李佳泓 林蘊(yùn)芊 趙蕓赫 黃敏 馬宇翰

摘 要 “撒克遜碗”是一種底部有孔的計(jì)時(shí)裝置。本文以圓柱形撒克遜碗為例，建立了其在水中下沉的物理模型。首先，本文確定了撒克遜碗順利下沉的臨界條件，包括水能涌入碗的條件和碗初釋放時(shí)出現(xiàn)倒灌現(xiàn)象的條件。然后，本文研究了水涌入碗后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，推導(dǎo)出碗的下沉?xí)r間與碗的幾何特征間的定量關(guān)系。進(jìn)一步，本文設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)以檢驗(yàn)理論模型的正確性。與實(shí)驗(yàn)得到的碗下沉?xí)r間相比，相應(yīng)的理論值普遍偏小。將碗下沉過(guò)程中受到的黏滯阻力和壓差阻力、孔口處淹沒(méi)射流及水頭損失、碗完全浸沒(méi)前受表面張力的影響考慮在內(nèi)后，理論和實(shí)驗(yàn)的一致性明顯增加。最后，本文還引入了壁面函數(shù)用于分析形狀各異的撒克遜碗的下沉?xí)r間。

關(guān)鍵詞 撒克遜碗;臨界條件;孔口射流;表面張力;壁面函數(shù)

從古至今，時(shí)間的測(cè)量和記錄是人類(lèi)文明中的重要一環(huán)。隨著對(duì)不同工具的開(kāi)發(fā)使用，和對(duì)自然規(guī)律認(rèn)識(shí)的加深，人們基于不同的物理原理發(fā)展了不同類(lèi)型的計(jì)時(shí)器。在當(dāng)今社會(huì)，計(jì)時(shí)已成為各種電子產(chǎn)品，智能設(shè)備的基本功能。在公元五世紀(jì)，撒克遜人、古代波斯人設(shè)計(jì)了一種計(jì)時(shí)裝置，他們將一個(gè)底部有洞的碗放在水中，通過(guò)觀(guān)察碗的下沉進(jìn)行計(jì)時(shí)。這種被稱(chēng)為“撒克遜碗”的裝置，其實(shí)是“水鐘”（clepsydra）的一種。這是一類(lèi)用水流進(jìn)行時(shí)間測(cè)量的工具，是古代世界重要的實(shí)用計(jì)時(shí)設(shè)備。水流進(jìn)或流出不同盛放容器時(shí)，可以根據(jù)容器內(nèi)水面高度等參數(shù)的變化確定時(shí)間。在計(jì)時(shí)機(jī)制上水鐘大致可分為兩種：漏刻型和入刻型[1]。本文所研究的“撒克遜碗”就是一種典型的“入刻型”計(jì)時(shí)器。

此前，撒克遜碗的計(jì)時(shí)特征已吸引了相當(dāng)?shù)难芯颗d趣。例如，鐘書(shū)河山等通過(guò)較為簡(jiǎn)單的物理模型，分析了撒克遜碗下沉?xí)r間與碗質(zhì)量、缺口面積、液體密度的關(guān)系[2]。王幸等對(duì)撒克遜碗在下沉中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行了修正，得到了對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的簡(jiǎn)單物理解釋[3]。此外，也有學(xué)者基于軟件仿真從數(shù)值上研究了這一問(wèn)題[4]。值得一提的是，撒克遜碗要能夠?qū)崿F(xiàn)計(jì)時(shí)功能，首先需要能在水中順利下沉。從受力平衡的角度來(lái)說(shuō)，其下沉需要碗的幾何特征滿(mǎn)足特定條件。據(jù)筆者所知，這一對(duì)撒克遜碗而言重要的“臨界條件”還未被系統(tǒng)研究過(guò)。

本文從撒克遜碗的下沉出發(fā)，建立其在水中下沉的物理模型，討論了其順利下沉的“臨界條件”。然后，研究了水涌入碗后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，推導(dǎo)出碗的下沉?xí)r間與碗的幾何特征間的定量關(guān)系，并在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行了驗(yàn)證。研究發(fā)現(xiàn)由該理論模型計(jì)算得到的下沉?xí)r間普遍小于實(shí)驗(yàn)值，因此進(jìn)一步修正理論模型，將黏滯阻力、孔口淹沒(méi)射流、水頭損失、表面張力等因素考慮在內(nèi)，結(jié)果表明理論和實(shí)驗(yàn)的一致性明顯增加，從而使該模型可以更好地預(yù)測(cè)撒克遜碗的下沉?xí)r間。最后，由于撒克遜碗在實(shí)際應(yīng)用中具有多種形狀，所以本文引入了壁面函數(shù)，以研究形狀各異的撒克遜碗的下沉?xí)r間。