陳東曉 李進(jìn)金

摘要：文章以大一學(xué)生的學(xué)習(xí)成績和平時(shí)測驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑的描述研究微積分預(yù)前知識學(xué)習(xí)對微積分成績的影響。通過兩次測試的分析，提取每次測試的知識狀態(tài)，構(gòu)建知識狀態(tài)樹來確定學(xué)生的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑，并且通過知識結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑來比較兩種不同教學(xué)方式班級學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)狀態(tài)，表明了微積分預(yù)前知識學(xué)習(xí)的重要性。研究發(fā)現(xiàn)，通過知識空間理論識別教師期望學(xué)生擁有的知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生在測試中展示的真實(shí)知識結(jié)構(gòu)之間的差異，為教師調(diào)整所教知識概念的順序提供指導(dǎo)，并根據(jù)預(yù)期的掌握水平定制教學(xué)計(jì)劃。關(guān)鍵詞：知識空間理論；知識狀態(tài)；微積分教學(xué)；關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑 中圖分類號：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1002-4107（2023）04-0028-04

對理工科和經(jīng)管類專業(yè)的大學(xué)生來說，“高等數(shù)學(xué)”是大學(xué)階段一門非常重要的通識基礎(chǔ)課。令人擔(dān)憂的是，“高等數(shù)學(xué)”考試的不及格率比較高，學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣明顯下降，學(xué)生將“高等數(shù)學(xué)”視為一門難以理解的課程。數(shù)學(xué)成為一門難學(xué)課程的一些重要因素是其概念的抽象性、大量符號公式、大量計(jì)算和嚴(yán)格證明推導(dǎo)。由于部分學(xué)生在初等教育時(shí)未能掌握基本的數(shù)學(xué)概念，形成錯(cuò)誤的觀念，因此阻礙他們在日后的教育中掌握更復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念[1]。另外，除了學(xué)科本身的難度和所研究問題的內(nèi)在復(fù)雜性外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的問題有時(shí)是由于指導(dǎo)不充分，教師沒有及時(shí)充分了解學(xué)生所掌握的知識狀態(tài)。對于教師來說，按照自己思維來講解知識點(diǎn)是不夠的，要從初學(xué)者的角度來考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的過程和困難。而教師期望的教學(xué)效果與學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)效果之間的差距可以用學(xué)生成績來解釋，可以通過知識空間理論來研究從教師預(yù)期的知識結(jié)構(gòu)和真實(shí)的知識結(jié)構(gòu)之間差異，研究學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)路徑。

知識空間理論（Knowledge Space Theory，簡稱KST）由杜瓦尼翁（Doignon）和法爾馬涅（Falmagne）提出，是教育心理學(xué)的組成部分之一[2-3]。由于其在認(rèn)知診斷方面的突出表現(xiàn)，知識空間理論已經(jīng)在國外得到了廣泛的應(yīng)用，特別是在線教育評測和智能教學(xué)方面[4-5]。本文針對兩組同一本科專業(yè)的學(xué)生，通過知識空間理論分別構(gòu)建了他們在測試中展示的真實(shí)知識結(jié)構(gòu)以及關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑，對兩組學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑差異進(jìn)行分析，表明了微積分學(xué)前輔導(dǎo)是必要的，對于學(xué)生成績的影響較大，進(jìn)而對微積分教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)提供一些有益的建議。??一、知識空間理論

大多數(shù)傳統(tǒng)知識評價(jià)使用閉卷考試等方式來評估學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。由于評估的方法多種多樣，考慮到學(xué)生需要掌握知識的深度和廣度，很難知道哪些方法是有效的。知識空間理論（KST）以對評估工具的反應(yīng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析為原則，是一種在給定情境下表示學(xué)生知識的形式化方法或模型，所創(chuàng)建的結(jié)構(gòu)提供了與學(xué)生知識相關(guān)的細(xì)節(jié)，以及獲取這些知識所采用的學(xué)習(xí)路徑。作為一種評估工具，KST可以告知教師一組學(xué)生在教學(xué)期間掌握不同概念的順序。知識空間理論引入了數(shù)學(xué)建模和評估學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的技術(shù)，為跟蹤學(xué)生成績和指導(dǎo)學(xué)習(xí)過程提供了新的可能性。杜瓦尼翁（Doignon）和法爾馬涅（Falmagne）將KST作為“正式描述給定知識領(lǐng)域結(jié)構(gòu)的手段”[2]。知識結(jié)構(gòu)是通過學(xué)生能夠正確回答的問題來描述的，每一個(gè)學(xué)生對給定作業(yè)或測試的回答成為整體結(jié)構(gòu)的一個(gè)子集，學(xué)習(xí)路徑可以從嘗試的空集（無正確）到完整問題集（全部正確）。

一般來說，一個(gè)知識域Q是由一組有限指定的問題構(gòu)成的集合，這組問題包括學(xué)生在給定評估中可以解決或可能無法解決的問題。每個(gè)學(xué)生都可以用他自己的知識狀態(tài)來描述，而知識狀態(tài)是由他們正確回答的所有問題所構(gòu)成Q的子集，所有的知識狀態(tài)（至少包含空集和全集）組成了一個(gè)知識結(jié)構(gòu)K。如果K中任何兩個(gè)知識狀態(tài)K1和K2，K1∪K2也是K中的一個(gè)知識狀態(tài)，這意味著知識結(jié)構(gòu)K是并封閉的，稱K為一個(gè)知識空間。而滿足學(xué)習(xí)的順暢性（Smoothness）和學(xué)習(xí)的持續(xù)性（Consistency）的知識空間稱為學(xué)習(xí)空間[3]。

概率知識結(jié)構(gòu)是將局部獨(dú)立模型方法應(yīng)用到知識空間理論中，其主要考慮兩種實(shí)際情形：一是被試個(gè)體或群體的知識狀態(tài)頻率，二是考慮被試者在回答問題過程中由于粗心錯(cuò)誤和幸運(yùn)猜對的概率。選擇這些知識狀態(tài)的方法是使用χ2分析，統(tǒng)計(jì)量χ2基于實(shí)際響應(yīng)狀態(tài)和預(yù)期知識狀態(tài)之間的差異，通過添加和減去最多的響應(yīng)狀態(tài)，以最小化χ2值形成一個(gè)哈斯圖，其中每個(gè)狀態(tài)有一個(gè)前狀態(tài)和一個(gè)后狀態(tài)，而每個(gè)連續(xù)的狀態(tài)比前一個(gè)狀態(tài)正好多出一個(gè)問題。由此產(chǎn)生的知識結(jié)構(gòu)可以揭示學(xué)生用來學(xué)習(xí)的幾種學(xué)習(xí)路徑。學(xué)習(xí)路徑定義為“知識狀態(tài)的最大序列，允許學(xué)習(xí)者從空集逐步遍歷知識結(jié)構(gòu)或知識空間，直至完整的問題集Q”。學(xué)習(xí)者從空集開始，到完全掌握狀態(tài)Q，學(xué)習(xí)路徑可以被繪制出來。通過描述每個(gè)知識狀態(tài)的概率值代表班級中處于知識狀態(tài)學(xué)生的比例，從最大概率的知識狀態(tài)出發(fā)，最佳或最可能的學(xué)習(xí)路徑被確定為由響應(yīng)狀態(tài)組成的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑。一旦建立了關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑，就可以將每個(gè)學(xué)生與一般課堂表現(xiàn)以及最佳表現(xiàn)（Q）進(jìn)行比較。

KST可以為高等數(shù)學(xué)教學(xué)作出重大貢獻(xiàn)，通過了解學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)克服教師、教科書和教學(xué)大綱之間關(guān)于概念組織和適當(dāng)教學(xué)策略的差異。近年來，國內(nèi)外學(xué)者有的針對中學(xué)生進(jìn)行化學(xué)課程學(xué)習(xí)能力提升的研究[6-8]，有的基于知識空間理論進(jìn)行圖書館閱讀推廣平臺的建設(shè)[9]，而針對本科生學(xué)習(xí)效率或能力提升的知識空間理論研究還不多見。本文使用數(shù)據(jù)分析方法構(gòu)建學(xué)生的真實(shí)知識空間，獲取關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑，并比較兩組研究對象的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑差異，分析借助于線上輔助基礎(chǔ)知識教學(xué)對微積分學(xué)習(xí)的幫助效果，前期學(xué)習(xí)對后期學(xué)習(xí)的影響，為微積分教學(xué)研究提供了有效方法。?? 二、研究方法

（一）研究對象

本研究的參與者是選修“微積分學(xué)”的工商管理類2020級大一學(xué)生?！拔⒎e分學(xué)”是華僑大學(xué)本科經(jīng)濟(jì)管理類大一新生的一門必修課，分兩學(xué)期完成教學(xué)，每學(xué)期4學(xué)分。在研究開始的時(shí)候，選擇的研究對象是由同一位主講教師教微積分課程的兩個(gè)班級，其中一個(gè)班級選為實(shí)驗(yàn)組（也稱為“輔導(dǎo)班”），另一個(gè)班級為對照組（也稱為“正常班”）。學(xué)期初，學(xué)生通過在線學(xué)習(xí)軟件接受了一次“學(xué)前知識檢查”——一次由20道基本計(jì)算題組成的測驗(yàn)，每道題都涉及到微積分所必需的基本概念或公式[10]?？记皽y驗(yàn)衡量的是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分前的基礎(chǔ)知識，以便于結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)弱點(diǎn)給與相應(yīng)基礎(chǔ)知識輔導(dǎo)。

整個(gè)學(xué)期，這兩個(gè)班級學(xué)生都完成了常規(guī)教學(xué)課程，包括練習(xí)家庭作業(yè)、3次在線章節(jié)測驗(yàn)、期中測試和期末考試。所有這些都是對課堂上教授微積分內(nèi)容的測試。實(shí)驗(yàn)組還安排了有助教的在線輔導(dǎo)課，不斷鼓勵(lì)該組學(xué)生積極參加這些在線討論，側(cè)重于根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)前基礎(chǔ)知識（中學(xué)學(xué)習(xí)過的相關(guān)知識）的輔導(dǎo)，諸如三角函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等定義域和值域、圖像，以及一些常見的初等公式。這些輔導(dǎo)課是由研究生助教進(jìn)行評分的，他們還負(fù)責(zé)每次家庭作業(yè)的批改，主講教師也參與學(xué)生在線學(xué)習(xí)討論并根據(jù)學(xué)生情況決定課堂講解和相應(yīng)的講解。

（二）研究流程和數(shù)據(jù)收集

本文使用了三種工具來收集數(shù)據(jù)：（1）平時(shí)作業(yè)；（2）微積分期中測試和期末考試；（3）在線學(xué)習(xí)通測驗(yàn)。在線測驗(yàn)中，把一些相關(guān)知識點(diǎn)設(shè)計(jì)為單選或多選選擇題和是非判斷題，以獲得微積分學(xué)前和學(xué)習(xí)過程中基礎(chǔ)知識方面的數(shù)值分?jǐn)?shù)?？荚囉扇握n教師和研究生助教一起進(jìn)行評分，助教還負(fù)責(zé)每周課后作業(yè)的批改及評定等級。為了明確微積分期中測試和期末考試評分的一致性，學(xué)生參加學(xué)校對經(jīng)管類大一新生統(tǒng)一的公共數(shù)學(xué)考試，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成測試，統(tǒng)一由任課教師制定評分標(biāo)準(zhǔn)并批改試卷。

（三）使用KST進(jìn)行數(shù)據(jù)分析

采用知識空間理論（KST）分析并提取關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑，以評估兩個(gè)不同教學(xué)方式微積分課程的表現(xiàn)：實(shí)驗(yàn)組和對照組。實(shí)驗(yàn)班微積分課程包括以建構(gòu)主義的方式教授必要的學(xué)前積分知識，使用基于問題驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)方法，比傳統(tǒng)的微積分課程要求多次知識在線小測。在實(shí)驗(yàn)班教學(xué)中，運(yùn)用多種學(xué)習(xí)條件，結(jié)合問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)方法，可以創(chuàng)造一個(gè)更有利于有意義學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)環(huán)境。而對照班按傳統(tǒng)教學(xué)方法，通過教師課堂講解教學(xué)內(nèi)容和復(fù)習(xí)，學(xué)生課后做習(xí)題來完成微積分教學(xué)。通過本次實(shí)驗(yàn)比較，進(jìn)一步說明微積分學(xué)習(xí)不能只靠觀察和傾聽，而應(yīng)該通過不斷實(shí)踐來學(xué)習(xí)。

通過一個(gè)學(xué)年兩次測試的數(shù)據(jù)研究，分別獲得了關(guān)于求導(dǎo)與求積分方面的知識狀態(tài)和知識哈斯圖來確定這些關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑。例如，根據(jù)第一學(xué)期期末考試，適當(dāng)選取7道關(guān)于導(dǎo)數(shù)方面的知識點(diǎn)試題作為測試一進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，包括（1）極限四則運(yùn)算；（2）無窮小比較；（3）函數(shù)連續(xù)性；（4）導(dǎo)數(shù)的定義；（5）高階導(dǎo)數(shù)；（6）求導(dǎo)法則；（7）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

為了處理這些數(shù)據(jù)，根據(jù)獲得的測試結(jié)果把每個(gè)學(xué)生的回答情況記為一個(gè)響應(yīng)狀態(tài)，也稱為知識狀態(tài)。記每個(gè)問題的最高分（完全正確答案）為“1”，低于最高分值（錯(cuò)誤或部分正確答案）的點(diǎn)記為“0”。例如，學(xué)生對問題1到問題7的知識狀態(tài)為“1010110”，表示該學(xué)生在第一、第三、第五和第六問題回答完全正確，而其他問題做錯(cuò)或者沒全對。具體步驟如下。首先，統(tǒng)計(jì)所有學(xué)生的真實(shí)知識狀態(tài)及其對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)，并通過知識空間理論的并封閉性質(zhì)分別給出實(shí)驗(yàn)組和對照組學(xué)生的知識空間，而得到的知識空間中知識狀態(tài)并不都是真實(shí)學(xué)生狀態(tài)，而對于假定的知識狀態(tài)人數(shù)記為0，得到一個(gè)所有測試者的知識狀態(tài)表。接著，通過得到的知識空間使用Graphviz軟件畫出知識空間哈斯圖，并利用知識空間的獨(dú)立概率模型知識，由python軟件設(shè)計(jì)算法計(jì)算出每個(gè)知識狀態(tài)的概率。最后，通過每一狀態(tài)層概率最大的知識狀態(tài)描繪出關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑。根據(jù)以往研究，本文中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)假設(shè)對于幸運(yùn)猜測和粗心錯(cuò)誤的概率估計(jì)都是10%。

例如，測試1中實(shí)驗(yàn)組的數(shù)據(jù)，其中q1到q7分別表示7個(gè)相關(guān)問題，實(shí)驗(yàn)組共39個(gè)學(xué)生，但實(shí)際只有21種知識反應(yīng)狀態(tài)，而形成的知識空間卻有52個(gè)知識狀態(tài)，有31個(gè)是假定的知識狀態(tài)。測試1中實(shí)驗(yàn)組有3個(gè)學(xué)生的知識狀態(tài)是“1010010”，而該知識狀態(tài)概率是0.048。

圖1是測試1中實(shí)驗(yàn)組的知識狀態(tài)樹，圖中以完成問題的編號來描述，即對應(yīng)知識狀態(tài)“1010010”記為“136”，其中黑色部分是通過知識狀態(tài)概率得到的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑。圖2是測試1中對照組的知識狀態(tài)樹，其中黑色部分是通過知識狀態(tài)概率得到的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑。

我們通過選擇每一層中人數(shù)最多、問題數(shù)最少的知識狀態(tài)作為關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑的節(jié)點(diǎn)，然后把這些節(jié)點(diǎn)連接起來形成關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑。例如，實(shí)驗(yàn)組的測試2的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑是6→3→1→7→2→4→5。而與這一關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑相關(guān)的問題是：求導(dǎo)法則→函數(shù)連續(xù)性→極限四則運(yùn)算→導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用→無窮小比較→導(dǎo)數(shù)的定義→高階導(dǎo)數(shù)。

同樣，我們也通過收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出測試1中對照組的知識狀態(tài)樹圖2。

從測試1中，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)組的知識結(jié)構(gòu)樹與對照組的知識結(jié)構(gòu)樹具有相似的無組織特征。實(shí)驗(yàn)組在圖1中，第四、第五和第六級有大量的知識狀態(tài)，在這三個(gè)層次上共有30個(gè)知識狀態(tài)，占全部知識狀態(tài)的61%，這說明知識結(jié)構(gòu)樹不是很有組織。我們注意到對照組的學(xué)習(xí)路徑：6→1→7→2→3→5→4，對應(yīng)題項(xiàng)：求導(dǎo)法則→極限四則運(yùn)算→導(dǎo)數(shù)應(yīng)用→無窮小的比較→函數(shù)連續(xù)性→高階導(dǎo)數(shù)→導(dǎo)數(shù)的定義。很明顯，與實(shí)驗(yàn)組的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑是不一樣的，主要的區(qū)別是問題3的順序。問題3是關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性問題，主要考題是關(guān)于間斷點(diǎn)分類，實(shí)驗(yàn)組明顯在求左右極限方面表現(xiàn)得更為好些。關(guān)于問題4和問題5，一個(gè)是關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義，另一個(gè)是高階導(dǎo)數(shù)，很明顯對于兩組人來說都是一個(gè)難題，所以這兩個(gè)問題回答全對的學(xué)生是最少的，從關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑看它們都放在最后兩個(gè)。關(guān)于問題6，大部分學(xué)生在中學(xué)就學(xué)習(xí)過求導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識，較為熟悉，所以這個(gè)問題回答全對最多，而這也是他們學(xué)習(xí)路徑最開始的選擇。

類似的，筆者對另一次期末考試（測試2）進(jìn)行了分析，試卷共有16道題，適當(dāng)選擇其中6道關(guān)于積分方面問題作為測試題：（1）不定積分基本公式；（2）不定積分計(jì)算方法；（3）微積分基本公式；（4）定積分計(jì)算；（5）定積分的幾何應(yīng)用；（6）二重積分計(jì)算。

對于測試2，使用相同的方法和過程生成知識狀態(tài)，并為實(shí)驗(yàn)組（圖3）和對照組（圖4）創(chuàng)建知識結(jié)構(gòu)樹。筆者發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)組測試2的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑：1→2→5→3→4→6，也就是：不定積分基本公式→不定積分計(jì)算方法→定積分的幾何應(yīng)用→微積分基本公式→定積分計(jì)算→二重積分計(jì)算。對實(shí)驗(yàn)組測試2的知識結(jié)構(gòu)樹進(jìn)行了仔細(xì)的比較研究，知識結(jié)構(gòu)樹總共只有六個(gè)水平，沒有學(xué)生在測試中只正確回答了一個(gè)問題，并沒有存在第二層次的知識結(jié)構(gòu)（只答對一個(gè)問題的知識狀態(tài)）。筆者認(rèn)為這個(gè)知識結(jié)構(gòu)樹更有組織性，因?yàn)樗偣仓挥?8個(gè)知識狀態(tài)。此外，該知識結(jié)構(gòu)樹的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑顯示了更為貼合教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)順序。

同樣，測試2對照組的知識結(jié)構(gòu)樹也顯示出比測試1的知識結(jié)構(gòu)樹更好的組織。知識結(jié)構(gòu)樹有7個(gè)層次，30個(gè)知識狀態(tài)。知識狀態(tài)樹的第四級和第五級包含了大多數(shù)的知識狀態(tài)，其中約57%的知識狀態(tài)出現(xiàn)在這些級別上。對于測試2對照組的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑與實(shí)驗(yàn)組也有所不同，即2→1→6→5→3→4。相應(yīng)的問題是：不定積分計(jì)算方法→不定積分基本公式→二重積分計(jì)算→定積分的幾何應(yīng)用→微積分基本公式→定積分計(jì)算。對照組和實(shí)驗(yàn)組在關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑上的主要區(qū)別在于問題6的順序。

三、研究結(jié)果和分析

總體而言，測試1是第一學(xué)期的期中考試，已經(jīng)經(jīng)過半學(xué)期的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)組在微積分預(yù)前學(xué)習(xí)上要求更高，提供更多的學(xué)習(xí)幫助，所以測試1的知識結(jié)構(gòu)樹在對照組和實(shí)驗(yàn)組之間已經(jīng)有所不同，實(shí)驗(yàn)組表現(xiàn)得更為混亂些，不如對照組的知識結(jié)構(gòu)簡單。而測試2是在第二學(xué)期期末，測試2中實(shí)驗(yàn)組的知識結(jié)構(gòu)樹在關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑上顯示出更大的變化，從而表明學(xué)生對概念的理解更為深入。

在比較測試1的知識狀態(tài)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)對照組比實(shí)驗(yàn)組少了8種知識狀態(tài)，而在測試2中，對照組的知識狀態(tài)比實(shí)驗(yàn)組反而多了12個(gè)。兩個(gè)班級從第一次測試到第二次測試的知識狀態(tài)數(shù)量都有很大的減少：實(shí)驗(yàn)組在測試1的知識狀態(tài)數(shù)是52個(gè)，但是測試2只有18個(gè)；對照組的知識狀態(tài)從測試1的44個(gè)減少到測試2的30個(gè)，減少的幅度較小。即從知識結(jié)構(gòu)上看，實(shí)驗(yàn)組的知識結(jié)構(gòu)變化較大，且在測試2中的知識結(jié)構(gòu)簡單體現(xiàn)出較有組織性。對于實(shí)驗(yàn)組來說，在學(xué)生知道如何解決相對簡單問題的情況下，也許教師需要花更多的時(shí)間來解釋如何解決高級衍生問題。

此外，測試1的知識結(jié)構(gòu)樹顯示，兩個(gè)班的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑都是從問題6（求導(dǎo)及求導(dǎo)公式）開始的，這是因?yàn)橹袑W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了求導(dǎo)公式。實(shí)驗(yàn)組的知識結(jié)構(gòu)樹關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑也顯示，學(xué)生在關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑上完成微積分問題的時(shí)間比對照組要快。實(shí)驗(yàn)組的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑問題的順序?yàn)?（導(dǎo)數(shù)定義）和5（高階導(dǎo)數(shù)），即為了正確地完成問題5，學(xué)生需要準(zhǔn)確地回答問題4。實(shí)驗(yàn)組按照正確的順序回答這兩個(gè)問題，而對照組則按照相反的順序回答這兩個(gè)問題。這個(gè)結(jié)果可能意味著對照組不是在猜測，就是混淆了幾個(gè)基礎(chǔ)概念。比如，對照組的學(xué)生不能正確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義解決三角函數(shù)應(yīng)用部分的問題4。

實(shí)驗(yàn)組測試2的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑表明，該班在完成問題1和問題2時(shí)非常成功。這兩個(gè)問題涉及不定積分基本公式，然后使用問題1的結(jié)果來解決問題2的不定積分計(jì)算。實(shí)驗(yàn)組的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑還表明學(xué)生按照正確的順序完成問題3和問題4。為了正確地完成問題4，學(xué)生首先要正確地解決問題3，其中包括利用微積分基本公式求定積分，而問題4是定積分計(jì)算需要以基本公式為基礎(chǔ)，加上換元法和分部積分法來計(jì)算。另外，對于對照組，測試2的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑表明，學(xué)生在問題1和問題2上不僅順序相反，而且被問題3分開；雖然問題3和問題4是按照正常順序，但在關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑上被問題1分開；而在問題4（定積分計(jì)算）和問題6（二重積分計(jì)算）上順序相反，實(shí)際問題體現(xiàn)了對照組在預(yù)前知識上的不扎實(shí)。有趣的是，對照組在測試2中難度比較大的問題6得分上高于實(shí)驗(yàn)組。這支持了這樣的假設(shè)，即對照組可能已經(jīng)記住了如何進(jìn)行計(jì)算二重積分和定積分，但是沒有很系統(tǒng)地學(xué)習(xí)微積分的預(yù)前知識。隨著整個(gè)學(xué)期微積分課程的進(jìn)展，由于預(yù)期知識的不足，對照組的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑繼續(xù)以相反的方式描述關(guān)于微積分學(xué)習(xí)內(nèi)容的順序。 ?? 四、結(jié)論

這項(xiàng)研究的結(jié)果表明了知識空間理論的應(yīng)用提供了一個(gè)有效的方法來表示一組學(xué)生微積分知識領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而得到他們的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑。利用知識空間理論，繪制學(xué)生在學(xué)微積分前的知識結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)而可以通過技能函數(shù)描述不同班級學(xué)生在不同干預(yù)水平下的知識結(jié)構(gòu)和狀態(tài)，并基于這種知識結(jié)構(gòu)，在課程評估中發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵的學(xué)習(xí)路徑。這種方法在評估學(xué)生的技能和知識方面是有意義的，它為提高學(xué)生成績所需的潛在補(bǔ)救措施提供了有用的見解。

對學(xué)生關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑的研究支持這樣一個(gè)結(jié)論：在微積分中建立堅(jiān)實(shí)的學(xué)前基礎(chǔ)是學(xué)生學(xué)好微積分的必要條件。知識狀態(tài)和關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑的連續(xù)性反映了學(xué)生對微積分基本概念的理解，并提出了一種系統(tǒng)的補(bǔ)充或者補(bǔ)救方法。筆者認(rèn)為，對不同評估策略的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑的調(diào)查將使教師能夠生成描述學(xué)生獲得概念的知識結(jié)構(gòu)樹，為教師調(diào)整所教概念的順序提供指導(dǎo)，并根據(jù)預(yù)期的掌握水平定制教學(xué)。

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