江蘇省鹽城市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 郝勤秀

計(jì)算是所有數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，計(jì)算教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的地位。多年來，許多教師對計(jì)算教學(xué)的探索形成了許多寶貴的經(jīng)驗(yàn)：讓學(xué)生更好地在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法（來源于教材），從而能正確計(jì)算并靈活運(yùn)用。事實(shí)上，如果堅(jiān)持“唯教材”論，那么學(xué)生對算理的理解、算法的掌握，可能會浮于表面，導(dǎo)致學(xué)生的知識不成系統(tǒng)，這有違新課標(biāo)“體現(xiàn)課程內(nèi)容的一致性、整體性”這一基本要求?；诖耍疚臄M從HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）角度研究計(jì)算教學(xué)。

一、問題的提出——為什么一定要“從高位算起”

學(xué)校一位青年教師執(zhí)教“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”這節(jié)課后，學(xué)生問她一個問題：“列豎式計(jì)算除法時，為什么一定要從高位算起？你看我從低位算起也可以（如圖1）。”這位青年教師當(dāng)時被問蒙了，簡單回答道：“除法豎式計(jì)算一般都從高位算起?！?/p>

圖1

針對這個問題，筆者在一定范圍內(nèi)做了調(diào)查，絕大部分學(xué)生沒有想過這個問題，覺得書上就是這樣的。幾乎所有的教師在課上也沒有引導(dǎo)學(xué)生思考過這個問題，一般都是結(jié)合問題情境引導(dǎo)學(xué)生理解算理，然后很順當(dāng)?shù)匦纬伤惴?。為什么從高位算起呢？教師們大致有這幾種想法：一是認(rèn)為除法從高位算起，簡便；二是結(jié)合分物品的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，先分多的，再分少的；三是認(rèn)為這是除法豎式計(jì)算的法則。學(xué)校的這位青年教師就是第三種想法。這引起了筆者的思考，我們究竟應(yīng)該怎樣進(jìn)行計(jì)算教學(xué)？

每一種運(yùn)算法則的形成都有其歷史過程，只有了解人類是如何發(fā)明計(jì)算方法的，才能對如何讓學(xué)生真正“理解算理、掌握算法”做出更好的判斷。數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合已是國際數(shù)學(xué)課程改革的趨勢，HPM視域下的計(jì)算教學(xué)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》理念下的新樣態(tài)。

二、教改措施——HPM視域下的計(jì)算教學(xué)

“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”這個內(nèi)容很重要，它是后續(xù)學(xué)習(xí)“除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法”的基礎(chǔ)。以蘇教版數(shù)學(xué)為例，教學(xué)時，教師一般會利用教材提供的情境進(jìn)行教學(xué)；通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生理解算理、掌握算法：從高位算起，一位位地算，哪一位上不夠商1要商0……看似是非常完整、有深度的教學(xué)，實(shí)際上沒有真正揭示計(jì)算方法的本質(zhì)。

加減法和乘法都是從低位開始算起的，為什么列豎式筆算除法時要從高位算起呢？克萊因指出，歷史是教學(xué)的指南。追本溯源，與現(xiàn)在比較接近的是出現(xiàn)于公元980年的Gerbert方法。以“880÷7”為例，現(xiàn)在是這樣寫的：

Gerbert方法是這樣的，除數(shù)7寫成“10－3”，商寫在被除數(shù)的右邊：

該過程的第一步，880除以10商88，但實(shí)際除以7，顯然多“分掉”264（3×88=264），實(shí)際剩下264需要繼續(xù)分，第二步商26，“分掉”260，剩下4，再加上這里多“分掉”的78（3×26=78），實(shí)際剩下82……像這樣一直分下去，最后把每次的“過程商”加起來就是最后的商。

Gerbert方法經(jīng)過歷史演變，變成下面的除法豎式（如圖2）。變化后的過程將標(biāo)準(zhǔn)算法中隱藏的位值原理凸顯出來，表面上看起來復(fù)雜，實(shí)則更直觀也更易理解。

圖2

豎式的演變過程證明了一點(diǎn)：除法豎式是為了計(jì)算簡便，這為我們探究“筆算除法為什么從高位算起”提供了思路。

從除法模型角度分析：除法計(jì)算是平均分的數(shù)學(xué)模型。比如48÷3，可以理解為把48根小棒平均分成3份，每份是多少根？平均分的時候可以先分“捆”，每10根小棒1捆，還剩下1捆和8根小棒合起來再平均分，每份6根，最后結(jié)果為每份1捆帶6根，也就是16根；也可以先分“根”，每份2根，剩下2根不夠分，接著分4捆，每份1捆，最后把剩下的1捆和2根合起來再平均分，每份4根，所以最終結(jié)果是2+10+4=16（根）。通過上述分小棒的過程，我們發(fā)現(xiàn)，從“根”開始分比從“捆”開始分的過程更復(fù)雜。結(jié)合實(shí)際，在平均分的時候，人們更愿意從大單位開始分，這與列豎式計(jì)算除法時從高位算起相對應(yīng)。

從計(jì)算過程來看：除法豎式的計(jì)算和其他運(yùn)算一樣，也是一位一位地算，如果被除數(shù)每一位上的數(shù)都正好被除數(shù)整除，那么從高位算起與從低位算起幾乎無差別。實(shí)際上，一般情況下各數(shù)位上的數(shù)平均分后會出現(xiàn)“盈”“虧”情況，在這種情況下，從高位算起就占優(yōu)勢。比如：計(jì)算41÷2，從個位算起，個位上的1除以2不夠除，要從十位“借一當(dāng)十”，再和個位上的1合起來除以2，11÷2=5……1，接著十位上剩余的3和個位上的余數(shù)1合起來是31再除以2，這時又遇到個位上的1不夠除的情況，需要再從十位上“借一當(dāng)十”……一直這樣操作下去，最后還要把若干次“過程商”加起來。被除數(shù)越大，從低位算起時需要向較高位“借一當(dāng)十”的步驟越多，過程越煩瑣。

從除法豎式的書寫形式來看：在二年級第一次接觸“有余數(shù)的除法”時，除法豎式完整記錄了每一步的計(jì)算過程。為了保證知識的系統(tǒng)性和連續(xù)性，在“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的豎式計(jì)算中，也要從高位算起，這樣才能和“有余數(shù)的除法”一樣，完整展現(xiàn)每一步的思考與計(jì)算過程。如果從低位算起，計(jì)算過程中有時會因?yàn)椴粔虺蜉^高位“借一當(dāng)十”，而且余數(shù)也經(jīng)常會出來“調(diào)皮搗蛋”，過程顯得“混亂”，一道豎式無法展示思維的全過程。

通過以上分析可知，除法豎式計(jì)算從低位算起也可以，只是從高位算起更合理。對比加減法和乘法，它們本質(zhì)一樣。加、減法和乘法在列豎式計(jì)算時從高位算起也是可以的，只是遇到進(jìn)位或退位時不方便罷了。所以，四則運(yùn)算中不管哪種運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)從低位算起和高位算起的本質(zhì)都是相同的，都是為凸顯計(jì)算程序的優(yōu)化、簡便。

結(jié)合本文開始那個學(xué)生產(chǎn)生的疑問及以上分析，筆者在設(shè)計(jì)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的教學(xué)時，把除法豎式的“歷史”作為知識背景，整合教材內(nèi)容，將教材例題3和4放在一節(jié)課中嘗試教學(xué)，力求讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”除法豎式的歷程。

層次一：出示例題情境圖讓學(xué)生讀懂題目，嘗試列式并組內(nèi)交流。分小棒，可以先分“捆”，再分“根”；也可以先分“根”，再分“捆”。

設(shè)計(jì)意圖：分的過程可以從兩個不同的角度去思考，為之后嘗試列豎式筆算除法提供思維方向。

層次二：嘗試列豎式計(jì)算46÷2，討論到底從高位算起，還是從低位算起。

設(shè)計(jì)意圖：除法豎式書寫過程和“現(xiàn)實(shí)分”的過程是一致的。教師引導(dǎo)學(xué)生初步體會從高位算起和從低位算起都可以。

層次三：改編例題，將46個羽毛球改成36個。現(xiàn)在你還能嘗試列豎式計(jì)算嗎？學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，交流體會。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分討論，體會“從高位算起和從低位算起都行，但從高位算起更簡便”。

層次四：綜合運(yùn)用（略）。

三、實(shí)踐效果及反思

心理學(xué)研究表明，計(jì)算教學(xué)要借助充分的感性材料，讓學(xué)生通過操作感知并形成相關(guān)活動經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上建立起清晰的表象，再抽象、概括出計(jì)算方法，并通過概括實(shí)現(xiàn)具體化，即進(jìn)一步理解、鞏固具體問題的解決。筆者認(rèn)為HPM視域下計(jì)算教學(xué)的樣態(tài)應(yīng)該如下：

（一）讓計(jì)算教學(xué)具有生命力

有意義的計(jì)算教學(xué)才有生命力。有意義的計(jì)算教學(xué)需具備兩點(diǎn)：一是對于計(jì)算本身而言的，在計(jì)算教學(xué)中，算理必須厘清；一是計(jì)算教學(xué)必須揭示算法最本質(zhì)、最原始的內(nèi)涵。計(jì)算方法在經(jīng)過動態(tài)演化形成靜態(tài)的結(jié)構(gòu)后，從某種程度上來說掩蓋了其深層次、最本質(zhì)的東西。除法算式雖是程序性規(guī)則的教學(xué)，忌直接告知，要讓學(xué)生看看數(shù)學(xué)規(guī)律背后的故事，學(xué)生一定有這樣的期待。

（二）讓學(xué)生真正經(jīng)歷過程

讓學(xué)生真正經(jīng)歷過程，這里的過程，一是指已經(jīng)形成的知識結(jié)構(gòu)過程，二是指知識的歷史形成過程。讓學(xué)生充分感受、重演數(shù)學(xué)知識的歷史，盡管他們的發(fā)現(xiàn)可能是零碎的、初步的，甚至是錯誤的，但恰恰是這樣的過程讓學(xué)生與數(shù)學(xué)家感同身受，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的趣味和內(nèi)在美。同時，為了讓學(xué)生能真正經(jīng)歷過程，教師要為他們創(chuàng)設(shè)良好的探究環(huán)境，激發(fā)學(xué)生探求數(shù)學(xué)真知的興趣和動力。另外，教師要為學(xué)生“經(jīng)歷計(jì)算”創(chuàng)造良好的、適切的條件，從而幫助學(xué)生建立起現(xiàn)實(shí)知識與歷史文化之間的聯(lián)系。

（三）讓計(jì)算教學(xué)充滿文化味

純粹為了訓(xùn)練計(jì)算技能而學(xué)習(xí)，通過不停地機(jī)械訓(xùn)練，學(xué)生算得“又對又快”，計(jì)算能力也能逐漸提高，但他們對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)熱情會逐漸降低，甚至產(chǎn)生厭惡感。所以，讓計(jì)算教學(xué)充滿文化味顯得尤為重要，教師要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過程中通過不斷探索、相互交流來理解和感悟其歷史文化的積淀。

或許，學(xué)生在這樣的環(huán)境中學(xué)習(xí)，計(jì)算速度不及普通課堂，從表面來看效率甚至?xí)档停聦?shí)上，我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅僅是讓學(xué)生擁有知識層面的東西，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生“具有能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”從這個意義上講，HPM視域下的教學(xué)方式是最有效、最長效、最智慧的，符合新課標(biāo)的基本要求，體現(xiàn)了新課標(biāo)的課程理念