吳洵 姜付錦 何彬 黃亦斌

摘 要 針對第39屆全國中學生物理競賽復賽（延考）第四題，先對四球系統(tǒng)進行受力分析，根據(jù)動力學和運動學得到9個（非線性微分）方程，得到兩個第一積分（守恒量）。再通過數(shù)值模擬給出解答，發(fā)現(xiàn)當初始角速度不大時，原參考解答是很好的近似。最后還進一步研究了近似解，得到泰勒展開中精確到t5 的結果。整個分析過程為處理力學問題提供了一個參考案例。

關鍵詞 剛體動力學;非線性;第一積分;無量綱化;泰勒展開

1 題目

近期，第39屆全國中學生物理競賽復賽（延考卷）中的第四題引發(fā)了大家的熱議，本文就此給出理論上的分析。題目如下：

如圖1（a）、（b）所示，半徑為R、質量均為m的均勻實心球體A 、B、C 兩兩相切地放置在光滑水平面上。三個球體的外側有一光滑固定圓筒，其內表面與A 、B、C 外切。初始時刻，A 、B、C 靜止，一繞圓筒豎直中心軸轉動的均勻球體D 輕放于球體A 、B、C 正上方。已知D 的質量也為m 、半徑也為R，D 的初始角速度大小為Ω0，D 與A 、B、C 之間的動摩擦因數(shù)為μ，A 、B、C 三個球體之間無摩擦。經歷一段時間后，整個體系達到D 相對于A 、B、C 沒有滑動的穩(wěn)定狀態(tài)。重力加速度大小為g。求：

（1） 體系從初始狀態(tài)到達穩(wěn)定狀態(tài)所需時間，以及穩(wěn)定狀態(tài)時，球體A 、D 的角速度大小。

（2） 達到穩(wěn)定狀態(tài)時，A 、C 兩球切點的相對速度大小與A 球質心速度大小之比。

值得注意的是：上述表達式中，似乎正好有f2=μN ，那么由式（9）似乎f1=0，但這只是精度不夠導致的。注意f1 的最低階是三次，故若式（9）精確到五階，確實看不到f1 的貢獻。前面還談到，若認定式（10），則式（6）不成立，但其實其中僅剩的Ω1ω1 是高階小量，精確到低階的話，確實是零。

上 述表達式（16）的有效范圍可以這樣判斷。注意到ω1 的近似表達式約在2Ω01/3/μ 處出現(xiàn)最大值，此處可認為已偏離較大。故上述近似表達式的有效范圍是t?2Ω01/3/μ。

相同的泰勒展開思路可用于考查接近末態(tài)時的情況。此時可重新令末態(tài)時刻為0，然后做時間反演，讓方程中各時間導數(shù)反號，而且最好用上兩個第一積分（11）（12）。但由于末態(tài)（14）中vC 的表達式難以得到，再往高階走表達式會更復雜，故此處從略。

5 結語

對于一般的剛體運動（非平面運動），通常會用到歐拉動力學方程或類似方程。這是非線性微分方程，通常難有解析解。此文中的四球問題就是如此。本文以此理論分析為基礎，結合數(shù)值模擬和近似思想，讓這個問題的結果可視化，為今后此類問題的解決提供一條行之有效的思路。通過分析不難發(fā)現(xiàn)，原題所給出的參考解答只在Ω0 特別小時才與真實情況（數(shù)值模擬）比較吻合，但是當初始角速度較大時，出入就比較大了，故原題中最好加上Ω0 特別小，才能讓原題的參考答案更加科學。

參 考 文 獻

[1] 陳余華，黃亦斌. 一般非慣性系中的剛體動力學[J]. 物理通報，2018，37（6）：17-19.

CHEN Y H，HUANG Y B. Rigid body dynamics in generalnon-inertial reference system [J]. Physics Bulletin， 2018，37（6）： 17-19. （in Chinese）

[2] 周衍柏. 理論力學教程[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2009： 155.