譚景芳 王成會 莫潤陽

摘 要 本文在雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)動力學方程的基礎(chǔ)上，利用Runge-Kutta（龍格庫塔）法對振動系統(tǒng)進行數(shù)值分析，通過擺桿擺角隨時間演化的曲線圖像，討論影響系統(tǒng)同步性質(zhì)的因素。利用L-P（林德斯泰特龐加萊）法研究相同雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)對于擺桿擺動振幅和擺動頻率的影響，得到無耦合雙節(jié)拍器系統(tǒng)的近似解，結(jié)合數(shù)值分析比較系統(tǒng)參數(shù)對同步周期和振幅的影響;在理論分析得到的近似同步周期中設(shè)定同步系數(shù)q 值，并通過擬合函數(shù)進行擬合，擬合后得到的同步周期與數(shù)值分析的周期基本一致。本文能為更好地理解耦合系統(tǒng)的同步性質(zhì)提供參考，也能為學生進行雙節(jié)拍器同步物理實驗提供一些理論參考， 增強學生理論聯(lián)系實際的能力。

關(guān)鍵詞 耦合同步;振動系統(tǒng);頻率響應

自然界有很多同步現(xiàn)象[1，2]，如螢火蟲間的同步閃爍、行星對衛(wèi)星的潮汐鎖定、神經(jīng)元間的同步放電等;同步激勵振動的應用方面有振動篩、航天工業(yè)等。弱耦合的多振子模型一般為Kuramoto模型[3-6]。雙振子模型簡單且包含著多振子耦合同步的基本特性，即振子間互相耦合，相互影響，因此研究雙振子的同步行為便于更好地理解多振子的同步行為。節(jié)拍器耦合同步實驗[2]是常用于研究的雙振子模型，其同步現(xiàn)象是比較經(jīng)典的同步現(xiàn)象之一，研究振子耦合問題對于解決自然界的同步行為有重要的幫助。

文獻[7]給出了多節(jié)拍器耦合的力學模型并通過質(zhì)心系的動量矩和動量定理得到多節(jié)拍器耦合的動力學方程，然后通過數(shù)值仿真模擬出了雙節(jié)拍器和三節(jié)拍器的耦合時間;文獻[8]分析了單個節(jié)拍器擺動的物理圖像，然后分析了雙節(jié)拍器同步和反向同步的現(xiàn)象。文獻[9]分析了雙節(jié)拍器耦合的原因，開始時不同步會使各個節(jié)拍器在每次擺動都收到一次微弱沖擊，造成節(jié)拍器相位的微小改變，多次沖擊使得兩節(jié)拍器間相位差為零或π時，此時雙節(jié)拍器達到同步。文獻[10]探究了不對稱節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的同步行為，將同平面的雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)推廣至上下兩層，通過在一層節(jié)拍器產(chǎn)生節(jié)拍信號的位置放上一張紙，使得信號的強度發(fā)生變化，從而可以從音頻信號上分開上下層信號，達到對雙層節(jié)拍器耦合進行分析的目的;通過改變雙層之間、底座與桌面之間摩擦力數(shù)值模擬相流，研究不同的同步模式中擺角的分布范圍。單節(jié)拍器的擺動方程可以轉(zhuǎn)化為杜芬方程，文獻[11]利用久期微擾理論通過試探解將二階耦合的杜芬方程轉(zhuǎn)化了一階耦合的杜芬方程，文獻[12]則在此基礎(chǔ)上通過表象變換，將一階耦合的杜芬方程進行解耦，得到了模式解，但耦合項為線性項，不符合雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)。上述研究中，系統(tǒng)參數(shù)對耦合同步性質(zhì)的影響研究不徹底，也沒有從理論方面給出雙節(jié)拍器系統(tǒng)的同步周期。

由于系統(tǒng)參數(shù)對擺桿的擺動振幅和擺動頻率的影響的定性分析研究較少，本文基于雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動力學模型，利用L-P法得到雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的近似解，通過理論分析和數(shù)值分析研究系統(tǒng)參數(shù)對兩擺桿同步時擺動振幅和擺動頻率的影響，理論分析得到的同步周期近似解能夠較好地反映同步周期的變化特征;引入同步系數(shù)q 值，通過理論分析得到的擬合函數(shù)對同步系數(shù)進行修正，能較好地給出相同的雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的同步周期。

1 數(shù)學模型與理論分析

節(jié)拍器能周期穩(wěn)定地發(fā)出“滴答”的聲音來記錄節(jié)拍，其根據(jù)鐘擺原理制成，擺錘會周期性擺動，因此可以將一個節(jié)拍器簡化為一個擺錘做單擺運動的模型。

在一個平面上架上兩個滾輪，在滾輪上水平放置一個平板，滾輪的縱軸向與平板其中的一個軸向平行，在平板上方同一平面上相距一定距離放置兩個節(jié)拍器，節(jié)拍器擺動方向要與平板移動方向一致，就構(gòu)成了一個雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)，簡化模型如圖1所示。

方程（25）（26）表明耦合系統(tǒng)的擺動頻率主要受系統(tǒng)的阻尼系數(shù)、擺桿的轉(zhuǎn)動慣量、擺桿質(zhì)心到懸掛點的距離這些參數(shù)影響。由式（22）（23）可知，e-12γ1τi 中衰減系數(shù)γ1 越大，振子擺動的振幅衰減得越快，而γ1 與阻尼系數(shù)、擺桿的轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)，故系統(tǒng)的阻尼系數(shù)越大，擺桿的轉(zhuǎn)動慣量越小，振子擺動衰減越快。當經(jīng)過較長時間后，右邊的第二項衰減為零;第一項代表擺桿在穩(wěn)定同步時擺角的變化規(guī)律，是擺動為振幅和頻率相關(guān)的正弦函數(shù)形式。結(jié)合式（25）（26），可見振子振幅和頻率的變化與阻尼系數(shù)、擺桿的轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)，其改變將影響耦合系統(tǒng)的同步特性對擺動振幅與擺動頻率的敏感性。

2 耦合系統(tǒng)動力學的數(shù)值模擬

本節(jié)通過四階龍格庫塔法對雙節(jié)拍器耦合同步方程組（1）～（3）進行數(shù)值分析，雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動力學方程中系數(shù)設(shè)為M P=1kg，mli =0.1kg，ρl=18mm，Ll=7.5mm，g=9.98m/s2，σ2=0.2rad，σ1=0.1rad， Ci=3.0×10-5N·m·s/rad，μ=1.0×10-3N·s/m，R=3.5N·mm。

2.1 擺角的數(shù)值模擬

隨著系統(tǒng)的演化，一個擺桿不斷通過平板質(zhì)心運動影響著另一個擺桿的擺動，同時也受到另一個擺桿的擺動影響，經(jīng)過多次弱耦合作用后，節(jié)拍器最終可達到同相（或反相或延遲）同步狀態(tài)，此時兩擺桿擺角的差值趨于定值。數(shù)值分析結(jié)果表明：無論在哪種同步狀態(tài)下，系統(tǒng)的擺動周期保持不變。圖2給出了不同的初始條件情形下兩擺角的同步演化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)達到同步所需要的時間與初始條件密切相關(guān);在耦合過程中，擺桿擺角的變化具有正弦函數(shù)變化特征;同相同步時，擺桿擺動振幅約為0.69rad，擺動周期約為0.416s，并且反相同步時也能保持相同振幅和周期，因此，同步后擺桿振幅和周期只與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，與初始條件無關(guān)。兩擺桿擺角的相位差如圖3所示，表現(xiàn)為先增大后減小并最終穩(wěn)定為幅值為0.007rad、周期為0.416s微小擾動變化，此時系統(tǒng)處于同步狀態(tài)，擺角的相位差值最終的變化周期與擺角的同步周期幾乎一致，因此可以以擺角的差值的穩(wěn)定來判斷系統(tǒng)是否達到同步。比較圖2（a）與圖4發(fā)現(xiàn)，當γ1 值從0.857rad-1·s-1 增大至9rad-1·s-1 時， 系統(tǒng)達到同步所需的時間從大約9s變?yōu)榧s3s，擺桿的擺動振幅變化更快，這與近似理論關(guān)系式（22）和式（23）預測結(jié)果一致。

3 結(jié)語

本文在相同雙節(jié)拍器動力學模型的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)，擺桿擺角隨時間的演化具有正（余）弦函數(shù)變化特征，初始條件會影響兩擺桿達到同步所需要的時間和最終的同步狀態(tài)，當兩擺桿同步后，擺桿振幅和周期保持不變，且振幅和周期只與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，與初始條件無關(guān)。通過L-P法對雙節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動力學方程進行解耦，得到用無耦合單擺模型表示的近似解，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)達到同步時的擺動周期主要受系統(tǒng)的阻尼系數(shù)、擺桿的質(zhì)量、回轉(zhuǎn)半徑、擺長影響;阻尼系數(shù)越大，轉(zhuǎn)動慣量越小，系統(tǒng)擺桿擺動振幅變化得越快，阻尼系數(shù)、擺桿的轉(zhuǎn)動慣量的改變會影響耦合系統(tǒng)的同步特性對擺動振幅與擺動頻率的敏感性。最后對理論分析得到的近似同步周期進行討論，結(jié)合數(shù)值分析，發(fā)現(xiàn)理論近似式能夠較好地反映同步周期的變化特征;通過理論分析得到的擬合函數(shù)對同步系數(shù)q 值的修正，當擺桿的質(zhì)量、回轉(zhuǎn)半徑、擺長變化時，其同步周期與理論推導得到的周期大致符合，誤差的絕對值小于5%。

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