江蘇省南京市棲霞區(qū)南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 薛亦暉

在最新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心素養(yǎng)相比《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱“舊課標”）增加了“量感”一詞，并將其界定為“對事物的可測量屬性及大小的直觀感知”，是學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”所需要具備的素養(yǎng)?？梢?，發(fā)展學(xué)生量感素養(yǎng)的重要性。課程標準對于教師的教學(xué)僅僅是指向作用，教師需要研究如下兩個問題：如何在教學(xué)中讓學(xué)生達到新課標對小學(xué)生量感素養(yǎng)的要求？相較于舊課標指導(dǎo)時期需要進行怎樣的調(diào)整？

在研究新課標的過程中，教師應(yīng)當重點探索新、舊課標中的不同，并高度重視兩者的共同點，于變之中尋求不變。盡管在舊課標中提出的核心素養(yǎng)中沒有包含“量感”，但其課程內(nèi)容中各學(xué)段均有對于度量的學(xué)習(xí)，所以對于小學(xué)生量感的培養(yǎng)長久以來一直在教學(xué)中進行，只是沒有明確其內(nèi)涵。建立在新、舊課標共同點的基礎(chǔ)上的研究結(jié)論才能在課標變化的過渡期對一線教師有更好的指導(dǎo)意義。培養(yǎng)量感，應(yīng)關(guān)注度量意識，明確發(fā)展量感的必要性，厘清度量單位，完善度量策略。因此，筆者在下文中將先對新、舊課標中涉及度量的課程內(nèi)容要求進行對比，總結(jié)出共同點與差異，提出相應(yīng)的教學(xué)策略建議，以凸顯在新課標的要求下對小學(xué)生量感的培養(yǎng)。

一、新、舊課標有關(guān)量感培養(yǎng)的課程內(nèi)容比較

（一）有關(guān)量感的課程內(nèi)容的范圍框定

在進行分析與比較前，要首先明確研究對象，即度量的內(nèi)涵與課程范圍。度量是由數(shù)加上度量單位構(gòu)成的，其中數(shù)包括離散量和連續(xù)量，離散量是指物體的個數(shù)，連續(xù)量包括長度、體積、面積、溫度、時間等。度量單位主要包括兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結(jié)果；另一類是借助工具得到的，是人實踐的結(jié)果。小學(xué)階段培養(yǎng)量感的教學(xué)內(nèi)容主要為借助工具得到的連續(xù)量的測量與比較。史寧中教授又將度量分為傳統(tǒng)度量、拓展度量和現(xiàn)代度量三種。傳統(tǒng)度量是指如周長、面積、體積和角的大小等涉及兩點間距離的量，拓展度量是指如質(zhì)量、時間、貨幣和長度等設(shè)定計量單位的量，現(xiàn)代度量是指信息、圖像和網(wǎng)絡(luò)等量化概念。在小學(xué)階段中的課程內(nèi)容只涉及對有關(guān)幾何的傳統(tǒng)度量和一些基本的拓展度量的學(xué)習(xí)，新、舊課標在這方面保持一致。由于量感的培養(yǎng)關(guān)鍵在于利用度量對事物進行直觀感知，各維度圖形的度量策略基本相同，只是特殊圖形在測量中得到的結(jié)果存在一些規(guī)律，從而可以使用一些公式計算其大小屬性，因此這里并未將特殊圖形相關(guān)公式的課程內(nèi)容計入其中。

筆者在對新、舊課標中的課程內(nèi)容進行對比研讀之后，發(fā)現(xiàn)在“圖形與幾何”和“綜合與實踐”學(xué)習(xí)領(lǐng)域均涉及了培養(yǎng)量感的有關(guān)度量的內(nèi)容。因此，下面將這兩個學(xué)習(xí)領(lǐng)域中涉及度量的條目進行比較。其中，新課標將小學(xué)分為一至二年級、三至四年級和五至六年級三個學(xué)段，而舊課標是分為一至三年級和四至六年級兩個學(xué)段。

在新課標中列舉了具體的讓學(xué)生獲得直接活動經(jīng)驗的主題活動，而舊課標只給出了概括性的課程內(nèi)容與目標，在附錄里給出了“綜合與實踐”一些例子。所以，在對于此領(lǐng)域新、舊課標的比較中，新課標采用課程內(nèi)容中的例子，舊課標采用對應(yīng)的附錄中的例子。另外，舊課標第一學(xué)段的“數(shù)與代數(shù)”中“常見的量”的課程內(nèi)容可以與新課標中的一些例子相對應(yīng)，故在比較中也考慮這一部分的內(nèi)容。

（二）兩版課標的共同點

在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，新、舊課標都同樣對單位換算和選擇單位進行圖形的估測有所要求，除了新課標在第二學(xué)段增加了有關(guān)“尺規(guī)作圖”的內(nèi)容之外，課程的知識范圍和各內(nèi)容的認知水平?jīng)]有變化，小學(xué)階段仍然以意識與感知的培養(yǎng)為主。

對于基本圖形的面積測量，新、舊課標的課程內(nèi)容要求并不能直接在教學(xué)中促進量感素養(yǎng)水平的提高，因為面積的測量仍然是對長度進行度量之后，再利用面積公式進行乘法與加法的計算，而第二學(xué)段的學(xué)生已經(jīng)具備了這些計算技能。因此，教師仍然需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會使用度量單位對面積進行估測，這其實是再次強調(diào)了度量意識的培養(yǎng)，說明舊課標也注意了量感的發(fā)展。因此，這部分內(nèi)容的教學(xué)仍然可以沿用原有的單元教學(xué)順序。

（三）兩版課標的差異

首先由于新課標將一至二年級單獨劃分為一個學(xué)段，所以明確要求長度單位米和厘米為第一學(xué)段的內(nèi)容，其余長度單位為第二學(xué)段教學(xué)內(nèi)容。剛剛到達學(xué)齡期的第一學(xué)段的學(xué)生正處于皮亞杰提出的發(fā)展階段的感知運動和具體運算的過渡期，對于量的概念尚未形成，而米和厘米是他們?nèi)粘＝佑|的物體的衡量單位，能夠更加直觀地進行感知。

筆者認為，兩版課標需要進一步探討的差異主要在于以下三點：

其一，新課標增加了度量的方法與工具使用的教學(xué)要求。最明顯的變化在于第二學(xué)段的“圖形與幾何”領(lǐng)域中增加了“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”。另外，關(guān)于面積度量的課程要求中，新課標沒有規(guī)定估計不規(guī)則圖形面積的方法，筆者認為，這里的變化是在鼓勵教師和學(xué)生采用多種方法來進行估測。雖然方格紙的確是一種常用的能夠反映度量本質(zhì)的工具，但是重點在于讓學(xué)生經(jīng)歷選擇度量單位進行計數(shù)的過程，不能將學(xué)生的思維局限于將圖形劃分為方格。

其二，新課標不再將涉及同一類圖形的要求割裂開來，而是把度量本質(zhì)作為核心概念，把對與之聯(lián)系的圖形屬性以及度量單位的認識看作一個整體。這體現(xiàn)在新課標內(nèi)容要求的表述上的顯著變化，即將相同研究對象的內(nèi)容合并為一個條目，體現(xiàn)了單元整體教學(xué)的指向性，凸顯內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)。

其三，新課標對數(shù)學(xué)文化尤其是中國數(shù)學(xué)史的關(guān)注更加顯著，綜合與實踐的主題活動利用了更多的有關(guān)例子。新課標的綜合實踐活動的要求更加具體、更加生活化，并且以數(shù)學(xué)的方式融入了中國歷史上的故事，對常態(tài)教學(xué)有更為直接具體的指導(dǎo)。同時，其在主題活動的具體要求中提及了數(shù)學(xué)文化的德育作用，如“勤儉節(jié)約的意識”（歡樂購物街）、“懂得遵守時間”（時間在哪里）等。

基于這些課標要求的延續(xù)與變化，筆者認為，教師在原有的教學(xué)設(shè)計上可以增加更多的關(guān)于中國數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，減少應(yīng)試方法的教學(xué)，增加對度量意識的培養(yǎng)，從而更有效地落實對于小學(xué)生量感以及其他核心素養(yǎng)的發(fā)展。下面，筆者根據(jù)上述對新、舊課標在度量相關(guān)內(nèi)容的變化的分析提出兩條教學(xué)建議：一條是對具體課堂教學(xué)內(nèi)容的建議；一條是從整體視域下基于知識縱向脈絡(luò)的教學(xué)建議，在以往常態(tài)教學(xué)的基礎(chǔ)上著重培養(yǎng)小學(xué)生的量感。

二、基于新、舊課標差異的教學(xué)策略建議

（一）創(chuàng)設(shè)中國數(shù)學(xué)史融入情境，感受數(shù)學(xué)的思想方法與文化價值

基于小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)量少這一特點，教師應(yīng)將更多的教學(xué)時間放在數(shù)學(xué)文化的感知上，在多年后沒有成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜业膶W(xué)生可能遺忘了他們曾經(jīng)學(xué)的數(shù)學(xué)知識，所以已經(jīng)內(nèi)化的數(shù)學(xué)文化中蘊含的精神與思想才是他們受教育的真正結(jié)果。應(yīng)用數(shù)學(xué)史的內(nèi)容要貫穿并融于課堂，將其與同一核心概念相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容串聯(lián)，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史脈絡(luò)，啟迪學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識內(nèi)容產(chǎn)生的思考。

中華傳統(tǒng)文化中諸子百家更多的是對人文社會的解讀以及對宇宙萬物的玄學(xué)解釋，導(dǎo)致在數(shù)學(xué)的較多領(lǐng)域缺少發(fā)展的歷史。但是由于度量衡的產(chǎn)生是直接與人類交換行為的發(fā)展直接聯(lián)系的，古代中國作為封建小農(nóng)經(jīng)濟社會，數(shù)學(xué)典籍具有濃厚的社會應(yīng)用性色彩，在度量與估算方面有很大的成就，產(chǎn)生了為解決實際問題的度量單位與方法。量感素養(yǎng)培養(yǎng)的主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)度量或使用度量工具，故在培養(yǎng)量感中可以更多地滲透有關(guān)度量的中國數(shù)學(xué)史，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。同時，數(shù)學(xué)歷史在教學(xué)中的滲透，能夠幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)知識與思維的內(nèi)化以及興趣與學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。因此，這點建議是筆者想要重點闡述的培養(yǎng)學(xué)生量感過程中的教學(xué)要求。

汪曉勤及其團隊在數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間關(guān)系（HPM）的研究中提出，小學(xué)數(shù)學(xué)的歷史材料大致可以分成“人物與事件”“概念與思想”“運算與法則”“問題與求解”“公式與命題”“工具與符號”六類，與度量相關(guān)的數(shù)學(xué)史主要是“人物與事件”“概念與思想”以及“工具與符號”。在數(shù)學(xué)史的展現(xiàn)過程中，教師要讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光來看待歷史事件，利用工具與符號從現(xiàn)實世界中抽象出數(shù)量關(guān)系，即通過定量的方法解決問題。

第一，利用數(shù)學(xué)史中的“工具與符號”，讓學(xué)生認識度量工具的原理與作用。在尺規(guī)作圖的教學(xué)中，教師可以介紹古代的規(guī)和矩等度量儀器，將其產(chǎn)生與發(fā)展過程融于教學(xué)過程，如“夏禹治水”中所用的“左規(guī)矩，右準繩”。另外，角的度量也有很多歷史文化可以追溯，如戰(zhàn)國的《考工記》中也出現(xiàn)了關(guān)于角度和標準量器的記載，用小學(xué)生能理解的深入淺出的語言介紹度量角的工具以及角度劃分的數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生體會到描述物體的形態(tài)和位置可以將其量化為有關(guān)角度的描述。中國度量史的研究已達到較高的水準，教師有許多可以參考的文物資源，如吳承洛先生的《中國度量衡史》，度量文物中不乏一些制作精湛的測量儀器，可以供教師取精用宏于教學(xué)。在認識這些工具的過程中，教師要介紹它們的產(chǎn)生原因以及工作原理，與當代的相應(yīng)的測量工具相聯(lián)系，讓學(xué)生意識到它們的作用，并學(xué)會使用基礎(chǔ)的測量工具。

第二，以數(shù)學(xué)史料為載體，將數(shù)學(xué)思想方法呈現(xiàn)于課堂，幫助學(xué)生理解度量本質(zhì)。例如，對于圓面積的測量，教材與課堂中都會經(jīng)常用到“割圓術(shù)”的思想方法引導(dǎo)學(xué)生將圓進行分割后再進行測量。教師應(yīng)當做的不是在課前直接告訴學(xué)生劉徽的“割圓術(shù)”，而是在課堂教學(xué)過程中將其作為一條主線貫穿新課導(dǎo)入。如果在圓之前對于一些基本圖形的面積測量學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)知道面積可以用度量單位為“1”的小正方形的個數(shù)來確定，那么在此基礎(chǔ)之上，教師可以提出如下幾個問題：我們可以用方格紙來估計圓的面積嗎？能不能把圓大致分割成其他的你會求面積的圖形進行測量呢？你是如何分割的？為什么要這樣分割？怎樣分割可以更快速地、更精確地測量？這樣一系列的問題串提出之后，學(xué)生也就可以自然地想到“割圓術(shù)”，在這一過程中學(xué)生也經(jīng)歷了這一思想方法的發(fā)現(xiàn)過程，實現(xiàn)了深度進階學(xué)習(xí)。

第三，展示數(shù)學(xué)史的“人物與事件”，開闊學(xué)生視野，提升學(xué)生的人文素養(yǎng)，實現(xiàn)量感素養(yǎng)對于學(xué)生作為人的發(fā)展的積極影響。張奠宙先生曾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)往往局限于一個概念、一個定理、一種思想的局部歷史的介紹，缺乏宏觀的歷史進程的綜合性描述。實際上用宏觀的數(shù)學(xué)史進程可以更深刻地揭示數(shù)學(xué)的含義，加深對數(shù)學(xué)知識的文化理解?！痹谥v述古代秦始皇統(tǒng)一度量衡的故事時，教師除了可以將歷史的發(fā)展重現(xiàn)于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與探究過程，也可以談?wù)剶?shù)學(xué)在社會中的隱性價值。如春秋戰(zhàn)國時期的政治家、思想家都把度量衡看作權(quán)力和社會公正的象征，把頒行度量衡制度作為治國方略，用度量衡的準確一致來比喻法律的公正性，把時間和音律列為政事和政令管理。從統(tǒng)一度量衡的歷史事件到法治的發(fā)展，學(xué)生可以通過對此內(nèi)容的學(xué)習(xí)感知到數(shù)學(xué)對于社會其他領(lǐng)域的影響。同時這也是將數(shù)學(xué)與歷史相結(jié)合的一種學(xué)科融合建設(shè)方式，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生體會歷史發(fā)展的規(guī)律性與必然性。

在綜合與實踐活動中，新課標所列舉的主題活動和項目式學(xué)習(xí)出現(xiàn)了更多與中國數(shù)學(xué)史有關(guān)的內(nèi)容，因此教師在課堂上仍然要落實上述要求，尤其應(yīng)注重數(shù)學(xué)文化的內(nèi)化與思維的訓(xùn)練，通過活動中的建構(gòu)性學(xué)習(xí)，在思考與解決問題的過程中充分理解與運用度量，形成看待事物的量感。

（二）圍繞研究對象，整體把握度量的教學(xué)內(nèi)容

新課標的量感內(nèi)容要求呈現(xiàn)出“研究對象+”的形式，教師在圖形的認識與測量相關(guān)的單元中要把握“度量單位個數(shù)”這一核心概念，尋求培養(yǎng)量感的知識建構(gòu)過程的教學(xué)模式。雖然根據(jù)后現(xiàn)代主義的課程觀，不應(yīng)當出現(xiàn)特定的固化的教學(xué)模式，但是對一些知識的學(xué)習(xí)方法可以進行遷移，而對基本原理和思想的理解，是我們實現(xiàn)“訓(xùn)練的遷移”的主要途徑。比如在學(xué)習(xí)面積知識時可以仿照長度的內(nèi)容學(xué)習(xí)方法，對圓柱測量的教學(xué)過程安排可以聯(lián)系圓的測量并仿照長方體測量的教學(xué)過程。

在“長度的認識與測量”這部分內(nèi)容中，教師首先提問學(xué)生如何向身邊的人描述物體的長度，學(xué)生會用不同的物體長度的數(shù)量來描述。教師要提示學(xué)生確定測量的標準，再向?qū)W生提問如何比較兩個物體的長度，這時教師引入單位長度這個概念，將物體的長度描述為單位長度的數(shù)量，這樣在進行長度比較時也只需要比較數(shù)量，不再需要通過確定“基準線”再進行觀察。最后給出兩個不同長度量級的事物，詢問學(xué)生是否用同樣的標準測量。在使用同一物體長度來數(shù)其包含的個數(shù)時，學(xué)生就會意識到為了比較連續(xù)量的大小，需要一定的單位；如果需要更準確地測量，就需要進一步細分單位。

仿照長度單元的教學(xué)過程，面積的認識與測量也可以圍繞度量單位的大小與個數(shù)展開。教師先在多媒體上展示一個長方形和一個三角形，且兩者的大小比較結(jié)果不能直接觀察得到，此時回到問題本質(zhì)，提問學(xué)生“比較大小”如何描述。在引入面積概念的這一過程中，學(xué)生建立起度量的意識，通過度量來確定形狀所占空間的大小，而非直接用眼觀察。然后再確定單位面積的大小，詢問學(xué)生用何種度量單位，教師提供使用方格紙的思路，對圖形所占的小方格進行計數(shù)。學(xué)生會意識到這里同樣要統(tǒng)一度量衡，從而也需要使用規(guī)范的國際度量單位。在測量的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出面積公式。其后體積的測量與估計的課堂教學(xué)也是類似的環(huán)節(jié)與設(shè)計思想，如圖1所示，這里不再贅述。

圖1 教學(xué)整體路徑

圖1給出的教學(xué)路徑中包含了對于研究對象的認識、測量與度量單位的教學(xué)，可以分為多個課時進行。以培養(yǎng)量感為目標所涉及的度量問題的重點在于如何得出度量結(jié)果而非度量結(jié)果，因為結(jié)果只是一個沒有美感的數(shù)字，應(yīng)在度量的過程中培養(yǎng)度量意識、掌握度量單位、總結(jié)度量策略，圖1給出的教學(xué)過程的主要環(huán)節(jié)與核心內(nèi)容意在幾何圖形的度量中達到這一目標：一是將長度的學(xué)習(xí)過程遷移到面積，再遷移到體積，實現(xiàn)知識圍繞本質(zhì)的縱向遷移；二是遷移的內(nèi)容是在各主題中對于研究對象進行教學(xué)的整體性設(shè)計以及“割補法”這一數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。

三、總結(jié)

培養(yǎng)學(xué)生量感的首要前提是教師要深刻理解量感的含義，深入研究新課標在核心素養(yǎng)中加入“量感”之后，與舊課標在教學(xué)內(nèi)容要求上產(chǎn)生的差異。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容較少，且有關(guān)度量的各主題章節(jié)之間有著數(shù)學(xué)思想方法的聯(lián)系，教師應(yīng)當以其數(shù)學(xué)本質(zhì)為主線，找到一種以培養(yǎng)量感為首要目標的教學(xué)模式。