全微分.

2.2.4 用變量代換求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

案例5設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程確定，求

解將方程改寫為進(jìn)行變量代換，設(shè)u=y2lnx，則有

對(duì)x求導(dǎo)，可得，即

分析：解此類題，在解題過(guò)程中加強(qiáng)觀察，可能會(huì)找到簡(jiǎn)便的解法，當(dāng)然觀察的能力來(lái)自于平時(shí)的積累，因此，對(duì)一些解題的方法和技巧要平時(shí)多積累.

2.2.5 求一元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值

案例6設(shè)y=y(x)由方程y-xey= 1確定，求的值[4].

解方程兩端求導(dǎo)可得

以上方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)可得

由已知方程及x=0 得y(0) =1 ，再由方程得y'(0)=e，將它們代入以上方程得

分析若要求任意點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)，在求解得到二階導(dǎo)之后，應(yīng)將一階導(dǎo)數(shù)y'的表達(dá)式代入含有和的方程中，把消除；在隱函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程中，通過(guò)一次求導(dǎo)，求得關(guān)于一階導(dǎo)數(shù)y'的方程，若能用原方程將含有一階導(dǎo)數(shù)的方程化簡(jiǎn)的，應(yīng)代入化簡(jiǎn)，這方便于進(jìn)一步求二階導(dǎo)數(shù)y''.

3 多元隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

隱函數(shù)存在定理2[2]設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)它滿足條件并有

案例7已知求

方法一相似案例1 中方法一，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法，即方程兩端對(duì)x求偏導(dǎo)，則有解得

方法二相似案例1 中方法二，對(duì)方程兩端取全微分，則有

2xdx+2ydy+2zdz-4dz= 0，解得進(jìn)而有

方法三應(yīng)用公式（3）求解，設(shè)則有

Fx=2x,Fz= 2z- 4，所以

分析方法一對(duì)x求偏導(dǎo)時(shí)，y是常數(shù)，z是關(guān)于x和y的函數(shù)；方法二是求出全微分，然后比較dx前的因子是x的偏導(dǎo)數(shù)；方法三對(duì)x求導(dǎo)時(shí)，y和z都是常數(shù)，對(duì)z求導(dǎo)時(shí)，x和y是常數(shù).如果弄清楚誰(shuí)是變量，誰(shuí)是常數(shù)，求導(dǎo)就變?nèi)菀琢?

4 方程組給出的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

隱函數(shù)存在定理3[5]設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）式）：

案例8已知求

方法一直接應(yīng)用公式（4）計(jì)算.

F(x,y,u,v)=xu-yv,G(x,y,u,v)=yu+xv- 1，則有

方法二利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算，因?yàn)榉匠痰膬啥藢?duì)x求導(dǎo)可得若則有

同樣的方法方程兩端對(duì)y求導(dǎo)，可求出

方法三方程兩端取全微分，則有

在隱函數(shù)求導(dǎo)的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)從一元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，拓展到多元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，降低了隱函數(shù)求導(dǎo)的難度，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生積極參與思考，促進(jìn)學(xué)生多途徑、多角度思考問題的能力，并且在知識(shí)的深度和廣度上得到充分挖掘.