梁慧敏　孫天嬌　張濤　李春蘭

【摘 要】數(shù)學單元復習課在高中數(shù)學教學中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，它是繼新知識學習后，對知識的進一步升華與凝練，是對新知識熟能生巧的過程?！邦}海戰(zhàn)術(shù)”式的數(shù)學單元復習課不符合當前“雙減”背景下的教學要求。張奠宙先生曾多次在其文章中強調(diào)上好數(shù)學復習課的必要性，本文結(jié)合張奠宙先生關(guān)于數(shù)學單元復習課的教育思想，以人教版高中數(shù)學（A版）必修第一冊第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的單元復習課為例，給出數(shù)學單元復習課的六條教學建議。

【關(guān)鍵詞】張奠宙；單元復習課；函數(shù)；數(shù)學教育思想

一、引言

2021年7月國家正式頒布了《關(guān)于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》，其中提出“大力提升教育教學質(zhì)量，確保學生在校內(nèi)學足學好”，那么減輕學生負擔的根本在于提高學校教育教學的質(zhì)量。在高中數(shù)學課堂中，單元復習課一直以來都對提升教育教學質(zhì)量起著至關(guān)重要的作用。追溯歷史的腳步，我國偉大的教育家孔子早在幾千年前就強調(diào)了復習的重要性——“溫故而知新，可以為師矣”。在實際教學中，許多一線教師往往把數(shù)學單元復習課看作是簡單的習題課來講授，以高強度、大容量的解題訓練為主。顯然，“題海戰(zhàn)術(shù)”式的復習課已經(jīng)不能適應當前“雙減”背景下的教學要求。數(shù)學單元復習課不是簡單地回顧前面所學的知識，而是通過復習達到融會貫通、舉一反三、溫故知新的效果，并促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，以適應當前“雙減”背景的教學要求。

早在2010年，張奠宙先生等就指出當時復習課中存在的許多弊端，如“公開課中難見好的復習課，大多是大容量、快節(jié)奏、高密度的解題訓練課”。［1］葉立軍等指出復習課不是簡單的炒冷飯，而是對學生認識的繼續(xù)、深化和提高。［2］楊漢鑫也指出了現(xiàn)在高中數(shù)學復習課中存在的一些問題，如教師缺乏“科學方法”，在復習課上只是簡單分析知識點，然后以大量習題訓練為主等。［3］單元復習課不能單純地變成高強度的解題訓練課，不能只是簡單的分析而缺乏對知識的整體梳理，更不能忽視學生的自主思考及思維能力的培養(yǎng)。要想更好地改進單元復習課，就要找到根源問題，對癥下藥。

二、數(shù)學單元復習課及其作用

（一）數(shù)學單元復習課

單元復習課與新授課、習題課等課型在教學目標、教學方式等方面均有較大的不同。數(shù)學單元復習課是指根據(jù)學生的認知特點和規(guī)律，在一個單元教學之后，對所學知識進行系統(tǒng)復習整理的課型。單元復習課的目的是鞏固、梳理已學知識、技能，通過對知識的復習整理，幫助學生對所學知識形成結(jié)構(gòu)化認知，提煉數(shù)學知識的思想方法，達到對知識的融會貫通。

張奠宙先生等指出，數(shù)學知識的認識過程包含“前半段”和“后半段”。［4］單元復習課即“后半段”的學習，應重視反思、辨析、欣賞、提煉數(shù)學思想方法等。故教師在進行數(shù)學單元復習課教學時要做到：塑造學生的系統(tǒng)知識結(jié)構(gòu)；促進學生形成理性批判、反思等思維；培養(yǎng)學生的探索發(fā)現(xiàn)精神；用數(shù)學美的內(nèi)在力量影響學生，體現(xiàn)數(shù)學科學的教育性。

依據(jù)信息加工心理學，學生的學習是信息加工的過程，主要包括注意過程、短時記憶、編碼、長時記憶及信息的提取等五個部分。其中，信息提取的過程是記憶內(nèi)容梳理、重建的過程，而不是簡單的復述。針對學生在學習的過程中不可避免的遺忘現(xiàn)象，信息加工“激活理論”認為，信息要先被激活，才能提取。而信息不能被激活的情況有三種［5］：第一，學生對知識間的聯(lián)系掌握得不緊密；第二，對信息加工的深度不夠；第三，缺乏對知識的聯(lián)想而不能提取信息。

由信息加工理論出發(fā)，可以總結(jié)出，在新知識的學習過程中，知識的習得與記憶主要在新授課中進行，而知識的信息提取亦不可或缺，此時就需要單元復習課充分發(fā)揮其功能與價值。首先，在單元復習課中應構(gòu)建整體知識結(jié)構(gòu)體系，以加強知識間的聯(lián)系。其次，通過融入數(shù)學思想方法，加深學生對知識的理解深度，促進信息加工。最后，采用多種數(shù)學表征形式，以多種表征的方式提升學生對知識的聯(lián)想能力，促進學生的信息加工。復習課不是簡單的炒冷飯，不能生硬地把數(shù)學知識直接傳授給學生，而應在其中添加數(shù)學美、數(shù)學思想方法等數(shù)學的“調(diào)味劑”。

（二）數(shù)學單元復習課的作用

隨著新課改的不斷推進與完善，形成了以核心素養(yǎng)為導向的教學目標，反映了新時期對人才培養(yǎng)的要求。對教師而言，上好一節(jié)數(shù)學單元復習課需要重視數(shù)學知識的整體性、系統(tǒng)性以及知識之間的關(guān)聯(lián)性，并合理地規(guī)劃和安排數(shù)學單元復習課。例如，在高中函數(shù)概念的復習課中，再次強調(diào)函數(shù)概念是由初中“變量說”到現(xiàn)在的“集合—對應說”，幫助學生建立關(guān)于函數(shù)概念的整體知識體系。建立這樣的整體知識體系不僅有利于提高課堂效率，培養(yǎng)教師的教學技能，提升教師的專業(yè)素養(yǎng)，而且通過不斷優(yōu)化數(shù)學單元復習課教學還可以達到促進教師自我發(fā)展的目的。此外，在數(shù)學單元復習課教學中，教師可以及時發(fā)現(xiàn)學生的知識盲點與困惑，掌握學生的學習情況，針對學生掌握不到位的知識進行著重講解。

對學生而言，數(shù)學單元復習課可以幫助學生更加全面地掌握數(shù)學單元知識點，建立知識間的聯(lián)系，由點及面，橫向、縱向地深入拓展，從而對知識有更加深入的了解。此外，在單元復習課上采用總結(jié)單元典型例題的方法，而不是采用“題海戰(zhàn)術(shù)”的方式，能夠更加有效地提高課堂教學質(zhì)量，減輕學生的學習負擔，并且通過學習相應的數(shù)學思想方法，還可以提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

三、數(shù)學單元復習課教學建議

張奠宙先生針對復習課存在的問題，提出了好的數(shù)學單元復習課應涉及以下六個方面：一是整體知識框架；二是使用數(shù)學思想方法；三是數(shù)學本質(zhì)；四是各種數(shù)學表征；五是美學欣賞；六是人文背景。［6］基于此，本文以“函數(shù)的概念與性質(zhì)”這一單元復習課為例，給出數(shù)學單元復習課的教學建議。通過對高中函數(shù)的概念與性質(zhì)的復習，學生能經(jīng)歷完整的函數(shù)概念抽象過程，掌握其中蘊含的數(shù)學思想和方法，形成良好的問題解決能力、思考問題的習慣等。

（一）構(gòu)建整體知識框架

復習課的重點是幫助學生總結(jié)知識并做進一步的鞏固提升，所以構(gòu)建數(shù)學單元整體知識框架是數(shù)學單元復習課中必不可少的環(huán)節(jié)。通過構(gòu)建整體知識框架可以呈現(xiàn)單元知識間的內(nèi)在聯(lián)系，加強學生對本單元內(nèi)容的整體認識，形成清晰的思維脈絡。

例如，在高中“函數(shù)的概念與性質(zhì)”這一單元復習課上，課堂伊始，教師展示一部分本章內(nèi)容知識框架（如圖1），讓學生獨立思考將框架填充完整。在補充框架的過程中，若學生遇到困難，教師帶領(lǐng)學生一起補充完整（如圖2）。

通過思維導圖的方式構(gòu)建函數(shù)單元教學的整體知識結(jié)構(gòu)框架，并讓學生先自己思考知識點，再由教師引導給出，有助于學生從整體上把握本單元知識體系，加深學生對知識點的理解。

（二）使用數(shù)學思想方法

單元知識結(jié)構(gòu)體系如“骨架”，而其中蘊含的數(shù)學思想方法如填充其間的“血肉”。因此僅掌握了知識結(jié)構(gòu)體系是不夠的，還應掌握其中的數(shù)學思想方法。張奠宙先生等提出：“復習課的首要目的是提煉數(shù)學思想方法，啟示如何熟能生巧，上升到新的境界。”［1］章建躍也指出，通常將數(shù)學思想方法從數(shù)學思想和數(shù)學方法兩個角度分別去闡釋。［7］其中，數(shù)學思想是對數(shù)學對象的本質(zhì)認識，對數(shù)學活動具有指導意義；數(shù)學方法是指進行數(shù)學活動的具體操作方法。數(shù)學思想方法是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的源泉，是分析和解決數(shù)學問題的根本。

在高中“函數(shù)的概念與性質(zhì)”這一單元復習課上，需要向?qū)W生滲透的數(shù)學思想方法有：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、分類與整合等。在復習課上學生通過探究典型問題逐步體會數(shù)學的思想方法，有助于培養(yǎng)學生用數(shù)學的思維思考問題的意識（見表1）。

在單元復習課中，解題訓練是必不可少的，但是不能將單元復習課變成大容量、高強度的解題訓練課，而應提煉題中蘊含的數(shù)學思想方法，幫助學生進行總結(jié)歸納，培養(yǎng)學生的解題思維能力及解決問題的能力，有助于學生在后面的學習中學會一題多解、舉一反三。

（三）挖掘數(shù)學本質(zhì)

德國數(shù)學家克萊因曾將函數(shù)稱為數(shù)學的“靈魂”，并認為函數(shù)應該成為中學數(shù)學的“基石”。［8］清代數(shù)學家李善蘭對函數(shù)的解釋為“凡此變數(shù)函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)”［9］，確切地反映了函數(shù)的本質(zhì)。隨著數(shù)學的發(fā)展，函數(shù)的定義經(jīng)歷了變量說、對應說、關(guān)系說［10］的逐步抽象過程?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》對函數(shù)概念的教學提倡在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念。［11］19這說明課程標準對初高中函數(shù)內(nèi)容的銜接以及函數(shù)本質(zhì)的教學關(guān)注度越來越高。

基于函數(shù)教學內(nèi)容主線，函數(shù)單元復習課教學既要“瞻前”，又要“顧后”?；仡櫺W、立足初中、呼應高中，尋根究底、深入分析，挖掘函數(shù)概念的本質(zhì)。通過展示不同學習階段函數(shù)的概念、內(nèi)容、應用等方面的內(nèi)容（如表2），可以讓學生在縱向上了解并掌握函數(shù)，建立新舊知識之間的聯(lián)系，尋找知識的固著點，從而更好地理解和掌握函數(shù)概念。

“賢者以其昭昭，使人昭昭?！保ā睹献印罚┰诮虒W方面強調(diào)教師要想讓學生明白所學內(nèi)容，首先自己要弄明白這些內(nèi)容。教師應熟練掌握所教內(nèi)容的本質(zhì)，才能更好地讓學生掌握所學內(nèi)容的本質(zhì)，正所謂“要給學生一杯水，教師要有一桶水”。教學的目的不僅是要教會學生如何解題，更重要的是要引導學生去挖掘數(shù)學知識的本質(zhì)及內(nèi)涵，從根本上理解并掌握數(shù)學知識。因此，在數(shù)學復習課上就需要教師追本溯源、深入剖析，以高觀點的視角進行教學，引導學生思考所學知識的本源。

（四）使用各種數(shù)學表征

數(shù)學表征是指用某種外顯的形式來表達抽象數(shù)學知識的過程。［12］著名的認知心理學家西蒙曾指出，表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是如何表現(xiàn)出來的。［13］在數(shù)學學習以及問題解決的過程中采用多種數(shù)學表征方式，有助于拓展學生思維，達到一題多解、融會貫通的效果。此外，對于同一知識，幫助學生在不同的年齡階段構(gòu)造不同數(shù)學表征方式，將更適合學生學習。

例如，對于函數(shù)y=3x+5的教學，美國著名心理學家布魯納針對不同學段的學生采用不同的數(shù)學表征方式進行教學，對于低學段的學生可以采用□=3△+5這樣的圖形表征方式，而對于高學段的學生可以使用更為抽象的表征方式y(tǒng)=f （x）。［14］

再如，在高中“函數(shù)的概念與性質(zhì)”單元復習課上，對于函數(shù)單調(diào)性的描述，可以采用圖象語言、文字語言和符號語言等三種表征方式，以達到更好地回顧與掌握函數(shù)的單調(diào)性概念的目的。通過在復習課上引導學生采用不同的表征方式表達函數(shù)單調(diào)性，可以有效開拓學生的思維，使其在解決數(shù)學問題時不局限于某種表征方式，避免思維定式；同時發(fā)展學生的抽象能力與直觀想象能力，借助圖象探究函數(shù)的基本性質(zhì)，選擇合適的數(shù)學模型表述變化規(guī)律和解決問題。

（五）美學欣賞

羅素曾說：“數(shù)學不僅擁有真理，而且還擁有至高的美。”張文俊指出，數(shù)學美本質(zhì)上是自然美的抽象化，既有結(jié)論之美，也有方法之美，還有結(jié)構(gòu)之美。［15］在數(shù)學單元復習課中向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學美，有助于學生感受數(shù)學的美學價值，使已有知識的基礎得到進一步的升華，活躍復習課課堂的氛圍。

例如“函數(shù)的概念與性質(zhì)”這一單元中就蘊含著許多數(shù)學美。首先，函數(shù)的性質(zhì)之一——函數(shù)的奇偶性，圖象中就包含著對稱美，即奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。其次，高中函數(shù)概念是在初中基礎上的進一步抽象，用y=f （x）來表示函數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學中的簡潔美。

在數(shù)學單元復習課上展現(xiàn)數(shù)學美，有助于學生體會數(shù)學是富有生命的、美麗的、實用的學科，促使學生喜歡它、熱愛它，主動學習數(shù)學。

（六）融入人文背景

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出，要將數(shù)學文化融入課程內(nèi)容。數(shù)學文化包括數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關(guān)的人文活動。［11］10

數(shù)學單元復習課不僅僅是簡單地總結(jié)本單元所學知識以及進行大量的習題練習，還應該在數(shù)學課本知識的基礎上進行進一步的升華。適當?shù)厝谌胂嚓P(guān)人文背景，有助于學生更好地理解和掌握單元內(nèi)容，提高學生學習的興趣和積極性，并且為學生未來的進一步學習打下堅實的人文背景基礎。高中數(shù)學單元復習課大致可以從數(shù)學游戲、生活實例、數(shù)學的發(fā)展歷程等方面融入相關(guān)人文背景。

在“函數(shù)的概念與性質(zhì)”數(shù)學單元復習課中，可以從生活實例和數(shù)學的發(fā)展歷程兩個方面來融入人文背景。首先，如文中表1內(nèi)的問題1和問題4是貼近學生生活的函數(shù)問題，在復習課中設置這樣的問題十分貼切、自然，讓學生感受到函數(shù)在實際生活中的應用，加深學生對函數(shù)的理解，讓學生不僅學會函數(shù)還學會用函數(shù)。其次，“函數(shù)的概念與性質(zhì)”這一章中增設了“函數(shù)概念的發(fā)展歷程”的閱讀材料模塊，強調(diào)在進行了函數(shù)內(nèi)容新授課之后，要在復習課中讓學生了解函數(shù)概念的人文背景及發(fā)展歷程。此外，該章的章末還設置了“函數(shù)的形成與發(fā)展”的文獻閱讀與數(shù)學寫作的選學內(nèi)容。在復習課中布置文獻閱讀與寫作任務，讓學生自己查找并補充函數(shù)概念發(fā)展歷程的相關(guān)資料，進而完成論文的寫作任務，不僅能夠擴展學生的知識面，不拘泥于課堂上的內(nèi)容，而且還有利于因材施教，培養(yǎng)部分學有余力的學生的科研與創(chuàng)新能力，貫徹張奠宙先生等人強調(diào)的“數(shù)學英才教育”的教學理念。

四、結(jié)語

單元復習課是引導學生對單元知識進行梳理、探究、欣賞、升華與凝練的重要課型。要想上好復習課，解題訓練不可或缺，但是不能將之作為唯一的教學模式而自我封閉起來，應在回顧本單元知識的基礎上，將內(nèi)容進一步升華。此外，還應了解學生的訴求，發(fā)揮學生的主體性，讓學生自己梳理知識結(jié)構(gòu)體系，在單元復習課中注意挖掘數(shù)學本質(zhì)，感受知識發(fā)生、發(fā)展及應用的全過程，融入數(shù)學美及相應的數(shù)學文化背景，注重數(shù)學思想方法的滲透等。構(gòu)建合理的認知結(jié)構(gòu)，輔之一定的解題訓練，定能更加高效地進行高中單元復習課教學，適應當前“雙減”背景的教學要求。

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（責任編輯：潘安）