熊志松 程運華

摘 要 進動是剛體力學(xué)中的一項重要內(nèi)容，但由于涉及復(fù)雜的定點轉(zhuǎn)動問題，其數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程比較繁瑣，大部分教材的相關(guān)內(nèi)容晦澀難懂，再加上進動現(xiàn)象本身的反直覺的特點，使得很多人對進動現(xiàn)象的規(guī)律并未真正理解。本文首先從質(zhì)點的慣性入手，通過與簡單的質(zhì)點力學(xué)問題類比，直觀地解釋進動。接著，我們深入探討回轉(zhuǎn)力矩的本質(zhì)，只借助簡單的受力分析和計算，就推得了進動的結(jié)果，我們的方法避免了復(fù)雜的剛體力學(xué)理論計算，為理解進動提供了一種新思路。

關(guān)鍵詞 剛體;陀螺;進動;回轉(zhuǎn)力矩

旋轉(zhuǎn)的剛體在受到垂直于轉(zhuǎn)軸的力矩作用時，會在原有的自轉(zhuǎn)上疊加一個新的轉(zhuǎn)動，這就是進動現(xiàn)象。以一個玩具陀螺為例，一旦它繞自身軸轉(zhuǎn)動后發(fā)生傾斜時，其自轉(zhuǎn)軸就會繞豎直軸轉(zhuǎn)動。如圖1所示，陀螺繞自身轉(zhuǎn)動，若自轉(zhuǎn)方向為圖中標(biāo)出的方向（ω 旁的箭頭所示），則進動角速度豎直向上。若陀螺反向自轉(zhuǎn)，進動角速度也將反向。

對大多數(shù)人來說，進動現(xiàn)象具有反直覺的特點。陀螺明明已經(jīng)傾斜了，但卻并不倒下，好似有一種與重力抗衡的力往上支撐著陀螺，但這個與重力抗衡的力到底是如何產(chǎn)生的，看起來不那么容易找到。

在常見的大學(xué)物理和力學(xué)課本中，一般只根據(jù)角動量定理給出一個簡單的解釋。其基本思路是，相對于地面接觸點O，重力的力矩M 沿水平方向，與剛體的自轉(zhuǎn)角動量L 垂直，根據(jù)角動量定理dL=Mdt，dL 必然也沿水平方向，并時刻保持與L 垂直的關(guān)系。這樣一來，剛體的角動量L 自然就繞著通過點O 的豎直軸轉(zhuǎn)動起來了。若陀螺的自轉(zhuǎn)軸與豎直方向的夾角為θ，設(shè)在dt 的時間內(nèi)，自轉(zhuǎn)軸繞豎直軸轉(zhuǎn)過的角度為dφ，則角動量L的增量的大小為dL =Lsinθdφ，而dL =Mdt，聯(lián)立此二式得進動角速度Ω 為

因此，剛體進動角速度與外力矩成正比，與自轉(zhuǎn)角動量成反比。

顯然，上面這種解釋只是給出了進動滿足的規(guī)律，但陀螺為什么沒有倒下？ 陀螺為什么會發(fā)生進動？ 并且，既然剛體未受到豎直方向的力矩作用，為什么卻獲得了豎直方向的角動量呢？ 若依據(jù)理論力學(xué)的詳細(xì)計算和分析，當(dāng)然能解答這些問題。但由于數(shù)學(xué)計算過程相對較為復(fù)雜[1-2]，對大多數(shù)非物理專業(yè)的學(xué)生來說難度太大。為避免復(fù)雜的計算過程，一些教材僅給出定性解釋。

例如，在梁昆淼編著的《力學(xué)》的“旋轉(zhuǎn)的重剛體的定點運動”部分[3]，作者用回轉(zhuǎn)力矩解釋陀螺為什么不倒的問題，其核心點是，重力作用下的傾斜和進動各自導(dǎo)致一個回轉(zhuǎn)力矩，前者令自轉(zhuǎn)角速度轉(zhuǎn)向重力矩方向，形成進動;后者抵抗重力力矩，避免了剛體傾倒。

對剛體為何轉(zhuǎn)而不倒的問題，另一種常見的解釋是，在隨剛體進動的參考系中，剛體上的點受科里奧利力作用，從而導(dǎo)致一個與重力矩抗衡的力矩作用[4]。而對于剛體為什么不受進動角速度方向的力矩作用卻產(chǎn)生進動的問題，現(xiàn)有的文獻很少涉及。梁昆淼給出一種解釋是[5]，當(dāng)水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動的剛體向下傾斜時，其角動量會形成一個豎直向下的分量，但由于在豎直方向系統(tǒng)并未受力矩作用，豎直方向的角動量應(yīng)守恒，為了保證這一點，系統(tǒng)也會同步產(chǎn)生一個豎直向上角動量分量，這樣就形成進動了。

本文將通過類比思想和受力分析直觀地解釋進動。一方面，我們從慣性的角度來理解進動。我們先通過曲線運動了解垂直于速度的力作用下的物體的運動特征，接著分析地球上空飛行器受推力作用后軌道的變化規(guī)律，基于此構(gòu)造一個思想實驗以解釋進動。另一方面，我們通過對靜止和自轉(zhuǎn)的陀螺的受力分析，從力和加速度的角度理解回轉(zhuǎn)力矩的本質(zhì)，并通過計算陀螺上點的速度和位移直觀地解釋剛體產(chǎn)生進動的原因。

1 基于慣性的直觀理解

靜止的物體受到外力作用時，它將沿著力的方向運動。但若受力作用的物體有初速度，其運動方向不再只由力來決定。例如，一個沿直線運動的物體，若受到一個垂直于速度的力，它將作曲線運動，典型的例子如平拋運動。

由于質(zhì)點具有水平方向初速度，在重力的加速下，質(zhì)點獲得了豎直速度，質(zhì)點沿拋物線運動，速度沿拋物線的切線方向（見圖2（c））。質(zhì)點既不會被直接推到下方的一條水平線上運動（見圖2（a）），也不會直接沿豎直向下的方向運動（見圖2（b））。顯然，這是由力與慣性共同導(dǎo)致的。假若質(zhì)點真的沿著y 軸運動，那它的水平速度就不起作用了，相當(dāng)于質(zhì)點的慣性消失了！

因為有慣性，當(dāng)質(zhì)點的初速度與外力不在一條直線上，質(zhì)點既不能沿著原來的速度方向運動，也不能沿著力的方向運動，只能沿著一條曲線運動。其實，無論力是否與速度垂直，慣性作為物體反抗外力的固有本性總是存在的，只不過看起來， 慣性對垂直力的反抗更加明顯———它會使速度轉(zhuǎn)向，質(zhì)點的軌跡既不會直接沿著力的方向完全轉(zhuǎn)過去，也不會沿著力的方向發(fā)生平移，而是成為一條曲線。典型的案例是洛倫茲力，由于它始終與速度垂直，它只能改變速度的方向，使帶電粒子作勻速圓周運動。雖然粒子受到指向圓心的力，但卻不會落入圓心，而是拐彎過去了，這是慣性抵抗外力作用所導(dǎo)致的必然結(jié)果。

類似地，剛體轉(zhuǎn)動時，如果沒有外力作用迫使它的轉(zhuǎn)動改變，它將會一直轉(zhuǎn)下去。這種慣性用轉(zhuǎn)動慣量描述，它與質(zhì)點的質(zhì)量相對應(yīng)。對沒有轉(zhuǎn)動的剛體來說，它完全聽從外力矩的安排，例如靜止的陀螺傾斜后會直接倒下。而當(dāng)剛體在轉(zhuǎn)動的情況下受垂直力矩作用時，它的轉(zhuǎn)動方向就不沿著外力矩的方向了。陀螺進動就是這樣產(chǎn)生的，這樣的例子還有很多，例如，落在地上的圓盤之所以會旋轉(zhuǎn)一會兒才會停息，也是因為重力矩與自轉(zhuǎn)角動量方向不一致導(dǎo)致的。

但從剛體角度來解釋進動并非易事，既然剛體是由質(zhì)點組成的，質(zhì)點的集體必然體現(xiàn)剛體行為，我們嘗試從質(zhì)點出發(fā)來解釋進動。

設(shè)有一架飛機沿赤道方向（如圖3中深色線）繞地飛行。若每當(dāng)飛機經(jīng)過某點時，給它一個正北向的推力，根據(jù)質(zhì)點慣性對外力的反抗作用，飛機的軌道不會直接向上平移（圖3（a）中淺色線），也不會像圖3（b）所示那樣發(fā)生翻轉(zhuǎn)，而會變?yōu)橄駡D3（c）所示的那樣斜的軌道。

實際上，一種調(diào)整衛(wèi)星軌道的方法正是基于這一原理。在發(fā)射衛(wèi)星時，可在靠近赤道的地方沿赤道自西向東方向發(fā)射，因為這樣能充分利用赤道處地面高達465m/s的移動速度。待到衛(wèi)星升空之后，可在空中再作調(diào)整，以使衛(wèi)星進入預(yù)定軌道。

下面來做一個思想實驗。假設(shè)有大量的飛機列隊沿一條共同軌道繞地飛行，若對所有飛過一個確定點（例如圖3中正前方標(biāo)F 處）的飛機都施加一個向北的推力，那么這些飛機的共同軌道就會像上面那樣發(fā)生傾斜，如圖4所示?，F(xiàn)假想這些飛機是在一個中空的管狀巨環(huán)內(nèi)列隊飛行，巨環(huán)套在地球上，環(huán)自身質(zhì)量不計，則飛機沿環(huán)內(nèi)飛行就相當(dāng)于巨環(huán)在繞地球旋轉(zhuǎn)。若在環(huán)的某處施加一個向北的推力，并在地球背面正對處施加一個向南的推力，那么這個由飛機組成的巨環(huán)也會發(fā)生同樣的傾斜。更一般的，若考慮一個充滿流動液體的管子，或者更直接地，考慮一個旋轉(zhuǎn)的金屬環(huán)，當(dāng)它受到同樣的推力時也會發(fā)生類似的傾斜，如圖5所示。

由此可見，當(dāng)你試圖轉(zhuǎn)動一個正在旋轉(zhuǎn)的物體的轉(zhuǎn)軸時，它仿佛總是不太聽話。上面這個環(huán)就是這樣，它并沒有沿著這個推力的方向轉(zhuǎn)動———推力的力矩的方向水平向左，而是繞另一個垂直的方向轉(zhuǎn)起來了！ 看起來的效果是，你推的那個力的作用點，好像神不知鬼不覺的往前移動了四分之一圓周，然后在那個位置起作用。

注意，上面說作用點“往前移動”時之所以用“好像”二字，因為這只是一種幫助理解的說法，實際力作用點并未移動。根據(jù)剛體力學(xué)中滑移矢量的概念，要保持作用效果不變，力的作用點不能隨便移到其他點，只能沿著力的作用線方向滑移。對轉(zhuǎn)動的環(huán)上的一對推力來說，若移動它們的作用點到另一條直徑的兩端，環(huán)的運動情況必將不同。所以，轉(zhuǎn)動的環(huán)受力也是滑移矢量，其作用點并非真的移動了。

這種轉(zhuǎn)動的物體由于受到垂直于轉(zhuǎn)軸的力矩作用而形成的運動就是進動。它看起來反直覺，但其實是很自然的，因為任何自轉(zhuǎn)的物體總可看作無數(shù)個繞軸自轉(zhuǎn)的環(huán)聚合而成，每個環(huán)又可被看作由無數(shù)個沿著環(huán)運動的點（無限小的飛機）組成的，根據(jù)上面的思想實驗，每個點在推力的作用下的軌道傾斜是顯而易見的，這將導(dǎo)致物體的整體發(fā)生進動。

綜上所述，質(zhì)點的慣性構(gòu)成剛體的慣性，與質(zhì)量反抗力的作用類似，轉(zhuǎn)動慣量也反抗外力矩的作用，當(dāng)剛體所受力矩與自轉(zhuǎn)角動量方向垂直時，剛體不會繞力矩的方向發(fā)生轉(zhuǎn)動，而是繞另一個與之垂直的方向發(fā)生轉(zhuǎn)動，即形成進動。

2 從力與加速度來解釋

為什么剛體不繞外力矩的方向轉(zhuǎn)動，而是繞與外力矩垂直的方向轉(zhuǎn)動呢？ 從上面環(huán)的例子中，我們看到，真正導(dǎo)致環(huán)轉(zhuǎn)動的力相當(dāng)于作用在沿環(huán)移動四分之一圓周后對應(yīng)的位置。換句話說，力雖然在某個位置施加了作用，但其作用點卻好像瞬間沿環(huán)的自轉(zhuǎn)方向移動了四分之一的圓周！ 在那個新的位置產(chǎn)生的力矩正好相對于外力力矩轉(zhuǎn)過90°的角，也就是與外力矩垂直的方向，這個力矩被稱作回轉(zhuǎn)力矩。

顯然，只有當(dāng)環(huán)在自轉(zhuǎn)時，才會導(dǎo)致回轉(zhuǎn)力矩。那么，為什么轉(zhuǎn)動的剛體就會產(chǎn)生這種神奇的作用轉(zhuǎn)移，從而導(dǎo)致回轉(zhuǎn)力矩呢？ 下面我們從受力分析的角度來仔細(xì)探討這背后的玄機。

為簡單起見，設(shè)陀螺由輕桿和質(zhì)量均勻的輪子構(gòu)成，且作為自轉(zhuǎn)軸的輕桿是水平的。先考慮陀螺沒有自轉(zhuǎn)的情形，輪子受重力矩作用，如圖6所示，下面換一個角度來看這個重力矩。

我們知道，力偶作用導(dǎo)致力矩，例如回轉(zhuǎn)力矩就是基于科里奧利力系的力偶形成的。因此，任何力矩總可看作力偶，也等效為力或力系作用。故陀螺所受重力矩導(dǎo)致在盤上各點受到不同的力！ 對于輪子的上半部分，會受到一個向右的力，而對輪子的下半部分，則會受到一個向左的力。但你可能覺得奇怪：重力向下，怎么會導(dǎo)致向左和向右的力呢？ 因為陀螺上各點并不是孤立的，除了重力，它們還受到約束力，從而使陀螺輪上的點的受力有不同的軸向分量，下面給出詳細(xì)分析。

如圖7所示，當(dāng)陀螺處于水平的瞬間，輪上各點速度為零，所以也就沒有法向加速度;但由于重力矩作用，根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動定理，陀螺具有角加速度。設(shè)該角加速度為β，則各點的切向加速度為aτ=βr，其中r 是對應(yīng)點繞O 軸的轉(zhuǎn)動半徑。據(jù)此，輪子上的點受到的切向外力為maτ=mβr。設(shè)輪子的半徑為R，以輪子最高點對應(yīng)的輪半徑作為起始位置，輪子邊緣上相對起始位置轉(zhuǎn)過θ 角的點受到的切向力的軸向分量為maτRcosθ/r，即mβRcosθ。

由此可見，輪上個點的軸向位移與軸向力的方向相反。這看起來有點違反直覺，但實際情況的確如此。

為了說明這一點，我們來仔細(xì)分析輪子邊緣最上方的點的情況。圖11是進動陀螺（見圖9）的俯視圖。在某個時刻t，輪子頂點（圖中灰點）速度方向水平向左，如圖中間部分所示;而在之前的某個時刻t-Δt，這個點處在輪的右端，那時輪子正從左側(cè)繞進動軸轉(zhuǎn)過來，如圖左側(cè)部分所示;在之后的t+Δt 時刻，該點已運動到輪的左端，而那時輪子已經(jīng)擺到右側(cè)，如圖右側(cè)部分所示。若把該點在三個時刻的位置用光滑的曲線連起來，將得到一條往上凸起的曲線。由此可見，當(dāng)點位于頂點時，它離轉(zhuǎn)軸O 最近，也就是說，它的位移是指向O 的，而此處的軸向力是背離O 的?？梢?，力與位移的方向的確相反。

實際上，考慮到這些點一方面在隨輪子自轉(zhuǎn)，現(xiàn)在又在進動，綜合來看，這些點在作曲線運動，那么曲線運動必然受到向心力的作用，而向心力總是指向曲線的曲率中心的，既然最高點處的軸向力指向遠(yuǎn)離O 的方向，它作為向心力所決定的曲線運動的曲率中心當(dāng)然也在遠(yuǎn)離O 的那一側(cè)了。

3 結(jié)語

本文通過將剛體的運動與質(zhì)點運動的類比，將進動理解為剛體慣性的所導(dǎo)致的結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，我們構(gòu)建了一個思想實驗來理解進動現(xiàn)象。當(dāng)轉(zhuǎn)動的剛體受垂直于角動量的外力矩作用時，其作用效果相當(dāng)于一個未自轉(zhuǎn)的剛體在垂直的方向受到一個力偶作用，這導(dǎo)致了回轉(zhuǎn)力矩。進一步地，我們基于力和運動的簡單計算，深入理解回轉(zhuǎn)力矩的本質(zhì)，通過分析陀螺上各點的速度和位移的分布情況，直觀地解釋了陀螺進動的物理機制。

參 考 文 獻

[1] 江先國.對稱陀螺運動的簡明分析方法[J].大學(xué)物理，1988（10）：5-8.

JIANG X G. A concise analysis method of symmetric gyromotion[J]. College Physics，1988（10）： 5-8. （in Chinese）

[2] 梁昆淼.令人困惑的定點轉(zhuǎn)動[J].大學(xué)物理，2010，29（9）：55-58.

LIANG K M. Confusing fixed-point rotation[J]. CollegePhysics， 2010， 29（9）： 55-58. （in Chinese）

[3] 梁昆淼.力學(xué)上冊[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[4] 劉斌.力學(xué)[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013.

[5] 梁昆淼.旋轉(zhuǎn)的陀螺為什么不倒[J].物理教學(xué)，1980（3）：12-13.

LIANG K M. Why does the spinning top not fall down[J].Physics Teaching， 1980（3）： 12-13. （in Chinese）