邱柏鳳，熊志平

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

加權(quán)廣義逆廣泛地應(yīng)用于矩陣方程近似求解、微分方程數(shù)值解、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域的大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算當(dāng)中.大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算問(wèn)題的解決要利用加權(quán)最小二乘技術(shù)（WLS）[2-3]，該技術(shù)的最佳逼近解可以用矩陣乘積的加權(quán)廣義逆來(lái)計(jì)算，在計(jì)算過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：矩陣乘積的加權(quán)廣義逆的反序律是否成立？20 世紀(jì)60 年代中期以來(lái)，矩陣乘積的廣義逆的反序律受到極大的關(guān)注，并且得到了一些有趣的研究結(jié)果以及應(yīng)用算法[3-6].近年來(lái)，矩陣乘積的加權(quán)廣義逆的反序律理論與應(yīng)用研究得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，逐漸成為了一個(gè)熱點(diǎn)的前沿研究課題.

設(shè)Cm×n表示復(fù)數(shù)域中的所有m×n階復(fù)矩陣構(gòu)成的集合，Cm表示復(fù)數(shù)域中的所有m維復(fù)向量構(gòu)成的集合，0m×n表示m×n階零矩陣的全體，Im表示m階單位矩陣，對(duì)于任意矩陣A∈Cm×n來(lái)說(shuō)，A*,r（A）分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣和矩 陣A的秩，R（A）表示矩陣A的值域，N（A）表示矩陣A的零空間.

設(shè)A∈Cm×n，M和N分別為m階和n階的Hermite 正定矩陣，滿足下列4 個(gè)方程：

的矩陣X∈Cn×m稱為A的加權(quán)廣義逆，記

對(duì)于集合{1,2,3M,4N}的一個(gè)子集{i,j,…,k}來(lái)說(shuō)，A{i,j,…,k}表示滿足方程（i），（j）,…,（k）的所有矩陣的集合.如果矩陣X∈A{i,j,…,k}，則稱X為A的一個(gè){i,j,…,k} 逆，記為X=A（i,j,k）.滿足方程(1)和(3M)的所有n×m階矩陣可以用集合A{1,3M}表示，A{1,3M}中的元素X為A的一個(gè){1,3M}逆，記為X=A（1,3M），此時(shí)X也稱為A的一個(gè)加權(quán)最小二乘廣義逆.

本文利用廣義Schur 補(bǔ)的極大極小秩，參見文獻(xiàn)[7]和一些經(jīng)典的秩等式與秩不等式[8]，給出了3 個(gè)矩陣乘積的加權(quán)廣義逆的如下反序律：A3{1,3M3}A2{1,3M2}A1{1,3M1} ?（A1A2A3）{1,3M1}和A3{1,4M4}A2{1,4M3}A1{1,4M2} ?（A1A2A3）{1,4M4}成立的充分必要條件.

引理1[1]26設(shè)L和M是Cn上的兩個(gè)互補(bǔ)子空間，PL,M表示沿著M到L上的投影算子，則

引理2[1]28-31設(shè)A∈Cm×n，X∈Cn×m；M和N分別為m階和n階的Hermite 正定矩陣，則

引理3[7]設(shè)A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cl×n和D∈Cl×k；M∈Cm×m為Hermite 正定矩陣，則

引理4[8]設(shè)A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cr×n則有下列矩陣的秩等式及秩不等式：

其中EA=Im-AA+和FA=In-A+A.

2 主要結(jié)果

這一節(jié)中，我們將給出3 個(gè)矩陣乘積的加權(quán)最小二乘廣義逆的反序律成立的充分必要條件，相關(guān)結(jié)論在下面的定理中呈現(xiàn).

結(jié)合公式（14）、（15）、（16）和引理4，可得

結(jié)合公式（11）、（12）、（13）和（17），可得

根據(jù)引理1，引理4 和定理1，很容易得出下列推論

推論1設(shè)，i=1,2,3是3 個(gè)Hermite 正定矩陣，則下列說(shuō)法等價(jià)：

由引理2 可知X∈A{1,4N}當(dāng)且僅當(dāng)X*∈A*{1,3N-1}，因此根據(jù)定理1，很容易給出下述定理和推論，證明省略.

3 結(jié)論