張若暉

摘?要：股票價(jià)格變化的預(yù)測(cè)對(duì)判斷我國(guó)股市的走勢(shì)有著顯著作用。文章選取從2015年1月2日至2020年12月30日的上證指數(shù)每日收盤(pán)價(jià)，首先對(duì)一階差分后的對(duì)數(shù)收益率序列建立ARMA（2，4）模型，其次通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)殘差序列存在條件異方差性，進(jìn)一步構(gòu)建GARCH（1，1）模型，隨后構(gòu)建綜合的ARMA（2，4）-GARCH（1，1）模型并對(duì)模型進(jìn)行相關(guān)診斷性檢驗(yàn)，得出上證綜指對(duì)數(shù)收益率序列存在波動(dòng)聚集性且短期預(yù)測(cè)效果要優(yōu)于長(zhǎng)期的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：上證綜指;對(duì)數(shù)收益率序列;短期預(yù)測(cè);ARMA-GARCH模型

中圖分類(lèi)號(hào)：F832.51???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?文章編號(hào)：1005-6432（2023）13-0043-04

DOI：10.13939/j.cnki.zgsc.2023.13.043

1?引言

股票市場(chǎng)是金融市場(chǎng)的重要組成部分，對(duì)推動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展和世界一體化影響重大。股票的價(jià)格每時(shí)每刻都處在變動(dòng)中，股價(jià)的變動(dòng)表現(xiàn)為市場(chǎng)的波動(dòng)，對(duì)股價(jià)變化的研究意義重大。近年來(lái)，股票市場(chǎng)規(guī)模快速擴(kuò)大，市場(chǎng)透明度也越來(lái)越高，投資者的交易策略同質(zhì)化嚴(yán)重，股票價(jià)格的預(yù)測(cè)變得更加困難，因此，為了更好地預(yù)測(cè)股票價(jià)格的走勢(shì)，探討合理有效的預(yù)測(cè)方法十分重要。

基于計(jì)量模型的角度研究股票市場(chǎng)的影響因素是早期股票市場(chǎng)研究方法的重要方向之一。Engle［1］提出的自回歸條件異方差模型能描述并分析金融資產(chǎn)收益率的波動(dòng)性，是工具。Bollerslev［2］提出廣義的ARCH模型在實(shí)際中被廣泛運(yùn)用，GARCH模型可以更有效地描述條件異方差的動(dòng)態(tài)特征。萬(wàn)蔚［3］采用?GARCH?等多個(gè)模型，以滬市和深市的股票為研究對(duì)象，通過(guò)實(shí)證對(duì)其收益率進(jìn)行了對(duì)比研究，并對(duì)其中存在的規(guī)律進(jìn)行了總結(jié)。黃軒等［4］構(gòu)建ARMA-GARCH模型實(shí)證分析了滬深300指數(shù)的波動(dòng)率，得出ARMA-GARCH模型能在一定程度下有效預(yù)測(cè)其未來(lái)短期波動(dòng)率的結(jié)論。李雄英［5］對(duì)四大銀行的股票日對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)分析，認(rèn)為ARMA-GARCH模型相較于ARM模型在擬合效果和預(yù)測(cè)能力上都能取得更為理想的效果。文章擬構(gòu)建ARMA-GRACH模型對(duì)上證綜指收益率進(jìn)行預(yù)測(cè)，為投資者提供參考。

2?研究方法與模型建立

2.1?ARMA模型

ARMA模型是一種高精度的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，能通過(guò)處理分析時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)某種現(xiàn)象隨時(shí)間變化的內(nèi)在規(guī)律，并按照這種在時(shí)間上延續(xù)的依存關(guān)系對(duì)此規(guī)律進(jìn)行延伸，預(yù)測(cè)未來(lái)該現(xiàn)象如何變化。一般地，ARMA模型的具體形式表現(xiàn)為：

Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+…+φpXt－p+at－θ1at－1－…－θqat－q（1）

該模型中參數(shù)p代表自回歸部分的階數(shù)，q為移動(dòng)平均部分的階數(shù)，at則為白噪聲序列。

2.2?GARCH模型

股票的價(jià)格往往具有波動(dòng)率聚集、“尖峰厚尾”的特點(diǎn)，表現(xiàn)出異方差性。GARCH模型可以用來(lái)擬合隨機(jī)誤差項(xiàng)的條件方差，一般的，對(duì)于GARCH（p，q）模型具體表現(xiàn)形式為：

σ2t=α0+α1μ2t－1+α2μ2t－2+…+αqμ2t－q+β1σ2t－1+…+βpσ2t－p（2）

式中，p代表GARCH（p，q）模型中自回歸項(xiàng)的階數(shù)，q則代表ARCH項(xiàng)的階數(shù)。

2.3?數(shù)據(jù)的來(lái)源與處理

文章數(shù)據(jù)來(lái)源于上海證券交易所官網(wǎng)，選取2015年1月5日到2020年12月30日上證綜指的收盤(pán)價(jià)，共計(jì)1260個(gè)數(shù)據(jù)。為保證盡可能消除時(shí)間序列變化帶來(lái)的不平穩(wěn)性，在文章中對(duì)上證綜指進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理，可以得到對(duì)數(shù)指數(shù)收益率：Rt=ln（Pt）－ln（Pt-1）。其中，Rt為第t天的指數(shù)收益率，?Pt為上證綜指在第t天的指數(shù)收盤(pán)價(jià)。

3?實(shí)證結(jié)果分析

3.1?樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)描述

首先利用EViews軟件對(duì)上證綜指的對(duì)數(shù)收益率時(shí)間序列進(jìn)行描述性分析，并得到上證綜指對(duì)數(shù)收益率時(shí)間序列圖，如圖1所示。

從描述性分析結(jié)果來(lái)看，樣本數(shù)據(jù)平均值為0.013770，標(biāo)準(zhǔn)差為1.50687，偏度為-31.2225<0，峰度為9.97098>正態(tài)分布下的3，可以發(fā)現(xiàn)，該序列具有較為明顯的左偏性，不符合標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。從對(duì)數(shù)收益率圖1可以看出，該時(shí)間序列大致處于較為平穩(wěn)的狀態(tài)，序列中出現(xiàn)了多個(gè)異常的峰值，小波動(dòng)緊隨著較小的波動(dòng)，大波動(dòng)則伴隨著較大的波動(dòng)，且呈現(xiàn)出明顯的波動(dòng)集聚現(xiàn)象，表明時(shí)間序列波動(dòng)呈現(xiàn)出明顯的條件異方差現(xiàn)象。

3.2?ARMA模型建立

在構(gòu)建ARMA模型之前，為保證大樣本下統(tǒng)計(jì)推斷的“一致性”要求，確定時(shí)間序列沒(méi)有隨機(jī)趨勢(shì)或確定趨勢(shì)，需對(duì)序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。由于該時(shí)間序列中可能會(huì)存在高階的滯后相關(guān)，因此需首先采用ADF檢驗(yàn)來(lái)判斷序列是否存在單位根。ADF檢驗(yàn)結(jié)果顯示，ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值為-36.08224，在1%、5%、10%的檢驗(yàn)水平下t統(tǒng)計(jì)量的臨界值分別為-3.434683、-2.863341、-2.567777，t統(tǒng)計(jì)量的值均小于1%、5%、10%檢驗(yàn)水平下的臨界值，拒絕原假設(shè)，該時(shí)間序列不存在單位根，即一階差分后的上證綜指的對(duì)數(shù)收益率序列平穩(wěn)，可考慮建立ARMA（p，q）模型。

接下來(lái)繪制上證綜指對(duì)數(shù)收益率時(shí)間序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖譜，如圖2所示，可以看到該序列自相關(guān)函數(shù)在滯后1階和14階處顯示出統(tǒng)計(jì)上明顯的尖柱，而在其他各階在統(tǒng)計(jì)上表現(xiàn)不顯著。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后1階、2階、3階、6階處均顯著超過(guò)了95%的置信區(qū)域。初步判定ARMA模型的移動(dòng)平均過(guò)程是4階的，而自回歸過(guò)程應(yīng)該是低階的。

結(jié)合AIC信息準(zhǔn)則擇優(yōu)選擇模型，分別對(duì)ARMA（2，4）、ARMA（1，4）兩個(gè)模型進(jìn)行估計(jì)并比較，結(jié)果如表1所示。對(duì)比兩個(gè)模型可知，ARMA（2，4）對(duì)應(yīng)的AIC、SC的值都小于ARMA（1，4）對(duì)應(yīng)的值且擬合優(yōu)度更高，最終構(gòu)建ARMA（2，4）模型：

Xt=0.1347Xt－1－0.9737Xt－2+at－0.08486at－1+0.9285at－2+0.07757at－3+0.004344at－4+0.02118（3）

3.3?GARCH模型建立

在建立ARMA模型的基礎(chǔ)上，需進(jìn)一步判斷該時(shí)間序列是否存在條件異方差性。文章在建立均值模型后的基礎(chǔ)上生成了殘差序列，并繪制殘差平方的自相關(guān)與偏自相關(guān)圖。由圖3可知，殘差平方自相關(guān)函數(shù)值絕大部分都超過(guò)了95%的置信區(qū)域，統(tǒng)計(jì)上顯著不為0，且Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的概率值均小于0.05，即殘差平方序列存在自相關(guān)殘差序列存在ARCH效應(yīng)。

由于存在較高階數(shù)的ARCH效應(yīng)，需要結(jié)合AIC準(zhǔn)則判斷出適合的模型階數(shù)，通過(guò)對(duì)GARCH模型階數(shù)的多次設(shè)定，經(jīng)多次擬合計(jì)算出各模型對(duì)應(yīng)的AIC值，如表2所示。

由表2可以得出，GARCH（1，1）模型對(duì)應(yīng)的AIC值最小，結(jié)合AIC最優(yōu)準(zhǔn)則，最終構(gòu)建GARCH（1，1）模型，并得到GARCH（1，1）模型的各參數(shù)的估計(jì)結(jié)果，如圖4所示。

由圖4可得收益率波動(dòng)模型為GARCH（1，1）：

σ2t=0.006224+0.067589μ2t－1+0.932037σ2t－1（3）

3.4?ARMA-GARCH綜合模型的建立與分析

由于在建立ARMA模型預(yù)測(cè)股票對(duì)數(shù)收益率的變化時(shí)，忽略了模型中的殘差平方項(xiàng)存在的ARCH效應(yīng)，而僅僅根據(jù)波動(dòng)率建立模型亦是不全面的，且GARCH模型的建立需要在ARMA均值方程的基礎(chǔ)上。故文章最終建立ARMA-GARCH綜合模型來(lái)估計(jì)預(yù)測(cè)上證指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率，模型形式如下：

Xt=0.1347Xt－1－0.9737Xt－2+at－0.08486at－1+0.9285at－2+0.07757at－3+0.004344at－4+0.02118

σ2t=0.006224+0.067589μ2t－1+0.932037σ2t－1（5）

圖4?GARCH（1，1）模型參數(shù)

ARMA-GARCH模型的殘差平方序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)相較于ARMA（2，4）模型的自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)值都有明顯的減小，且ARMA-GARCH模型對(duì)應(yīng)的q統(tǒng)計(jì)量在5%的顯著水平下，其概率值p都遠(yuǎn)大于0.05，q統(tǒng)計(jì)量不顯著，殘差平方序列不存在序列相關(guān)性，該模型的殘差序列有效地消除了ARCH效應(yīng)，故建立ARMA（2，4）—GARCH（1，1）模型。

3.5?模型相關(guān)診斷性檢驗(yàn)

在完成上述模型的建立后，需要驗(yàn)證構(gòu)建的ARMA-ARCH優(yōu)化模型是否還存在異方差性，如果存在則模型不正確，若不存在，則模型正確。因此，文章對(duì)上證綜指對(duì)數(shù)收益率模型中的殘差平方序列進(jìn)行了自相關(guān)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)ARMA（2，4）-GARCH（1，1）模型的殘差序列的樣本自相關(guān)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的p值都遠(yuǎn)大于0.9，遠(yuǎn)大于檢驗(yàn)水平，故不能拒絕原假設(shè)，殘差序列不存在自相關(guān)，即可以認(rèn)為文章構(gòu)建的ARMA-ARCH優(yōu)化模型不存在異方差性，模型合理。

3.6?預(yù)測(cè)結(jié)果

對(duì)于ARMA-GARCH模型的平均相對(duì)誤差通過(guò)Excel表格得出，首先計(jì)算出各個(gè)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差，在數(shù)值上等于實(shí)際值與預(yù)測(cè)值之差的絕對(duì)值與實(shí)際值之比，之后取平均值得到模型的平均相對(duì)誤差，最后將所得結(jié)果平方得到MSE為0.0372。

4?結(jié)論

對(duì)于股票收益率的預(yù)測(cè)是金融研究的一個(gè)重大研究方向，在最近這些年受到越來(lái)越多的關(guān)注。文章首先運(yùn)用ARMA模型對(duì)選取的上證指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率1460個(gè)數(shù)據(jù)形成的時(shí)間序列進(jìn)行擬合建立ARMA（2，4）模型，由于模型中的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)還存在明顯的條件異方差性，通過(guò)檢驗(yàn)圖示檢驗(yàn)法、自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)法檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)是否存在、模型參數(shù)估計(jì)進(jìn)一步建立GARCH（1，1）模型反映收益率的波動(dòng)，最后考慮到僅根據(jù)波動(dòng)率建立模型亦是不全面的，且GARCH模型的需要是建立在ARMA均值方程的基礎(chǔ)之上的，因此最終建立了ARMA（2，4）-GARCH（1，1）綜合優(yōu)化模型，利用該模型對(duì)2015年1月2日至2020年12月30日上證指數(shù)收盤(pán)價(jià)對(duì)數(shù)收益率預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差MSE的值為0.0372。

雖然模型可以一定程度地預(yù)測(cè)股價(jià)或收益率的變動(dòng)，但由于股票市場(chǎng)的股價(jià)時(shí)刻處在波動(dòng)之中，影響股票市場(chǎng)的因素繁多，如國(guó)際環(huán)境的變化、政府的政策措施管理?xiàng)l例、行業(yè)的變化以及經(jīng)濟(jì)周期循環(huán)等，其預(yù)測(cè)的效果定會(huì)受到影響。所以短期的預(yù)測(cè)效果要優(yōu)于長(zhǎng)期，對(duì)股票市場(chǎng)的預(yù)測(cè)要不斷地更新預(yù)測(cè)模型，同時(shí)預(yù)測(cè)時(shí)也需考慮一些客觀環(huán)境因素的影響。

參考文獻(xiàn)：

［1］ENGLE?R?F.Autoregressive?conditional?heteroskedasticity?with?estimates?of?the?variance?of?U.K.inflation［J］.Econometrica，1982（50）：987-1007.

［2］TIM?BOLLERSLEV.Generalized?autoregressive?conditional?heteroskedasticity［J］.Journal?of?econometrics，1986，31（3）：307-327.

［3］萬(wàn)蔚，江孝感.我國(guó)滬、深股市的波動(dòng)性研究——基于?GARCH?族模型［J］.價(jià)值工程，2007（10）：14-18.

［4］黃軒，張青龍.基于ARMA-GARCH模型的滬深300指數(shù)波動(dòng)率分析與預(yù)測(cè)［J］.中國(guó)物價(jià)，2018（6）：44-46.

［5］李雄英，陳小玲，曾凱華.基于三類(lèi)模型的四大銀行股票收益率預(yù)測(cè)研究［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2018，35（4）：21-27.