常思江 李東陽

引用格式：常思江，李東陽.有控彈箭穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測(cè)模型［J］.航空兵器，2023，30（1）：11-18.

ChangSijiang，LiDongyang.AnalyticalPredictionModelofStabilityBoundaryforGuidedProjectiles［J］.AeroWeaponry，2023，30（1）：11-18.（inChinese）

摘要：針對(duì)彈箭在控制力作用下的穩(wěn)定性問題，對(duì)有控彈箭穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測(cè)模型進(jìn)行研究。通過對(duì)彈軸系縱軸向角速度的線性化，在彈軸系下建立了有控彈箭角運(yùn)動(dòng)方程；通過對(duì)彈軸系與非滾系之間滾轉(zhuǎn)角的線性化，在非滾系下建立了五階角運(yùn)動(dòng)方程。根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，分別推導(dǎo)出彈軸系和非滾系下的穩(wěn)定性邊界解析預(yù)測(cè)模型。對(duì)兩種模型在多種工況下開展了仿真分析，結(jié)果表明，所提出的彈軸系模型可用于升弧段和降弧段，但控制方位角的應(yīng)用范圍受限；而非滾系模型不受控制方位角范圍限制，預(yù)測(cè)精度較好，但只能用于降弧段，且控制力過大對(duì)模型精度產(chǎn)生不利影響；實(shí)際工程中建議對(duì)兩種模型進(jìn)行綜合應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：有控彈箭；控制力；角運(yùn)動(dòng)；穩(wěn)定性；彈軸坐標(biāo)系；非滾轉(zhuǎn)坐標(biāo)系

中圖分類號(hào)：TJ760

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-5048（2023）01-0011-08

DOI：10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0219

0引言

隨著精確打擊和低間接傷害概率逐漸成為現(xiàn)代戰(zhàn)爭對(duì)彈藥武器的基本要求，各類低成本彈道修正彈、制導(dǎo)炮彈、制導(dǎo)航彈等有別于一般導(dǎo)彈的有控彈箭應(yīng)運(yùn)而生，目前已廣泛用于航炮、艦炮、地炮等武器系統(tǒng)，具有較高的效費(fèi)比［1］。

由于這類有控彈箭主要是在相應(yīng)的無控彈箭平臺(tái)基礎(chǔ)上通過制導(dǎo)化改造而成，故自20世紀(jì)70年代末以來，研究人員就十分關(guān)注彈箭在控制力作用下的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)等問題［2-4］，針對(duì)各種有控彈箭開展了相關(guān)研究。Wernert等［5］對(duì)鴨式布局雙旋穩(wěn)定彈的穩(wěn)定性判據(jù)進(jìn)行了研究；Corriveau等［6］針對(duì)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)控制彈箭，研究了雙脈沖策略下的彈體響應(yīng)特性；Cooper等［7］研究了鴨式布局非對(duì)稱尾翼彈的穩(wěn)定性問題。國內(nèi)外學(xué)者近年來針對(duì)鴨式布局（含固定舵和可偏轉(zhuǎn)舵）雙旋彈這類有控彈箭，對(duì)自由運(yùn)動(dòng)［5］、強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)［8］、彈體對(duì)控制力和重力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)［9］、法向力計(jì)算模型［10］、質(zhì)心偏移運(yùn)動(dòng)特性［11］、全彈道動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性［12］、控制穩(wěn)定性［13］等方面開展了深入研究。此外，Hu等［14］利用傳遞函數(shù)研究了捷聯(lián)導(dǎo)引頭延時(shí)所引起的彈箭錐形運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定；Li等［15］研究了彈道修正彈的穩(wěn)定控制力邊界問題。

從研究方法角度，上述研究主要是基于攻角方程，通過各種簡化對(duì)攻角方程實(shí)施近似解析求解，從而得到相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)等。為了驗(yàn)證相關(guān)解析解的有效性，往往還需對(duì)剛體彈道模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，由此也引出一重要的學(xué)術(shù)問題。

Lloyd等［2］通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)，對(duì)具有頭部控制力的有控彈箭（如鴨式布局雙旋彈，其頭部與后體通過滾動(dòng)軸承連接，可實(shí)現(xiàn)差動(dòng)滾轉(zhuǎn)），控制力的作用會(huì)引起彈體章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)不穩(wěn)定，而傳統(tǒng)的外彈道線化理論卻無法解釋數(shù)值計(jì)算中出現(xiàn)的這種現(xiàn)象。研究表明［2-3］，這其實(shí)與角運(yùn)動(dòng)建模的坐標(biāo)系選取有關(guān)。彈箭角運(yùn)動(dòng)建模，可選擇彈軸坐標(biāo)系（以下簡稱彈軸系）或非滾轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（以下簡稱非滾系）。若采用反旋電機(jī)等部件，可近似實(shí)現(xiàn)頭部控制力相對(duì)于慣性系（如地面坐標(biāo)系）保持方向不變［2，11-13］，則在非滾系內(nèi)建模，必然引入新的變量（滾轉(zhuǎn)角度N），如忽略該變量，將無法預(yù)測(cè)上述不穩(wěn)定現(xiàn)象；在彈軸系內(nèi)建模，存在縱軸向角速度的問題（表現(xiàn)為彈體俯仰角和擺動(dòng)角速度的耦合），若忽略該縱軸向角速度，則等效于在非滾系內(nèi)建模。以往研究常假設(shè)俯仰角為零（即水平射擊），這與實(shí)際中“控制力往往在彈道降弧段作用”的工況具有較大差異。

對(duì)此，Lloyd等［2］首先在非滾系下建模，對(duì)彈軸系與非滾系之間的滾轉(zhuǎn)角進(jìn)行簡化，并利用線性化理論研究了角運(yùn)動(dòng)方程的特征根，進(jìn)而給出控制力在水平和鉛直方向的穩(wěn)定范圍。針對(duì)同一問題，Murphy［3］認(rèn)為，不必從彈軸系轉(zhuǎn)換到非滾系也能得到相應(yīng)結(jié)果，他通過引入共軛變量，采用擬線性法求出復(fù)攻角方程的特征根，據(jù)此給出控制力誘導(dǎo)出的最大平衡攻角之穩(wěn)定邊界。Li等［15］針對(duì)彈道修正彈的控制力穩(wěn)定邊界問題，通過補(bǔ)償矩陣對(duì)控制力和重力的影響在彈軸系內(nèi)進(jìn)行了補(bǔ)償，但并未深究不同坐標(biāo)系下建模的本質(zhì)差異。

文獻(xiàn)［2-3，15］所研究的問題本質(zhì)上可概括為“有控彈箭穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測(cè)”?！胺€(wěn)定性邊界”是指只要控制力大小在邊界范圍內(nèi)，則可保證受控彈箭的穩(wěn)定飛行；而“解析預(yù)測(cè)”是指利用角運(yùn)動(dòng)方程，通過解析方式找到相應(yīng)的邊界值。該研究可為有控彈箭總體方案的初步設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。根據(jù)上述分析，該問題的關(guān)鍵在于坐標(biāo)系。簡言之，Lloyd等［2］認(rèn)為不能在彈軸系內(nèi)建模而只能在非滾系中建模；Murphy［3］和Li等［15］則都認(rèn)為可在彈軸系內(nèi)建模，只不過需針對(duì)具體方程做一些修正。此外，上述文獻(xiàn)僅針對(duì)彈道降弧段工況進(jìn)行了研究，而實(shí)際上在彈道升弧段進(jìn)行控制也是需要的（如對(duì)于防空類彈藥）。

為從彈道學(xué)機(jī)理角度厘清上述問題，本文以一類具有前（頭部）、后（彈身）兩體雙旋結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈道修正彈為研究對(duì)象（其頭部可提供彈道控制所需的法向力），將在彈軸系和非滾系下分別建立計(jì)及控制作用的彈箭角運(yùn)動(dòng)模型，根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，推導(dǎo)穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測(cè)模型，考察升弧段和降弧段兩類工況，據(jù)此分析不同坐標(biāo)系下所得結(jié)果的優(yōu)勢(shì)和局限性，以期為該問題的機(jī)理研究及有控彈箭總體方案設(shè)計(jì)等提供參考。

1不同坐標(biāo)下的彈箭角運(yùn)動(dòng)方程

1.1坐標(biāo)系簡介

彈箭攻角運(yùn)動(dòng)方程的建?？稍趶椵S系或非滾系下進(jìn)行。由于彈軸系和非滾系是從地面坐標(biāo)系（簡稱地面系）和彈體坐標(biāo)系（簡稱彈體系）得到，故本節(jié)先介紹地面系和彈體系。

地面系原點(diǎn)A取為炮口中心；ZE軸沿重力方向，向下為正；XE軸與重力方向垂直，指向彈體的速度方向?yàn)檎籝E軸由右手法則確定。通常將地面系（AXEYEZE）平移至彈體質(zhì)心，得平動(dòng)坐標(biāo)系（OXEYEZE）。

彈體系與彈體固聯(lián)，原點(diǎn)位于彈箭質(zhì)心O；X軸與彈體縱軸重合，指向頭部為正；Y軸在彈翼對(duì)稱平面內(nèi)與X軸垂直，從彈尾向前看去，向右為正；Z軸方向按右手法則確定。彈體系（OXYZ）可由平動(dòng)坐標(biāo)系經(jīng)歐拉轉(zhuǎn)換，依次繞Z軸、Y軸和X軸旋轉(zhuǎn)彈體偏角ψ、俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角得到。

彈軸系的Y軸始終在水平面內(nèi)，為此，將彈體系繞X軸轉(zhuǎn)過滾轉(zhuǎn)角－即得彈軸系（OXYAZA）；非滾系X軸的角速度始終為零，故將彈軸系繞X軸轉(zhuǎn)過滾轉(zhuǎn)角N，使X軸的角速度為零，即得到非滾系（OXYNZN）。需要說明的是，滾轉(zhuǎn)角N是一個(gè)人為定義的角度，與飛行器俯仰角、偏航角、滾轉(zhuǎn)角等姿態(tài)角相比，并非一可視化的姿態(tài)角，其物理意義在于：角速度N恰與彈軸系X軸的自轉(zhuǎn)角速度抵消，從而保證非滾系X軸的自轉(zhuǎn)角速度為零，使得角運(yùn)動(dòng)建模過程得以簡化。

值得說明的是，對(duì)于雙旋穩(wěn)定彈的控制力，在彈軸系內(nèi)建模，模型相對(duì)準(zhǔn)確但計(jì)算不便；在非滾系內(nèi)建模，模型誤差稍大但計(jì)算方便。因此，本文在兩種坐標(biāo)系下開展研究，以便為不同應(yīng)用場(chǎng)合提供適用的模型和算法。

1.2彈軸坐標(biāo)系下的角運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)彈箭在彈軸系下的角速度三分量分別為p，q，r，則彈軸系縱軸向（X軸）的角速度可表示為

Ωx（s）=－rdVtanθ（1）

式中：d為彈徑；V為來流速度；s為無量綱彈道弧長，s=∫Vdt/d，t為彈箭飛行時(shí)間；θ為彈體俯仰角。

對(duì)于本文研究的有控彈箭，作用在彈體上的控制力和力矩如圖1所示。

如圖1所示，NC和MC分別為控制力和控制力矩；控制力作用點(diǎn)至彈體質(zhì)心的距離為XC（定義控制力作用點(diǎn)位于質(zhì)心之前為正，XC>0）；φP為控制力NC相對(duì)于地面系鉛直軸（重力方向）的方位角。

控制力在彈軸系中的表達(dá)式為

FCxFCyAFCzA=NC0sinφP－cosφP（2）

控制力矩在彈軸系中的表達(dá)式為

MCxMCyAMCzA=XCNC0cosφPsinφP（3）

當(dāng)控制力很小或?yàn)榱銜r(shí)，角速度Ωx（s）≈0；但對(duì)于控制力較大的情形，Ωx（s）值不可忽略，否則會(huì)引起文獻(xiàn)［2］所示的誤差。

設(shè)攻角在彈軸系下的分量為高低攻角α和方向攻角β，則θ=θV+α，其中θV為彈道傾角；同時(shí)，將攻角角速度近似等于彈體橫向角速度，即r≈－β·，q≈α·。因此，為方便后續(xù)求平衡點(diǎn)，對(duì)式（1）做如下近似：

Ωx（s）=β′tan（θV+α）≈β′［tanθV+（1+tan2θV）α］（4）

取狀態(tài)變量

x=［αα′ββ′］T（5）

式中：“′”表示對(duì)無量綱弧長s的一階導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)外彈道理論［16］，在彈軸系下建立以時(shí)間t為自變量的橫向運(yùn)動(dòng)方程，為

v·=Fay+Fnaym－（uΩz－Ωxw）

w·=Faz+Fnazm－（vΩx－Ωyu）

q·=May+MnayIy－（σpΩz－Ωxr）

r·=Maz+MnazIy－（Ωxq－σpΩy）（6）

式中：Ωx，Ωy，Ωz為彈軸系相對(duì)于地面系的角速度分量；其余符號(hào)同前。

定義復(fù)攻角ξ=（v+iw）/V和復(fù)彈體擺動(dòng)角速度μ=（q+ir）（d/V），取無量綱彈道弧長s=∫Vdt/d為自變量，則可將式（6）寫成復(fù)數(shù)形式，即

ξ′+V′V+iΩxdVξ－iuVμΩ=（Fy+iFz）dmV2μ′+V′V+iΩxdVμ－iσpdVμΩ=（My+iMz）d2ItV2（7）

式中：

μΩ=（Ωy+iΩz）（d/V），可認(rèn)為μΩ≈μ；

Fy+iFz=mAV2（Cy+iCz）/d+（Fnay+iFnaz）；

My+iMz=Ak-2t·（Cm+iCn）ItV2/d2+（Mnay+iMnaz）；（Cy+iCz）為側(cè)向氣動(dòng)力系數(shù)，（Cm+iCn）為側(cè)向氣動(dòng)力矩系數(shù)，限于篇幅，兩者的具體表達(dá)式從略。

從式（7）中第1式解出μ，將其關(guān)于s求一階導(dǎo)數(shù)可得μ′，將μ和μ′代入式（7）中第2式，經(jīng)推導(dǎo)得到只含有復(fù)攻角ξ的角運(yùn)動(dòng)方程，為

ξ″+［H-i（P1-P2）］ξ′-［M-P1P2+i（PT-P′2+S1）］ξ=（Ry+iRz）（8）

式中：P1=P－Ωx（s）；P2=Ωx（s）+P20；P=σpd/V；P20=PACNpα/σ+ACSN；等號(hào)右端的Ry和Rz是與控制力和重力有關(guān)的項(xiàng)，其具體表達(dá)式較冗長，這里從略；其余符號(hào)同前。

由于攻角α≈v/V和β≈w/V，式（8）可化為以α，α′，β，β′為狀態(tài)變量的狀態(tài)空間形式的角運(yùn)動(dòng)方程（一階微分方程組），將式（4）與Ry，Rz的具體表達(dá)式代入其中，忽略影響較小的重力項(xiàng)，并記x1=α，x2=α′x3=β，x4=β′，可得

x′=［x2x′2x4x′4］T（9）

式中：

x′2=（M-［-Ω2x+（P-P20）Ωx+PP20］）x1-（PT-Ω′x+S1）x3-（P-P20-2Ωx）x4-Hx2+Rz0+RzΩΩx;

x′4=（M-［-Ω2x+（P-P20）Ωx+PP20］）x3+（PT-Ω′x+S1）x1+（P-P20-2Ωx）x2-Hx4+Ry0+RyΩΩx;

Ry0=（-FCyAkC+FCzAP+F′CyA）B;

Rz0=（-FCzAkC-FCyAP+F′CzA）B;

RyΩ=-FCzAB；RzΩ=FCyAB;

kC=xCk-2t+Ak-2tCMq；xC=XC/d;

H=-Ak-2t（CMq+CMα·）+ACNα;

M=Ak-2tCMα+A2CNαk-2tCMq;

S1=Ak-2tCSM+A2CSNk-2tCMq;

T=T0-ΩxPH1;T0=1σAk-2tCMpα+ACNα;

H1=H+Ak-2tCMα·;

P=σpdV;P20=PACNpασ+ACSN;

A=ρSd2m;B=dmV2;k-2t=md2It。

其中：m為彈箭質(zhì)量；S為彈體橫截面積；ρ為彈箭所處位置的大氣密度；σ=Ix/It，Ix和It分別為彈體的軸向和橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；CMq為赤道阻尼力矩系數(shù)；CMα·為下洗延遲力矩系數(shù)；CNα為法向力系數(shù)；CMα為俯仰力矩系數(shù)；CSN為誘導(dǎo)側(cè)向力系數(shù)；CSM為誘導(dǎo)側(cè)向力矩系數(shù)；CNpα為馬格努斯力系數(shù)；CMpα為馬格努斯力矩系數(shù)。

1.3非滾轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的角運(yùn)動(dòng)方程

在非滾系下建立角運(yùn)動(dòng)模型時(shí)，為了準(zhǔn)確地計(jì)及控制力的影響，相對(duì)于地面系方向固定的控制力在向非滾系的三個(gè)軸進(jìn)行投影時(shí)，必須考慮滾轉(zhuǎn)角度N的影響，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)N的三角函數(shù)，使得角運(yùn)動(dòng)方程在非滾系內(nèi)出現(xiàn)幾何非線性。對(duì)此，考慮到一般情況下N不斷變化且量值較小，可對(duì)N進(jìn)行小角度假設(shè)，即sinN≈N，cosN≈1，以消除幾何非線性。

因此，控制力在非滾系中的三分量為

FCxFCyNFCzN≈0FCyA+FCzAN－FCyAN+FCzA（10）

控制力矩在非滾系內(nèi)的三分量為

MCxMCyNMCzN≈0（－FCzA+FCyAN）XC（FCzAN+FCyA）XC（11）

設(shè)非滾系下的速度分量為（u，v，w），令α=v/V表示非滾系內(nèi)攻角的高低分量，β=w/V表示非滾系內(nèi)攻角的側(cè)向分量，且由于θ=θV+α，故可近似取θ′≈α′。

采用文獻(xiàn)［16］中角運(yùn)動(dòng)建模的一般思路，經(jīng)繁雜的推導(dǎo)，可得到非滾系下的彈箭橫向運(yùn)動(dòng)方程組為

β′=Fay+FnaymdV2－uVr^－βV′V

α′=Faz+FnazmdV2+uVq^－αV′V

q^′=May+MnayItd2V2－σp^r^－q^V′V

r^′=Maz+MnazItd2V2+σp^q^－r^V′V

′N=（q^sinN+r^cosN）tanθ（12）

式中：p^=pd/V；q^=qd/V；r^=rd/V；Fay，F(xiàn)az，May，Maz為作用在彈箭上的空氣動(dòng)力和力矩；Fnay，F(xiàn)naz，Mnay，Mnaz為重力和控制力，即

Fay=dmV2［－ACNαβ+（p^ACNpα+ACSN）α+

A（CNq+CNα·）r^］;

Faz=dmV2［－ACNαα－（p^ACNpα+ACSN）β－

A（CNq+CNα·）q^;

May=d2ItV2［Ak-2tCMαα+Ak-2t（p^CMpα+CSM）β+

Ak-2t（CMq+CMα·）q^］;

Maz=d2ItV2［-Ak-2tCMαβ+Ak-2t（p^CMpα+CSM）α+

Ak-2t（CMq+CMa·）r^］;

Fnay=FCyN+mgcosθ·N;

Fnaz=FCzN+mgcosθ；

Mnay=MCyN;Mnaz=MCzN。

式中：CNq為彈軸擺動(dòng)引起的俯仰阻尼力系數(shù)；CNα·為下洗延遲俯仰阻尼力系數(shù)。關(guān)于CNq和CNα·的具體描述可參見文獻(xiàn)［17］。

根據(jù)小角度假設(shè)，對(duì)式（12）的最后一式做如下近似：

′N≈r^tanθ（13）

為便于建模，這里取狀態(tài)變量為

x=βαq^r^NT（14）

將控制力和力矩表達(dá)式（10）～（11）、氣動(dòng)力和力矩的具體表達(dá)式代入式（12），并結(jié)合式（13），經(jīng)推導(dǎo)、整理，可得非滾系下的五階角運(yùn)動(dòng)方程為

x′=Kx+Q（15）

式中：

K=LNp0NqF3NpL－Nq0－F2MpMMq－PM3－MMpPMq－M2000tanθ0；

Q=［F2，F(xiàn)3，M2，M3，0］T；

矩陣K和矩陣Q中元素的具體表達(dá)式為

L=-ACNα

M=Ak-2tCMα

Mp=Ak-2t（p^CMpα+CSM）

Np=p^ACNpα+ACSN

Mq=Ak-2t（CMq+CMα·）

Nq=A（CNq+CNα·）-1

F2=FCyAB

F3=FCzAB

M2=-xCk-2tFCzAB

M3=xCk-2tFCyAB。

值得說明的是，本文通過對(duì)滾轉(zhuǎn)角N進(jìn)行線性化得到的上述五階角運(yùn)動(dòng)方程，相較于文獻(xiàn)［15］中的六階角運(yùn)動(dòng)方程，降低了計(jì)算復(fù)雜度。

2穩(wěn)定性邊界的解析預(yù)測(cè)模型

根據(jù)上述不同坐標(biāo)下的彈箭角運(yùn)動(dòng)方程，利用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，推導(dǎo)相應(yīng)的穩(wěn)定性邊界預(yù)測(cè)模型。

2.1彈軸坐標(biāo)系下的解析預(yù)測(cè)模型

對(duì)彈軸系下的彈箭角運(yùn)動(dòng)方程式（9），求其平衡點(diǎn)為

xe=δMRz0－δTRy00δMRy0+δTRz00（16）

式中：δM=－M～M～2+（PT0+S1）2；δT=（PT0+S1）M～2+（PT0+S1）2；M～=M－P·P20；下標(biāo)“e”表示“平衡點(diǎn)”。

在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行局部線性化，可得平衡點(diǎn)的Jacobian矩陣為

Je=0100M～－H－（PT0+S1）RC20001PT0+S1P～M～RC4（17）

式中：

P～=P－P20;RC2=（－P～·x1e+H1·x3e+RzΩ）Ωx1－P～;RC4=（－P～·x3e－H1·x1e+RyΩ）Ωx1－H;Ωx1（x1e）=tanθV+（1+tan2θV）x1e;

x1e和x3e分別表示狀態(tài)變量x1和x3對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)。

由上式可見，控制力出現(xiàn)在RC2和RC4中，從而影響平衡點(diǎn)的特征根。因此，可通過特征根來分析控制力對(duì)彈箭角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響。

系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式可表達(dá)為

d4λ4+d3λ3+d2λ2+d1λ+d0=0（18）

式中：

d4=1;d3=H－RC4;d2=－2M～－P～RC2－HRC4;d1=－M～（H－RC4）+（PT0+S1）（P～－RC2）;d0=M～2+（PT0+S1）2。

根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論中的Routh判據(jù)，在控制力作用下，若彈箭角運(yùn)動(dòng)在平衡點(diǎn)附近是穩(wěn)定的，則彈箭的結(jié)構(gòu)參數(shù)、氣動(dòng)參數(shù)以及控制參數(shù)等，需滿足以下條件：

di>0，i=0，1，2，3d2d3-d1>0d1d2d3-d23d0-d21>0（19）

由于控制力和控制力矩參數(shù)出現(xiàn)在系數(shù)d1，d2及d3中，則利用不等式組式（19），可確定彈箭在某一飛行條件下允許的控制參數(shù)范圍。這里，控制參數(shù)組合為（FyC，F(xiàn)zC，xC），也可采用（NC，φP，xC）的組合形式，兩者通過式（2）～（3）進(jìn)行換算。

2.2非滾轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的解析預(yù)測(cè)模型

由非滾系下的彈箭角運(yùn)動(dòng)方程式（15）可知，與控制力（矩）有關(guān)的項(xiàng)（即F2，F(xiàn)3，M2，M3）包含在系數(shù)矩陣K中。根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，通過求解K的特征根可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，進(jìn)而確定控制力的穩(wěn)定范圍。

彈箭角運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為

xe=－K－1Q（20）

系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

d5λ5+d4λ4+d3λ3+d2λ2+d1λ+d0=0（21）

式中：

d0＝tanθ｛

［-（LM-MpNp）P+（LMp+MNp）Mq］F2+［（LM+MpNp）Mq+（LMp-MNp）P+（M2+M2p）Nq］F3+

［-Mq（L2-N2p）-（LM-MpNp）Nq］M2+［-P（L2-N2p）-（LMp+MNp）Mq］M3｝;

d1=（P2+M2q）（L2-N2p）+（M2+M2p）N2q+2LNq（MMq+PMp）+

tanθ｛（2LP+MpNq）M3+（L2-N2p+2LMq+MNq）M2+（-LM-MpNp-MMq-PMp）F3+［-（LMp+MNp）+MP-MpMq］F2｝;

d2=-2［（L2-N2p）Mq+L（P2+M2q）+（LM+MMq+PMp）Nq］+tanθ·［MF3+F2Mp-PM3-（2L+Mq）M2］;

d3=L2-N2p+P2+M2q+4LMq+2MNq+M2tanθ;d4=－2Mq－2L；d5=1。

仍采用Routh判據(jù)，可得非滾系內(nèi)彈箭角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定所必須滿足的條件為

di>0，i=0，1，2，3，4d4d3－d2>0d2（d4d3－d2）－d4（d4d1－d0）>0d4d1－d0>0（22）

當(dāng)僅考慮水平方向的控制力FCyA時(shí)，即FCzA=0，則F3=0且M2=0，從上述di的表達(dá)式可知，只有di（i=0，1，2）中含有控制力F2和力臂系數(shù)xc（定義xc=xC·k-2t），故可將F2和xc分離出來，即等價(jià)表達(dá)為如下形式：

di=di0+dic·F2（23）

式中：dic=dic0+dicc·xc。限于篇幅，di0，dic0，dicc的具體表達(dá)式從略。

于是，不等式組式（22）可改寫為

di>0，i=3，4di0+dicF2>0，i=0，1，2-d2cF2+d3d4-d20>0a2F22+a1F2+a0>0（d4d1c-d0c）F2+d4d10-d01>0（24）

式中：

a2=-d22c;

a1=d3d4d2c-d24d1c+d4d0c-2d20d2c;

a0=d3d4d20-d24d10+d01d4-2d220。

只要給出控制力的作用位置XC，控制力F2的穩(wěn)定范圍就可通過求解不等式組式（22）或式（24）得到。

3仿真與分析

至此，推導(dǎo)出了彈軸系下的穩(wěn)定性邊界解析預(yù)測(cè)模型式（19）和非滾系下的穩(wěn)定性邊界預(yù)測(cè)模型式（22）或式（24）。為驗(yàn)證模型的有效性，開展仿真分析。

3.1仿真條件

以某105mm旋轉(zhuǎn)彈［15］為例，假設(shè)在彈道降弧段進(jìn)行控制，對(duì)應(yīng)的彈道參數(shù)和氣動(dòng)力系數(shù)如表1所示。其中，LCG為彈體重心至彈頂?shù)木嚯x，以彈徑的倍數(shù)計(jì)。據(jù)此計(jì)算出角運(yùn)動(dòng)方程的系數(shù)，如表2所示。

除上述外，本節(jié)仿真中還考慮控制力作用位置在θV=±43°處（彈道升弧段和降弧段）、彈體左旋（取p=－1050rad/s）的工況，并給出相應(yīng)的仿真結(jié)果。

3.2結(jié)果與分析

（1）彈軸系解析模型的仿真結(jié)果與分析

將表1～2中的系數(shù)代入不等式組式（19），可得控制力參數(shù)組（NC，φP，xC）的可行范圍，如圖2所示。

圖2中，藍(lán)色對(duì)應(yīng)不等式d1>0，青色對(duì)應(yīng)不等式d2>0，綠色對(duì)應(yīng)不等式d3>0，紅色對(duì)應(yīng)不等式d2d3－d1>0，黃色對(duì)應(yīng)不等式d1d2d3-d23d0-d21>0；豎軸的數(shù)值為不等式符號(hào)左端的取值。不難看出，后兩個(gè)不等式（紅色和黃色）起主要作用。

圖3～4分別給出了彈道升弧段（θV=43°）和降弧段（θV=－43°）工況下，不同控制方位角φP對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定控制力NC的范圍。同時(shí)，轉(zhuǎn)速取p=±1050rad/s。

圖3（a）和圖4（a）均為控制方位角φP的極坐標(biāo)表示，p=1050rad/s對(duì)應(yīng)彈體右旋，p=－1050rad/s對(duì)應(yīng)彈體左旋。

由圖可知，對(duì)于升弧段，所推導(dǎo)模型只能預(yù)測(cè)右旋彈在φP∈（0°，180°）時(shí)的NC穩(wěn)定邊界，而無法預(yù)測(cè)φP∈（180°，360°）時(shí)的NC穩(wěn)定邊界，對(duì)于左旋彈卻正好相反；對(duì)于降弧段，模型只能預(yù)測(cè)右旋彈在φP∈（180°，360°）時(shí)的NC穩(wěn)定邊界，而無法預(yù)測(cè)φP∈（0°，180°）時(shí)的NC穩(wěn)定邊界，左旋彈也正好相反。

根據(jù)第1.2節(jié)關(guān)于控制力的描述，NC可表示控制力的幅值（值域?yàn)椋?，+∞］），控制力方向由φP表征。若控制力作用位置為彈頂（xC=2.96），考察p=1050rad/s時(shí)的降弧段工況，利用解析模型可計(jì)算得到：當(dāng)φP=90°時(shí)，控制力的穩(wěn)定邊界為4.9N；當(dāng)φP=270°時(shí)，控制力的穩(wěn)定邊界為37.27N。只有當(dāng)控制力小于對(duì)應(yīng)邊界值時(shí)，才可實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的角運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，對(duì)未采取任何近似的方程組式（12）（可認(rèn)為是精確模型）進(jìn)行數(shù)值積分，所得結(jié)果為：當(dāng)φP=90°時(shí)，控制力的穩(wěn)定邊界為55N；當(dāng)φP=270°時(shí)，控制力的穩(wěn)定邊界為37N。顯然，解析模型與精確模型對(duì)穩(wěn)定控制力一側(cè)邊界（φP=270°）的預(yù)測(cè)結(jié)果十分吻合，但對(duì)另一側(cè)（φP=90°）則差異較大。這也是該解析模型的主要缺點(diǎn)。但相比于現(xiàn)有文獻(xiàn)中的模型，該模型既可求解降弧段（θV<0）工況，又可求解升弧段（θV>0）工況。

值得說明的是，方程組式（12）來自于6自由度剛體彈道方程組，未作任何簡化，只是對(duì)應(yīng)于某一特征點(diǎn)（速度V為常數(shù)）。對(duì)方程組式（12）進(jìn)行數(shù)值積分，本質(zhì)上等同于對(duì)6自由度剛體彈道方程組在相應(yīng)特征點(diǎn)上進(jìn)行數(shù)值求解。因此，通過數(shù)值積分方程組式（12）來驗(yàn)證解析計(jì)算模型是合理、可行的。

根據(jù)第2節(jié)的理論分析，穩(wěn)定控制力只能在平衡點(diǎn)附近的一定鄰域內(nèi)滿足穩(wěn)定性，無法保證在任何條件下均實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。

（2）非滾系解析模型的仿真結(jié)果

這里仍以上述105mm旋轉(zhuǎn)彈為例。由于非滾系解析模型無法計(jì)算彈道升弧段工況，故僅給出降弧段（θV=－43°）工況下不同控制方位角φP對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定控制力NC的范圍，仍取p=±1050rad/s。將上述結(jié)果與彈軸系解析模型在相同條件下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示。

由圖5可知，對(duì)于降弧段工況，兩種坐標(biāo)系下的模型對(duì)于右旋時(shí)相對(duì)于鉛垂平面向左的控制力穩(wěn)定范圍、左旋時(shí)相對(duì)于鉛垂平面向右的控制力穩(wěn)定范圍，給出了相同的估計(jì)結(jié)果（可稱為有效估計(jì)結(jié)果）。

取p=1050rad/s，θV=－43°，xC=2.96為條件，由解析模型計(jì)算可得：對(duì)于水平控制力NC·sinφP，當(dāng)φP=90°時(shí)，控制力的穩(wěn)定邊界為53.65N；當(dāng)φP=270°時(shí)，控制力的穩(wěn)定邊界為36.87N。由此可知，圖5所示兩種模型的有效估計(jì)結(jié)果與前述方程組式（12）的數(shù)值積分結(jié)果較為吻合。可見，本文利用小角度假設(shè)對(duì)滾轉(zhuǎn)角N進(jìn)行線性化是合理、可行的。與彈軸系模型相比，非滾系模型消除了對(duì)控制方位角φP應(yīng)用范圍的限制，這是該模型的優(yōu)勢(shì)，但其缺點(diǎn)在于無法應(yīng)用于θV>0的升弧段。當(dāng)θV>0時(shí)，判別式（24）的解為空集，但對(duì)方程組式（12）進(jìn)行數(shù)值積分，仍可得到穩(wěn)定控制力的邊界。

值得注意的是，由于非滾系模型在推導(dǎo)過程中，對(duì)滾轉(zhuǎn)角N進(jìn)行了小攻角假設(shè)，因而上述結(jié)論只在N不太大時(shí)成立（如N<60°）。從五階角運(yùn)動(dòng)方程式（15）及其平衡點(diǎn)表達(dá)式（20）可知，N的穩(wěn)態(tài)值只涉及α，β的方程，故N的穩(wěn)態(tài)值大小與控制力的大小有關(guān)。當(dāng)控制力的模值越大，N也越大，并且攻角α，β也越大，此時(shí)線性化系統(tǒng)式（15）就和原系統(tǒng)相差較大，不能很好地預(yù)測(cè)角運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)值，很可能會(huì)出現(xiàn)過估計(jì)的現(xiàn)象，這就限制了穩(wěn)定性判據(jù)不等式（22）的應(yīng)用范圍。

4結(jié)論

本文針對(duì)作用在有控彈箭上的相對(duì)于慣性系方向固定的控制力，提出了彈軸系和非滾系下的兩個(gè)穩(wěn)定性邊界解析預(yù)測(cè)模型，用于估計(jì)控制力對(duì)彈箭角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響，可量化給出穩(wěn)定控制力的邊界范圍。

通過對(duì)比、分析兩個(gè)坐標(biāo)系下的模型，總結(jié)出兩者各自的優(yōu)勢(shì)和不足：

（1）與現(xiàn)有文獻(xiàn)模型相比，本文所建立的彈軸系模型可應(yīng)用于升弧段和降弧段兩種工況；不足之處在于其給出的穩(wěn)定控制力上、下界，只有其中一個(gè)足夠準(zhǔn)確，而另一個(gè)卻由于近似處理的原因而退化為無效。

（2）由于本文所提出的非滾系模型是一個(gè)五階方程，相較于文獻(xiàn)中的六階方程，降低了計(jì)算復(fù)雜度。在降弧段，該模型對(duì)穩(wěn)定控制力的預(yù)測(cè)結(jié)果與數(shù)值積分結(jié)果吻合較好；不足之處在于其不能用于升弧段。此外，滾轉(zhuǎn)角N的大小和控制力大小密切相關(guān)，過大的控制力會(huì)產(chǎn)生較大的N，導(dǎo)致小角度假設(shè)失效，影響分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

在實(shí)際應(yīng)用中，建議根據(jù)所研究有控彈箭的彈道特點(diǎn)、戰(zhàn)術(shù)技術(shù)要求等，同步利用上述彈軸系模型和非滾系模型開展穩(wěn)定性邊界預(yù)測(cè)，在對(duì)兩個(gè)模型的計(jì)算與分析結(jié)果進(jìn)行綜合考量后，作為理論設(shè)計(jì)的依據(jù)。

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AnalyticalPredictionModelofStabilityBoundaryfor

GuidedProjectiles

ChangSijiang*，LiDongyang

（CollegeofEnergyandPowerEngineering，NanjingUniversityofScienceandTechnology，Nanjing210094，China）

Abstract：Aimingattheproblemofprojectilestabilityundertheactionofcontrolforce，thispaperstudiedtheanalyticalpredictionmodelofstabilityboundaryforguidedprojectiles.Bylinearizingthelongitudinalaxialangularvelocityofbodyaxiscoordinate，theangularmotionequationunderthebodyaxiscoordinateisestablished.Throughlinearizingtherollanglebetweenthebodyaxiscoordinateandnon-rollingcoordinate，afive-orderequationofangularmotionisproposedunderthenon-rollingcoordinate.Usingthestabilitytheoryoflinearsystem，theanalyticalpredictionmodelofstabilityboundaryunderthebodyaxiscoordinateandnon-rollingcoordinateareobtained.Simulationsofthetwomodelsundervariousworkingconditionsareconducted.Resultsindicatethattheproposedmodelunderthebodyaxiscoordinatecanbeappliedintherisingarcsegmentandthefallingarcsegment，whereasthecontrolforceorientationislimited.Themodelunderthenon-rollingcoordinateisnotlimitedbythecontrolforceorientation，andthepredictionaccuracyisgood.Thedrawbackofthismodelisthatitcanonlybeusedforthefallingarcsection，anditsaccuracywillbeharmfullyaffectedbyexcessivecontrolforce.Itissuggestedthatthetwomodelsshouldbeappliedcomprehensivelyinpracticalengineering.

Keywords：controllableprojectiles;controllableforce;angularmotion;stability;bodyaxiscoordinate;non-rollingcoordinate

收稿日期：2022-10-17

基金項(xiàng)目：瞬態(tài)沖擊技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目（6142606183107）

*作者簡介：常思江（1983-），男，廣西恭城人，博士，副研究員。