摘 要 熱力學(xué)平衡態(tài)是熱力學(xué)和統(tǒng)計物理中的基礎(chǔ)概念。現(xiàn)存文獻(xiàn)中對熱力學(xué)平衡態(tài)的定義方式不盡一致。本文旨在對現(xiàn)存的各種定義進(jìn)行分類和梳理，分析它們之間的異同、適用范圍，并建議提出了一種適用于描寫熱力學(xué)系統(tǒng)觀演化過程的平衡態(tài)定義。

關(guān)鍵詞 熱力學(xué)平衡態(tài);定義;分類;宏觀演化

0 引言

熱力學(xué)平衡態(tài)是熱力學(xué)和統(tǒng)計物理中最為基礎(chǔ)的概念。整個平衡態(tài)熱力學(xué)和統(tǒng)計物理學(xué)所研究的對象就是熱力學(xué)平衡態(tài)出現(xiàn)的條件、穩(wěn)定性以及平衡態(tài)的演化規(guī)律。然而，在現(xiàn)存的諸多熱力學(xué)和統(tǒng)計物理學(xué)領(lǐng)域的教材和專著中，對熱力學(xué)平衡態(tài)的定義卻不盡一致。各種定義之間有時是不能協(xié)調(diào)的，有些定義所設(shè)定的條件直接不允許系統(tǒng)的熱力學(xué)平衡態(tài)發(fā)生演化，還有一些定義則有可能和熱力學(xué)中經(jīng)常使用的熱力學(xué)極限的概念發(fā)生矛盾或?qū)α?。因此，對現(xiàn)存的各種定義進(jìn)行梳理，分析它們之間的異同、適用范圍，并盡可能給出適用于熱力學(xué)系統(tǒng)的整個演化過程的平衡態(tài)的定義，對于熱力學(xué)和統(tǒng)計物理的教學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究具有重要的意義。

本文的目的就是通過對已知的對于熱力學(xué)平衡態(tài)的各種定義進(jìn)行梳理、歸類來總結(jié)出各種定義的特點和局限性，并嘗試給出具有最廣泛適用范圍的新定義。由于已有文獻(xiàn)多如瀚海，作者無法保證對既有定義的梳理總結(jié)是完整和全面的，對于所依據(jù)的文獻(xiàn)的選擇完全局限于作者有機(jī)會觸及這個先決條件。

特別說明：本文所涉及的宏觀系統(tǒng)僅限于非相對論熱力學(xué)與統(tǒng)計物理中所描述的宏觀系統(tǒng)。對于相對論條件下宏觀系統(tǒng)中平衡態(tài)的概念，有機(jī)會時將另文探討。

1 對熱力學(xué)平衡態(tài)既有定義的梳理

在作者有機(jī)會觸及的二百余種著作中，有約四分之一到三分之一的著作完全沒有涉及熱力學(xué)平衡態(tài)的定義，而只是聲明所作的一切均是在平衡態(tài)的基礎(chǔ)之上進(jìn)行構(gòu)造，或者直接給出平衡態(tài)熱力學(xué)的幾個基本定律，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹。其余著作都有涉及平衡態(tài)的定義，其中有的定義是在多部著作中共同的。對這類定義，本文無意羅列所有同類著作的名單，僅給出部分有代表性的著作作為參考文獻(xiàn)。當(dāng)然，所謂的代表性著作并不意味著相應(yīng)定義是該部分作者的首創(chuàng)，而只是因為恰好本文作者對該著作略多熟悉一點兒，或者該著作具有更多影響力，僅此而已。

下面的分類整理僅針對具體定義中刻意強(qiáng)調(diào)的某一個或幾個特征來歸納，歸納之恰當(dāng)與否由本文作者負(fù)責(zé)，與被提到的他人著作的作者無關(guān)。

1.1 第一類定義：平衡態(tài)不隨時間變化

在諸多不同的定義中，傳播最廣、涉及作者最多的一類定義的特點是強(qiáng)調(diào)了平衡態(tài)不隨時間變化的特征[1-15]。在這一共同特點之下，不同著作還會體現(xiàn)一些細(xì)微的差異。例如，有些作者明確區(qū)分了熱力學(xué)平衡態(tài)與穩(wěn)態(tài)（雖然兩者都不隨時間變化），而有些作者沒有作這一區(qū)分;有些作者提出的平衡態(tài)定義僅限于孤立系，有些作者則沒有這一設(shè)定，甚至明確表明不局限于孤立系。這類定義一個典型的陳述是：

在沒有外界影響的情況下，物體（或系統(tǒng)）各部分的性質(zhì)長時間保持不變的狀態(tài)稱為平衡態(tài)[1-3，5]。

在上述著作中，不同作者共同認(rèn)知的是平衡態(tài)并不禁止系統(tǒng)的微觀狀態(tài)隨時間改變，因此熱力學(xué)平衡只能是一種動態(tài)平衡。部分作者明確界定了“沒有外界影響”的含義，即物體與外界之間沒有宏觀的能量和物質(zhì)交換?！皼]有外界影響”并不要求系統(tǒng)必須是孤立系[3]。比較特別的是[5]，這組作者在“不受外界影響”這個前提中排除了重力場的影響。也就是說，即使有重力的影響，只要系統(tǒng)的狀態(tài)不隨時間變化，也被定義為平衡態(tài)。

同屬于第一類定義的還有如下的表述[6]：

The state functions are well defined onlywhen the system is in equilibrium ， that is， whenits properties do not change appreciably withtime over the intervals of interests （observationtimes）. The dependence on the observation timemakes the concept of equilibrium subjective

同類定義的另一個不同的表述是[8，9]：

如果系統(tǒng)的所有宏觀狀態(tài)參量均不隨時間變化，則稱系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)為穩(wěn)態(tài)。處于穩(wěn)態(tài)的宏觀系統(tǒng)中若不存在宏觀流動，則稱其處于熱力學(xué)平衡態(tài)。

這一表述沒有預(yù)設(shè)“沒有外界影響”的前提，但是區(qū)別了同樣不隨時間變化的穩(wěn)態(tài)和熱力學(xué)平衡態(tài)[11—16]。對平衡態(tài)的定義與以上定義類似，沒有預(yù)設(shè)“沒有外界影響”的前提，但沒有區(qū)分穩(wěn)態(tài)和平衡態(tài)。

在以上不同表述中，有一些作者注意到了時間尺度這一重要概念，例如文獻(xiàn)[6，7，14]。遺憾的是文獻(xiàn)[6]并沒有就時間尺度這一概念更進(jìn)一步展開討論，反而使得宏觀狀態(tài)不隨時間變化這一特征被模糊化了（不隨時間變化→do not changeappreciably with time）。與此相比，文獻(xiàn)[14]展開討論得比較充分，不僅討論了時間尺度的含義，還討論了空間尺度的問題。不過，文獻(xiàn)[14]中對時間依賴的現(xiàn)象的討論卻值得商榷，這一點將留待后文中的討論提及，在此我們先將其中一句有疑問的話引述如下：

平衡既然是靜止不變的狀態(tài)，則所有因時間而變的現(xiàn)象都可以稱為是不平衡現(xiàn)象?！^測的時間長度，由觀測者來決定。

1.2 第二類定義：平衡態(tài)是經(jīng)過馳豫后達(dá)到的不隨時間變化的狀態(tài)

對于平衡態(tài)的第二類定義不僅強(qiáng)調(diào)了平衡態(tài)不隨時間變化的特征，同時還描述了達(dá)到平衡態(tài)的方式，即馳豫過程。所有采用這類定義的作者都特別注意時間尺度的問題。

第二類定義一個典型的陳述是[17，18]：

一個孤立系統(tǒng)，不論其初始狀態(tài)如何復(fù)雜，經(jīng)過足夠長時間以后，將會達(dá)到這樣的狀態(tài)，系統(tǒng)各種宏觀性質(zhì)在長時間內(nèi)不發(fā)生任何變化。這樣的狀態(tài)稱為熱力學(xué)平衡態(tài)。

在以上定義中提到的“足夠長的時間”被稱為馳豫時間。文獻(xiàn)[8，9]對孤立系的平衡態(tài)引入了相同的陳述。值得注意的是，有一些作者將上述定義中的“孤立系”替換成了封閉系[19]或者在不變外部條件作用下的任意宏觀系統(tǒng)[20，21]，其中文獻(xiàn)[20]對平衡態(tài)和穩(wěn)態(tài)作了區(qū)分，并且指出所定義的平衡態(tài)內(nèi)部允許出現(xiàn)某種（空間上的）不均勻性。

將時間尺度概念發(fā)揮到極致的定義來自費曼[22]，他對平衡態(tài)的定義是：

If a system is very weakly coupled to a heatbath at a given “temperature”， if the couplingis indefinite or not known precisely， if the couplinghas been on for a long time， and if all the“fast” things have happened and all the “slow ”things not， the system is said to be in thermalequilibrium .

這里提到的快和慢，都是相對于馳豫時間而言的。持類似觀點的還有B.McCoy[23]。

1.3 第三類定義：熱力學(xué)平衡態(tài)是由一系列平衡條件決定的態(tài)

對熱力學(xué)平衡態(tài)的第三類定義不涉及時間不變性，而是通過若干種具體的平衡條件來規(guī)定平衡態(tài)的含義。采取這類定義的著作有文獻(xiàn)[24-27]。這類作者對平衡態(tài)給出的定義是以上所有定義中，在同一類定義范圍內(nèi)表述上歧異最少的。不同作者間唯一的差別是有的作者同時采用了四種平衡條件，即熱平衡條件、力學(xué)平衡條件、相平衡條件和化學(xué)平衡條件，而有的作者僅要求三種平衡條件（通常是忽略了化學(xué)平衡條件）。后一種作者不討論化學(xué)平衡條件的原因是相應(yīng)的著作僅涉及單元系，因此不會涉及化學(xué)變化。在純熱力學(xué)的領(lǐng)域中，文獻(xiàn)[24]被認(rèn)為是具有很大影響的權(quán)威性著作，該書中將熱力學(xué)平衡態(tài)描述成同時滿足以上四種平衡條件的狀態(tài)。

當(dāng)然，持前兩類定義的作者也會討論平衡條件，不同的是這些作者并未將平衡條件與平衡態(tài)的定義聯(lián)系在一起，而是將平衡條件當(dāng)作分析系統(tǒng)平衡態(tài)熱力學(xué)性質(zhì)的一個衍生結(jié)果。

與前兩類定義相比，第三類定義不涉及外部條件，不涉及時間尺度，但涉及了標(biāo)記平衡態(tài)的物理參數(shù)，即標(biāo)記熱平衡的溫度、標(biāo)記力學(xué)平衡的壓強(qiáng)以及標(biāo)記相平衡和化學(xué)平衡的化學(xué)勢。如果采用這類定義，那么溫度、壓強(qiáng)和化學(xué)勢要先有定義，然后才能談?wù)摕崃W(xué)平衡態(tài)。另外，平衡條件是建立在系統(tǒng)內(nèi)部的宏觀子系之間的。因此，如果系統(tǒng)的空間規(guī)模過小，以至于其任意局部都不再能夠被當(dāng)作宏觀系統(tǒng)，那么這類定義將失去意義。所以，第三類定義對系統(tǒng)的空間尺度存在隱含的限制。

1.4 第四類定義：通過統(tǒng)計平均值或熵來定義平衡態(tài)

將通過統(tǒng)計平均值或熵來定義平衡態(tài)歸為同一類別，是因為這兩種方式之間是存在內(nèi)在的聯(lián)系的。然而，在具體表述上卻可能完全看不到這種聯(lián)系。例如，朗道對平衡態(tài)的定義是完全基于統(tǒng)計平均值的[28]：

如果閉合系統(tǒng)在其所處的狀態(tài)下，其任何宏觀子系統(tǒng)的宏觀物理量都充分精確地等于相應(yīng)量的平均值，那么就說系統(tǒng)處于統(tǒng)計平衡態(tài)（也稱為熱力學(xué)平衡態(tài)或者平衡態(tài)）。

值得注意的是，由于術(shù)語體系的差異，在朗道栗弗席茲的全系列理論物理教程中，“閉合系統(tǒng)”所指的對象基本上等同于國內(nèi)教材中的孤立系，而與國內(nèi)教材中所稱的封閉系差異明顯。

另一些作者完全依賴于熵或者微觀狀態(tài)數(shù)的最大化來定義平衡態(tài)[29-33]，其中，表述最為簡潔的是[29]：

Isolated equilibrium systems are systems ina state of maximum entropy.

同樣簡潔的定義出現(xiàn)在文獻(xiàn)[30]中，只是它將熵?fù)Q成了微觀狀態(tài)數(shù)。此外，對于孤立系，文獻(xiàn)[34]采用了微觀態(tài)以等概率方式出現(xiàn)的狀態(tài)作為平衡態(tài)的定義。

無論是用統(tǒng)計平均值來定義平衡態(tài)還是用熵的最大化來定義平衡態(tài)，其共同特點是都不涉及時間依賴性，但是會對系統(tǒng)本身作出適當(dāng)限制，例如要求系統(tǒng)是孤立系，或者具有恒定的能量和粒子數(shù)（這兩者也可以是統(tǒng)計平均值）。

如果考慮到統(tǒng)計物理的因素，用熵最大的狀態(tài)來定義平衡態(tài)實際上等價于分別用微觀態(tài)滿足微正則分布、正則分布以及巨正則分布的狀態(tài)來定義孤立系、封閉系和開放系的平衡態(tài)，因為在統(tǒng)計物理中可以證明，對孤立系、封閉系和開放系來說，熵最大的微觀態(tài)分布就是相應(yīng)的系綜分布。

值得指出的是，有時一部著作在處理平衡態(tài)定義這個問題時會同時采用以上不止一類定義。在這類著作中，由于不會出現(xiàn)新的不同類別的定義，這里將不再羅列相應(yīng)的著作清單，而是僅舉一例，即文獻(xiàn)[35]。在這本著作中同時采用了第一類和第三類定義。

2 現(xiàn)有定義的適用條件和局限性

對于像熱力學(xué)平衡態(tài)這樣極具基礎(chǔ)性的概念，在現(xiàn)存文獻(xiàn)中居然存在如此眾多看似不同的定義，是十分令人驚奇的。定義間彼此的微妙差異自然會導(dǎo)致對這些定義中所設(shè)置的前提條件的關(guān)注，因為一旦前提條件不再成立，相應(yīng)的定義也會自然地?zé)o法繼續(xù)使用。

拋開具體的表述差異，第一類和第二類定義普遍強(qiáng)調(diào)的是平衡態(tài)不依賴于時間。這自然會導(dǎo)致對時間尺度的關(guān)注。即使在平衡態(tài)下，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)也依然在發(fā)生劇烈的變化，因此，“不依賴于時間”這個陳述中的時間必然不能是微觀運動意義上的時間。同樣地，這個時間也不允許系統(tǒng)發(fā)生可察覺的宏觀演化。因此，這兩類定義適用的時間尺度應(yīng)該是略大于馳豫時間而遠(yuǎn)小于宏觀演化過程所經(jīng)歷的時間。問題是，如果在對平衡態(tài)的定義中加以上述時間尺度的限制，則相應(yīng)的定義無法被應(yīng)用于宏觀演化的全過程。而在熱力學(xué)中，對系統(tǒng)行為感興趣的時間尺度并不僅限于平衡態(tài)得以形成的馳豫時間，而是包含了平衡態(tài)的宏觀演化的全過程所需的時間。盡管熱力學(xué)中并不強(qiáng)調(diào)時間，但是一旦提到演化，則系統(tǒng)的宏觀平衡態(tài)必然在相應(yīng)的時間尺度上發(fā)生變化。

另一方面，第一和第二類定義中有些表述需要對宏觀系統(tǒng)設(shè)定外部條件，例如要求系統(tǒng)是孤立系或者被置于不變的外部條件下。這些要求也同樣會限制系統(tǒng)的相應(yīng)狀態(tài)不能發(fā)生宏觀演化。

相比之下，第三類定義不涉及時間，也可以不設(shè)置外部條件，因此允許所定義的平衡態(tài)發(fā)生演化。這類定義對于描述平衡態(tài)熱力學(xué)過程是最友好的。這類定義也不是全無局限性。首先，因為平衡條件要求系統(tǒng)存在宏觀子系，因此對系統(tǒng)的空間尺度存在一個下限要求。其次，宏觀子系的劃分可以具有隨意性，因此要求平衡條件在系統(tǒng)演化全過程中所經(jīng)歷的空間尺度范圍均成立。最后，這類定義是以彼此獨立的幾個平衡條件來定義熱力學(xué)平衡態(tài)的，因此需要事先引入描寫各個平衡條件的狀態(tài)參數(shù)，即溫度T 、壓強(qiáng)p 和化學(xué)勢μ。

第四類定義雖然未直接提到時間不依賴性，但由于其本質(zhì)上是一種基于統(tǒng)計物理學(xué)的定義，所涉及的平衡態(tài)也不會發(fā)生演化。值得特別指出的是，即使采用熵最大的條件來定義平衡態(tài)，也依然會面對相應(yīng)的態(tài)無法演化的局限性，這是因為分析系統(tǒng)的熵是否達(dá)到最大需要先固定內(nèi)能和粒子數(shù)的均值。這兩者一旦固定，宏觀演化也就停止了。反而言之，對一個規(guī)模有限的系統(tǒng)，如果內(nèi)能和粒子數(shù)發(fā)生變化，那么系統(tǒng)的熵將只有更大而沒有最大。

3 對熱力學(xué)平衡態(tài)定義的一個新建議

根據(jù)前兩節(jié)的歸納和分析可以發(fā)現(xiàn)，要定義宏觀系統(tǒng)的熱力學(xué)平衡態(tài)，合適的時間尺度和空間尺度是必須予以考慮的重要因素。出于描述平衡態(tài)熱力學(xué)過程的目的，平衡態(tài)的定義必須能夠適用于系統(tǒng)宏觀演化所經(jīng)歷的全部空間范圍和時間范圍。這是對時間和空間尺度上界的要求。另一方面，要定義宏觀態(tài)，必須對系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)程度的粗粒化，亦即在相對上界而言很小、對微觀運動又足夠大的時間、空間尺度上對系統(tǒng)的性質(zhì)作“平均”描述。這種宏觀小、微觀大的尺度描述含義是相當(dāng)模糊的，但是如果我們討論具體的宏觀性質(zhì)，其含義就可以變得更為清楚。

例如，如果我們關(guān)心的是系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)，那么上述提到的宏觀小、微觀大的尺度應(yīng)該使得流體或連續(xù)體近似有意義，換句話說，系統(tǒng)在上述小尺度的微元上的粒子數(shù)密度n 應(yīng)該有限，并且除了在某些特定界面處以外，要求n 在相鄰的時間、空間微元之間作連續(xù)乃至光滑的變化。根據(jù)流體力學(xué)方程，對n 提出的上述要求將會同時要求在相同的微元內(nèi)流體的壓強(qiáng)p 有限且具有相似的連續(xù)性、光滑性要求。

類似地，如果我們考慮系統(tǒng)的熱性質(zhì)，則要求在上述微元內(nèi)溫度有限且在相鄰微元間滿足連續(xù)性和光滑性的要求。

推而廣之，對于宏觀系統(tǒng)進(jìn)行粗?；枋?，實際上等同于假定了存在除在特定界面處以外連續(xù)的，并且在一定程度上光滑的強(qiáng)度參量的“場”，例如溫度場T t，x 、壓強(qiáng)場p t，x 、化學(xué)勢場μ t，x 等。這里所稱的強(qiáng)度參量，指的是具有局部標(biāo)度不變性的參量，也就是對所選取的微元的尺度并不十分敏感的參量，與文獻(xiàn)[9]中所用的強(qiáng)度參量含義有所不同。

在任一時刻，如果給定了上述強(qiáng)度參量場的一個空間分布，就給定了系統(tǒng)的一個宏觀態(tài)。如果上述強(qiáng)度參量場無法定義，或者雖然勉強(qiáng)定義，但不具有連續(xù)性和適當(dāng)?shù)墓饣?，則意味著對宏觀系統(tǒng)進(jìn)行粗粒化描述的努力失效，這時對系統(tǒng)進(jìn)行宏觀描述就會失敗。

有了上面的前提，就可以建議將宏觀系統(tǒng)的熱力學(xué)平衡態(tài)定義為：

在系統(tǒng)演化過程中的任一時刻，如果宏觀系統(tǒng)系統(tǒng)處于這樣的宏觀態(tài)，其全部強(qiáng)度參量場都在系統(tǒng)所占據(jù)的空間尺度范圍內(nèi)均保持均勻或者分片均勻，則稱系統(tǒng)處于熱力學(xué)平衡態(tài)。

破壞強(qiáng)度參量場的連續(xù)性和均勻性的界面可以是絕熱界面（溫度可能不連續(xù)）、隔物界面（化學(xué)勢可能不連續(xù)）、固定的機(jī)械界面以及相界面（壓強(qiáng)可能會不連續(xù)）等。當(dāng)考慮僅含單一物質(zhì)成分的單元系時，通常不會在系統(tǒng)內(nèi)部引入絕熱界面、隔物界面和機(jī)械界面，因此只有相界面才是比較常見的界面。

與第2節(jié)所歸納的幾類定義相比，上述定義與第三類定義最為接近，但覆蓋范圍略有拓展，允許包含各種界面的平衡態(tài)存在。由于要求強(qiáng)度參量場具有空間均勻性，對于無內(nèi)部界面的系統(tǒng)，強(qiáng)度參量場將僅依賴于時間，雖然這種依賴方式按費曼的說法應(yīng)該是“慢”的。這種時間依賴性使得以上建議的定義完全區(qū)別于前述第一類、第二類不能演化的平衡態(tài)。強(qiáng)度參量場隨時間的變化描述了系統(tǒng)宏觀平衡態(tài)的演化過程。如果把注意力放置到使系統(tǒng)來不及發(fā)生顯著宏觀變化的時間尺度上，則第一類、第二類定義依然是可用的，只是無法將這種描述推及宏觀演化的過程。順便指出，在1.1節(jié)引述的文獻(xiàn)[14]中對含時演化即非平衡現(xiàn)象的陳述其實正是將時間尺度推及第一類定義所局限的時間尺度之外而導(dǎo)致的誤讀。

此外，由于強(qiáng)度參量場是從對系統(tǒng)的粗?；枋鲋幸氲?，并且允許系統(tǒng)的宏觀態(tài)隨時間演化，以上定義并不涉及系統(tǒng)的熵最大化的條件，因此與第四類定義相比也有所區(qū)別。

4 總結(jié)與討論

本文僅討論傳統(tǒng)的平衡態(tài)熱力學(xué)中所涉及的熱力學(xué)平衡態(tài)的定義，對熱力學(xué)平衡態(tài)的成因不作討論。如果非要深究熱力學(xué)平衡態(tài)的成因，則在粗?；^程中引入的強(qiáng)度參量場可能需要通過對小系統(tǒng)熱化機(jī)制的描述來引入。

就本文所討論的問題所屬領(lǐng)域而言，相關(guān)的值得探討的問題還有穩(wěn)態(tài)與平衡態(tài)的異同以及熱力學(xué)極限與熱力學(xué)平衡態(tài)的相恰性等。

在所有區(qū)別了穩(wěn)態(tài)和平衡態(tài)的著作中，都以存在宏觀流動與否作為穩(wěn)態(tài)有別于平衡態(tài)的特征。這里的宏觀流動，所指的必然是物質(zhì)或能量通過給定的封閉的空間界面的凈通量非零，而非指相對論意義下的4維時空流非零。后者對所有宏觀系統(tǒng)都必須非零，哪怕系統(tǒng)的所有微觀自由度全部都凍結(jié)時也是如此。按照這種理解，則有可能存在并非均勻但又沒有宏觀流動的穩(wěn)態(tài)。例如，在流體力學(xué)中，在重力場作用下的流體系統(tǒng)有可能會達(dá)到所謂的流體靜平衡狀態(tài)，其方程可描述為

2p =ρg

其中，p 和ρ 分別是流體的壓強(qiáng)和密度場，它們都不依賴于時間，而g 則指重力場的重力加速度。

處于流體靜平衡狀態(tài)的系統(tǒng)不發(fā)生宏觀流動（流體速度場的空間分量恒為零），但卻具有非均勻的壓強(qiáng)場，因此按本文所建議的定義，這種狀態(tài)不應(yīng)被視為平衡態(tài)而最多能夠被當(dāng)作一種穩(wěn)態(tài)。

最后我們簡略探討一下熱力學(xué)平衡態(tài)與熱力學(xué)極限的相恰性問題。熱力學(xué)極限指的是宏觀系統(tǒng)在保持粒子數(shù)密度和壓強(qiáng)有限的前提下，同時讓粒子數(shù)和體積同時趨于無窮的極限。對于這樣的規(guī)模無限大的系統(tǒng)，無論是通過馳豫過程嘗試使其達(dá)到不再發(fā)生時間變化的狀態(tài)，還是達(dá)到強(qiáng)度參量場分片均勻的狀態(tài)，所需的時間均會是發(fā)散的。至于馳豫時間和系統(tǒng)的空間尺度哪一個會更快地發(fā)散，則隨所依據(jù)的模型會有所差異。大體上，如果將馳豫過程理解為系統(tǒng)內(nèi)的微觀粒子通過隨機(jī)動力學(xué)過程重新分配微觀狀態(tài)的過程，則馳豫時間將會隨著系統(tǒng)空間尺度的平方而發(fā)散，因此原則上不宜討論已經(jīng)處于熱力學(xué)極限下的宏觀系統(tǒng)演化至平衡態(tài)的問題。換言之，熱力學(xué)極限僅限于用來討論宏觀漲落可以忽略的條件，而一旦考慮系統(tǒng)的宏觀演化，則要求系統(tǒng)具有有限的空間尺度將會是更為得體的。

致謝： 感謝全國熱力學(xué)與統(tǒng)計物理教學(xué)研究會中的諸位同仁，特別是劉全慧、鄭志剛、苗兵、王安良、包景東、嚴(yán)大東、侯吉旋、李琛、徐曉、戴越等教授的有益討論和評論。

參 考 文 獻(xiàn)

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