林美琳

(應(yīng)用數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(莆田學(xué)院),福建莆田 351100)

§1 引言

定理1在上面的假設(shè)條件下,若N ≥7,0<μ<-(2+2a)2,則存在θ?>0,當(dāng)0<θ<θ?時(shí),方程(1)在中至少存在k重變號(hào)解.

§2 預(yù)備知識(shí)

§3 一些引理

引理1對(duì)于方程(1)的正解u1,u2,···,uk,存在正的常數(shù)A1,A2,有

對(duì)任意x ∈B(gj,r){gj},r充分小都成立.

此引理的證明見(jiàn)[8].

引理2對(duì)于方程(1)的正解uj(j ∈{1,...,k}),有

這樣就完成了(9)式的證明,(10)式可以類(lèi)似得證.

為了下面的證明,引入下列定義.

定義1

由(V2)和Sobolev不等式知>0.

此引理的證明見(jiàn)[9].

定義2對(duì)j ∈{1,···,k},選擇r0=δ/3.定義

此引理的證明見(jiàn)[3,Lemma3.2].

此引理分兩步來(lái)證明.

對(duì)于t ∈(t1,t2),將引理3 中正的值記為s+(t),s-(t),再由引理3,有

由于s+(t)關(guān)于t是連續(xù)的且滿(mǎn)足

相似地,s-(t)關(guān)于t是連續(xù)的且滿(mǎn)足

由s±(t)的連續(xù)性可知存在一個(gè)tε ∈(t1,t2)滿(mǎn)足

取t=tε,s=sε,則(1)的第一部分得證.

接下來(lái),要證明的是當(dāng)ε充分小時(shí),βj(sε(uj-)±)

由tε的選擇,{x ∈?;uj(x)≥}是非空的.又因?yàn)?/p>

因此對(duì)j ∈{1,···,k}有

由(12)和(13)以及βj的定義有

利用(14),(15),引理2以及tε的有界性,可以得到

此引理的證明見(jiàn)[10,p290-291].