于爽 李鵬

摘要：當(dāng)投資者需要進(jìn)行資產(chǎn)交易時(shí)，投資者的每筆交易都會(huì)產(chǎn)生暫時(shí)性和永久性的價(jià)格沖擊。由于資產(chǎn)之間的交叉沖擊，在進(jìn)行一種資產(chǎn)交易時(shí)也要考慮對(duì)另一種資產(chǎn)產(chǎn)生的影響。為了尋求一種交易策略在限定時(shí)間內(nèi)清算資產(chǎn)并獲取最大的收益，可以利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，求解模型對(duì)應(yīng)的HJB（Hamilton Jacobi Bellman）方程得到最優(yōu)的執(zhí)行策略，并將最優(yōu)的執(zhí)行過程拆分為基準(zhǔn)過程與追蹤比率，可以更直觀地對(duì)策略結(jié)果進(jìn)行經(jīng)濟(jì)解釋。

關(guān)鍵詞：資產(chǎn)組合；動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理；HJB方程；最優(yōu)執(zhí)行

2022年，全國商品住宅銷售面積下降，產(chǎn)業(yè)利潤不斷下滑，房地產(chǎn)進(jìn)入振蕩期，隨著恒大、碧桂園等大量房企杠桿率過高，債務(wù)壓力大，房地產(chǎn)的前景變得不容樂觀。因此，大量相關(guān)股票、債券遭遇拋售，面對(duì)此類情形，投資者產(chǎn)生了出售大量相關(guān)資產(chǎn)的需求。投資者要考慮投資者如何在賣出或買入大量的金融資產(chǎn)時(shí)，最小化由于買賣資產(chǎn)而對(duì)市場產(chǎn)生價(jià)格波動(dòng)的不利影響。

為了解決交易的最優(yōu)執(zhí)行問題，Bertsimas和Lo建立了線性的價(jià)格沖擊模型，給出了模型的離散最優(yōu)控制解，以最小化預(yù)期交易成本。Almgren和Chris在Bertsimas和Lo模型的基礎(chǔ)上，將交易成本的平方項(xiàng)作為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避標(biāo)準(zhǔn)。Ahn和Biais等人在實(shí)證分析中發(fā)現(xiàn)，交易量、訂單流和執(zhí)行成本都呈現(xiàn)典型的U型日內(nèi)模式。

此后，Pereira和Zhang提出一個(gè)考慮隨機(jī)價(jià)格影響的多期投資組合選擇模型。相對(duì)于單個(gè)資產(chǎn)的研究，資產(chǎn)組合下的最優(yōu)執(zhí)行策略更具現(xiàn)實(shí)研究意義，例如，Park和Van Roy研究在無限時(shí)間下投資者的最優(yōu)執(zhí)行問題。Cartea和Gan考慮了一個(gè)具有協(xié)整資產(chǎn)的連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)執(zhí)行問題。為了模擬真實(shí)金融市場中的狀態(tài)變化，Ma提出了一種帶有多狀態(tài)的暫時(shí)性與永久性沖擊的最優(yōu)執(zhí)行策略。

一、投資組合的執(zhí)行模型

假設(shè)投資者將T＞0固定為交易期限，可以考慮多資產(chǎn)投資者的最優(yōu)執(zhí)行問題：投資者計(jì)劃在固定的時(shí)間段[0，t]內(nèi)清算他的資產(chǎn)組合。設(shè)向量Q0∈Rd表示投資組合的初始庫存，投資者要考慮資產(chǎn)組合的交易速度，用表示投資者的交易速度，Qt表示投資者在t時(shí)刻的庫存過程，Qt滿足微分方程：

dQt=－vtdt? （1）

投資者在下達(dá)市價(jià)單時(shí)會(huì)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格產(chǎn)生沖擊，通常情況下，賣出訂單推低價(jià)格，而買入訂單推高價(jià)格。令向量St∈Rd表示t時(shí)刻投資者的d維資產(chǎn)，資產(chǎn)價(jià)格過程的動(dòng)態(tài)性表示為：

（2）

式中，Pt是表示市場中其他投資者凈永久沖擊的d×1維向量，B是衡量其他投資者永久價(jià)格沖擊而產(chǎn)生的對(duì)資產(chǎn)價(jià)格敏感性的d×d維的正定矩陣，σs是d×d維的非退化矩陣，并且Σs=σsTσs。其中，對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)，單個(gè)股票的自身永久價(jià)格沖擊，而其非對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)著其他股票的交叉永久價(jià)格沖擊。

為了量化市場中其他投資者的凈永久價(jià)格沖擊，假設(shè)Pt遵循如下的均值回復(fù)過程：

（3）

這里的Φ是一個(gè)具有非負(fù)元素d×d維的對(duì)角矩陣，代表著平均回歸率。σp是d×d維的常系數(shù)波動(dòng)矩陣，并且Σp=σpTσp。令與之間的相關(guān)矩陣為pdt，p是一個(gè)d×d維的矩陣，并且。來自其他投資者 Pt的凈永久價(jià)格沖擊對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的凈需求壓力有著這樣的解釋，令（BPt）l表示向量BPt的第i個(gè)元素，對(duì)于i=1，2，……，d。當(dāng)（BPt）l為正值時(shí)，表示目前市場中第i個(gè)資產(chǎn)，當(dāng)市場上資產(chǎn)的買家多于賣家，當(dāng)（BPt）l為負(fù)值時(shí)，正好相反。

除了永久性的價(jià)格沖擊外，投資者的交易也會(huì)導(dǎo)致暫時(shí)性的價(jià)格沖擊。然而，與永久價(jià)格沖擊的情況不同，投資者交易的臨時(shí)價(jià)格沖擊不會(huì)影響資產(chǎn)價(jià)格St，但會(huì)影響資產(chǎn)的執(zhí)行價(jià)格。根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)，假設(shè)臨時(shí)價(jià)格沖擊是線性的，并定義資產(chǎn)組合的執(zhí)行價(jià)格的向量StE∈Rd為：

StE=St －? fvt （4）

其中，f表示投資者在執(zhí)行資產(chǎn)組合的清算時(shí)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的暫時(shí)性沖擊，f是d×d維的矩陣，f的對(duì)角元素對(duì)應(yīng)單個(gè)股票的自身臨時(shí)價(jià)格沖擊，而非對(duì)角元素對(duì)應(yīng)其他股票的交叉臨時(shí)價(jià)格沖擊。

投資者按市值計(jì)價(jià)的財(cái)富，表示為，其中，投資者以設(shè)定的執(zhí)行價(jià)格進(jìn)行清算資產(chǎn)產(chǎn)生的收入過程表示為：

（5）

初始財(cái)富。

考慮投資者的最優(yōu)執(zhí)行問題，投資者的目標(biāo)是在固定的時(shí)間范圍[0，T]內(nèi)清算其整個(gè)投資組合，并根據(jù)以下績效標(biāo)準(zhǔn)最大化其預(yù)期終端財(cái)富：

（6）

這里的表示為的條件期望。

上式中投資者的績效標(biāo)準(zhǔn)包括三個(gè)部分：第一，投資者在終端時(shí)間T的財(cái)富；第二，表示在終端時(shí)間清算剩余股份獲得的收入，假設(shè)時(shí)間T的線性臨時(shí)價(jià)格沖擊系數(shù)為κ，κ是Rd×d維的正定矩陣。績效標(biāo)準(zhǔn)的最后一項(xiàng)表示運(yùn)行庫存成本，表示懲罰矩陣，是Rd×d維的正定矩陣。特別說明的是，該懲罰項(xiàng)不會(huì)導(dǎo)致投資者現(xiàn)金頭寸的任何現(xiàn)金損失，但會(huì)影響最佳交易速度。換句話說，懲罰矩陣代表投資者進(jìn)行交易的緊迫程度。

投資的交易目標(biāo)是選擇其交易速度以最大化投資績效，因此投資者的價(jià)值函數(shù)定義為：

（7）

其中，是由個(gè)可預(yù)測過程的一組可容許策略集，使得。將投資者的最優(yōu)執(zhí)行問題總結(jié)為以下隨機(jī)控制問題：

（8）

二、最優(yōu)執(zhí)行策略

在解決隨機(jī)控制問題時(shí)，通常采取動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理求解，為了簡寫符號(hào)，記號(hào) ，

考慮下列HJB方程：

（9）

其中，

（10）

終端條件

設(shè)上式HJB方程的擬設(shè)為

（11）

通過將擬設(shè)（11）代入（9）式中的HJB方程，可以得到最優(yōu)交易策略是以下等式的解：

（12）

為了得到最優(yōu)的交易策略，令（12）式中的目標(biāo)函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為0便可求得最優(yōu)的交易策略

（13）

將擬設(shè)式（11）代入（9）式中的HJB方程可得

（14）

然后，匹配項(xiàng)和剩余項(xiàng)導(dǎo)出下列的耦合微分方程。

（15）

（16）

（17）

（18）

求解上述微分方程組可得最終結(jié)果為：

（19）

（20）

（21）

（22）

綜上所述，最終可得最優(yōu)的交易策略：

根據(jù)上式可以得知當(dāng)時(shí)，對(duì)于所有的，都有正定矩陣。在這種情況下，最優(yōu)交易策略可以重寫為下列式子：

（23）

其中，跟蹤率和基準(zhǔn)定義為：

（24）

（25）

根據(jù)（23），最優(yōu)交易策略可以表示為和的乘積。矩陣可以解釋為投資者清算其資產(chǎn)的比率，其完全由投資者的臨時(shí)和永久價(jià)格沖擊決定。其中，矩陣和的對(duì)角線元素為單只股票的自身（永久性和臨時(shí)性）價(jià)格沖擊。其他條件不變時(shí)，當(dāng)每個(gè)股票的自身價(jià)格沖擊增加時(shí)，的對(duì)角線元素會(huì)隨之減少。

此外，可以解釋為基準(zhǔn)過程，當(dāng)前凈需求壓力中與系數(shù)矩陣呈線性關(guān)系，并且體現(xiàn)了凈價(jià)格壓力的持續(xù)性。代表在時(shí)間t≥0時(shí)投資者投資組合的庫存，因此，表示投資者應(yīng)調(diào)整其交易策略，以跟蹤基準(zhǔn)過程。與的情況一樣，（25）中的基準(zhǔn)包含股票的自身和交叉價(jià)格沖擊。

根據(jù)（24）和（25），多資產(chǎn)投資者的最優(yōu)交易策略意味著應(yīng)以的速率向基準(zhǔn)平倉。由于股票的自身和交叉價(jià)格沖擊，投資者在低沖擊下會(huì)表現(xiàn)出更積極地跟蹤基準(zhǔn)的交易策略。

三、數(shù)值模擬

本節(jié)將討論投資者在固定的期限范圍內(nèi)清算兩個(gè)資產(chǎn)的情況，利用數(shù)值模擬模擬價(jià)格變動(dòng)以及清算資產(chǎn)的過程。在同時(shí)存在臨時(shí)和永久的價(jià)格沖擊的情形下，投資者在進(jìn)行清算時(shí)不僅需要考慮價(jià)格沖擊效應(yīng)，還要考慮進(jìn)行多資產(chǎn)清算時(shí)資產(chǎn)之間交叉沖擊效應(yīng)。本節(jié)將進(jìn)行數(shù)值模擬，其中的模型參數(shù)如表1所示。

下圖分別展示了資產(chǎn)1與資產(chǎn)2在固定期限內(nèi)的最優(yōu)執(zhí)行策略、基準(zhǔn)過程、以及庫存水平。

由上圖可以得知，當(dāng)前存與基準(zhǔn)過程之間的差距較大時(shí)，投資者的交易會(huì)變得積極，這是由于基準(zhǔn)過程代表資產(chǎn)的當(dāng)前凈需求。此外，資產(chǎn)2的清算過程顯得更加積極，這是由于資產(chǎn)2的價(jià)格影響系數(shù)產(chǎn)生的影響，也就是說在清算期末，如果資產(chǎn)未清算完畢，投資者不得不清算自己的剩余資產(chǎn)，由于價(jià)格沖擊的存在，價(jià)格的變動(dòng)會(huì)不利于投資者清算，當(dāng)存在較大的價(jià)格影響系數(shù)時(shí)，投資者會(huì)傾向于在期限末前清算所有的資產(chǎn)，以避免產(chǎn)生較大的價(jià)格沖擊。

四、結(jié)語

本文主要介紹了多資產(chǎn)投資者的最優(yōu)執(zhí)行過程，在清算過程中考慮了永久和暫時(shí)的沖擊效用，通過將大的交易目標(biāo)拆分為較小的子目標(biāo)規(guī)避部分沖擊。在模型中，將最優(yōu)執(zhí)行過程分為基準(zhǔn)過程與追蹤比率，使最優(yōu)執(zhí)行過程有了更加明顯的經(jīng)濟(jì)解釋。也就是說，投資者應(yīng)將庫存清算到一個(gè)代表市場凈需求壓力的基準(zhǔn)水平，但當(dāng)投資者向基準(zhǔn)點(diǎn)交易時(shí)，交易速度會(huì)受到價(jià)格沖擊的影響。

參考文獻(xiàn)：

[1]Bertsimas，D，Lo，A.W.Optimal Control of Execution costs[J].Journal of Financial Markets，1998，01（01）：1-50.

[2]Almgren，R，Chriss，N.Optimal Execution of Portfolio Transactions[J].Journal of Risk，2001（03）：5-40.

[3]Ahn，H.-J.，Bae，K.-H.，&Chan，K.Limit Orders，Depth，and Volatility：Evidence from the Stock Exchange of Hong Kong[J].The Journal of Finance，2001，56（02）：767-788.

[4]Biais，B.，Hillion，P.&Spatt，C.An Empirical Analysis of the Limit Order Book and the Order Flow in the Paris Bourse[J].The Journal of Finance，1995，50（05），1655-1689.

[5]Pereira，J.P.，&Zhang，H.H.Stock Returns and the Volatility of Liquidity[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis，2010，45（04），1077-1110.

[6]Park，B.，&Van Roy，B.Adaptive Execution：Exploration and Learning of Price Impact[J]. Operations Research，2015，63（05），1058-1076.

[7]Cartea，?.，Gan，L.，&Jaimungal，S.Trading Co-Integrated Assets with Price Impact[I]. Mathematical Finance，2019，29（02），542-567.

[8]Guiyuan Ma，Chi Chung Siu，Song-Ping Zhu，etl.Optimal Portfolio Execution Problem with Stochastic Price Impact[J].Automatica，2020，112（C）.

作者簡介：于爽（1998），男，河南省開封市人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榻鹑谛畔⒐こ?；李鵬（1977），河南省衛(wèi)輝市人，副教授，主要研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)、金融數(shù)學(xué)。