林瓏瓏，梁明杰

（1.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 福州 350117；2.三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

隨機過程的相交局部時有著十分豐富的研究史，它起源于數(shù)學(xué)物理工作者對隨機過程樣本軌道交叉的關(guān)注，具體可參見文獻[1].

事實上，隨機過程的相交局部時與量子場論的重整化群方法、自回避隨機游動模型及隨機聚合物理論等有著密切聯(lián)系[2-6].特別的，隨機過程樣本軌道交叉所產(chǎn)生的有關(guān)偏差已被應(yīng)用于相關(guān)物理模型的研究，例如聚合物模型中某些臨界指數(shù)的識別[7]、拋物型Anderson 模型間歇性分析[8]等.布朗運動作為單指標(biāo)隨機過程的重要代表，其相交局部時及相關(guān)理論已被眾多學(xué)者深入研究.相較于此，多指標(biāo)隨機過程的相交局部時還有許多值得探究的問題.多指標(biāo)Wiener 過程作為布朗運動在多指標(biāo)情形的泛義推廣形式具有深刻的理論意義與應(yīng)用價值.

本文中，筆者主要探討幾類Wiener 過程相交局部時的小偏差估計及相關(guān)問題.特別的，本文首次給出了兩指標(biāo)Wiener 過程相交局部時的小偏差估計，為相關(guān)單指標(biāo)Wiener 過程相交局部時研究推廣至多指標(biāo)情形提供了豐富樣例與技術(shù)參考.

1 預(yù)備知識與主要結(jié)論

特別的，當(dāng)N=1 時，W即為一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，當(dāng)N=2 時，W則為一維兩指標(biāo)Wiener 過程，有些文獻也稱之為標(biāo)準(zhǔn)布朗單（Brownian sheet）.

本文中，我們重點考察幾類Wiener 過程相交局部時，并給出其小偏差估計的如下結(jié)論：

定理1.1設(shè)，且滿足對任意有

和

注1.1當(dāng)K=1 ，即P1=1 時，有

即得關(guān)于一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的經(jīng)典結(jié)論

定理1.2設(shè)，且滿足，對任意存在常數(shù)，有

和

注1.2若記為Delta 函數(shù)，則有從而根據(jù)Fubini 定理，利用積分變換可得

由于Wt與-Wt具有相同分布，從而上述（1.3）和（1.4）式子中關(guān)于Wiener 過程的相交局部時可替換成形式仍然成立.同理，定理1.1 的相關(guān)結(jié)論也有相仿的替換形式成立.

進一步的，若我們考慮關(guān)于Wiener 過程的如下形式相交局部時

對任意ε＞0 ，有

從而我們可得類似定理1.2 中（1.4）式的結(jié)論

然而，對任意ε＞0 ，由于我們只能得到如下估計

從而我們無法得到定理1.2 中關(guān)于小偏差下界估計的相仿結(jié)論.

定理1.3設(shè)，且滿足對任意存在常數(shù)有

和

注1.3特別的，根據(jù)文獻[9]的論述，利用文獻[9]定理1.4 的結(jié)論，我們可將定理1.3 中Wiener過程相交局部時形變?yōu)榈男问剑P(guān)于（1.5）和（1.6）式的結(jié)論保持不變.

2 定理證明

定理1.1 的證明由于，且滿足對任意根據(jù)廣義H?lder不等式，有

從而對任意ε＞0 ，

進而利用文獻[10]中第六章定理2.7 的結(jié)論，有（1.1）式成立.

另一方面，對任意ε＞0 ，

進而有

再次利用文獻[10]中第六章定理2.7 的結(jié)論， （1.2）式得證.

定理1.2 的證明類似上述（1.2）式的證明，利用廣義H?lder 不等式，任意ε＞0 ，

故有（1.3）式成立.

對于（1.4）式的證明，與證明（2.2）式相仿的，

進而由文獻[9]定理1.1，可得

命題得證.

定理1.3 的證明利用文獻[9]定理1.4 的相關(guān)結(jié)論，本定理的證明方法與上述定理1.2 的論述過程相仿，因篇幅有限，這里不再贅述.

3 結(jié) 語

眾所周知，超弦理論是一種基于弦狀粒子的理論，它作為新生物理學(xué)理論為克服量子引力難題提供了合理解釋.隨機過程樣本軌道交叉性能有效刻畫超弦理論中弦相交特征，希冀本文所討論的幾類Wiener 過程相交局部時的有關(guān)結(jié)論能為超弦理論模型提供必要的理論支撐.