劉婧

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第154頁(yè)有這樣一道題：設(shè) a =0.32 ，b =20.3 ，c = log 2 2 ，試比較 a、b、c 的大小.

初學(xué)者一般會(huì)采用中間值法，分別比較 a、b 與 1 的大小，從而間接判斷出 a、b 的大小關(guān)系.該問(wèn)題較為典型，我們可將其推廣到一般的情形，用 m 代替0.3，n 代替2，當(dāng) 0 < m < n 時(shí)，比較mn和 nm 的大小.這類(lèi)比較結(jié)構(gòu)相同的指數(shù)式的大小問(wèn)題較為常見(jiàn)，于是筆者對(duì)其進(jìn)行了深入的探究：在一般情形下，我們?cè)撊绾伪容^結(jié)構(gòu)相同的指數(shù)式的大小呢？

由于中間值法具有局限性，所以對(duì)于一般的情形，我們需取自然對(duì)數(shù)（或常用對(duì)數(shù)），將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式來(lái)進(jìn)行比較大小，即比較nlnm與mlnn的大小. 由于這兩個(gè)對(duì)數(shù)式中均含兩個(gè)變量，所以比較起來(lái)較為困難，若把兩個(gè)對(duì)數(shù)式同時(shí)除以mn，得到 ln m m與 ln n n，這樣兩個(gè)式子中就只含一個(gè)變量，且結(jié)構(gòu)相同，只需要比較 ln m m與 ln n n的大小，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù) f （x）= ln x x的單調(diào)性問(wèn)題.

f （x）= ln x x是由兩個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的，一般來(lái)說(shuō)，有如下結(jié)論：

（1）函數(shù)的定義域：（0，+∞） .

（2）f （x） = ln x x在區(qū)間 （0，e） 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 （e，+∞） 上單調(diào)遞減；當(dāng) x = e 時(shí)，取得最大值 1 e .

證明：

根據(jù)前面的敘述可知，比較 ab 與 b a 的大小，即比較 ln a a與 ln b b的大小. 因?yàn)?0<0.3<2< e ， 根據(jù)函數(shù)f （x） = ln x x的單調(diào)性可知得當(dāng) 0 < x < e 時(shí)，f （x） 單調(diào)遞增，0.32 < b .

可見(jiàn)，在比較指數(shù)式 ab 與 b a 、對(duì)數(shù)式 ln a a與 ln b b的大小關(guān)系時(shí)，構(gòu)造函數(shù) f （x） = ln x x，靈活運(yùn)用該函數(shù)的單調(diào)性就能順利比較出函數(shù)式的大小.下面舉個(gè)例子.

下列四個(gè)命題：① ln 5 < 5ln 2 ；② ln π > π e ；③2 11 < 11；④3eln 2 > 4 2 ；其中真命題的個(gè)數(shù)是（）.

解：

本題側(cè)重于考查 f （x） = ln x x的性質(zhì)，熟練掌握并靈活運(yùn)用該函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.在對(duì)已知式進(jìn)行變形的過(guò)程中，要將已知式逐步向 ab 與 b a 和 ln a a與 ln b b靠攏，才能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù) f （x） = ln x x的性質(zhì)問(wèn)題.

對(duì)課本中的典型習(xí)題進(jìn)行探究和拓展，不僅能加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，還能掌握一類(lèi)題目的通性通法，從而提高學(xué)習(xí)的效率.