盧山, 張世源

(1.上海航天控制技術(shù)研究所, 上海 201109; 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 201109)

隨著航天器在深空探測(cè)、國(guó)防、導(dǎo)航通訊等多個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用,人們對(duì)航天器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制精度的要求也越來越高。準(zhǔn)確的狀態(tài)估計(jì)是航天器實(shí)現(xiàn)軌道、姿態(tài)自主控制、執(zhí)行深空探測(cè)、在軌服務(wù)等空間任務(wù)的前提[1]。隨著任務(wù)需求的變化,航天器的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型越來越復(fù)雜,在軌運(yùn)行環(huán)境不確定性因素越來越多,許多研究機(jī)構(gòu)和學(xué)者改進(jìn)和提出了各類非線性濾波算法[2-3]以獲得更高的狀態(tài)估計(jì)精度。

單變量非平穩(wěn)增長(zhǎng)模型(univariate nonstationary growth model,UNGM)是用于驗(yàn)證非線性濾波算法的基準(zhǔn)模型,在濾波器設(shè)計(jì)與評(píng)估類文獻(xiàn)中被廣泛使用[4-10]。該模型的狀態(tài)方程具有很強(qiáng)的非線性,而且在觀測(cè)yk是關(guān)于狀態(tài)xk的偶函數(shù)時(shí)其狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度呈雙峰特性[11],即狀態(tài)量在2個(gè)不同區(qū)間內(nèi)取值的可能性接近,這大大增加了對(duì)狀態(tài)量進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)的難度?；谝陨显?UNGM的狀態(tài)估計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的非線性遞推貝葉斯濾波問題,對(duì)于濾波器性能的要求非常高[12]。但是自文獻(xiàn)[13]首次將該模型應(yīng)用于驗(yàn)證非線性濾波器性能以來,鮮有文獻(xiàn)針對(duì)該模型的性質(zhì)進(jìn)行分析研究。由于該模型特性較為復(fù)雜,使得一些研究,如文獻(xiàn)[14-16]對(duì)該模型的使用存在不恰當(dāng)之處。無跡卡爾曼濾波器(unscented Kalman filter,UKF)[17]是一種經(jīng)典的非線性濾波器,經(jīng)常在濾波器設(shè)計(jì)類文獻(xiàn)中被用作對(duì)比仿真試驗(yàn)的基準(zhǔn)濾波器。由于UKF屬于Sigma點(diǎn)卡爾曼濾波器,即采用確定性采樣的方式獲取采樣點(diǎn),其采樣點(diǎn)的數(shù)量以及分布范圍均受限。當(dāng)待估計(jì)狀態(tài)量的后驗(yàn)概率密度呈雙峰特性時(shí),UKF所使用的采樣策略無法同時(shí)獲得狀態(tài)量在2個(gè)概率密度峰值區(qū)間的統(tǒng)計(jì)信息,會(huì)使得UKF估計(jì)結(jié)果失準(zhǔn)?；谏鲜鲈?UKF在對(duì)UNGM進(jìn)行估計(jì)時(shí),會(huì)出現(xiàn)模態(tài)估計(jì)錯(cuò)誤、狀態(tài)方差發(fā)散等問題,同時(shí)會(huì)影響其作為對(duì)比仿真試驗(yàn)中的基準(zhǔn)濾波器時(shí),對(duì)濾波器性能進(jìn)行評(píng)估的合理性。

粒子濾波(particle filtering,PF)[18]基于Bayes原理的序貫Monte-Carlo模擬方法,采樣點(diǎn)數(shù)目與分布范圍不受限制,能夠?qū)篁?yàn)概率密度呈雙峰分布的狀態(tài)量進(jìn)行估計(jì)。在PF中引入重采樣以解決權(quán)值退化問題的濾波器稱為自舉粒子濾波器(bootstrap particle filtering,BPF)[5],是一種簡(jiǎn)單易行的粒子濾波器。但BPF仍存在計(jì)算量過大、模型針對(duì)性不強(qiáng)等問題,不是一種高效的濾波方法。

狀態(tài)后驗(yàn)概率密度呈雙峰特性的系統(tǒng)模型在工程應(yīng)用領(lǐng)域也廣泛存在:Duffing振子在諧和與隨機(jī)噪聲聯(lián)合作用下的系統(tǒng)響應(yīng)[19];油田產(chǎn)量和可采儲(chǔ)量的二重二參數(shù)Weibull混合分布預(yù)測(cè)模型[20];毛細(xì)管-環(huán)電極配置的高壓靜電霧化系統(tǒng)下水靜電霧化霧滴粒徑的分布[21]等的狀態(tài)量均具有顯著的雙峰概率密度分布規(guī)律。對(duì)UNGM模型的特性進(jìn)行分析,設(shè)計(jì)一種能夠有效應(yīng)對(duì)UNGM的濾波器對(duì)于工程應(yīng)用領(lǐng)域具有一定的借鑒意義。

1 UNGM特性分析

UNGM的離散化狀態(tài)空間方程表示為

(1)

式中:a∈(0,1),b,c,α,β為模型系數(shù),a與α對(duì)模型特性影響較大,可以根據(jù)研究所需的模型特性進(jìn)行調(diào)整;w,v為過程噪聲和觀測(cè)噪聲。

將狀態(tài)方程中含狀態(tài)變量項(xiàng)定義為

(2)

令a=0.5,b=25,c=20,α=0。假設(shè)狀態(tài)初值x0服從均值為0的正態(tài)分布。UNGM的狀態(tài)方程曲線及狀態(tài)量在無噪聲影響下的遞推過程如圖1所示。

圖1 UNGM狀態(tài)方程曲線

由圖可知,當(dāng)x0取值為一數(shù)值較小的正數(shù)時(shí),由于f(x)在原點(diǎn)附近快速增長(zhǎng)的特性,狀態(tài)量會(huì)在下一時(shí)刻遞推至一較大正數(shù)x1,并在后續(xù)時(shí)刻逼近狀態(tài)方程函數(shù)y=f(x)與直線y=x在第一象限的交點(diǎn)(7,7)。易知該交點(diǎn)為狀態(tài)量的一個(gè)平衡點(diǎn),即處于該點(diǎn)的狀態(tài)量受擾動(dòng)偏離該交點(diǎn)后,均有返回該點(diǎn)的趨勢(shì)。因此在系統(tǒng)噪聲的作用下,狀態(tài)量的值將圍繞平衡點(diǎn)上下波動(dòng)。

當(dāng)x0取值為負(fù)時(shí),遞推過程與上述分析相同,此時(shí)的平衡點(diǎn)為狀態(tài)方程函數(shù)y=f(x)與直線y=x在第三象限的交點(diǎn)。在不考慮余弦項(xiàng)與系統(tǒng)噪聲時(shí),狀態(tài)方程為奇函數(shù),故兩平衡點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于狀態(tài)初值服從均值為零的正態(tài)分布,故x0取值為正數(shù)、負(fù)數(shù)的概率各占0.5,后續(xù)時(shí)刻的狀態(tài)量將也以相等的概率圍繞第一、第三象限的平衡點(diǎn)上下波動(dòng),這即是UNGM中狀態(tài)量概率密度分布呈雙峰特性的原因。

令a分別取值為0.5與0.9,其余參數(shù)不變。從均值為0,方差為1的高斯分布中取10 000個(gè)樣本點(diǎn)作為狀態(tài)量在k=0時(shí)刻的初始分布,將這些點(diǎn)代入到UNGM狀態(tài)方程迭代5次,得到狀態(tài)量在k=5時(shí)刻的概率密度分布如圖2所示。

圖2 參數(shù)a對(duì)函數(shù)特性的影響

由狀態(tài)方程曲線可知,參數(shù)a對(duì)UNGM模型特性的影響主要在于狀態(tài)方程函數(shù)y=f(x)與直線y=x交點(diǎn)的位置,即狀態(tài)平衡點(diǎn)的大小。a取值越大,狀態(tài)平衡點(diǎn)距離y軸越遠(yuǎn)。由概率密度曲線可知,狀態(tài)量在k=5時(shí)刻的概率密度分布呈明顯的雙峰特性。分布峰值關(guān)于x=0對(duì)稱,且a取值越大,峰值間距越大。

在a=0.5時(shí),令β=1.2,α=8,其余條件不變。進(jìn)行6次迭代,即令cos(1.2(k-1))近似變化一個(gè)周期,繪制k=1至k=6之間每一時(shí)刻的狀態(tài)方程與概率密度曲線,如圖3所示。

圖3 參數(shù)α對(duì)函數(shù)特性的影響

如圖3a)所示,αcos(β(k-1))的存在相當(dāng)于在每一時(shí)刻的狀態(tài)方程中引入一大小不同的常數(shù),使得狀態(tài)方程曲線沿y軸在[α,-α]的范圍內(nèi)上下移動(dòng),平衡點(diǎn)也隨之上下平移,不再關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于平衡點(diǎn)不斷發(fā)生變化,狀態(tài)概率密度的峰值也不再關(guān)于x=0對(duì)稱,同樣在一定范圍內(nèi)呈類似周期性的變化。該變化范圍的閉區(qū)間邊界為αcos(β(k-1))=±α?xí)r,狀態(tài)方程函數(shù)y=f(x)與直線y=x交點(diǎn)的x軸坐標(biāo)值。

2 UKF失準(zhǔn)問題分析及UNGM的常見使用誤區(qū)

2.1 模態(tài)判斷錯(cuò)誤

模態(tài)判斷錯(cuò)誤這一失準(zhǔn)問題的具體表現(xiàn)為:狀態(tài)估計(jì)誤差發(fā)散,狀態(tài)估計(jì)方差收斂,狀態(tài)估計(jì)值與狀態(tài)真實(shí)值近似關(guān)于x=0對(duì)稱。

模態(tài)判斷錯(cuò)誤發(fā)生的情況共有2種。第一種是由UKF的狀態(tài)初值設(shè)置不當(dāng)引起,文獻(xiàn)[14]由于忽略了此類失準(zhǔn)情況,造成對(duì)比仿真結(jié)論不合理;第二種是由過程噪聲小概率發(fā)生的大幅跳變引起,文獻(xiàn)[15]由于忽略了此類失準(zhǔn)情況,造成對(duì)比仿真結(jié)論不嚴(yán)謹(jǐn)。

真實(shí)狀態(tài)在系統(tǒng)隨機(jī)噪聲的作用下,可能由初始狀態(tài)x0=0跳變至正值或負(fù)值,并穩(wěn)定在UNGM位于第一或第三象限的平衡點(diǎn)附近。由于UKF無法對(duì)初始隨機(jī)跳變的正負(fù)進(jìn)行判斷,故濾波器中的一步預(yù)測(cè)值xk|k-1與狀態(tài)真實(shí)值xtrue可能正負(fù)異號(hào),穩(wěn)定于不同象限的平衡點(diǎn)。

圖4 模態(tài)判斷錯(cuò)誤情況下的UKF估計(jì)情況

文獻(xiàn)[14]認(rèn)為這種情況是由UKF估計(jì)誤差過大造成,進(jìn)而得出UKF對(duì)非線性系統(tǒng)濾波性能不佳的結(jié)論。但該結(jié)論是不恰當(dāng)?shù)?。由上述分析可?UKF的模態(tài)判斷錯(cuò)誤是存在隨機(jī)性的,并非在每一次仿真中都會(huì)發(fā)生。當(dāng)UKF的模態(tài)判斷正確時(shí),仍能對(duì)UNGM進(jìn)行較準(zhǔn)確估計(jì),具體表現(xiàn)如圖5所示。

圖5 模態(tài)判斷正確情況下的UKF估計(jì)情況

圖6 模態(tài)判斷錯(cuò)誤情況下的狀態(tài)估計(jì)誤差與方差

第二種模態(tài)判斷錯(cuò)誤情況,如圖7所示。雖然過程噪聲w～N(0,10)的均值為0,但仍會(huì)有小概率出現(xiàn)幅值較大的情況。通常情況下,狀態(tài)量會(huì)在過程噪聲的影響下在某一平衡點(diǎn)附近波動(dòng)。當(dāng)濾波時(shí)間足夠長(zhǎng),狀態(tài)量便可能受到某一刻較大幅值的過程噪聲值影響,正負(fù)號(hào)發(fā)生跳變,并迅速穩(wěn)定至另一平衡點(diǎn)。本文將這種情況稱為狀態(tài)量的“模態(tài)跳變”。同樣受量測(cè)方程為偶函數(shù)的影響,UKF無法識(shí)別這種模態(tài)跳變,發(fā)生模態(tài)判斷錯(cuò)誤。

圖7 UKF模態(tài)判斷錯(cuò)誤

由UNGM特性分析可知,a的值越小,狀態(tài)平衡點(diǎn)距離y軸越近,平衡點(diǎn)的值越小。這表示著w使?fàn)顟B(tài)量發(fā)生符號(hào)跳變所需的值越小,狀態(tài)量在平衡點(diǎn)之間發(fā)生跳變的可能性越大,模態(tài)跳變?cè)筋l繁。

文獻(xiàn)[15]對(duì)狀態(tài)量進(jìn)行了100個(gè)時(shí)刻的濾波估計(jì)后,在估計(jì)誤差收斂的情況下判定濾波器估計(jì)性能良好。這樣的結(jié)論仍是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?原因在于時(shí)間樣本過少,未能包含上述狀態(tài)量小概率發(fā)生模態(tài)跳變時(shí)模態(tài)判斷錯(cuò)誤的情況。

2.2 狀態(tài)估計(jì)方差發(fā)散

狀態(tài)估計(jì)方差發(fā)散的表現(xiàn)為:狀態(tài)估計(jì)方差大幅震蕩,在模態(tài)判斷正確的情況下狀態(tài)估計(jì)誤差仍不能收斂,濾波器失效。此類情況由UKF的Sigma點(diǎn)分布不合理引起,文獻(xiàn)[6,16]均由于忽略了此類失準(zhǔn)情況,造成對(duì)比仿真結(jié)論不嚴(yán)謹(jǐn)。

按文獻(xiàn)[6,16]進(jìn)行參數(shù)設(shè)置,令a=0.5,α=8,β=1.2,其余條件不變。在這種情況下UKF的狀態(tài)估計(jì)誤差與狀態(tài)估計(jì)方差曲線如圖8所示。

圖8 狀態(tài)估計(jì)方差發(fā)散情況

由圖可知,在該條件下UKF狀態(tài)估計(jì)誤差發(fā)散,估計(jì)方差也未能收斂,濾波器處于失效狀態(tài)。發(fā)生這種情況的原因分析如下。

由UKF濾波原理可知,該算法通過2n+1個(gè)采樣點(diǎn)來近似非線性變化后的狀態(tài)分布,其中n為狀態(tài)方程維數(shù)。故在UNGM中,UKF算法每一時(shí)刻在f(x)中取3個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行時(shí)間更新中一步預(yù)測(cè)值xk|k-1與方差Pk|k-1的計(jì)算。其中第一個(gè)采樣點(diǎn)為上一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值,另外2個(gè)采樣點(diǎn)根據(jù)Unscented變換法則關(guān)于第一個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)稱分布。假設(shè)某一時(shí)刻狀態(tài)量位于平衡點(diǎn)附近,且估計(jì)值的絕對(duì)值與真實(shí)值接近,具體采樣情況如圖9所示。

圖9 UKF采樣情況示意圖

由UNGM特性分析可知,當(dāng)a取值較大且α取值較小時(shí),平衡點(diǎn)距離y軸較遠(yuǎn),如圖9中的x1,此時(shí)3個(gè)采樣點(diǎn)均位于同一象限。在這種情況下,當(dāng)UKF發(fā)生模態(tài)判斷錯(cuò)誤,即估計(jì)值與真實(shí)值處于不同象限時(shí),由于f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,UKF在估計(jì)值鄰域進(jìn)行的采樣仍能很好地近似真實(shí)值鄰域內(nèi)f(x)區(qū)段對(duì)狀態(tài)分布的影響。

但是當(dāng)a取值較小且α取值較大時(shí),f(x)沿y軸上下移動(dòng)會(huì)使得某些時(shí)刻的平衡點(diǎn)距離y軸很近,如圖9中的x2。此時(shí),3個(gè)采樣點(diǎn)將位于原點(diǎn)鄰域內(nèi)的不同象限。由于f(x)在原點(diǎn)附近快速震蕩的特性,UKF采樣點(diǎn)的分布將發(fā)生畸變,不再能夠近似真實(shí)值鄰域內(nèi)f(x)區(qū)段對(duì)狀態(tài)分布的影響。在這種情況下,即使模態(tài)判斷正確,UKF仍會(huì)估計(jì)失準(zhǔn),且狀態(tài)估計(jì)方差發(fā)散。具體情況如圖10所示。

圖10 狀態(tài)估計(jì)方差發(fā)散時(shí)的UKF估計(jì)情況

由上述分析可知,第二類狀態(tài)估計(jì)失準(zhǔn)情況在任何確定性采樣濾波器(UKF、CKF等)的估計(jì)過程中均會(huì)發(fā)生。即使在此類濾波器基礎(chǔ)上做出算法優(yōu)化,只要未改變采樣法則,都無法避免此類情況的發(fā)生。

由卡爾曼濾波基本原理[22]可知,濾波的目的在于融合狀態(tài)量與觀測(cè)量的信息,使得濾波結(jié)果的方差小于系統(tǒng)噪聲方差與觀測(cè)噪聲方差,以得到更為精確的估計(jì)值。故當(dāng)濾波器估計(jì)值的方差無法收斂時(shí),濾波器處于失效狀態(tài),估計(jì)結(jié)果不可靠。

文獻(xiàn)[6,16]將優(yōu)化后的UKF與UKF應(yīng)用于本節(jié)參數(shù)設(shè)置條件下的UNMG,用以比較兩者性能。由上述分析可知,在這種參數(shù)設(shè)置狀態(tài)下,優(yōu)化后的UKF與UKF均處于失效狀態(tài),而在濾波器失效時(shí)對(duì)其估計(jì)精度進(jìn)行比較是缺乏意義的。

3 SSUKF算法設(shè)計(jì)

由UKF失準(zhǔn)情況的分析可知,UKF不適合作為使用UNGM對(duì)非線性濾波器進(jìn)行性能評(píng)估時(shí)的基準(zhǔn)濾波器。為解決這一問題,本文提出具有滑動(dòng)采樣模塊的UKF(UKF with sliding sampling module,SSUKF),具體設(shè)計(jì)如下。

3.1 修正模態(tài)判斷錯(cuò)誤

由UNGM特性分析可知,當(dāng)α≠0時(shí),狀態(tài)量后驗(yàn)概率分布的雙峰將失去對(duì)稱性,本文將從這一特性著手進(jìn)行研究。

狀態(tài)方程中cos(β(k-1))在同一時(shí)刻大小、符號(hào)相同,由于系統(tǒng)噪聲w服從均值為0的正態(tài)分布,故此時(shí)xtrue

當(dāng)估計(jì)值與真實(shí)值正負(fù)異號(hào)時(shí),下一步真實(shí)值與濾波器一步預(yù)測(cè)值分別為

在這種情況下引入系統(tǒng)噪聲w后,xtrue-2的概率約為74%;αcos(β(k-1))=0.8時(shí),xtrue-1.6的概率約為70%。

需要注意的是,當(dāng)選取樣本點(diǎn)的閾值,即αcos(β(k-1))的大小確定時(shí),α的值越大,在一定時(shí)間范圍內(nèi),滿足閾值被選取的時(shí)刻點(diǎn)k越多,反之則越少;采樣數(shù)量n越小,對(duì)于模態(tài)錯(cuò)誤的判斷越迅速,但可能發(fā)生誤判;n越大,對(duì)模態(tài)錯(cuò)誤的判斷的延遲越長(zhǎng),但判斷結(jié)果也越準(zhǔn)確。

3.2 修正狀態(tài)估計(jì)方差發(fā)散

本文在UKF的基礎(chǔ)上對(duì)Sigma點(diǎn)采樣法則進(jìn)行修正,以解決狀態(tài)估計(jì)方差發(fā)散的問題,方案如下。

4 仿真校驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證SSUKF應(yīng)對(duì)UNGM復(fù)雜特性的有效性,本文將SSUKF與UKF、BPF進(jìn)行了仿真對(duì)比分析。

4.1 SSUKF與UKF的仿真比較

使用均方根誤差(root mean square error,RMSE)來定量比較各濾波算法的精度。狀態(tài)x在整個(gè)濾波時(shí)段的RMSE可以表示為

(7)

式中:x和xi分別為第i步時(shí)狀態(tài)量的估計(jì)值與真實(shí)值;k表示濾波總步數(shù)。SSUKF與UKF的仿真結(jié)果對(duì)比如表1和圖11所示。

圖11 SSUKF與UKF的狀態(tài)方差對(duì)比

表1 濾波器性能對(duì)比

由表1和圖11可知,與UKF相比,SSUKF在計(jì)算時(shí)間基本一致的情況下,狀態(tài)方差的收斂性與濾波精度都有較大提升。

4.2 SSUKF與BPF的仿真比較

已知BPF算法粒子數(shù)量多、分布范圍廣,能夠較為有效地處理UNGM問題?；贐PF的各種優(yōu)化濾波算法也經(jīng)常使用UNGM進(jìn)行性能評(píng)估。本文通過2組不同參數(shù)設(shè)置的UNGM,對(duì)BPF與SSUKF進(jìn)行比較分析,以進(jìn)一步評(píng)估SSUKF的性能(BPF算法詳見文獻(xiàn)[5],本文不再贅述)。

1) 第一組參數(shù)設(shè)置

令a=0.7,b=25,c=20,α=4,β=1.2。SSUKF采樣數(shù)n=8,BPF粒子數(shù)為300。SSUKF與BPF的估計(jì)結(jié)果如圖12～13所示。

圖12 SSUKF的狀態(tài)估計(jì)情況1

圖13 BPF的狀態(tài)估計(jì)情況1

由圖可知,在這種參數(shù)設(shè)置條件下,狀態(tài)量在正負(fù)平衡點(diǎn)之間的跳變較為頻繁,SSUKF與BPF仍基本能夠?qū)顟B(tài)量的變化進(jìn)行跟蹤。此時(shí)很難從圖中直觀評(píng)價(jià)濾波器性能好壞。濾波器性能的定量比較如表2所示。

表2 濾波器性能對(duì)比

由表可知,在這種參數(shù)設(shè)置條件下,BPF的估計(jì)精度略優(yōu)于SSUKF,但SSUKF的計(jì)算時(shí)間明顯小于BPF,此時(shí)2種濾波器性能接近。

2) 第二組參數(shù)設(shè)置

令a=0.9,α=1,β=0.4;由第3節(jié)分析可知,由于a變大,狀態(tài)量模態(tài)跳變頻次降低,故此時(shí)可以通過增加SSUKF采樣點(diǎn)的數(shù)量以提高其模態(tài)判斷的準(zhǔn)確性,令n=100,其余參數(shù)不變。SSUKF與BPF的估計(jì)結(jié)果如圖14～15所示。

圖14 SSUKF的狀態(tài)估計(jì)情況2

由圖14可知,SSUKF在區(qū)域①發(fā)生初始模態(tài)判斷錯(cuò)誤;UNGM模型在區(qū)域②中因系統(tǒng)噪聲而發(fā)生模態(tài)跳變。上述情形包含了2.1節(jié)中所描述的造成UKF失準(zhǔn)的兩類模態(tài)判斷錯(cuò)誤情況。當(dāng)這兩類模態(tài)誤判發(fā)生時(shí),SSUKF均正確做出判斷并迅速修正。

由圖15可知,BPF在區(qū)域①中迅速修正了模態(tài)判斷錯(cuò)誤;在區(qū)域②中則經(jīng)過了較長(zhǎng)的延遲才對(duì)模態(tài)錯(cuò)誤做出修正;在區(qū)域③中則發(fā)生了模態(tài)誤判的情況,估計(jì)值的符號(hào)發(fā)生錯(cuò)誤跳變。這是由于當(dāng)a較大時(shí),UMGN后驗(yàn)概率密度的雙峰分布間隔較大(詳見UNGM特性分析),BPF的粒子分布稀疏使得采樣信息充分,導(dǎo)致濾波器性能下降。這也體現(xiàn)了BPF對(duì)于具體模型針對(duì)性不強(qiáng)的特點(diǎn)。

圖15 BPF的狀態(tài)估計(jì)情況2

濾波器性能的定量比較如表3所示。

表3 濾波器性能對(duì)比

由上述分析可知,在這種參數(shù)條件下,SSUKF在模態(tài)判斷準(zhǔn)確性以及模態(tài)修正速度上均優(yōu)于BPF。

4.3 仿真總結(jié)

由仿真結(jié)果可知,SSUKF在狀態(tài)方差的收斂性與濾波精度上均優(yōu)于UKF。此外,SSUKF可以根據(jù)模型特性的變化進(jìn)行對(duì)應(yīng)的參數(shù)調(diào)整。相較BPF,SSUKF的模型針對(duì)性更強(qiáng)且計(jì)算量更小。

綜上所述,SSUKF通過對(duì)UKF自身濾波數(shù)據(jù)的充分利用與適當(dāng)處理,解決了UKF應(yīng)用于UNGM時(shí)的失準(zhǔn)問題,達(dá)到了較好的濾波效果。

5 結(jié) 論

1) 對(duì)非線性濾波器設(shè)計(jì)與研究過程中普遍使用的UNGM進(jìn)行了詳細(xì)的特性分析,分析了模型參數(shù)對(duì)于模型特性的影響及其雙峰特性的成因;

2) 指出UKF應(yīng)用于UNGM時(shí)失準(zhǔn)的原因主要在于模態(tài)判斷錯(cuò)誤與采樣點(diǎn)畸變引起的方差發(fā)散,同時(shí)結(jié)合上述原因分析了在以往研究中使用UNGM與UKF時(shí)的不當(dāng)之處;

3) 提出了SSUKF,仿真結(jié)果表明SSUKF能夠有效解決UKF應(yīng)用于UNGM時(shí)的失準(zhǔn)問題。在使用UNGM對(duì)濾波器性能進(jìn)行評(píng)估時(shí),SSUKF彌補(bǔ)了UKF作為基準(zhǔn)濾波器時(shí)論證不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴},更適合與各種非線性濾波器進(jìn)行比較分析;

4) SSUKF在模態(tài)跳變的響應(yīng)速度與模態(tài)判斷準(zhǔn)確性的兼顧層面仍有改進(jìn)空間;

5) 如何將SSUKF的模態(tài)判斷方法應(yīng)用于實(shí)際工程模型中,有待進(jìn)一步深入研究。