高中數(shù)學填空題的答題策略山東省青島大學附屬中學高中李錦昱

高中數(shù)學填空題是近幾年高考得分率非常低的題型，因其只寫最終結果，因此對運算的速度和準確性要求很高.下面，我結合最近幾年的高考對填空題的解題策略分幾個部分加以總結，期望對讀者的備考有所幫助.四道填空題中，第13題和第14題大多屬于中檔偏易題，無論是考查函數(shù)、三角、向量、不等式、數(shù)列、直線與圓、復數(shù)、排列組合二項式定理或概率統(tǒng)計都是要快速準確地得出結果.第15題和第16題作為填空題的壓軸題，主要以立體幾何（大多與截面和球有關）、解析幾何（在雙曲線和拋物線的等內容設問比較集中）、解三角形、函數(shù)與導數(shù)等內容的考查為主．

一、立體幾何填空題的考查類型與答題策略

（一）球的內切與外接

類型1：題干設置對棱相等的四面體可構造長方體模型

例1.（2022年5月濟南三模第16題）在四面體ABCD中，已知AB=CD=25，AC=BD=25，AD=BC=4，記四面體ABCD外接球的球心到平面ABC的距離為d1，內切球的球心到點A的距離為d2，則d1d2的值為．

解析：使六條棱恰好是長方體的六條面對角線，本題中外接球和內切球球心重合于長方體體對角線的中點O，d1為內切球的半徑r，d2為外接球的半徑R，設長方體的長寬高分別為a，b，c，則VABCD=13abc，3V=Sr，a2+b2+c2=4R2，由a2+b2=a2+c2=20，b2+c2=16，解得a=23，b=c=22，R=7，r=32，故d1d2=2114．

注：一般涉及內切球可用等體積轉化求解其半徑．

類型2：作好軸截面，注意發(fā)揮三角公式的工具性作用

例2.（2022年5月濰坊模擬（一）第16題）如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=9，AA1=10，過點A且與直線CD平行的平面α將長方體分成兩部分，且分別與棱DD1，CC1交于點H，M．

（1）若DH=DC=9，則三棱柱ADH-BCM外接球的表面積為?；

（2）現(xiàn)同時將兩個球分別放入被平面α分成的兩部分幾何體內，在平面α變化過程中，這兩個球半徑之和的最大值為?．

解析：（1）若DH=DC=9，則三棱柱ADH-BCM外接球等價于正方體的外接球，其直徑2R=93，外接球的表面積為4πR2=243π.

（2）設AB足夠長，如圖，作ΔBCM和梯形BB1C1M的內切圓，α+β=π4，則tan（α+β）=tan?α+tan?β1-tan?αtan?β=1，tan?α=r19-r1，tan?β=r210-r2，10r1+9r2-r1r2=45，r1=45-9r210-r2，r1+r2=45-9r210-r2+r2，設r1+r2=t整理可得r22-（t+1）r2+10t-45=0，方程在區(qū)間（0，9）有正實數(shù)根，判別式滿足Δ=t2-38t+181≥0，解得t≤19-65或t≥19+65（舍），故r1+r2的最大值為19-65.故填：243π；19-65．

注：本題易錯點是認為r1=r2時對應的值為最大值，此時求出的結果為19-181（事實上，19-65=19-180>19-181）．

（二）和截面與交線有關問題注意作出截面和交線

例3.（2022深圳一模12改編）如圖，已知直四棱柱ABCD-EFGH底面是邊長為4的正方形，CG=m，點M為CG的中點，點P在底面EFGH上運動，則當m=4時滿足BP⊥AM的點P的軌跡長度為；當m=433時，滿足∠APM=π2的點P的軌跡長度為．

解析：設EF，EH的中點分別為Q，T，滿足BP⊥AM的點P的軌跡為線段QT，且QT=22；當m=433時，長方體ABCD-EFGH中，以AM為直徑的球面與底面EFGH恰好相交（AM=1033，r=533，球心到上底面的距離d=3），若點P使得∠APM=π2，設AM的中點為O，底面EFGH的中心為O1，則OO1=3，點P的軌跡是以O1圓心，半徑為433的圓（或利用空間向量可得A（4，0，0），M（0，4，233），P（x，y，433），AP·MP=0，（x-2）2+（y-2）2=163），但軌跡長度并不是整個圓周833π，注意到半徑r=433>2，因此圓上部分圓弧在上底面（正方形）之外，且這四段圓弧的圓心角恰好都是π3，軌跡長為（2π-π3×4）×433=839π，故填：22；839π．

（四）折疊問題注意折疊前后變與不變

例4.（2022聊城市一模16）在矩形ABCD中，E是AB的中點，AD=1，AB=2，將ΔADE沿DE折起得到ΔA1DE，設A1C的中點為M，若將ΔA1DE繞DE旋轉90°，則在此過程中動點M形成的軌跡長度為．

解析：如圖，將ΔADE沿DE折起，則等腰直角ΔA1DE所在平面始于平面ABCD終于平面ABCD，連接CE，DE的中點為O，CE，CD的中點分別為P，Q，PQ的中點為O1，MP∥A1E，MQ∥A1D，點A旋轉到點A1（Q視為運動的終點）時，相應中點從M0（AC，EQ的中點）旋轉到點M（點A落回平面ABCD內QC的中點M1視為運動的終點），則所求動點M的軌跡是以O1為圓心的圓弧M0M，MO1=12A1O=24，所以M0M=28π（當然也可以計算M0M=12AA1）．

此題改編于下面的這道題：

如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點E是AB的中點，將ΔADE沿DE折起到ΔA1DE的位置，A1C的中點為M，在翻折過程中：①BM的長不變；②M在某球面上運動；③存在某個位置使DE⊥A1C；④存在某個位置使BM//平面A1DE.其中正確結論的序號是．

答案：①②④．

取CD的中點F，連接MF，BF，則MF∥DA1，BF∥DE，平面MBF∥平面A1DE，所以BM//平面A1DE，④是真命題；∠A1DE=∠MFB=45°，DE=FB=2，MF=1，由余弦定理可得MB2=FB2+MF2-2FB·FMcos?45°=5，BM=5，因此①②都是真命題；假設存在某個位置使DE⊥A1C，因為DE⊥EC，則DE⊥平面A1EC，DE⊥A1E，這與DA1⊥A1E矛盾，所以不可能有DE⊥A1C，即③是假命題．

（五）注意新定義問題

例5.在空間中，定義“點到幾何圖形的距離”為這個點到幾何圖形上各點距離中的最小值.已知正方形ABCD的邊長為2，則到定點A距離為1的點圍成的幾何體的體積為；該正方形ABCD區(qū)域（包括邊界以及內部的點）記為Ω，則到Ω距離為1的點所圍成的幾何體的體積為.（本題第一空2分，第二空3分）

解析：到定點A距離為1的點圍成的幾何體是半徑為1的球，其體積為4π3；到ABCD的距離為1的兩平面分別記為A1B1C1D1，A2B2C2D2，到正方形ABCD區(qū)域Ω距離為1的點所圍成的幾何體由三部分組成（如圖所示）：正方體A1B1C1D1-A2B2C2D2、以AB，BC，CD，DA為軸的四個半圓柱體、以A1A2，B1B2，C1C2，D1D2為直徑的14球，該幾何體的體積為8+4π+4π3=8+16π3．

二、函數(shù)與導數(shù)填空題的考查類型與答題策略

最近兩年的高考填空題中，每年都設置了一道函數(shù)與導數(shù)題，2022全國Ⅰ卷，2022全國Ⅱ卷，全國乙卷，全國甲卷，浙江卷，北京卷全部考了切線.切入點是切線問題，主要分為以下三種類型．

類型1：求某點處的切線方程（或斜率、傾斜角）

已知切點（x0，f（x0）），求切線的基本步驟是：①求f?′（x）和f?′（x0）、f（x0）；②切線方程為y-f（x0）=f?′（x0）（x-x0）．

例1.已知f（x）為偶函數(shù)，當x<0時f（x）=ln（-x）+3x，則曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為．

解析：當x>0時f（x）=lnx-3x，f?′（x）=1x-3，f（1）=-3，f?′（1）=-2，切線方程為y-（-3）=-2（x-1），化簡得2x+y+1=0．

注：偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)，奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)．

類型2：求經過某點的切線方程（或斜率、傾斜角）

切線經過某點（x1，f（x1））（不一定是切點），求切線的基本步驟是：①設切點為（x0，f（x0））；②求f?′（x）和f?′（x0）、f（x0）；③切線方程為y-f（x0）=f?′（x0）（x-x0），將（x1，f（x1））代入切線方程，求出x0，再將y-f（x0）=f?′（x0）（x-x0）具體化．

例2.（2023年1月深圳龍華區(qū)期末第13題）過原點O（0，0）作曲線f（x）=log2x的切線l，則切點的橫坐標為．

解析：f?′（x）=1xln2，設切點為（x0，y0），則k=1x0ln2，切線方程為y-log2x0=1x0ln2（x-x0），切線過原點O（0，0）即log2x0=1ln2=lneln2=log2e，x0=e，切點為（e，log2e），切點的橫坐標為e．

類型3：一條公切線問題

例3.已知直線l：y=kx+b是函數(shù)f（x）=ax2（a>0）與函數(shù)g（x）=ex圖像的公切線，若直線l與函數(shù)f（x）圖像切于點（1，f（1）），則b=．

解析：f?′（x）=2ax，g′（x）=ex，設切點為A（1，a），B（x0，ex0），則切線方程為y-a=2a（x-1），其中k=f?′（1）=2a，f（1）=a=k+b，b=-a，故l：y=a（2x-1）恒過定點（12，0）；f?′（1）=2a=g′（x0）=ex0，y-ex0=ex0（x-x0）過定點（12，0），-ex0=ex0（12-x0），解得x0=32，b=-12e32，故填-12e32．

類型4：多條切線與多條公切線

例4.若f（x）=23x3-x2+ax-1上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標都大于0，則實數(shù)a的值可以為?.（填寫符合要求的一個實數(shù)即可）

解析：f?′（x）=2x2-2x+a，則2x2-2x+a-3=0有兩個不等的正實數(shù)根，結合函數(shù)a=-2x2+2x+3在區(qū)間（0，+∞）的圖象可知，當x=0時a=3；當x=12時a=72；所以當3

三、解析幾何填空題的考查類型與答題策略

最近兩年的高考填空題中，每年都設置了一道解析幾何題，也正是這道題成了拉開檔次的分水嶺，說“得解析幾何者得高考天下”也不為過，解析幾何要抓好以下類型．

類型1：考查阿波羅尼圓．

平面上到兩定點A，B的距離之比為定值λ（λ>0，λ≠1）的動點P的軌跡是圓，此圓稱為阿波羅尼圓．

例1.已知ΔABC的三邊滿足a=4，c=3b，則ΔABC面積的最大值是?；設ΔABC的外接圓和內切圓的半徑分別為R，r，則Rr的取值范圍為?．

解析：如圖，由BC=4，AB=3AC，在直線BC上取點A1，A2使A1C=1，CA2=2，設A1A2的中點為O，則BA1CA1=BA2CA2=3，頂點A的軌跡是阿波羅尼圓O（點A1，A2除外），圓上的點總滿足AB=3AC，當AO⊥BC時，SΔABC≤12×4×32=3；【另可以設B（-2，0），C（2，0），A（x，y），點A的軌跡方程為（x-52）2+y2=94，不含點A1，A2】

由正弦定理asin?A=2R得R=2sin?A，由SΔABC=12bcsin?A=12（a+b+c）r得r=3b2sin?A4（b+1），Rr=3b22（b+1），因為三角形中兩邊之和大于第三邊即b+3b>4，

b+4>3b，所以1

注：阿波羅尼圓圓心確定的方法是λ>1，找到線段BC的λ+1等分點P1（內分點），再延長找到另一個等分點P2（外分點），P1P2的中點即為圓心；0<λ<1在相反方向．

類型2：求圓的切點弦方程或切點弦經過某定點

經過圓外一點P（x0，y0）作圓的切線PA，PB（A，B為切點），求切點弦方程的基本步驟是：①由已知圓f（x，y）=0求圓心Q（a，b）；②寫出PQ為直徑的圓的方程g（x，y）=0；③切點弦方程為f（x，y）-g（x，y）=0．

例2.（2022屆臨沂期末改編）已知圓O：x2+y2=4，直線l：（3+m）x+4y-3+3m=0（m∈R），若圓O與（x-3）2+（y-4）2=25-m恰有三條公切線，則m=?；當m=13時，由直線l上一個動點P向圓O引兩條切線PA，PB（A，B為切點），則切點弦AB經過定點的坐標為?.

解析：圓心O（0，0），半徑r1=2，直線l：（3+x）m+3x+4y-3=0過定點（-3，3），圓（x-3）2+（y-4）2=25-m（圓心D（3，4），半徑r2=25-m），兩個圓外切時有三條公切線，則圓心距OD=5=r1+r2，所以25-m=3，m=16；當m=13時，直線l：4x+y+9=0，設P（x0，y0），則4x0+y0+9=0，OP為直徑的圓為（x-x02）2+（y-y02）2=x20+y204，兩圓方程相減得切點弦方程為x0x+y0y=4，其中4x0+y0+9=0，所以x0x-（9+4x0）y=4，x0（x-4y）-9y-4=0，令x-4y=0，

9y+4=0解得x=-169，y=-49，切點弦過點（-169，-49），故填：16，（-169，-49）．

類型3：巧用圓錐曲線定義

例3.（2022屆廣東省一模12改編）數(shù)學家華羅庚說：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.事實上，很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決.例如與（x-a）2+（y-b）2相關的代數(shù)問題，可以轉化為兩點A（x，y），B（a，b）之間的距離的幾何問題.結合上述觀點，對于函數(shù)f（x）=x2+4x+5+x2-4x+5，則f（x）的最小值為；f（x）=6時x=．

解析：f（x）=（x+2）2+1+（x-2）2+1的幾何意義是x軸上的點P（x，0）到A（-2，1），B（2，1）的距離之和，A（-2，1）關于x軸的對稱點A1（-2，-1），由對稱性可知PA+PB≥A1B=25；對于f（x）=6，其幾何意義是點P（x，0）在橢圓x29+（y-1）25=1（a=3，c=2）上，令y=0可得x=±655，故填：25，±655．

已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上不同于左右頂點的任意一點，M是ΔF1PF2的內心，若SΔMPF1=λSΔMF1F2-SΔMPF2，則λ=1e．

雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在右支上，M是ΔF1PF2的內心，且SΔMPF1=SΔMPF2+λSΔMF1F2，則λ=1e．

類型4：圓錐曲線（雙曲線）的光學性質

橢圓具有光學性質：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經過橢圓鏡面反射，反射光線經過橢圓的另一個焦點．

雙曲線具有光學性質：（見例4）．

拋物線具有光學性質：從拋物線焦點發(fā)出的光線經過拋物線鏡面反射，反射光線與拋物線的對稱軸平行；反之，平行于拋物線的對稱軸的光線經過拋物線鏡面反射，反射光線經過拋物線的焦點．

例4.（2023年濰坊市一模第11題）雙曲線具有光學性質：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過雙曲線另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x23-y2=1的左右焦點，從雙曲線右支上一點A（x0，y0）（x0>3）作直線l交x軸于點M（3x0，0），交y軸于點N，則（）

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±33x

B.點N的坐標為（0，1y0）

C.過點F1作F1H⊥AM（垂足為H），則OH=3（O為原點）

D.四邊形AF1NF2面積的最小值為4

解析：雙曲線x23-y2=1的焦點F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），漸近線方程為y=±33x，kAM=y0x0-xM=x0y0x20-3=x0y03y20=x03y0，則直線l為y=x03y0（x-3x0）即x0x3-y0y=1，因此直線l為點A（x0，y0）處的切線.令x=0可得N（0，-1y0），過點F1向∠F1AF2平分線AM作垂線（垂足為H），延長F1H，AF2交于點Q，則AF1=AQ，由雙曲線定義AF1-AF2=2a，AQ-AF2=QF2=2a，OH是ΔF1F2Q的中位線，OH=a=3；四邊形SAF1NF2=SΔAF1F2+SΔNF1F2=12·2cy0+1y0=2y0+1y0≥4，當且僅當y0=±1即A（6，±1）時取得最小值，故選ACD．

類型5：熟記圓錐曲線的性質（二級結論）

性質1：橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中點弦的性質：橢圓的任意一條弦AB的中點為M，若AB，OM（O為原點）的斜率都存在，則kABkOM=-b2a2．

其等價的性質：在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，橢圓的任意一條弦AB，點A關于原點O的對稱點為A0，若AB，A0B的斜率都存在，則kABkA0B=-b2a2．

例5.（湖南長沙市長郡中學等名校聯(lián)考第15題）已知點A（-5，0），B（5，0），C（-1，0），D（1，0），動點P（x，y）滿足直線AP、BP的斜率之積是-45，若∠PCD=α，∠PDC=β，則sin?α+sin?βsin（α+β）=．

解析：由kPAkPB=-45可得P（x，y）的軌跡方程為x25+y24=1（其中x≠±5，a=5，c=1），在ΔPCD中，由正弦定理可得sin?α+sin?βsin（α+β）=PC+PDCD=2a2c=5．

性質2：雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中點弦的性質：雙曲線的任意一條弦AB的中點為M，若AB，OM（O為原點）的斜率都存在，則kABkOM=b2a2．

其等價的性質：在雙曲線x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，雙曲線的任意一條弦AB，點A關于原點O的對稱點為A0，若AB，A0B的斜率都存在，則kABkA0B=b2a2．

性質3：雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意一點P到兩條漸近線的距離分別為d1，d2，則d1d2=a2b2c2.事實上，點P（x0，y0）到bx-ay=0和bx+ay=0的距離為d1=bx0-ay0c，d2=bx0+ay0c，x20a2-y20b2=1，d1d2=b2x20-a2y20c2=a2b2c2．

類型6：和圓錐曲線通徑有關的折疊問題

橢圓和雙曲線的通徑長均為2b2a，橢圓和雙曲線的焦點三角形ΔPF1F2的面積分別為b2tan?θ，b2tan?θ（其中∠F1PF2=2θ），拋物線的通徑長為2p，圓錐曲線通徑有關的折疊問題也經常出現(xiàn)在各地模擬題中．

例6.（2022年臨沂二模第8題改編）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作直線AB⊥F1F2交雙曲線于A，B兩點，將雙曲線所在平面沿直線F1F2折成平面角為銳角α的二面角，如圖，翻折后A，B兩點變成A′，B′，∠A′F1B′=β，若1-cos?α1-cos?β=2516，則雙曲線的離心率為．

解析：AF1=BF1=b2a+2a，AF2=BF2=b2a，設A′B′=t，則cos?α=1-t22（b2a）2，cos?β=1-t22（b2a+2a）2，1-cos?α1-cos?β=2516即b2+2a2b2=54，b2a2=8，e=3，故填：3．

類型7：涉及圓錐曲線最值巧用導數(shù)

（1）在橢圓或雙曲線中用導數(shù)

例7-1.設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右頂點為A，B，P是橢圓C上不同于A，B的一點，設直線AP，BP的斜率分別為m，n，則ab（3-23mn）+2mn+3（lnm+lnn）取得最小值時，橢圓C的離心率為．

解析：由點差法（也稱橢圓的第三定義）可知mn=-b2a2，則ab（3-23mn）+2mn+3ln（m·n）=3ab+2a33b3-2a2b2-6lnab，設t=ab（t>1），令f（t）=3t+23t3-2t2-6lnt，f?′（t）=3+2t2-4t-6t=（t-2）（2t2+3）t，則t=2時f（t）取得最小值時，e=1-b2a2=32.故填：32．

例7-2.設A，B分別為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右頂點，P，Q是雙曲線C上關于x軸對稱的不同兩點，設直線AP，BQ的斜率分別為m，n，則2ba+ab+12mn+lnm+lnn取得最小值時，雙曲線C的離心率為．

解析：由點差法（雙曲線的第三定義）可知mn=-b2a2，則2ba+ab+12mn+lnm+lnn=2ba+ab+a22b2+ln（b2a2）=2ba+ab+a22b2-2ln（ab），設t=ab（t>0），令f（t）=2t+t+t22-2lnt，f?′（t）=1-2t2+t-2t=（t+1）（t2-2）t2，則t2=2時f（t）取得最小值時，e=1+b2a2=62.故填：62．

注：以上兩例都用到圓錐曲線中斜率之積為常數(shù)，求最小值卻要借助于導數(shù)這一工具．

（2）在拋物線中用導數(shù)

例8-1.（2021年廣東省二模16）已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，直線l過點F且與拋物線C交于A，B兩點，分別過A，B兩點作拋物線C的切線l1，l2，設l1，l2交于點P（x0，y0），則y0=，PAB的面積的最小值為．

解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），y=kx+1與x2=4y聯(lián)立得x2-4kx-4=0，易證x1x2=-p2=-4，y1y2=p24=1，且x1+x2=4k.對y=x24求導可得y′=x2，A，B兩點處的切線斜率分別是k1=x12，k2=x22，k1k2=x1x24=-1，l1⊥l2，點P恰好是以AB為直徑的圓與準線y=-1的切點（即AB的中點在準線的射影），點P（x1+x22，y0）即P（2k，-1），AB=y1+y2+p=x21+x224+2=（x1+x2）2-2x1x24+2=4k2+4，點P（2k，-1）到直線y=kx+1的距離d=2k2+2k2+1=2k2+1，SΔPAB=4k2+1（k2+1）=4（k2+1）32≥4（當且僅當k=0時取得最小值）．