李新鵬，高榕，陳一峰，萬(wàn)萌萌，何愛進(jìn)，吳黎軍

(1.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830052；2.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

信度理論是保險(xiǎn)精算中重要的保費(fèi)厘定方法,它依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)的先驗(yàn)信息和賠付信息對(duì)保費(fèi)進(jìn)行估計(jì),得到的信度保費(fèi)為樣本均值和信度補(bǔ)項(xiàng)的加權(quán)平均。Bühlmann等[1]研究的任意分布下的凈保費(fèi)信度估計(jì)是現(xiàn)代信度理論起源。

若保險(xiǎn)人只收取凈保費(fèi),則依據(jù)破產(chǎn)理論,必將導(dǎo)致保險(xiǎn)人破產(chǎn),所以在實(shí)際中不能直接使用凈保費(fèi)原理。因此,在不同保費(fèi)原理下對(duì)信度保費(fèi)的研究成為其熱門領(lǐng)域,Bühlmann[2]研究了基于方差保費(fèi)原理的近似信度估計(jì);Pan等[3]給出了Esscher保費(fèi)原理下的信度估計(jì),并證明了估計(jì)滿足相合性;溫利民等[4]研究了基于指數(shù)保費(fèi)原理的信度保費(fèi);章溢等[5]在2019年采用風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)變量的矩母函數(shù)給出了矩相關(guān)保費(fèi)原理,它包含了非壽險(xiǎn)精算學(xué)中大部分保費(fèi)原理,研究了矩相關(guān)保費(fèi)原理下信度保費(fèi)問題;李新鵬等[6]在2021年研究了基于矩相關(guān)保費(fèi)原理的具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的信度保費(fèi)問題,給出了信度保費(fèi)以及結(jié)構(gòu)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)。

在實(shí)際問題中,不同風(fēng)險(xiǎn)之間具有相關(guān)性,如一次交通事故可以導(dǎo)致多個(gè)賠付,地域相近的房屋面臨共同的火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)等。李新鵬等[7-8]在LINEX損失函數(shù)下分別對(duì)具有時(shí)間變化效應(yīng)的單合同和多合同信度模型問題進(jìn)行了研究,推導(dǎo)出了相應(yīng)的信度保費(fèi);Bolancé等[9]提出了索賠頻率風(fēng)險(xiǎn)模型,推導(dǎo)出了時(shí)間效應(yīng)為自相關(guān)時(shí)間序列時(shí)的信度保費(fèi);鄭丹等[10]研究了具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度保費(fèi)問題;Wen等[11]研究了共同隨機(jī)效應(yīng)下的信度模型,得到了信度保費(fèi);李新鵬等[12]在2020年給出了MLINEX損失函數(shù)下具有風(fēng)險(xiǎn)相依效應(yīng)的信度保費(fèi)。

本文在矩相關(guān)保費(fèi)原理下,考慮風(fēng)險(xiǎn)間的時(shí)間變化效應(yīng),研究一份保單在過(guò)去不同年賠付額之間具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度模型,以期得到相應(yīng)的信度保費(fèi),最后,運(yùn)用數(shù)值模擬的方法驗(yàn)證基于矩相關(guān)保費(fèi)原理,并證明幾種常見保費(fèi)原理下風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的信度估計(jì)滿足相合性。

1 模型假設(shè)與預(yù)備知識(shí)

信度理論基于平方損失函數(shù),將估計(jì)限定在過(guò)去賠付額的線性組合中,得到信度保費(fèi)公式

給定隨機(jī)變量X,稱M(t)=E(etX)為隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)。由此可得

E(X)=M'(0),

D(X)=M''(0)-[M'(0)]2,

E(eαX)=M(α),

E(XeαX)=M'(α),

并且定義一種統(tǒng)一的保費(fèi)原理——矩相關(guān)保費(fèi)原理。

定義1給定風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)變量X及數(shù)α>0,矩相關(guān)保費(fèi)原理為

H(X)=f(M'(0),M''(0),M(α),M'(α)),

式中f為多元連續(xù)函數(shù)[5]。

假設(shè)一份保單過(guò)去n年賠付額隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn有各自的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ1,Θ2,…,Θn,且這些風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)具有時(shí)間變化效應(yīng)。模型的假設(shè)如下:

假設(shè)1給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ1,Θ2,…,Θn,賠付額X1,X2,…,Xn之間獨(dú)立, 條件矩母函數(shù)為

M(t,θi)=E(etXi|θi),i=1,…,n+1。

由此可得:

假設(shè)2風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θi的分布函數(shù)為π(θi),且

E[M(t,θi)]=M0(t),

Cov[M(t,θi),M(t,θj)]=

εi(t)εj(t),i,j=1,…,n+1。

記X=(X1,…,Xn)',Θ=(Θ1,…,Θn)'。易知:

E(Xi|θ)=M'(0,θ),

D(Xi|θ)=M''(0,θ)-[M'(0,θ)]2,

E(eαXi|θ)=M(α,θ),

E(XieαXi|θ)=M'(α,θ)。

基于矩相關(guān)保費(fèi)原理,該保單下一年的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)為

u(θ)=f(M'(0,θ),M''(0,θ),M(α,θ),M'(α,θ)) ,

(1)

為此,令

Yi(t)=etXi,Y(t)=(Y1(t),…,Yn(t))'。

令Yi(t)的線性組合為M(t,θ)的估計(jì),通過(guò)求解下述最優(yōu)化問題:

(2)

式中ω(t)≥0為已知權(quán)重函數(shù),得到其估計(jì),再依據(jù)“代入”準(zhǔn)則得到u(θ)的信度估計(jì)。

為了求解問題(2),給出引理1。

引理1設(shè)Yn+1(t),Y1(t),…,Yn(t)為隨機(jī)序列,Y(t)=(Y1(t),…,Yn(t))',B=(b1,…,bn),則當(dāng)

引理2給出了具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度模型的性質(zhì)。

引理2在假設(shè)1和假設(shè)2下,可得以下結(jié)論:

(i)Yi(t)的期望為

E[Yi(t)]=M0(t),i=1,…,n+1。

(ii)Yn+1(t)與Y(t)的協(xié)方差為

Cov[Yn+1(t),Y(t)]=

εn+1(t)(ε1(t),…,εi(t),…,εn(t))。

(iii)Y(t)的方差協(xié)方差矩陣為

i=1,…,n)+(ε1(t),…,εi(t),…,

εn(t))'(ε1(t),…,εi(t),…,εn(t)),

式中diag[…]為對(duì)角矩陣。

(iv)Y(t)的方差協(xié)方差矩陣的逆矩陣為

2 矩相關(guān)保費(fèi)原理下信度保費(fèi)估計(jì)

下述定理1給出了問題 (2) 的解,即條件矩母函數(shù)M(t,θ)的最優(yōu)估計(jì)。

定理1在假設(shè)1、假設(shè)2下,通過(guò)求解最優(yōu)化問題(2),得到M(t,θ)的最優(yōu)估計(jì)為

式中:

證明由引理1得,M(t,θ)的最優(yōu)估計(jì)為

(3)

根據(jù)引理2和定理1中已知條件可得

因此,

令

E(Xi|θ)=μ1(θ),

E(XieαXi|θ)=γ(α,θ),

E[μ1(θ)]=μ1,

E[μ2(θ)]=μ2,

E[γ(α,θ)]=γ(α),

并且引入記號(hào)

則風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)為

u(θ)=f(μ1(θ),μ2(θ),M(α,θ),γ(α,θ))。

因此,通過(guò)“代入”原則,易得定理2。

定理2在矩相關(guān)保費(fèi)原理下,基于風(fēng)險(xiǎn)之間的時(shí)間變化效應(yīng),得到矩母函數(shù)的信度估計(jì),進(jìn)而得到風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)u(θ)的信度估計(jì)為

式中:

由于函數(shù)f具有不同形式,所以根據(jù)定理2給出期望值保費(fèi)原理、方差保費(fèi)原理、Esscher保費(fèi)原理、指數(shù)保費(fèi)原理下具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度保費(fèi)估計(jì)。

推論1(i)期望值保費(fèi)原理中信度保費(fèi)估計(jì)為

(ii)方差保費(fèi)原理中信度保費(fèi)估計(jì)為

(iii)Esscher保費(fèi)原理中信度保費(fèi)估計(jì)為

(iv)指數(shù)保費(fèi)原理中信度保費(fèi)估計(jì)為

推論2在矩相關(guān)保費(fèi)原理下,基于風(fēng)險(xiǎn)之間的時(shí)間變化效應(yīng),Bühlmann模型的信度保費(fèi)估計(jì)為

式中:

3 數(shù)值模擬

下面運(yùn)用數(shù)值模擬方法驗(yàn)證基于矩相關(guān)保費(fèi)原理,證明在幾種常見保費(fèi)原理下本文得到的信度保費(fèi)估計(jì)滿足相合性。

首先,給出期望值保費(fèi)原理、方差保費(fèi)原理、Esscher保費(fèi)原理、指數(shù)保費(fèi)原理下風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)分別為:

u1(θ)=(1+α)μ1(θ),

u2(θ)=μ1(θ)+α(μ2(θ)-μ1(θ)2),

假設(shè)Θi～U(0,0.5),在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)θi給定下,賠付額Xi,i=1,…,n+1服從Bernoulli分布,即P(Xi=1|θ)=θ,P(Xi=0|θ)=1-θ,則:

M(α,θ)=E(eαXi|θ)=θ(eα-1)+1,

σ2(α,θ)=D(eαXi|θ)=(eα-1)2(θ-θ2),

μ1(θ)=μ2(θ)=θ,

γ(α,θ)=E(XieαXi|θ)=θeα,

取

εi(α)=εj(α)=ε(α),

則

根據(jù)定理2及連續(xù)性定理可得

表1 不同樣本容量下風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的信度估計(jì)均值及均方誤差

從表1可看出,4種保費(fèi)原理下得到的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)信度估計(jì)的均方誤差隨著樣本容量的增大而逐漸減小,說(shuō)明本文得到的信度估計(jì)滿足相合性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在矩相關(guān)保費(fèi)原理下,研究了具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度保費(fèi),得到了信度估計(jì),并且給出了基于矩相關(guān)保費(fèi)原理和幾種常見保費(fèi)原理下具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度保費(fèi)估計(jì)和具有時(shí)間變化效應(yīng)的Bühlmann模型的信度保費(fèi)估計(jì)。本文得到的信度估計(jì)形式簡(jiǎn)單,數(shù)值模擬驗(yàn)證了本文得到的信度估計(jì)滿足相合性。