徐霞 李嫣紅 俞佳麗

【摘 要】在“等分除”教學(xué)的基礎(chǔ)上，沿用熊貓分竹筍的問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷“包含除”的學(xué)習(xí)過程：通過比較，發(fā)現(xiàn)“包含除”與“等分除”的相同處和不同處，構(gòu)建起除法含義與數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系；根據(jù)圖式編寫解決問題，區(qū)分“等分除”和“包含除”的不同除法含義；通過分層練習(xí)，加深除法理解。由此，促進(jìn)學(xué)生對(duì)除法含義、除法運(yùn)算和用除法運(yùn)算解決問題的整體理解。

【關(guān)鍵詞】包含除；完善含義；比較異同

在“平均分”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了“等分除”，再學(xué)習(xí)“包含除”會(huì)相對(duì)簡單一些。那么，如何激發(fā)學(xué)生利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過“分一分”“記一記”“列一列”，得到“包含除”的表達(dá)形式？如何創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，將“包含除”與“等分除”進(jìn)行比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)同樣的除法算式有不同的含義？如何讓學(xué)生通過比較，理解等分除是指把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每份是多少，包含除是指一個(gè)數(shù)里面包含了幾個(gè)幾，從而構(gòu)建起除法的含義與數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系？與之相應(yīng)的除法運(yùn)算，又可以遷移運(yùn)用哪一些方法，需要從哪一些角度進(jìn)行豐富？基于這樣的思考，筆者進(jìn)行了課堂教學(xué)實(shí)踐。

一、進(jìn)行比較，提煉除法含義

“平均分”有兩種不同情況，一種是“等分”，一種是“包含”。在“平均分”的教學(xué)中，教師已經(jīng)讓學(xué)生通過具體情境直觀感知了這兩種情況。在“等分除”的教學(xué)中，則結(jié)合具體操作活動(dòng)，將“等分”的連減形式轉(zhuǎn)化成除法中的“等分除”。在此基礎(chǔ)上，本內(nèi)容通過題組比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)除法中的“包含除”。

（一）閱讀審題，發(fā)現(xiàn)異同

教師先出示題組：（1）把24個(gè)竹筍平均放在4個(gè)盤子里，每個(gè)盤子里放多少個(gè)？（2）有24個(gè)竹筍，每4個(gè)放一盤，可以放幾盤？接著引導(dǎo)學(xué)生思考：這兩個(gè)問題有什么相同的地方與不同的地方？

學(xué)生通過比較、思考指出，都是把24個(gè)竹筍平均分，但第（1）題是“平均放在4個(gè)盤子里”，而第（2）題是“每4個(gè)放一盤”。還有學(xué)生指出第（1）題是求每份數(shù)，第（2）題是求份數(shù)。根據(jù)學(xué)生的回答，教師歸納：第（1）題是已知總數(shù)、份數(shù)，求每份數(shù)；第（2）題是已知總數(shù)與每份數(shù)，求份數(shù)。

（二）操作記錄，發(fā)現(xiàn)關(guān)系

學(xué)生已經(jīng)有了從連減的形式中概括出除法算式與數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)。因此，教師可以讓學(xué)生依據(jù)發(fā)現(xiàn)的不同點(diǎn)，用連減的形式分別記錄分的過程，并列出數(shù)量關(guān)系和相應(yīng)的除法算式。學(xué)生獨(dú)立完成后反饋評(píng)析，教師通過板書形成圖1的兩種形式。

接著，讓學(xué)生比較兩種形式，說一說有哪些不同的地方。依據(jù)學(xué)生的回答，教師進(jìn)一步總結(jié)：第（1）題中的除法算式是把24平均分成4份，求每份是多少；第（2）題中的除法算式是求24里面有幾個(gè)4。

（三）回顧比較，形成結(jié)構(gòu)

通過題組比較，學(xué)生初步感知除法的兩種含義。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生回顧“平均分”學(xué)習(xí)中的題組并與之比較，讓學(xué)生依據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，列出數(shù)量關(guān)系與除法算式，進(jìn)一步概括除法的兩種含義。

教師先出示題組：（1）把18個(gè)橘子平均裝在6個(gè)盤子里面，每個(gè)盤子里面可以裝幾個(gè)？（2）有18個(gè)橘子，每個(gè)盤子放6個(gè)，可以放這樣的幾盤？接著讓學(xué)生讀題，并出示分一分與算一算的過程（如圖2、圖3），指出這是學(xué)習(xí)“平均分”時(shí)的兩道題目，請(qǐng)學(xué)生重新分析其中的信息與問題，說一說它們各表示什么意思，并列出數(shù)量關(guān)系與算式解答。學(xué)生獨(dú)立完成后反饋，重點(diǎn)辨析“等分除”與“包含除”的區(qū)別。

上述教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧比較操作活動(dòng)中的“等分”和“包含”，以“等分除”的表達(dá)經(jīng)驗(yàn)引出“包含除”，讓學(xué)生在具體情境的比較中，通過操作活動(dòng)、連減形式記錄與數(shù)量關(guān)系分析，多角度感知“等分除”與“包含除”的聯(lián)系與區(qū)別。

二、看圖編題，體會(huì)除法含義

結(jié)合具體情境，學(xué)生經(jīng)歷了從具體操作、連減形式記錄到除法概括的過程，對(duì)除法的兩種含義已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)。下面讓學(xué)生結(jié)合具體圖式，根據(jù)信息與問題編寫解決問題，概括出相應(yīng)的除法含義，列出數(shù)量關(guān)系并解答除法算式。

（一）區(qū)別類型，感受不同

教師出示圖4，請(qǐng)學(xué)生依據(jù)圖意，說一說已知什么信息，要解決什么問題。先學(xué)生獨(dú)立完成，再同桌交流，最后全班反饋。學(xué)生編出了兩道解決問題：（1）有18個(gè)小圓片，把它們平均分成3組，每組有多少個(gè)？（2）一共有14個(gè)燈泡，每個(gè)燈座裝2個(gè)燈泡，可以裝幾個(gè)燈座？教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)圖式編寫相應(yīng)的解決問題，讓他們進(jìn)一步感知除法兩種含義的區(qū)別，即第（1）題是把18平均分成3份，求每份是多少，第（2）題是求14里面有幾個(gè)2。

（二）依據(jù)特征，自主解答

很顯然，學(xué)生在依據(jù)圖式提出問題的過程中，已經(jīng)掌握了兩類除法解決問題的特征。在此基礎(chǔ)上，教師請(qǐng)學(xué)生一邊操作，一邊依據(jù)特征列出數(shù)量關(guān)系并解答算式。學(xué)生獨(dú)立完成后，教師進(jìn)行反饋評(píng)析，形成如圖5的解答過程。

相比于乘法，除法的數(shù)量關(guān)系更加復(fù)雜。因此，為了讓學(xué)生區(qū)分兩種不同的除法含義，教師不斷地采用題組的形式，讓學(xué)生結(jié)合圖式、關(guān)鍵詞等，逐步發(fā)現(xiàn)兩類除法含義在表達(dá)上的不同點(diǎn)，為進(jìn)一步概括兩類除法的名稱做好了鋪墊。

（三）歸納名稱，尋找對(duì)應(yīng)

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步回顧前面學(xué)習(xí)的三組題組（課件分步出示各題組），請(qǐng)學(xué)生把它們分成兩類，并提問：“可以怎樣分？”并讓學(xué)生說一說它們各有什么特征。學(xué)習(xí)了“等分除”之后，學(xué)生已經(jīng)對(duì)“等分除”的特征有了一定的認(rèn)識(shí)。現(xiàn)在通過對(duì)三組題組的分類、比較，學(xué)生可以進(jìn)一步明確“等分除”的特征，并對(duì)另一類除法的特征進(jìn)行概括，即“一個(gè)數(shù)里面包含了幾個(gè)幾”，叫作“包含除”。

上述教學(xué)結(jié)合具體例子與數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生感受到除法就是對(duì)平均分過程的記錄。在這樣的過程中，學(xué)生逐步脫離操作活動(dòng)與連減形式表述，能夠依據(jù)“等分除”和“包含除”的含義列出數(shù)量關(guān)系，代入信息后再用乘法口訣求商的方法進(jìn)行計(jì)算。

三、分層練習(xí)，加深除法理解

除法的學(xué)習(xí)包含了解意義、計(jì)算與解決問題。在這三方面內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生圍繞平均分這一基本概念，對(duì)除法已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)，不斷地提升學(xué)生對(duì)除法的理解。

（一）想乘做除，熟練計(jì)算

教師出示8道除法計(jì)算題，請(qǐng)學(xué)生利用乘法口訣計(jì)算出商。

（1）48÷8=? ? （2）63÷7=? ? （3）42÷7=? ? （4）54÷9=

（5）35÷7=? ? （6）72÷9=? ? （7）72÷8=? ? （8）56÷8=

學(xué)生獨(dú)立完成后，教師進(jìn)行反饋評(píng)析，接著請(qǐng)學(xué)生回答：這8道題與“等分除”中的除法計(jì)算題相比，有什么不一樣的地方？學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)好像更復(fù)雜一些。教師解釋這些題目都是“用7～9的乘法口訣求商”的，“等分除”中的除法計(jì)算題都是“用2～6的乘法口訣求商”的。

很顯然，在整體教學(xué)設(shè)計(jì)的背景下，可以把原來相互獨(dú)立的除法含義、除法運(yùn)算與用除法運(yùn)算解決問題融合在一起。其中，除法運(yùn)算中的利用乘法口訣求商，是“乘法口訣”的再應(yīng)用，把它與除法含義的學(xué)習(xí)融合，能使求商的方法更科學(xué)。

（二）融入情境，列式釋義

教師出示圖6，讓學(xué)生說一說圖中有哪些信息，據(jù)此可以提出什么問題。這是一個(gè)開放性問題，學(xué)生可以先提出問題：每串香蕉有5根，7串一共有多少根？然后列式解答：5×7=35（根）。再把總根數(shù)看成已知信息，提出問題：（1）一共有35根香蕉，平均分成7串，每串有多少根？（2）一共有35根香蕉，每串有5根，一共有幾串？分別列式解答，并說明每一個(gè)問題的類型，即乘法是“求幾個(gè)幾是多少”，第（1）題是“等分除”，第（2）題是“包含除”。

除法是乘法的逆運(yùn)算。一個(gè)乘法算式可以改寫出兩個(gè)除法算式，相應(yīng)地，一個(gè)乘法數(shù)量關(guān)系也可以對(duì)應(yīng)兩個(gè)除法數(shù)量關(guān)系。利用這種關(guān)系，可以幫助學(xué)生更好地理解除法的含義，以及乘除法解決問題的結(jié)構(gòu)體系。

（三）乘除綜合，提升能力

把除法含義與解決問題相聯(lián)系，把用除法運(yùn)算解決問題與用乘法運(yùn)算解決問題相溝通，可以從整體的視角認(rèn)識(shí)除法，更加深刻地認(rèn)識(shí)除法含義與用除法運(yùn)算解決問題之間的關(guān)系。

教師出示有聯(lián)系的題目：二（1）班同學(xué)參加春游活動(dòng)，分成了9個(gè)小組，每個(gè)小組有4人，二（1）班一共有多少人？如果6人一個(gè)小組，可以分成幾個(gè)小組？讓學(xué)生獨(dú)立讀題解答，完成后反饋評(píng)析。在解答第2個(gè)問題時(shí)，學(xué)生列式：36÷6=6（組）。教師提問：“這兩個(gè)‘6分別表示什么意思？這是一道什么類型的除法題？”學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)“6”的含義不同，其中除數(shù)“6”表示每份數(shù)，商“6”表示份數(shù)，屬于“包含除”。

很顯然，本內(nèi)容的練習(xí)鞏固，并不是簡單地對(duì)“包含除”的鞏固，而是從整體的視角把前面學(xué)習(xí)的除法運(yùn)算與除法數(shù)量關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)拓展，使除法運(yùn)算與乘法口訣建立緊密的聯(lián)系，與乘法形成“一圖式三算式（一個(gè)乘法算式兩個(gè)除法算式）”的結(jié)構(gòu)，為從乘法數(shù)量關(guān)系中延伸出除法數(shù)量關(guān)系做好鋪墊。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)不斷完善、豐富和形成結(jié)構(gòu)的過程。在本內(nèi)容的教學(xué)中，既要關(guān)注新知——包含除，也要與“等分除”建立聯(lián)系，完善對(duì)于除法含義的理解。只有這樣，學(xué)生所學(xué)的知識(shí)才是有結(jié)構(gòu)的、網(wǎng)狀聯(lián)結(jié)的、逐步豐盈完善的。

（1.浙江省杭州市蕭山區(qū)南陽小學(xué)

2.浙江省杭州市蕭山區(qū)信息港小學(xué)）